諧波減速器動(dòng)力學(xué)特性與建模研究進(jìn)展

張 猛, 熊宇聰, 祝曉麗, 梁驕雁, 郭超勇, 唐藝偉, 肖 曦

1. 北京控制工程研究所,北京 100094 2. 清華大學(xué)電機(jī)系,北京 100084

0 引 言

諧波減速器是20世紀(jì)50年代后期隨著空間技術(shù)發(fā)展而出現(xiàn)的一種新型傳動(dòng)機(jī)構(gòu).1947年,蘇聯(lián)工程師МOCKBИTИH[1]提出諧波傳動(dòng)原理.1955年,為適應(yīng)空間技術(shù)應(yīng)用需求,美國發(fā)明家MUSSER[2]根據(jù)諧波傳動(dòng)原理發(fā)明諧波減速器,于1957年申請(qǐng)諧波減速器發(fā)明專利.1965年,日本從美國引入諧波減速器技術(shù),開始探索諧波減速器商業(yè)化發(fā)展道路.1987年,日本成立哈默納科公司,成功實(shí)現(xiàn)諧波減速器產(chǎn)業(yè)化發(fā)展.截至2021年,日本哈默納科公司生產(chǎn)的諧波減速器占據(jù)世界市場(chǎng)90%的份額[3].

傳動(dòng)比和輸出力矩相近的通用行星減速器和諧波減速器主要指標(biāo)如表1所示[4].相較于通用行星減速器,諧波減速器具有如下優(yōu)點(diǎn):1)相對(duì)質(zhì)量減小62%;2)工件構(gòu)件數(shù)減少77%,體積減小75%;3)價(jià)格降低60%.

表1 通用行星減速器和諧波減速器主要指標(biāo)比較Tab.1 Comparison of planetary transducer and harmonic drive

基于上述優(yōu)點(diǎn),諧波減速器廣泛應(yīng)用于空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)設(shè)計(jì),是空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)傳動(dòng)的核心部組件,支撐空間在軌服務(wù)、深空探測(cè)任務(wù)的順利實(shí)施.ESA靈巧機(jī)械臂DEXARM[5]、DLR智能關(guān)節(jié)IRJ[6]、NASA空間飛行遙控機(jī)器人FTS[7]和Maryland大學(xué)空間系統(tǒng)試驗(yàn)室研制的輕型自重構(gòu)空間機(jī)械臂MORPHbots[8]等在關(guān)節(jié)處采用了諧波減速器傳動(dòng).

隨著空間在軌服務(wù)與支持、深空探測(cè)任務(wù)日益多元化,對(duì)空間機(jī)械臂工作能力和工作性能提升需求日益迫切[9].諧波減速器作為空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)的核心部組件,其動(dòng)力學(xué)特性對(duì)空間機(jī)械臂性能提升舉足輕重,如諧波減速器的低剛度造成空間機(jī)械臂諧振,降低空間機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性等.

為提升空間機(jī)械臂工作性能,1992年,MIT 人工智能試驗(yàn)室的TUTTLE[10]對(duì)諧波減速器的動(dòng)力學(xué)特性開展了系統(tǒng)性研究.TUTTLE通過試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn),影響諧波減速器動(dòng)力學(xué)特性的主要因素包含運(yùn)動(dòng)誤差、非線性剛度和非線性摩擦.運(yùn)動(dòng)誤差的頻率與波發(fā)生器轉(zhuǎn)速正相關(guān),運(yùn)動(dòng)誤差的頻率與諧波減速器固有頻率相同時(shí),諧波減速器將發(fā)生諧振.諧波減速器的剛度呈現(xiàn)高度非線性特點(diǎn),且存在滯回現(xiàn)象.非線性摩擦與波發(fā)生器轉(zhuǎn)速有關(guān),且隨柔輪和剛輪的相對(duì)位置改變呈現(xiàn)周期性變化特點(diǎn),當(dāng)諧波減速器諧振時(shí),摩擦?xí)惓Ｔ龃?在試驗(yàn)研究基礎(chǔ)上,TUTTLE建立了包含運(yùn)動(dòng)誤差、非線性剛度和非線性摩擦3種動(dòng)力學(xué)特性的諧波減速器動(dòng)力學(xué)模型,為理解諧波減速器的動(dòng)力學(xué)行為開辟了道路.此后,國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)諧波減速器的運(yùn)動(dòng)誤差、非線性剛度和非線性摩擦3種動(dòng)力學(xué)特性和建模開展了大量研究,持續(xù)至今.

前期,TAGHIRAD和BELANGER等[11-12]開展了諧波減速器整體動(dòng)力學(xué)模型研究.典型的思路為通過試驗(yàn)的方法,采用位置傳感器、力矩傳感器等設(shè)備測(cè)量諧波減速器的運(yùn)動(dòng)誤差、非線性剛度和非線性摩擦,利用數(shù)學(xué)函數(shù)或模型對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差、非線性剛度和非線性摩擦進(jìn)行擬合,將擬合的結(jié)果代入到諧波減速器傳動(dòng)關(guān)系中,最終獲得諧波減速器整體動(dòng)力學(xué)模型表達(dá)式.

隨著諧波減速器動(dòng)力學(xué)特性和建模研究的深入,大量學(xué)術(shù)成果涌現(xiàn).相較于前期研究,呈現(xiàn)如下特點(diǎn):

1)試驗(yàn)手段多樣化.前期試驗(yàn)研究主要應(yīng)用位置傳感器、力矩傳感器等設(shè)備獲取諧波減速器整體運(yùn)動(dòng)信息.近年來,隨著高速相機(jī)、激光傳感器等設(shè)備在諧波減速器領(lǐng)域應(yīng)用,試驗(yàn)研究不僅可以獲取諧波減速器整體運(yùn)動(dòng)的“宏觀”信息,還可獲取諧波減速器運(yùn)動(dòng)時(shí),柔輪和剛輪嚙合的運(yùn)動(dòng)“微觀”信息.試驗(yàn)手段多樣化豐富了信息內(nèi)容,為從“微觀”機(jī)理上理解諧波減速器的動(dòng)力學(xué)特性提供了手段.

2)機(jī)理分析深入化.前期研究主要采用數(shù)學(xué)擬合的方式模擬諧波減速器的運(yùn)動(dòng)誤差、非線性剛度和非線性摩擦3種動(dòng)力學(xué)特性,未深入分析相關(guān)機(jī)理.近年來,諧波減速器運(yùn)動(dòng)誤差、非線性剛度和非線性摩擦3種動(dòng)力學(xué)特性研究深入機(jī)理層面.學(xué)者們從諧波減速器的裝配誤差、嚙合誤差和嚙合過程分析等方面開展機(jī)理分析,為諧波減速器動(dòng)力學(xué)特性和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)之間建立起紐帶,為后續(xù)諧波減速器設(shè)計(jì)優(yōu)化提供理論基礎(chǔ).

3)建模手段多元化.相較于前期研究,近幾年隨著人工智能等領(lǐng)域的發(fā)展,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法應(yīng)用于諧波減速器動(dòng)力學(xué)建模,豐富了諧波減速器的動(dòng)力學(xué)建模手段,簡(jiǎn)化了動(dòng)力學(xué)方程,為后續(xù)諧波減速器動(dòng)力學(xué)模型應(yīng)用開辟了道路.

本文從試驗(yàn)、機(jī)理和建模3個(gè)角度出發(fā),分別論述關(guān)于諧波減速器的運(yùn)動(dòng)誤差、剛度和摩擦3種動(dòng)力學(xué)特性的最新研究成果,并總結(jié)分析諧波減速器動(dòng)力學(xué)特性和建模研究所面臨的挑戰(zhàn)以及未來發(fā)展的方向,為后續(xù)諧波減速器動(dòng)力學(xué)特性與建模研究提供借鑒.

1 運(yùn)動(dòng)誤差試驗(yàn)、機(jī)理及建模研究

諧波減速器的運(yùn)動(dòng)誤差定義為輸出組件轉(zhuǎn)角的理論值和實(shí)際值之差.運(yùn)動(dòng)誤差由靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差組成.靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差又稱純運(yùn)動(dòng)誤差,受諧波減速器裝配、齒間隙等因素影響.動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差由柔輪彈性變形量和波發(fā)生器彈性變形量組成,柔輪彈性變形量取決于負(fù)載,波發(fā)生器彈性變形量取決于輸入轉(zhuǎn)矩和輸入轉(zhuǎn)速,因此動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差受諧波減速器工況影響.

近年來,諧波減速器運(yùn)動(dòng)誤差的研究?jī)?nèi)容主要集中在以下方面:1)開展空載和帶載試驗(yàn),研究負(fù)載和轉(zhuǎn)速對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差的影響,以及靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差的特性;2)深入分析靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差機(jī)理,研究影響靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差的主要因素;3)建立運(yùn)動(dòng)誤差模型.

1.1 運(yùn)動(dòng)誤差試驗(yàn)研究

運(yùn)動(dòng)誤差試驗(yàn)包括空載試驗(yàn)和帶載試驗(yàn).

(1)空載試驗(yàn)

侯昱輝等[13]以輸入轉(zhuǎn)速為自變量,運(yùn)動(dòng)誤差為應(yīng)變量,開展諧波減速器空載試驗(yàn).試驗(yàn)結(jié)果表明,在空載試驗(yàn)中,運(yùn)動(dòng)誤差幅值基本不變,對(duì)于不同輸入轉(zhuǎn)速,運(yùn)動(dòng)誤差表現(xiàn)出常值差異.究其原因,當(dāng)諧波減速器空載且輸入轉(zhuǎn)速恒定時(shí),運(yùn)動(dòng)誤差受靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差與動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差共同影響,由于諧波減速器裝配、加工狀態(tài)不變,靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差幅值不變,而輸入轉(zhuǎn)矩和輸入轉(zhuǎn)速保持恒定時(shí),柔輪彈性變形量為零,波發(fā)生器彈性變形量為常值,因此,不同輸入轉(zhuǎn)速工況下,動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差之間存在常值差異[14].

(2)帶載試驗(yàn)

當(dāng)諧波減速器帶載運(yùn)行時(shí),運(yùn)動(dòng)誤差由靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差疊加而成.不同轉(zhuǎn)速和負(fù)載工況下,運(yùn)動(dòng)誤差幅值特性發(fā)生變化.王梓熒、裴欣等[15-16]開展諧波減速器帶載運(yùn)行試驗(yàn),試驗(yàn)結(jié)果印證上述觀點(diǎn).

1.2 運(yùn)動(dòng)誤差機(jī)理分析

為進(jìn)一步探究靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差與裝配等因素之間,動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差與轉(zhuǎn)速、負(fù)載等因素之間的聯(lián)系, JIA等[17-18]分別針對(duì)靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差開展機(jī)理研究.

1.2.1 靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差機(jī)理

研究表明,靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差主要由裝配、齒切向綜合偏差和波發(fā)生器形狀引起:

1)裝配引起靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差分量的機(jī)理如圖1所示.理想狀態(tài)下,波發(fā)生器應(yīng)沿理想裝配平面裝配,此時(shí),剛?cè)彷嗇嘄X的嚙合點(diǎn)為p,而實(shí)際狀態(tài)下,波發(fā)生器組件裝配時(shí),實(shí)際裝配平面與理想裝配平面存在誤差,相較于理想裝配狀態(tài),柔輪嚙合齒與剛輪輪齒的嚙合點(diǎn)p將沿剛輪位移至點(diǎn)p′,產(chǎn)生靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差分量Δθmisalignment,當(dāng)嚙合點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)角為ψ,徑向位移量為δ,Δθmisalignment可表示為[17]

圖1 波發(fā)生器裝配誤差示意圖Fig.1 Assembly error of wave generator

δ=max[rQ-LW]|Q∈Iwg(θwgi)

(1)

(2)

(3)

式中:δ為波發(fā)生器裝配誤差作用下,柔輪與剛輪嚙合點(diǎn)p發(fā)生的徑向位移;Iwg(θwgi)為波發(fā)生器輸入角為θwgi時(shí),波發(fā)生器外形曲線在理想裝配平面上的投影曲線,投影曲線隨輸入角θwgi變化;ψ為波發(fā)生器裝配誤差作用下,柔輪嚙合齒沿剛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角度;Rcs為剛輪半徑;ke為柔輪形狀調(diào)整系數(shù).

隨著輸入角θwgi變化,Δθmisalignment呈現(xiàn)周期性變化,當(dāng)裝配方式不同時(shí),Δθmisalignment具有不同的幅值和頻譜,如圖2所示.

圖2 裝配引起靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差幅值和頻譜變化Fig.2 Variation in amplitude and spectrum of static error caused by assembly error

2)齒切向綜合偏差引起靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差分量Δθteeth.對(duì)于一般齒輪傳動(dòng)系統(tǒng),由于輪齒的加工誤差,傳動(dòng)過程中將出現(xiàn)單齒切向綜合偏差和齒切向綜合偏差.單齒切向綜合偏差的特點(diǎn)為頻率高、幅度小,難以用數(shù)學(xué)模型描述.齒切向綜合偏差的特點(diǎn)為頻率低、具有周期性,通常采用正弦函數(shù)描述.諧波減速器為多齒嚙合傳動(dòng),可忽略單齒切向綜合偏差的影響[19].

諧波減速器的齒切向綜合偏差引起的靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差分量Δθteeth分為兩部分:①剛輪輪齒切向綜合偏差Fics,可用式(4)表示;②柔輪輪齒切向綜合偏差Fifs,可用式(5)表示

Fics=acssin(θwgi+φcs)

(4)

(5)

式中,acs和afs為剛輪輪齒切向綜合偏差和柔輪輪齒切向綜合偏差幅值,θwgi為波發(fā)生器輸入角度,φcs和φfs為剛輪輪齒切向綜合偏差和柔輪輪齒切向綜合偏差相位,Zcs為剛輪輪齒數(shù),Zfs為柔輪輪齒數(shù).

波發(fā)生器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí),柔輪和剛輪輪齒切向綜合偏差共同作用,且波發(fā)生器的長(zhǎng)軸嚙合區(qū)相位相差πrad,因此,齒切向綜合偏差引起靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差分量Δθteeth可表示為

(6)

(7)

式中,ke為多齒嚙合調(diào)整系數(shù),lFS為柔輪周長(zhǎng).

諧波減速器齒切向綜合偏差引起靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差分量Δθteeth如圖3所示.從頻譜圖可知,柔輪和剛輪齒切向綜合偏差的頻率極為接近,且幅值近似相等,兩者疊加將導(dǎo)致靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差出現(xiàn)頻拍現(xiàn)象[18].

圖3 齒切向綜合偏差引起靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差幅值和頻譜變化Fig.3 Variation in amplitude and spectrum of static error caused by total tangential composite deviation

3)波發(fā)生器形狀引起的靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差分量Δθshape的原理如圖4所示.波發(fā)生器嵌入柔輪,迫使柔輪發(fā)生變形.由于柔輪周長(zhǎng)不變,lAB=lA′B′,因此柔輪在波發(fā)生器作用下將產(chǎn)生變形角Δθshape,在諧波減速器傳動(dòng)過程中,變形角Δθshape將疊加在輸出中,成為諧波減速器靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差的一部分[20].

圖4 波發(fā)生器形狀引起的靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差分量ΔθshapeFig.4 Static error caused by shape of wave generator

Δθshape的求解過程為:根據(jù)波發(fā)生器的形狀,建立柔輪變形后的極坐標(biāo)方程ρ(θ),根據(jù)lAB=lA′B′可得

(8)

式中,Rfs為柔輪未變形時(shí)的半徑,α為未變形的lAB所對(duì)應(yīng)角度,θ為變形后lA′B′所對(duì)應(yīng)角度.通過式(8)可求解θ,利用Δθshape=θ-α即可求解Δθshape.

GRAVAGNO等[20]對(duì)不同波發(fā)生器形狀引起的變形角Δθshape進(jìn)行研究.當(dāng)模數(shù)、剛?cè)彷嘄X數(shù)相同時(shí),橢圓等7種不同類型的波發(fā)生器形狀對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差的影響如圖5所示.從結(jié)果可知,不同類型的波發(fā)生器引起靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差分量Δθshape幅值和相位的差異.其中Resal型波發(fā)生器引起的靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差較Cycloidal型波發(fā)生器引起的靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差幅值小0.12°,相位差約為2°.

圖5 不同類型的波發(fā)生器形狀引起的靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差Fig.5 Different static error caused by different shapes of wave generator

1.2.2 動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差機(jī)理

動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差與諧波減速器剛度、負(fù)載和轉(zhuǎn)速等工況有關(guān).直接方法研究動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差與剛度、負(fù)載和轉(zhuǎn)速等因素之間的關(guān)系難度較大,可采用間接方法研究動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差的特性[18],思路為:首先建立靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差數(shù)學(xué)模型,然后將運(yùn)動(dòng)誤差和靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差作差,分離動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差,最后采用拉格朗日方程建立動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差數(shù)學(xué)模型,并利用切比雪夫多項(xiàng)式逼近的數(shù)值計(jì)算方法分析動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差與剛度、負(fù)載和轉(zhuǎn)速等工況之間的關(guān)系.采用間接方法建立動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差數(shù)學(xué)模型

(9)

(10)

求解上述模型(如圖6所示),結(jié)果表明動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差的基頻與靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差相同,且動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差中存在高頻分量.

圖6 動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差和靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差Fig.6 Dynamic kinematic error and static kinematic error

采用切比雪夫逼近的方法研究動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差幅值與剛度、阻尼、轉(zhuǎn)速和負(fù)載等工況系數(shù)的關(guān)系(如圖7所示),利用運(yùn)動(dòng)誤差幅值與工況系數(shù)的關(guān)系,可對(duì)不同工況下動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差幅值上下限進(jìn)行預(yù)測(cè).分析動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差對(duì)輸入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jin、一次項(xiàng)剛度系數(shù)k1、三次項(xiàng)剛度系數(shù)k2、波發(fā)生器阻尼系數(shù)Cin和剛?cè)彷嗇嘄X之間的阻尼系數(shù)Cfc5個(gè)變量的敏感性(如圖8所示),結(jié)果表明動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差對(duì)輸入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jin、一次項(xiàng)剛度系數(shù)k1最為敏感[18].

圖7 動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差幅值與工況系數(shù)的關(guān)系Fig.7 Relationship between dynamic kinematic error and working condition

圖8 動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差敏感性分析Fig.8 Sensitivity analysis of dynamic kinematic error

1.3 運(yùn)動(dòng)誤差建模研究

(1)頻譜建模法

頻譜建模法主要步驟為試驗(yàn)測(cè)試運(yùn)動(dòng)誤差,利用快速傅里葉變換提取運(yùn)動(dòng)誤差Δθerr相對(duì)于波發(fā)生器輸入角度θwgi、柔輪輸出角度θfso的頻譜特征,采用頻譜疊加的方法建立運(yùn)動(dòng)誤差Δθerr的數(shù)學(xué)模型.頻譜建模法建立運(yùn)動(dòng)誤差Δθerr的數(shù)學(xué)模型可用式(11)表示[21]

(11)

式中,i為運(yùn)動(dòng)誤差Δθerr的頻譜中相對(duì)波發(fā)生器輸入角度θwgi的頻率成分,Ai為對(duì)應(yīng)波發(fā)生器頻率成分的幅值,φi為對(duì)應(yīng)波發(fā)生器頻率成分的初始相角,j為運(yùn)動(dòng)誤差Δθerr的頻譜中相對(duì)柔輪輸出角度θfso的頻率成分,Aj為對(duì)應(yīng)柔輪頻率成分的幅值,φj為對(duì)應(yīng)柔輪頻率成分的初始相角.

(2)等效機(jī)構(gòu)建模法

DONG等[22]針對(duì)諧波減速器運(yùn)動(dòng)誤差建模問題提出等效機(jī)構(gòu)建模法.在建模過程中,將諧波減速器波發(fā)生器、柔輪和剛輪3部分等效為不同空間連桿機(jī)構(gòu),建立諧波減速器運(yùn)動(dòng)量,如波發(fā)生器輸入角度θwgi等,與空間連桿機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)之間的聯(lián)系,通過分析空間連桿機(jī)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系,間接建立諧波減速器運(yùn)動(dòng)誤差的數(shù)學(xué)模型.

1.4 運(yùn)動(dòng)誤差研究分析

近年來,國內(nèi)外學(xué)者將運(yùn)動(dòng)誤差分解為靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差,分別針對(duì)靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差開展試驗(yàn)研究和機(jī)理分析.

試驗(yàn)研究方面,開展了諧波減速器空載和帶載試驗(yàn),印證了運(yùn)動(dòng)誤差中靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差的存在性.

順著靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差的研究思路,國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了機(jī)理分析.對(duì)于靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差,采用直接法建立靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差與裝配、齒切向綜合偏差和波發(fā)生器形狀之間的聯(lián)系.采用間接法研究動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差與輸入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、輸出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、一次項(xiàng)剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)等工況系數(shù)之間的聯(lián)系.從多方面揭示了運(yùn)動(dòng)誤差的變化機(jī)理及影響因素.

在運(yùn)動(dòng)誤差的建模研究方面,目前有頻譜建模法和等效機(jī)構(gòu)建模法.

對(duì)比前期研究,最新研究存在以下方面的意義與局限性:

1)試驗(yàn)研究方面.前期試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn),諧波減速器的運(yùn)動(dòng)誤差與裝配和工況等因素密切相關(guān).最新試驗(yàn)研究對(duì)前期試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步驗(yàn)證.較前期試驗(yàn)研究進(jìn)步之處在于,試驗(yàn)研究的指導(dǎo)思想發(fā)生變化,將諧波減速器運(yùn)動(dòng)誤差進(jìn)一步分解為靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差兩部分,空載試驗(yàn)和帶載試驗(yàn)直接證明靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差分解的合理性,為后續(xù)靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差的解耦研究提供支撐.但是試驗(yàn)研究未與靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差機(jī)理分析進(jìn)一步緊密結(jié)合,開展系統(tǒng)性試驗(yàn),為機(jī)理分析提供更為詳實(shí)的原始數(shù)據(jù)記錄.

2)機(jī)理分析方面.前期對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差的機(jī)理研究開展較少,近年來,學(xué)者們對(duì)這一領(lǐng)域的內(nèi)容進(jìn)行了豐富的研究,尤其在靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差機(jī)理研究方面,取得了較為重要的研究成果,直接在數(shù)量關(guān)系層面揭示了靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差機(jī)理與裝配、齒切向綜合偏差和波發(fā)生器形狀因素之間的聯(lián)系.動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差機(jī)理研究方面也取得了一定進(jìn)展.相較于靜態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差機(jī)理研究,動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差機(jī)理研究整體仍處于初步分析階段,目前的機(jī)理分析實(shí)現(xiàn)了對(duì)不同工況下動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差幅值的預(yù)測(cè),但是剛度、慣量等因素對(duì)動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差的耦合影響分析需要進(jìn)一步完善.

3)建模研究方面.最新研究與前期研究既有繼承,又有創(chuàng)新.采用頻譜建模法是前期研究的繼承性方法,在單一工況下,該方法結(jié)合辨識(shí)算法能較好擬合運(yùn)動(dòng)誤差,實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差的建模.但諧波減速器工況發(fā)生變化,在動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差影響下,運(yùn)動(dòng)誤差頻譜的幅值將發(fā)生變化,頻譜法建模將產(chǎn)生偏差.創(chuàng)新方面,學(xué)者提出等效機(jī)構(gòu)建模法,建立空間連桿機(jī)構(gòu)與諧波減速器之間的聯(lián)系,通過分析連桿機(jī)構(gòu)的拓?fù)潢P(guān)系獲得諧波減速器運(yùn)動(dòng)誤差模型,該方法給出一種新的建模思路,模型對(duì)多工況下運(yùn)動(dòng)誤差的適應(yīng)性值得進(jìn)一步檢驗(yàn).

2 剛度試驗(yàn)、機(jī)理及建模研究

諧波減速器剛度分為靜剛度和動(dòng)剛度.靜剛度定義為諧波減速器承載力矩與相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之比,動(dòng)剛度定義為諧波減速器激振承載力矩與該激振承載力矩引起的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之比.

諧波減速器的動(dòng)剛度是一種綜合性參數(shù),與靜剛度、阻尼和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān).國內(nèi)外學(xué)者所研究的剛度一般為諧波減速器的靜剛度.

諧波減速器靜剛度具有兩個(gè)特點(diǎn):承載力矩與相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之間呈非線性函數(shù)關(guān)系和存在滯回.靜剛度的非線性特性主要由波發(fā)生器、柔輪兩種彈性元件的變形特性決定,其中柔輪的變形取決于柔輪輪齒變形和柔輪薄壁圓筒變形.滯回是一種能量逸散特性,主要由剛?cè)彷嗇嘄X的摩擦、波發(fā)生器變形阻尼損失等因素引起.

近年來,諧波減速器剛度的研究?jī)?nèi)容主要集中在以下方面:1)開展靜動(dòng)載荷、靜剛度退化以及柔輪變形等試驗(yàn);2)從“宏觀”層面分析波發(fā)生器、柔輪等剛度特性對(duì)諧波減速器整體剛度特性的影響,從“微觀”層面分析剛?cè)彷嗇嘄X之間的接觸剛度;3)建立剛度非線性和滯回特性的模型.

2.1 剛度試驗(yàn)研究

近年來,學(xué)者針對(duì)波發(fā)生器的剛度影響因素開展了試驗(yàn)研究,包括靜動(dòng)載荷影響試驗(yàn)、剛度退化試驗(yàn)以及柔輪變形試驗(yàn).

(1)靜動(dòng)載荷試驗(yàn)

在前期研究中,TUTTLE通過靜剛度曲線計(jì)算諧波減速器的剛度,并求解諧波減速器的自然頻率,而在諧波減速器帶載運(yùn)行試驗(yàn)中,諧波減速器自然頻率實(shí)際值與理論計(jì)算值存在差異,TUTTLE認(rèn)為諧波減速器自然頻率的變化是由諧波減速器帶載運(yùn)行時(shí)剛度發(fā)生變化引起的.在計(jì)算諧波減速器自然頻率時(shí),使用的剛度參數(shù)在靜載荷條件下測(cè)得,諧波減速器實(shí)際帶載運(yùn)行時(shí),受運(yùn)動(dòng)誤差影響,輸出端載荷為動(dòng)態(tài)載荷,諧波減速器剛度發(fā)生變化,進(jìn)一步引起自然頻率變化.譚晶等[23]通過試驗(yàn)比較了靜態(tài)載荷和動(dòng)態(tài)載荷作用下諧波減速器剛度,結(jié)果如表2所示.試驗(yàn)結(jié)果表明,動(dòng)態(tài)載荷下剛度低于靜態(tài)載荷下的剛度值,驗(yàn)證了TUTTLE的觀點(diǎn).

表2 諧波減速器靜動(dòng)態(tài)載荷下剛度Tab.2 Stiffness of harmonic drive under static load and dynamic load

(2)剛度退化試驗(yàn)

TANG等[24]將諧波減速器跑合100h,測(cè)量跑合前后諧波減速器剛度和滯回,結(jié)果如圖9所示.跑合100 h后,柔輪輪齒面、柔輪內(nèi)表面產(chǎn)生磨損,柔輪輪齒剛度降低,剛?cè)彷嗇嘄X間摩擦減小.最終,諧波減速器剛度受柔輪輪齒剛度影響降低,滯回因輪齒間摩擦減小而減小,非線性增加.

圖9 剛度退化Fig.9 Degrading of stiffness

(3)柔輪變形試驗(yàn)

柔輪彈性變形影響諧波減速器剛度,研究不同轉(zhuǎn)速、負(fù)載工況下柔輪變形,可明確轉(zhuǎn)速、負(fù)載工況因素對(duì)諧波減速器剛度的影響.MA、柴文杰等[25-26]觀察了柔輪在不同轉(zhuǎn)速下的變形情況,結(jié)果如圖10所示.試驗(yàn)結(jié)果表明,同一負(fù)載情況下,波發(fā)生器轉(zhuǎn)速升高時(shí),柔輪彈性變形減小,剛?cè)彷嗇嘄X嚙合深度降低,進(jìn)而影響諧波減速器的剛度.

圖10 不同轉(zhuǎn)速下柔輪變形情況Fig.10 Deformation of flexspline under different speed

2.2 剛度機(jī)理分析

剛度機(jī)理研究從“宏觀”和“微觀”兩方面開展.“宏觀”方面主要研究波發(fā)生器、柔輪部組件的剛度和摩擦等因素對(duì)諧波減速器整體剛度和滯回的影響.“微觀”方面主要研究剛?cè)彷嗇嘄X的接觸剛度.

(1)“宏觀”方面

TANG等[24]建立了波發(fā)生器剛度、柔輪剛度和摩擦等因素與諧波減速器整體剛度的聯(lián)系.TANG建立了波發(fā)生器、柔輪組件間相互作用的動(dòng)力學(xué)模型(如圖11所示),通過動(dòng)力學(xué)模型推導(dǎo)了諧波減速器整體剛度表達(dá)式,在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究輪齒摩擦、波發(fā)生器剛度和柔輪剛度變化時(shí),諧波減速器整體剛度的變化情況.

圖11 諧波減速器剛度機(jī)理模型Fig.11 Model of stiffness of harmonic drive

波發(fā)生器、柔輪組件間相互作用的動(dòng)力學(xué)模型為

TFS=KFΔθF

(12)

(13)

TFSsinα=KWΔθWcosα±
(TFScosα+KWΔθWsinα+T0)μ

(14)

Δθ=ΔθF+ΔθT+tanα·ΔθW

(15)

式中,TFS為柔輪輸出力矩,KF為柔輪圓筒剛度系數(shù),ΔθF為柔輪扭轉(zhuǎn)角,ΔθT為柔輪輪齒扭轉(zhuǎn)角,TT為分段線性函數(shù)轉(zhuǎn)折力矩,li(TFS)和li(TT)為不超過TFS和TT的最大整數(shù),a和b為常數(shù),α為輪齒齒角,KW為波發(fā)生器剛度系數(shù),ΔθW為波發(fā)生器扭轉(zhuǎn)角,T0為空載時(shí)輪齒預(yù)載荷,μ為剛?cè)彷喗佑|面摩擦系數(shù),Δθ為諧波減速器整體扭轉(zhuǎn)角度.

求解該模型,獲得諧波減速器剛度曲線的理論值,理論值與實(shí)際值吻合.通過改變參數(shù)a和b,該模型還描述諧波減速器剛度退化現(xiàn)象.利用該模型分析剛度隨輪齒摩擦系數(shù)、波發(fā)生器剛度和柔輪剛度參數(shù)的變化情況,結(jié)果表明,剛度對(duì)波發(fā)生器剛度最為敏感.

(2)“微觀”方面

ZHANG等[27]采用分形理論研究諧波減速器剛?cè)彷嗇嘄X的接觸剛度.剛?cè)彷嗇嘄X表面為粗糙面,接觸時(shí),剛?cè)彷嗇嘄X存在彈性變形,這一物理過程可用具有一定分布的彈性球形微凸體(spherical asperity)間的接觸刻畫,彈性球形微凸體的剛度可表征剛?cè)彷嗇嘄X的接觸剛度.利用分形理論,對(duì)彈性球形微凸體間的接觸過程進(jìn)行物理建模,進(jìn)而獲得剛?cè)彷嗇嘄X間的接觸剛度

(16)

(17)

(18)

根據(jù)上述理論結(jié)果,ZHANG等分析了剛?cè)彷嗇嘄X間接觸力F與接觸剛度Km之間的關(guān)系,結(jié)果表明,剛?cè)彷嗇嘄X之間的接觸剛度Km隨接觸力F增加而線性增加,如圖12所示.

圖12 接觸剛度與接觸力關(guān)系Fig.12 Relationship between contact stiffness and contact force

2.3 剛度建模研究

建立諧波減速器剛度模型時(shí)需綜合考慮非線性和滯回兩方面特性.前期研究中對(duì)剛度的非線性和滯回特性建模有兩種思路:

1)利用多項(xiàng)式函數(shù)對(duì)非線性特性進(jìn)行擬合,常見的剛度擬合函數(shù)為三次函數(shù),如式(19).將滯回這一能量逸散特性在摩擦模型中,通過靜摩擦項(xiàng)予以體現(xiàn),不在剛度模型中表示

T=k1θ+k2θ3

(19)

式中,T為柔輪承載力矩,k1為一次項(xiàng)剛度系數(shù),k2為三次項(xiàng)剛度系數(shù),θ為扭轉(zhuǎn)角.

2)采用Preisach、Maxwell模型原理建立剛度模型,綜合考慮諧波減速器剛度非線性和滯回兩方面特點(diǎn).

第一種思路將滯回特性排除在剛度模型之外,無法全面表征剛度,建模完備性不足,與實(shí)際動(dòng)力學(xué)行為之間存在較大差異.第二種思路建模結(jié)果復(fù)雜,需要大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí),難以取得廣泛應(yīng)用.

為提升剛度建模的完備性和簡(jiǎn)潔性,近年來,學(xué)者針對(duì)剛度建模問題提出兩種建模方法:①信息學(xué)建模方法,包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合建模法[28-29]、憶阻遲滯模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)混合建模法[30];②非線性遺傳特性綜合建模法[31-32].

(1)信息學(xué)建模法

信息學(xué)建模方法優(yōu)點(diǎn)在于模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔,便于工程應(yīng)用,在諧波減速器建模領(lǐng)域包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合建模法和憶阻遲滯特性模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)混合建模法.下文以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合建模法為例進(jìn)行說明.

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合建模法的基本步驟為:對(duì)承載力矩進(jìn)行類遲滯預(yù)處理,使處理后承載力矩與處理前承載力矩之間具備遲滯特性,建立類遲滯模型.此后,利用動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)類遲滯模型到諧波減速器剛度滯回特性的映射,并對(duì)非線性和滯回特性進(jìn)行幅值和相位補(bǔ)償,建立諧波減速器剛度模型,如圖13所示.

圖13 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合建模法Fig.13 Neural network hybrid model

(2)非線性遺傳特性綜合建模法

非線性遺傳特性綜合建模法主要思路是將剛度的非線性和滯回特性進(jìn)行分離,分開建模,利用三次多項(xiàng)式擬合非線性特性模型,利用遺傳積分的方法建立滯回特性模型,兩者疊加,得到諧波減速器系統(tǒng)剛度模型.模型可用(20)～(22)表示

(20)

Tg(θ)=k1θ+k2θ3

(21)

(22)

2.4 剛度研究分析

近年來,國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)剛度的影響因素開展試驗(yàn)研究,針對(duì)波發(fā)生器剛度、柔輪剛度與諧波減速器靜剛度之間的聯(lián)系開展機(jī)理分析.

試驗(yàn)研究方面,開展了靜動(dòng)態(tài)載荷試驗(yàn)、剛度退化試驗(yàn)和柔輪變形試驗(yàn).

機(jī)理上從“宏觀”和“微觀”兩個(gè)層面開展諧波減速器剛度的分析:

1)“宏觀”層面.諧波減速器剛度與波發(fā)生器剛度、柔輪剛度的聯(lián)系被揭開.

2)“微觀”層面.采用分形理論,深入研究剛?cè)彷嗇嘄X的接觸剛度,并探究了接觸力與接觸剛度的關(guān)系.

在剛度的建模研究方面,提出兩種建模方法:以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為代表的信息學(xué)建模法和非線性遺傳特性綜合建模法.

對(duì)比前期研究,最新研究存在以下方面的意義與局限性:

1)試驗(yàn)研究方面.對(duì)前期試驗(yàn)研究進(jìn)行驗(yàn)證與深入.如在前期試驗(yàn)研究中,學(xué)者提出剛度將受帶動(dòng)態(tài)載荷的影響而降低,最新的試驗(yàn)研究驗(yàn)證了該觀點(diǎn),受動(dòng)態(tài)載荷影響,諧波減速器剛度降低2/3.此外,近幾年圍繞剛度退化和柔輪變形進(jìn)行了試驗(yàn)研究,研究表明,剛度退化是由剛?cè)彷嗇嘄X退化引起,輪齒長(zhǎng)期跑合后,剛度和摩擦降低,導(dǎo)致諧波減速器整體剛度下降,滯回減小.柔輪變形則隨轉(zhuǎn)速升高而降低.不足之處在于圍繞剛度開展的研究試驗(yàn)在系統(tǒng)性方面有所欠缺.如在靜動(dòng)載荷試驗(yàn)中,剛度與不同形式動(dòng)載荷之間的關(guān)系未進(jìn)一步明確.柔輪變形試驗(yàn)中,柔輪變形隨轉(zhuǎn)速升高而減小,這一變化對(duì)整體剛度的影響未深入挖掘.

2)機(jī)理分析方面.前期研究主要特點(diǎn)為整體定性分析,從整體上研究剛度的非線性特性,往往采用數(shù)學(xué)擬合的方法研究剛度曲線的形狀.近年來,剛度機(jī)理分析從“宏觀”和“微觀”兩方面取得了重要成果,實(shí)現(xiàn)了整體定性分析向個(gè)體定量分析的轉(zhuǎn)變.“宏觀”層面,從波發(fā)生器、柔輪和剛輪相互作用機(jī)制出發(fā),學(xué)者揭示了諧波減速器整體剛度與波發(fā)生器剛度、柔輪剛度之間的數(shù)量關(guān)系.“微觀”層面,應(yīng)用分形理論,剛?cè)彷嗇嘄X接觸剛度的數(shù)學(xué)模型研究取得一定進(jìn)展.有待進(jìn)一步深入研究之處有兩點(diǎn):①“宏觀”層面上需考慮動(dòng)載荷、剛度退化等方面的機(jī)理研究,如動(dòng)載荷對(duì)波發(fā)生器、柔輪剛度的影響等;②“微觀”層面上需定量研究剛?cè)彷嗇嘄X接觸剛度對(duì)諧波減速器整體剛度的影響.

3)建模研究方面.前期研究的兩種建模思路:①只對(duì)剛度的非線性特性進(jìn)行擬合,不建立滯回特性模型,將滯回特性歸于靜摩擦項(xiàng)予以體現(xiàn);②采用Maxwell等復(fù)雜模型進(jìn)行剛度建模,模型較為復(fù)雜.最新研究采用信息學(xué)建模方法和非線性遺傳特性綜合建模法,模型的形式更為簡(jiǎn)潔,且模型完備性更為合理,有利于工程應(yīng)用.但是,信息學(xué)建模方法和非線性遺傳特性綜合建模法是基于現(xiàn)象的建模方法,諧波減速器的剛度被視為黑盒,而試驗(yàn)研究表明,剛度受到動(dòng)載荷、轉(zhuǎn)速等因素的影響,且長(zhǎng)時(shí)間跑合將出現(xiàn)退化現(xiàn)象.因此,信息學(xué)建模方法和非線性遺傳特性綜合建模法的實(shí)際應(yīng)用效果有待實(shí)踐檢驗(yàn).

3 摩擦試驗(yàn)、機(jī)理及建模研究

諧波減速器摩擦由兩部分組成:波發(fā)生器、柔輪和剛輪之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中的摩擦以及波發(fā)生器和柔輪彈性變形過程中的勢(shì)能耗散.諧波減速器組件之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的摩擦主要表現(xiàn)為接觸摩擦和粘滯摩擦,柔性組件變形勢(shì)能耗散主要表現(xiàn)為等效耗散摩擦.影響諧波減速器摩擦的因素主要有溫度、負(fù)載和轉(zhuǎn)速.前期研究表明,溫度影響摩擦系數(shù),直接影響摩擦.負(fù)載和轉(zhuǎn)速主要影響剛輪和柔輪輪齒之間的載荷,間接影響摩擦.

近年來,圍繞諧波減速器摩擦的研究?jī)?nèi)容主要集中在以下方面:1)開展溫度、負(fù)載和轉(zhuǎn)速等試驗(yàn),研究溫度、負(fù)載和轉(zhuǎn)速對(duì)摩擦的影響;2)研究摩擦機(jī)理,主要研究諧波減速器摩擦表現(xiàn)形式;3)考慮溫度、負(fù)載作用下的摩擦數(shù)學(xué)模型.

3.1 摩擦試驗(yàn)研究

摩擦試驗(yàn)主要分為兩部分:1)溫度試驗(yàn),主要驗(yàn)證溫度對(duì)接觸摩擦系數(shù)和粘滯摩擦系數(shù)的影響;2)負(fù)載轉(zhuǎn)速試驗(yàn),主要利用計(jì)算視覺的方法研究負(fù)載和轉(zhuǎn)速變化對(duì)諧波減速器剛?cè)彷嗇嘄X間摩擦的影響.

(1)溫度試驗(yàn)

ISKANDAR等[33-34]在諧波減速器運(yùn)行負(fù)載、轉(zhuǎn)速相同時(shí),改變環(huán)境溫度,得到諧波減速器接觸摩擦和粘滯摩擦系數(shù)的變化情況,如圖14所示.結(jié)果表明,隨著溫度升高,庫倫摩擦和粘滯摩擦形狀參數(shù)增加,Stribeck速度和粘滯摩擦系數(shù)降低.

圖14 摩擦系數(shù)、摩擦力矩與溫度關(guān)系圖Fig.14 The relationship between temperature and friction coefficient, friction torque

在上述參數(shù)的影響下,運(yùn)行負(fù)載和轉(zhuǎn)速相同時(shí),諧波減速器的摩擦隨溫度升高而降低.

(2)負(fù)載轉(zhuǎn)速試驗(yàn)

MA等[35]利用高速相機(jī)和計(jì)算視覺的方法,對(duì)諧波減速器在不同負(fù)載、轉(zhuǎn)速工況下的輪齒嚙合過程進(jìn)行研究.通過對(duì)輪齒的嚙合曲線進(jìn)行處理,計(jì)算得到不同負(fù)載、轉(zhuǎn)速下輪齒的嚙合速度,從速度曲線中觀測(cè)嚙合過程的摩擦效應(yīng).

試驗(yàn)結(jié)果表明,當(dāng)負(fù)載增加時(shí),輪齒嚙合過程中,在低速階段,嚙合位移出現(xiàn)粘滑現(xiàn)象,速度呈現(xiàn)“臺(tái)階”狀,隨著負(fù)載降低或轉(zhuǎn)速升高,粘滑和“臺(tái)階”現(xiàn)象消失.該現(xiàn)象是由不同負(fù)載和轉(zhuǎn)速下摩擦效應(yīng)的差異引起.

3.2 摩擦機(jī)理分析

諧波減速器的摩擦分為接觸摩擦、粘滯摩擦和等效耗散摩擦3部分[36-37].其中,接觸摩擦和粘滯摩擦由波發(fā)生器、柔輪和剛輪之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)引起.等效耗散摩擦由波發(fā)生器、柔輪變形過程中彈性勢(shì)能耗散引起.

接觸摩擦g和粘滯摩擦s可表示為

(23)

(24)

圖15 接觸摩擦與粘滯摩擦綜合作用下的摩擦力矩Fig.15 Friction torque considering contact friction and viscous friction

等效耗散摩擦e可表示為

(25)

式中,E為材料的彈性模量,βD為材料常數(shù),εA為單次應(yīng)變最大應(yīng)變幅.

3.3 摩擦建模研究

近年來,諧波減速器摩擦建模主要為機(jī)理建模,在機(jī)理分析的基礎(chǔ)上,考慮了兩方面問題[33]:1)采用LuGre模型改進(jìn)基于機(jī)理的摩擦模型,解決機(jī)理摩擦模型在轉(zhuǎn)速過零時(shí)不連續(xù)引起的計(jì)算問題;2)在模型中考慮溫度、負(fù)載對(duì)摩擦的影響.

LuGre模型表示諧波減速器摩擦Tf,如式(26)～(27)所示

(26)

(27)

式中,σ0為L(zhǎng)uGre模型的剛毛剛度(bristle stiffness),z為剛毛偏轉(zhuǎn)量,σ1為微阻尼系數(shù),s為粘滯摩擦,g為接觸摩擦.

考慮溫度、負(fù)載對(duì)摩擦的影響,采用多項(xiàng)式對(duì)接觸摩擦和粘滯摩擦的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行修正

(28)

(29)

(30)

(31)

式中,Fc為庫倫摩擦,vs為Stribeck速度,Fv為粘滯摩擦系數(shù),δv為粘滯摩擦的形狀系數(shù),ξ為環(huán)境溫度,τ為負(fù)載轉(zhuǎn)矩.

3.4 摩擦研究分析

近幾年內(nèi),國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)摩擦開展溫度試驗(yàn)和負(fù)載轉(zhuǎn)速試驗(yàn),針對(duì)接觸摩擦、粘滯摩擦和等效耗散摩擦開展機(jī)理分析.

試驗(yàn)研究方面,開展溫度試驗(yàn)、負(fù)載轉(zhuǎn)速試驗(yàn).溫度試驗(yàn)方面,主要探究溫度對(duì)接觸摩擦和粘滯摩擦系數(shù)的影響.負(fù)載轉(zhuǎn)速試驗(yàn)主要通過高速相機(jī)和計(jì)算視覺手段研究不同負(fù)載和轉(zhuǎn)速工況下,剛?cè)彷嗇嘄X嚙合過程中嚙合速度變化,進(jìn)而觀察嚙合過程中的摩擦行為.

國內(nèi)外學(xué)者從接觸摩擦、粘滯摩擦和等效耗散摩擦3方面開展諧波減速器摩擦的機(jī)理分析,基于摩擦機(jī)理分析,建立摩擦機(jī)理模型.在此基礎(chǔ)上,后續(xù)通過LuGre模型解決機(jī)理模型在轉(zhuǎn)速過零處不連續(xù)引起的計(jì)算問題,并在模型中考慮了溫度和負(fù)載的影響,建立溫度和負(fù)載對(duì)摩擦系數(shù)的修正關(guān)系.

對(duì)比前期研究,最新研究存在以下方面的意義與局限性:

1)試驗(yàn)研究方面.對(duì)前期試驗(yàn)研究進(jìn)行了重要補(bǔ)充.在前期試驗(yàn)研究中,學(xué)者往往關(guān)注摩擦機(jī)理,著重研究接觸摩擦和粘滯摩擦,對(duì)影響摩擦的因素如溫度等研究較少.最新研究開展溫度試驗(yàn)和負(fù)載轉(zhuǎn)速試驗(yàn),進(jìn)一步補(bǔ)充了摩擦試驗(yàn)方面的研究成果.在負(fù)載轉(zhuǎn)速試驗(yàn)中,通過剛?cè)彷嗇嘄X的嚙合速度的“臺(tái)階”現(xiàn)象,明確摩擦粘滑效應(yīng)的存在,但是該試驗(yàn)僅在低速工況下開展研究,摩擦在高速工況下的表現(xiàn)有待進(jìn)一步試驗(yàn).此外,前期研究中發(fā)現(xiàn)在諧波減速器諧振時(shí),摩擦將產(chǎn)生“跳躍現(xiàn)象”,最新研究對(duì)諧振發(fā)生時(shí)的摩擦效應(yīng)的“跳躍”機(jī)理研究較少.

2)機(jī)理分析方面.對(duì)比前期研究,學(xué)者開始關(guān)注由波發(fā)生器、柔輪組件在彈性變形過程中的彈性勢(shì)能耗散現(xiàn)象,將其作為等效耗散摩擦加以研究,對(duì)諧波減速器的摩擦機(jī)理進(jìn)行完善,在摩擦整體行為方面取得重要研究成果.后續(xù)可根據(jù)輪齒嚙合、波發(fā)生器柔輪和剛輪彈性球軸承之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)一步研究摩擦的局部行為.

3)建模研究方面.在前期機(jī)理模型的基礎(chǔ)上,建模時(shí)考慮和補(bǔ)充了溫度、負(fù)載對(duì)摩擦的影響,建模取得良好效果.但是建模過程中僅考慮接觸摩擦和粘滯摩擦,對(duì)于等效耗散摩擦考慮有所欠缺,后續(xù)可以進(jìn)一步改進(jìn).

4 挑戰(zhàn)與展望

4.1 面臨的挑戰(zhàn)

最新研究針對(duì)諧波減速器動(dòng)力學(xué)特性與建模研究在試驗(yàn)、機(jī)理和建模方面取得了長(zhǎng)足進(jìn)展.在試驗(yàn)方面,高速相機(jī)和激光傳感器的應(yīng)用,為研究諧波減速器嚙合運(yùn)動(dòng)過程提供了手段.在機(jī)理方面,研究深入考察了諧波減速器動(dòng)力學(xué)特性理論,研究了運(yùn)動(dòng)誤差、剛度和摩擦的影響因素.在建模方面,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等新方法的應(yīng)用,對(duì)建模進(jìn)行了簡(jiǎn)化,為后續(xù)模型的應(yīng)用提供了基礎(chǔ).

然而,研究領(lǐng)域內(nèi)總體上仍有3方面的挑戰(zhàn):

(1)靜態(tài)特性與動(dòng)態(tài)特性的不均衡.最新的研究以動(dòng)力學(xué)的靜態(tài)特性研究居多,動(dòng)態(tài)特性研究極少.

1)動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差機(jī)理研究.當(dāng)前階段,通過間接方法研究了動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差,利用切比雪夫多項(xiàng)式逼近的方法研究了負(fù)載、轉(zhuǎn)速等因素對(duì)動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差的影響,并成功預(yù)測(cè)了動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差在不同工況下的上下限.但是動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差的動(dòng)態(tài)特性、頻譜特性和機(jī)理方面的研究有待進(jìn)一步探究解決.

2)動(dòng)態(tài)載荷作用下剛度研究.研究表明,在諧波減速器運(yùn)行時(shí),動(dòng)態(tài)載荷作用下剛度會(huì)減小,但是減小的機(jī)制尚未清晰.

3)諧振時(shí)的摩擦表現(xiàn).根據(jù)前期研究成果,摩擦在諧波減速器諧振狀態(tài)下存在“跳躍”現(xiàn)象,該現(xiàn)象產(chǎn)生的原因及對(duì)諧波減速器運(yùn)行的影響需從試驗(yàn)、機(jī)理和模型3方面深入挖掘,補(bǔ)充這一問題的研究?jī)?nèi)容.

(2)局部動(dòng)力學(xué)特性與整體動(dòng)力學(xué)特性、各局部動(dòng)力學(xué)特性之間的關(guān)聯(lián)性欠缺.

1)最新研究主要分為兩種情況:①偏向于對(duì)單一局部特性開展研究,如運(yùn)動(dòng)誤差的研究,深入到裝配、輪齒層面,但是該局部特性對(duì)于整體動(dòng)力學(xué)特性的影響機(jī)理尚待進(jìn)一步完善;②偏向于對(duì)整體特性的把握,如摩擦的研究,在整體上獲得了諧波減速器的摩擦特性,但是具體到波發(fā)生器與柔輪之間、柔輪與剛輪之間的摩擦機(jī)理分析尚有探討的余地.

2)運(yùn)動(dòng)誤差、剛度和摩擦特性之間的耦合研究有待進(jìn)一步深入.如運(yùn)動(dòng)誤差導(dǎo)致諧波減速器轉(zhuǎn)速波動(dòng),當(dāng)波動(dòng)頻率與系統(tǒng)頻率相同時(shí),諧波減速器產(chǎn)生諧振,而系統(tǒng)頻率與剛度密切相關(guān),運(yùn)動(dòng)誤差與剛度耦合導(dǎo)致系統(tǒng)諧振的機(jī)制有待挖掘.此外,摩擦對(duì)剛度滯回特性的影響也需進(jìn)一步討論.

(3)理論與應(yīng)用的結(jié)合緊密性不夠.

1)當(dāng)前的建模理論傾向于對(duì)諧波減速器動(dòng)力學(xué)特性的復(fù)現(xiàn),而對(duì)控制器設(shè)計(jì)的指導(dǎo)意義有待進(jìn)一步提升;

2)當(dāng)前的建模理論無法定量研究諧波減速器諧振特性.

4.2 后續(xù)展望與建議

綜合3方面挑戰(zhàn)考慮,未來諧波減速器動(dòng)力學(xué)特性以及建模研究有望在動(dòng)態(tài)特性、整體與局部關(guān)系、理論與應(yīng)用3個(gè)方面取得進(jìn)一步發(fā)展:

1)動(dòng)態(tài)特性方面.針對(duì)動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差,可結(jié)合快速傅里葉分析等手段,提取動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差的頻譜特性,進(jìn)而明確動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差頻譜成分和負(fù)載等因素之間的關(guān)系,探究負(fù)載、轉(zhuǎn)速等因素對(duì)動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差的影響機(jī)理.針對(duì)剛度,可建立剛度的頻域模型,分析包含不同頻率成分的動(dòng)態(tài)載荷對(duì)剛度的影響,進(jìn)一步探究動(dòng)態(tài)載荷對(duì)剛度的作用機(jī)制.針對(duì)摩擦,可對(duì)諧波減速器的諧振狀態(tài)開展力學(xué)分析,求解諧波減速器諧振狀態(tài)下的摩擦力矩,明確諧波減速器摩擦在諧振狀態(tài)下的“跳躍”形式.

2)整體與局部關(guān)系方面.對(duì)諧波減速器波發(fā)生器與柔輪開展彈性動(dòng)力學(xué)研究,對(duì)剛輪與柔輪開展輪齒嚙合動(dòng)力學(xué)研究,將兩方面研究結(jié)合,揭示諧波減速器整體動(dòng)力學(xué)特性與局部動(dòng)力學(xué)特性的聯(lián)系,為運(yùn)動(dòng)誤差、剛度和摩擦之間的耦合作用機(jī)制的研究開辟道路.

3)理論與應(yīng)用方面.明確諧波減速器動(dòng)力學(xué)特性對(duì)控制系統(tǒng)的影響,尤其對(duì)控制系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的影響,為諧波減速器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).建模方面,可對(duì)諧波減速器諧振行為進(jìn)行力學(xué)研究,為后續(xù)諧振抑制指明道路.