沈明霞(浙江省杭州市臨平區(qū)臨平第一小學(xué) 311100)

數(shù)的概念和數(shù)的運(yùn)算之間關(guān)聯(lián)緊密,主要體現(xiàn)在“數(shù)”和“運(yùn)算”的一致性上,從當(dāng)前教材知識滲透上看,關(guān)于“數(shù)”的認(rèn)識主要包括了整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的認(rèn)識;關(guān)聯(lián)的運(yùn)算方式包括加減乘除四則運(yùn)算;幾乎所有的數(shù)在教學(xué)環(huán)節(jié)都會涉及四則運(yùn)算。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初期階段體會“數(shù)”的含義,感知數(shù)的概念的一致性,形成數(shù)感,結(jié)合實(shí)際的教學(xué)環(huán)節(jié)感悟數(shù)字的運(yùn)算和運(yùn)算之間的關(guān)系,感知數(shù)的運(yùn)算的一致性,形成基礎(chǔ)的邏輯推理意識。

一、 “數(shù)”與“運(yùn)算”一致性的內(nèi)涵理解

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更加注重學(xué)生如何通過數(shù)學(xué)這一門學(xué)科去認(rèn)識和探究世界,借由數(shù)學(xué)角度分析,去發(fā)現(xiàn)生活中、社會上、自然界中存在的數(shù)量關(guān)系和空間形式,并提出和探索更加有意義的數(shù)學(xué)問題,通過數(shù)學(xué)思維方式去思考、去理解現(xiàn)實(shí)世界。

數(shù)的概念和數(shù)的運(yùn)算之間關(guān)聯(lián)緊密,主要體現(xiàn)在“數(shù)”和“運(yùn)算”的一致性上。從當(dāng)前教材知識滲透上看,小學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于“數(shù)”的認(rèn)識主要包括了整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的認(rèn)識;關(guān)聯(lián)的運(yùn)算方式包括加減乘除四則運(yùn)算。幾乎所有的數(shù)在教材教學(xué)環(huán)節(jié)中都會涉及四則運(yùn)算,一是從教學(xué)理解層面上來看,可以將整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)看成一個(gè)數(shù)的整體集合,當(dāng)整數(shù)進(jìn)行除法運(yùn)算不能被整除時(shí),就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù),分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)不便時(shí),便產(chǎn)生了小數(shù);二是從運(yùn)算方式的統(tǒng)一性上來看,和計(jì)算機(jī)的運(yùn)行原理一致,四則運(yùn)算都可以視為加法的一種,減法是加上一個(gè)負(fù)數(shù),乘法是相同數(shù)字的累加,除法是相同數(shù)字的累減;三是從運(yùn)算方式和角度上來看,所有的運(yùn)算都可以轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位運(yùn)算(個(gè)別運(yùn)算、計(jì)數(shù)單位不參與運(yùn)算),計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字(本質(zhì)上是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù))與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字運(yùn)算。例如,我們定義2=1+1,3=2+1(皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)),得到1+1=2,2+1=3,這利用了“=”的對稱性,但這樣的解釋脫離了現(xiàn)實(shí)背景,沒有涉及“等于”的本質(zhì)。

以上內(nèi)容體現(xiàn)了“數(shù)”與“運(yùn)算”的一致性,只要在教學(xué)中掌握了統(tǒng)領(lǐng)性的數(shù)學(xué)思想理念,就能夠通過多種教學(xué)方式、合理設(shè)置教學(xué)案例、引導(dǎo)點(diǎn)撥學(xué)生在數(shù)學(xué)理解和認(rèn)知上更上一層,結(jié)合核心素養(yǎng)培養(yǎng),使學(xué)生在知識掌握和學(xué)習(xí)的同時(shí),建立相互聯(lián)系和關(guān)聯(lián),最終得到綜合全面發(fā)展。這種教學(xué)內(nèi)涵要求教師注重思維方式培養(yǎng),引導(dǎo)學(xué)生從整體到部分、由簡到難地掌握數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算規(guī)律,從而提升他們數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識。

二、 “數(shù)”與“運(yùn)算”的一致性教學(xué)構(gòu)建策略

教師可以采用“數(shù)感培養(yǎng)—運(yùn)用法則—思維進(jìn)階”教學(xué)策略,提升“數(shù)”與“運(yùn)算”一致性的理解和應(yīng)用水平。

1.構(gòu)建計(jì)數(shù)單位,培養(yǎng)學(xué)生基礎(chǔ)數(shù)感

從數(shù)的理解角度上來看,所有的數(shù)都是能夠通過計(jì)算單位來進(jìn)行構(gòu)建的。針對小學(xué)數(shù)學(xué)培養(yǎng)的“數(shù)”與“運(yùn)算”的一致性的教學(xué),便可以此為出發(fā)點(diǎn),進(jìn)行“數(shù)”與“運(yùn)算”一致性教學(xué)策略實(shí)施。教師需要向?qū)W生引申“計(jì)數(shù)單位”的含義,是指針對“數(shù)”的順序,所建立的計(jì)量單位,如常見的長度、重量、面積等單位。當(dāng)學(xué)生理解和掌握了相應(yīng)的計(jì)量單位含義后,便可以通過組數(shù)的增加和計(jì)量作為相應(yīng)的計(jì)數(shù)單位,如整數(shù)的計(jì)數(shù)單位就是一、十、百等,小數(shù)的計(jì)數(shù)單位就是十分之一,也就是通常所謂的數(shù)位。

以整數(shù)的教學(xué)為例,小學(xué)的基礎(chǔ)對于數(shù)的認(rèn)識就是數(shù)字1～10的認(rèn)知,由于存在進(jìn)位的關(guān)系,學(xué)生初期掌握可能存在理解困難。但是從另一個(gè)角度來看,10 的出現(xiàn)其實(shí)就是計(jì)數(shù)單位的體現(xiàn),由9個(gè)1累加,然后再增加1個(gè)“1”所形成的累計(jì)結(jié)果;這是從計(jì)數(shù)單位上進(jìn)行的累計(jì)突破;從核心素養(yǎng)教育“數(shù)感”認(rèn)知培養(yǎng)上,在學(xué)生能夠識記和掌握1～9的符號意義后,教師可以主動(dòng)拋出問題,與學(xué)生一起探討“十應(yīng)該用哪種方式進(jìn)行表達(dá)?”,單純以漢字“十”來表示雖然簡單,卻和1～9的數(shù)字符號格格不入;如果簡單表示為我們學(xué)過的“1”,又會使數(shù)字顯得重復(fù);因此,針對上述不便,這就可以“位置值”的方式,進(jìn)行了數(shù)字的創(chuàng)新,印度率先以“10”作為表示的方式,且提出了占位符和計(jì)數(shù)符的說法,滲透了“數(shù)”與“運(yùn)算”之間的相互理解內(nèi)容。

2.引入概念法則,建構(gòu)學(xué)生運(yùn)算機(jī)制

小學(xué)階段分?jǐn)?shù)的基本計(jì)數(shù)單位直觀上并不太明顯,由于分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)之間并不存在明確的倍數(shù)關(guān)系,學(xué)生在學(xué)習(xí)中并未體會到分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位是什么。由此,相對于較為明顯的整數(shù)而言,在進(jìn)行比較大小、四則運(yùn)算時(shí)變顯得吃力。在學(xué)生“數(shù)”與“運(yùn)算”能力培養(yǎng)上,可以引經(jīng)據(jù)典,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。如《九章算術(shù)》中就對分?jǐn)?shù)進(jìn)行了較為詳實(shí)的介紹,在讀法上“幾又幾分之幾”,如2/3,對其解釋便是將事物平均分為三份,取其中的兩份,重點(diǎn)在于“分、取”的說明上。分?jǐn)?shù)和整數(shù)一樣是有大小可比性的,其主要的目的是為了讓我們能夠更加準(zhǔn)確地度量和確定小于1的量,用小數(shù)無法精確表示的量。

在小學(xué)數(shù)學(xué)開展分?jǐn)?shù)的認(rèn)知過程中,可引入以下三個(gè)階段:一是引入概念,教師通過“分餅”的方式,讓學(xué)生初步感受到分?jǐn)?shù)的意義所在,并結(jié)合整數(shù)的大小比較,讓學(xué)生建立“計(jì)數(shù)單位”比較大小的基本邏輯思維;二是引入“分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘上或者除以相同的數(shù)(0 除外),分?jǐn)?shù)的大小不變”這一重要法則,同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考分?jǐn)?shù)的變形轉(zhuǎn)換。三是落實(shí)通分的教學(xué)環(huán)節(jié),使學(xué)生通過求取最小公倍數(shù)的方式,進(jìn)行分?jǐn)?shù)的分母轉(zhuǎn)化,在分母相同的情況下(即分母的計(jì)數(shù)單位相同情況下)進(jìn)行大小比較和加減法運(yùn)算。

3.設(shè)置思維進(jìn)階,提升學(xué)生計(jì)算能力:以小數(shù)認(rèn)知和“位置值”教學(xué)為例

小學(xué)階段學(xué)生能夠理解小數(shù)是以0.1/0.01等為計(jì)數(shù)單位進(jìn)行位置值的構(gòu)建即可。識別和記憶小數(shù)的關(guān)鍵在于小數(shù)的計(jì)數(shù)單位理解,教師可以將多個(gè)小數(shù)進(jìn)行排列,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,如列舉“0.01/0.02/0.03/0.04……”,就能夠看出小數(shù)的計(jì)數(shù)單位是有序排列和延伸的。從數(shù)字構(gòu)建來看,小數(shù)可以理解為是“十進(jìn)制分?jǐn)?shù)”,類比學(xué)生所學(xué)整數(shù),其進(jìn)位方式為滿十進(jìn)一,由個(gè)位依次向十位、百位、千位進(jìn)行遞增。將進(jìn)位方式反向思考,千位數(shù)進(jìn)行平均分十份,每一份便得到了百位數(shù);將百位數(shù)平均分成十份,每一份便得到了十位數(shù);將十位數(shù)平均分成十份,每一份便得到了個(gè)位數(shù);將個(gè)位數(shù)平均分成十份,每一份便得到了“十分位”。為使學(xué)生更容易理解小數(shù),教師可以通過當(dāng)前現(xiàn)有的度量單位、重量單位等進(jìn)行雙向說明,同時(shí)融合運(yùn)算方式中的“逢十進(jìn)一、退一作十”的運(yùn)算規(guī)則,使“位置值”和小數(shù)的理解更加深入。

在“數(shù)與運(yùn)算”教學(xué)時(shí),其教學(xué)目標(biāo)有以下四點(diǎn):一是使學(xué)生能夠掌握整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則混合運(yùn)算;二是計(jì)算過程中熟練使用中括號,并結(jié)合四則運(yùn)算進(jìn)行試題的計(jì)算;三是通過對整數(shù)、小數(shù)的四則混合運(yùn)算進(jìn)行歸納和總結(jié),提升學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的抽象概括能力;四是通過“數(shù)與運(yùn)算”的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,并提升計(jì)算能力。

在教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)上,對整數(shù)、小數(shù)的四則運(yùn)算順序和符號使用分別進(jìn)行了要求。想要學(xué)生能夠理解相應(yīng)的計(jì)算方式,如何進(jìn)行計(jì)數(shù)單位的理解和運(yùn)用將是重點(diǎn)內(nèi)容;教材上對于四則運(yùn)算的教學(xué)設(shè)計(jì)是以“加法”為首進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計(jì),對于加法的理解,其實(shí)就是數(shù)字的一種認(rèn)知;“數(shù)”如何產(chǎn)生、如何進(jìn)行計(jì)數(shù)、如何通過四則運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算,就會關(guān)聯(lián)到數(shù)的位置值;也只有當(dāng)學(xué)生能夠理解數(shù)的位置值、數(shù)的計(jì)量單位時(shí)能夠更加熟練的對數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。同時(shí)有了加法的理解和認(rèn)知基礎(chǔ),由此及彼,推廣到減法、乘法、除法的使用上,也是其運(yùn)算一致性的一種體現(xiàn)和應(yīng)用;計(jì)數(shù)的單位運(yùn)算過程,本質(zhì)上都是數(shù)學(xué)算法的一種體現(xiàn),數(shù)的建構(gòu)和運(yùn)算也都是基于計(jì)數(shù)單位而進(jìn)行的,兩個(gè)過程看似不同,實(shí)則相互可逆,數(shù)的構(gòu)建是隨著歷史時(shí)代的發(fā)展對數(shù)字進(jìn)行的定義更優(yōu)于生活中的使用。

二是數(shù)的概念是數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ),數(shù)的運(yùn)算是對數(shù)的概念的再應(yīng)用。在學(xué)生能夠理解和認(rèn)知到進(jìn)制的意義所在,在未來的學(xué)習(xí)過程中對于相應(yīng)的概念和后續(xù)知識的學(xué)習(xí)才能夠呈現(xiàn)出系統(tǒng)化和連貫化的邏輯思維關(guān)聯(lián)。

三、 “數(shù)”與“運(yùn)算”的一致性教學(xué)評價(jià)分析

在教學(xué)中,教師要以發(fā)展的眼光去看待問題,在幫助學(xué)生理解數(shù)的概念一致性的過程中,對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和數(shù)的符號意識是尤為關(guān)鍵的。它涉及學(xué)生對抽象概念的理解,數(shù)感的基礎(chǔ)能力是學(xué)生建立符號意識的基礎(chǔ)要素,符號的意識則是抽象能力和推理能力形成的基礎(chǔ),三者的關(guān)系層層遞進(jìn)。在幫助學(xué)生理解數(shù)的運(yùn)算時(shí),無論是算法的使用、推演過程都是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要手段。教師應(yīng)該以長遠(yuǎn)的眼光去看待教學(xué)過程,通過系統(tǒng)知識體系的把控,向?qū)W生不斷滲透數(shù)學(xué)整體性、聯(lián)系性、發(fā)展性等觀念。

教師在課堂上教授學(xué)生的推導(dǎo)過程也是極為關(guān)鍵的。在結(jié)合教材上給出的教學(xué)案例等內(nèi)容,可看出結(jié)合生活化的情景學(xué)習(xí),是使數(shù)學(xué)知識能夠?qū)崿F(xiàn)有的放矢的重要途徑。在引導(dǎo)學(xué)生對于數(shù)的理解和數(shù)的運(yùn)算過程時(shí),可以多結(jié)合實(shí)際情況,從生活中的實(shí)際問題多入手,讓數(shù)字的呈現(xiàn)更加具有形象意義,讓數(shù)字運(yùn)算更加具有生活氣息。這樣的教學(xué)方式不僅能夠激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)也能夠促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

因此,教師應(yīng)當(dāng)重視對教材內(nèi)容的分析和把控,深入淺出地理解小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的知識點(diǎn),提煉并梳理出整體的框架內(nèi)容——數(shù)的理解與運(yùn)算間的關(guān)系,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生體會不同數(shù)學(xué)知識之間數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的一致性和可遷移性,形成科學(xué)的思維習(xí)慣。