韋柳香

［摘 要］相似三角形的新定義問題相對復(fù)雜，學(xué)生普遍覺得解決此類問題比較困難。文章結(jié)合幾則典例，從四個方面分析相似三角形的新定義問題，以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)新知與運用新知的能力，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］相似三角形；新定義；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻標(biāo)識碼］? A ［文章編號］ 1674-6058（2023）26-0026-03

新定義問題多以初中學(xué)生已學(xué)知識為出發(fā)點，通過類比、引申或拓展給出新的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)公式等，以閱讀材料的形式介紹給學(xué)生，讓學(xué)生在新舊知識之間建立聯(lián)系，理解其內(nèi)容、思想與方法，掌握其本質(zhì)，然后，通過類比、猜想與遷移的方法利用新知識解決問題。近些年，相似三角形的新定義問題在考試中頻頻出現(xiàn)，學(xué)生普遍覺得解決此類問題比較困難，以下筆者結(jié)合幾則實例做進一步分析探討。

一、“疊似”三角形

“疊似”三角形是指位于一個角的平分線兩邊且有一條公共邊的兩個相似三角形，這是一對特殊位置關(guān)系的相似三角形，它們不僅相似，且共邊，分居在角平分線的兩旁。

點評：“疊似”三角形組成一個四邊形，四邊形的一條對角線平分一個內(nèi)角，已知兩個三角形中有共點的兩邊長的長，可以求得其余四邊的長，這里共邊發(fā)揮了橋梁作用，是其他兩邊的比例中項。

二、“等角等積”三角形

“等角等積”三角形是指面積相等的兩個三角形，且它們有重合頂點，重合頂點所在的角相等。當(dāng)?shù)冉堑确e的兩個三角形都是直角三角形時，將其不重合的頂點順次相連，可以得到一組相似三角形。

［例2］我們定義：如圖4，在[△ABC]和[△ADE]中，若[∠BAC=∠DAE]，[S△ABC=S△ADE]，則[△ABC]和[△ADE]關(guān)于點[A]成“等角等積三角形”。（1）如圖5，[∠BAC=∠DAE=90°]，[S△ABC=S△ADE]，求證：[△ABD ]∽[△AEC]；（2）如圖6，在[△ABC]中，[∠BAC=90°]，[D]為[BC]上的一點，連接[AD]。用直尺和圓規(guī)作一個點[E]，使[△ABC]和[△ADE]關(guān)于點[A]成“等角等積”三角形（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；（3）如圖7，[AC⊥AE]，[AC=4]，[B]為射線[AE]上一點，作[△BCD]，使[A]，[D]位于[BC]的兩側(cè)，[∠BCD=90°]，[S△BCD=12]，連接[AD]，則[AD]長的最大值為 ? ? 。

（2）過點[A]作[AE⊥AD]，以AC為一條邊作[∠ACE=∠ADB]，[CE]與[AE]相交于點[E]，如圖8所示。

點評：第（1）小題的模型與解題方法對于第（2）小題的作圖，以及第（3）小題的求最值很有借鑒意義，因為等角等積的兩個直角三角形的圖形中，會產(chǎn)生一組相似三角形，所以作等角可以得到相似三角形，從而得到等角等積的三角形。

三、“二倍角”三角形

“二倍角”三角形是指有一個角是另一個角二倍的三角形，當(dāng)這個三角形是等腰三角形時，這個三角形就是等腰直角三角形或頂角為36°的等腰三角形。通過相似三角形可以證得二倍角所對邊的平方等于1倍角所對邊的平方與另兩邊乘積的和。

分析：（1）分兩種情況，即頂角是底角的二倍時和底角是頂角的二倍，然后利用三角形內(nèi)角和定理求底角的度數(shù)；（2）類比小思同學(xué)作輔助線的方法，將二倍角的其中一邊反向延長，使延長線段的長等于另一邊長，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，證明結(jié)論；（3）由性質(zhì)探索 可知：AB2=AC（BC+AC），把AB=6，BC=5代入，建立關(guān)于AC的一元二次方程，解一元二次方程求得AC的值；（4）如圖14，作∠CBD=∠A，交AC于點D，則△ABD是2倍角三角形。由△CBD∽△CAB求得CD的長，再由“二倍角”三角形的性質(zhì)，得到AB的長。

解：（1）當(dāng)?shù)妊切蔚膬?nèi)角分別為[x]，[x]，[2x]時，[4x=180°]，解得[x=45°]，當(dāng)?shù)妊切蔚膬?nèi)角分別為[x]，[2x]，[2x]時，[5x=180°]，解得[x=36°]，[2x=72°]，∴底角的度數(shù)為45°或72°，故答案為45°或72°。

（3）由性質(zhì)探索 可知：[AB2=AC（BC+AC）]，∴[AC2+5AC-36=0]，解得[AC=4]或-9（舍去），故答案為4。

點評：本題重點探究了“二倍角”三角形的性質(zhì)，即二倍角所對邊的平方=一倍角所對邊的平方與另兩邊乘積的和。這條性質(zhì)是通過構(gòu)造母子型相似三角形獲得的，在母子型相似三角形中，共用邊是在同一直線上的兩邊的比例中項。然后應(yīng)用二倍角的性質(zhì)求三角形的邊長，利用二倍角的性質(zhì)求三倍角三角形的邊長，體現(xiàn)了探究二倍角三角形的價值。

四、“布洛卡點”型三角形

三角形的布洛卡點是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)的，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意。1875年布洛卡點被一個數(shù)學(xué)愛好者布洛卡重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名。若△ABC內(nèi)一點P滿足∠PAC=∠PBA=∠PCB=∠α，則點P是△ABC的布洛卡點，∠α是布洛卡角。

［例4］若△ABC內(nèi)一點P滿足∠PAC=∠PBA=

點評：布洛卡點是三角形中一個特殊的點，它與三個頂點連接后，形成了一組等角。本題既考查了學(xué)生對于布洛卡點的理解，也考查了學(xué)生對于等腰直角三角形及等腰三角形性質(zhì)的理解與掌握。