徐傳芳,楊帆,張寧,李延帥

(大連交通大學(xué) 自動化與電氣工程學(xué)院,遼寧 大連 116028)

隨著自動化水平以及人們對舒適性、節(jié)能性等性能指標(biāo)要求的提高,列車自動駕駛已經(jīng)成為高速列車運行控制的必然發(fā)展趨勢。列車自動駕駛主要包括兩大環(huán)節(jié):目標(biāo)速度軌跡曲線的優(yōu)化計算和對目標(biāo)軌跡的跟蹤控制[1]。在計算得到目標(biāo)速度優(yōu)化軌跡曲線的前提下,列車運行控制過程中各項性能指標(biāo)能否實現(xiàn),在很大程度上就取決于列車速度跟蹤的效果。因此,設(shè)計有效的速度跟蹤控制器,適時調(diào)整牽引力/制動力,實現(xiàn)列車對目標(biāo)速度曲線的高品質(zhì)跟蹤,具有重要的理論學(xué)術(shù)意義和工程實用價值。

為了實現(xiàn)列車對目標(biāo)速度軌跡曲線的高精度跟蹤,國內(nèi)外諸多學(xué)者進行了深入研究并提出了各種不同的速度跟蹤策略[2-6]。然而,這些速度跟蹤策略的設(shè)計大都基于列車模型參數(shù)部分或全部已知的假設(shè),即所設(shè)計的跟蹤控制器依賴部分或全部列車模型參數(shù)信息。實際上,高速列車在運行中不可避免地會受到若干不確定性因素的影響,比如,旅客的上下車以及所攜帶行李的變化、天氣環(huán)境以及線路條件的變化等。這些因素的影響使得列車模型參數(shù)很難事先確定,從而導(dǎo)致部分或全部依賴模型參數(shù)的控制策略具有一定的局限性,在實際運行中,跟蹤效果也會大打折扣。為此,許多學(xué)者在采用自適應(yīng)控制技術(shù)估計模型參數(shù)的基礎(chǔ)上,設(shè)計了不需要事先知道模型參數(shù)信息的列車軌跡跟蹤控制策略[7-9]。Mao等[7]設(shè)計了相應(yīng)的參數(shù)自適應(yīng)更新律在線估計列車質(zhì)量、基本阻力系數(shù)、曲線中心角和坡道坡度,提出了能夠?qū)崿F(xiàn)高速列車執(zhí)行器故障補償?shù)乃俣雀櫩刂撇呗?。Yao等[8]在引入自適應(yīng)更新律在線估計列車質(zhì)量和基本阻力系數(shù)的基礎(chǔ)上,提出了基于魯棒自適應(yīng)非奇異終端滑模的列車自動駕駛速度跟蹤控制策略;徐傳芳[9]提出了執(zhí)行器故障下基于自適應(yīng)技術(shù)的高速列車速度跟蹤控制策略,設(shè)計了列車質(zhì)量、基本阻力系數(shù)等模型參數(shù)的自適應(yīng)更新律,實現(xiàn)了列車對目標(biāo)速度和位移的精確跟蹤。然而值得注意的是,這些文獻所設(shè)計的模型參數(shù)自適應(yīng)更新律均為純積分形式,當(dāng)存在外界擾動時,會引起參數(shù)漂移從而可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定;而且Mao等[7]和徐傳芳[9]在控制器設(shè)計過程并未考慮模型參數(shù)的時變性,然而在實際運行中,列車模型質(zhì)量和基本阻力系數(shù)等模型參數(shù)不但難以確定,而且也會隨著乘客的上下車、列車運行環(huán)境的變化等因素而時變[10]。

基于以上分析,本文考慮列車模型參數(shù)和外界阻力的未知時變不確定性,結(jié)合魯棒控制技術(shù)和帶σ修正的自適應(yīng)控制技術(shù),設(shè)計了高速列車對目標(biāo)軌跡的跟蹤控制算法,最后對算法的穩(wěn)定性進行了理論證明,對算法的有效性進行了數(shù)值仿真驗證。

1 列車運行過程動力學(xué)模型

跟列車多質(zhì)點動力學(xué)模型相比,單質(zhì)點模型更加側(cè)重于列車整體運行狀態(tài)的描述,常被用來研究列車的速度跟蹤控制問題[11]?；谂ｎD第二定律,考慮列車質(zhì)量和基本阻力系數(shù)等模型參數(shù)時變性的單質(zhì)點列車運行過程動態(tài)特性可描述為[10]:

(1)

(2)

假設(shè)1:附加阻力Fw有上界,上界未知,大于零。

假設(shè)2:|P|≤T0+T1|v|+T2|v|2,其中T0、T1和T2均大于零,未知。該假設(shè)的合理性可參考文獻[10]和[13]等,本文不再贅述。

2 控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析

首先給出后文設(shè)計控制算法與證明算法穩(wěn)定性時用到的幾個重要引理。

引理1[14]對任意X∈R,Y∈R,如下不等式成立:

(3)

引理2[15]對于變量e∈R和任意常數(shù)ε>0,雙曲正切函數(shù)滿足如下不等式:

(4)

引理3[16]對于連續(xù)函數(shù)V(t)(V(t)≥0),在其初始值V(0)有界的情況下,若同時滿足如下不等式:

(5)

式中:如C和D均為大于零的常數(shù),則V(t)有界。

控制目標(biāo):針對考慮列車質(zhì)量和基本阻力系數(shù)未知時變并附加阻力的高速列車,基于魯棒自適應(yīng)控制技術(shù)設(shè)計列車速度跟蹤控制器,實時調(diào)整列車的牽引力/制動力,實現(xiàn)不依賴模型參數(shù)和附加阻力具體信息下列車對目標(biāo)軌跡曲線的精確跟蹤。

2.1 魯棒自適應(yīng)速度跟蹤控制器設(shè)計

為了使得所設(shè)計的控制器結(jié)構(gòu)更加簡單,定義濾波變量s為:

s=e2+αe1

(6)

式中:α>0。在式(6)兩邊同乘以m,并求s對時間的導(dǎo)數(shù),可得:

(7)

采用魯棒自適應(yīng)控制技術(shù),本文設(shè)計了不依賴時變模型參數(shù)和難以確定附加阻力先驗信息的列車軌跡跟蹤控制算法:

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式中:lm、b0、b1、b2、l0、l1、l2為自適應(yīng)律系數(shù);σm、c0、c1、c2、q0、q1、q2為修正系數(shù),這些系數(shù)的值均大于零。

2.2 穩(wěn)定性分析

將2.1所提出的魯棒自適應(yīng)速度跟蹤控制策略總結(jié)為定理1。

定理1對式(1)和(2)所描述的高速列車運行過程動力學(xué)模型,選擇Lyapunov函數(shù):

(17)

證明:求V對時間的導(dǎo)數(shù),并將式(8)代入其中,可得:

(18)

(19)

(20)

將式(10)～式(13)代入式(19),可得:

(21)

由引理1可知,如下不等式成立:

(22)

(23)

將式(22)和式(23)代入式(21)有:

(24)

結(jié)合假設(shè)2,并將式(14)～式(16)代入式(20),可得到如下不等式:

(25)

(26)

結(jié)合引理1并將式(26)代入式(25),有:

(27)

將式(24)和式(27)代入式(18),可得:

(28)

(29)

結(jié)合式(29)的解進一步可知:

(30)

所以V(t)是最終有界的,高速列車閉環(huán)系統(tǒng)的速度跟蹤誤差e1和位移跟蹤誤差e2均半全局一致最終有界。

(31)

(32)

因此,當(dāng)t→∞時,如下不等式成立

(33)

由式(31)和式(33)易知,當(dāng)t→∞時e2滿足:

(34)

根據(jù)上述分析可知,高速列車的跟蹤誤差e1和e2均半全局一致最終有界。

同時,由式(33)和式(34)可知,通過選擇合適的控制器參數(shù),比如固定σm、c0、c1、c2、q0、q1、q2,增加lm、b0、b1、b2、l0、l1、l2,使得α0盡可能地大,則可得到任意小的高速列車跟蹤誤差。

3 仿真驗證與分析

為了驗證所提算法在列車跟蹤運行控制過程中的有效性,本文搭建了系統(tǒng)的仿真模型并進行了仿真研究。設(shè)置仿真中所用列車模型參數(shù)的信息如下[8,10]:列車模型參數(shù)標(biāo)稱值m=500×103kg;a0=5 880 N;a1=388 N·s·m-1;a2=8 N·s2·m-2。列車模型參數(shù)不確定性為:Δm=1 000×rand;Δa0=200×rand;Δa1=30×rand;Δa2=0.2×rand;其中rand是隨機產(chǎn)生0～1之間的值。g=9.8 N/kg。仿真中的列車運行附加阻力設(shè)置如下:

(38)

式中:o(·)=1 500 sin(0.02vt),為其他阻力;仿真時附加阻力中所包含參數(shù)le=1 000 m;ls=200 m;αs=2π/3;θ=π/1800。

仿真中列車運行所跟蹤的目標(biāo)速度曲線和位移軌跡曲線見圖1。列車運行時間為1 500 s,運行距離為62.65 km,運行最高速度為69.5 m/s(約250 km/h),運行過程包含有列車加速、巡航和減速等運行狀態(tài)。

(a) 目標(biāo)速度

(b) 目標(biāo)位移圖1 列車目標(biāo)速度和位移軌跡曲線

本文基于上述模型參數(shù)和控制器參數(shù)進行了仿真,仿真結(jié)果見圖2和圖3。圖2為列車對目標(biāo)速度和位移軌跡曲線的跟蹤誤差(圖中小圖為跟蹤誤差的局部放大圖),圖3為列車的控制輸入力。可以看出,盡管受到模型參數(shù)時變,附加阻力等不確定性因素的影響,列車在整個運行過程都能通過及時調(diào)整牽引力/制動力的大小,及時抵御這些系統(tǒng)不確定性因素的影響,暫態(tài)時的誤差波動小,穩(wěn)態(tài)時的跟蹤誤差小,實現(xiàn)了列車對目標(biāo)曲線的高品質(zhì)跟蹤。

(a) 速度跟蹤誤差

(b) 位移跟蹤誤差圖2 列車跟蹤誤差

圖3 列車控制輸入力

為了驗證所提出魯棒自適應(yīng)速度跟蹤控制算法對模型參數(shù)和附加阻力等不確定性因素的抵御能力,保持控制器參數(shù)設(shè)置不變,對模型參數(shù)不確定性和附加阻力增大時的情況進行了仿真。設(shè)置模型參數(shù)不確定性和其他阻力均增加為原來的2倍,坡度角增加為原來的1.2倍,此時的列車跟蹤誤差和控制輸入力仿真結(jié)果見圖4和圖5。可以看出,列車仍然能夠及時地調(diào)整牽引力/制動力,實現(xiàn)對目標(biāo)軌跡曲線的良好跟蹤,表明所設(shè)計的控制算法在抵御模型參數(shù)時變以及附加阻力等不確定性因素方面,具有很強的魯棒性。

(a) 速度跟蹤誤差

(b) 位移跟蹤誤差圖4 模型參數(shù)不確定性和附加阻力增大時的列車跟蹤誤差

圖5 模型參數(shù)不確定性和附加阻力增大時的列車控制輸入力

4 結(jié)論

本文基于考慮模型參數(shù)時變不確定和附加阻力等影響的列車運行過程動力學(xué)模型,探究了高速列車運行中對目標(biāo)軌跡曲線的跟蹤控制問題。在基于σ修正自適應(yīng)控制技術(shù)設(shè)計列車模型參數(shù)標(biāo)稱值及系統(tǒng)集總不確定性上界參數(shù)更新律的基礎(chǔ)上,引入一個魯棒項補償系統(tǒng)的集總不確定性,進而設(shè)計了高速列車的魯棒自適應(yīng)速度跟蹤控制算法。所設(shè)計的控制算法不需要事先知道模型參數(shù)和附加阻力的具體信息。由理論分析可知,若選擇的控制器參數(shù)滿足一定條件且合理,本文所提出的跟蹤控制算法可以實現(xiàn)穩(wěn)態(tài)時速度跟蹤誤差和位移跟蹤誤差任意小。仿真結(jié)果表明,該控制算法實現(xiàn)了高速列車對目標(biāo)軌跡曲線的良好跟蹤,且對模型參數(shù)不確定性和附加阻力具有很強的魯棒性。