基于廣義諧振理論的輸電線路無源干擾諧振頻率求解

漆 照，劉傳彬，李丹丹，沈 浩，馬國慶

（1.山東中實(shí)易通集團(tuán)有限公司，山東 濟(jì)南，250003；2.國網(wǎng)山東省電力公司電力科學(xué)研究院，山東 濟(jì)南，250003；3.國網(wǎng)山東省電力公司，山東 濟(jì)南，250000）

0 引言

在國家新基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的背景下，輸電線路對周邊無線電臺站的無源干擾現(xiàn)象越來越嚴(yán)重［1-2］。根據(jù)現(xiàn)有研究成果，獲取干擾諧振頻率，從而制定防護(hù)距離是解決輸電線路無源干擾的關(guān)鍵［3-5］。然而，由于環(huán)境和特高壓輸電線路路徑的復(fù)雜性，加之無線電臺站允許的干擾水平不一致，很難通過實(shí)驗(yàn)方法確定諧振頻率。

輸電線路無源干擾問題主要研究模型為電場積分方程［6-7］，由于電場積分方程涉及大量積分運(yùn)算，主要采用矩量法［8-10］對其進(jìn)行離散求解。1996年，IEEE 在Trueman C.W.和Tilston M.A.等人［11-12］的研究基礎(chǔ)上，根據(jù)天線理論［13］，提出中波頻段（0.535～1.705 MHz）輸電線路無源干擾水平極值的預(yù)測方法，即“整數(shù)倍波長回路諧振頻率”和“四分之一波長諧振頻率”，上述方法忽略了鐵塔的細(xì)節(jié)，僅以細(xì)導(dǎo)線代替鐵塔整體。當(dāng)頻率超過1.7 MHz 時，根據(jù)文獻(xiàn)［3，14］研究結(jié)論，鐵塔的角鋼、輔材都將影響輸電線路在外界激勵下的電磁散射，即鐵塔細(xì)節(jié)變得不可忽略。因此，IEEE 明確指出其方法僅適用于1.7 MHz 以下頻率的無源干擾諧振頻率預(yù)測。文獻(xiàn)［15］基于矩量法研究輸電線路的無源干擾，證實(shí)在1.7 MHz 以上仍然存在明顯的干擾諧振現(xiàn)象。然而，由于缺乏相應(yīng)的理論，針對1.7 MHz 無源干擾諧振問題，截至當(dāng)前，仍只能依靠矩量法進(jìn)行掃頻計(jì)算，從而獲得觀測點(diǎn)處的無源干擾極值。采用矩量法掃頻計(jì)算確定干擾極值時，必須改變計(jì)算條件多次進(jìn)行計(jì)算，從而造成計(jì)算量過大等問題。

針對上述問題，采用系統(tǒng)函數(shù)的思想，研究輸電線路與無線電臺站構(gòu)成系統(tǒng)整體的電磁散射特性，從而將研究多天線系統(tǒng)的廣義諧振理論［16-17］引入大尺寸的輸電線路無源干擾研究中。通過少量頻點(diǎn)的散射場強(qiáng)信息即可構(gòu)建出系統(tǒng)整體的系統(tǒng)函數(shù)，并求解輸電線路無源干擾的諧振頻率。

1 輸電線路無源干擾產(chǎn)生機(jī)理及其諧振頻率求解方法

1.1 輸電線路無源干擾產(chǎn)生機(jī)理

廣域空間下的輸電線路輸電距離長達(dá)幾十到幾百千米不等，在某些情況下，將不可避免地穿越各類無線電臺站信號所覆蓋的區(qū)域。此時，無線電臺站發(fā)射的入射電磁波與輸電線路金屬結(jié)構(gòu)中的帶電粒子相互作用，從而在輸電線路表面產(chǎn)生與入射電磁波同頻的感應(yīng)電流，使輸電線路被動地向附近空間輻射電磁波。該輻射電磁波與原入射電磁波疊加，改變原入射波的幅值和相位，對無線電臺站的信號發(fā)射或接收產(chǎn)生干擾，即無源干擾。輸電線路對無線電臺站無源干擾如圖1 所示。

圖1 輸電線路對無線電臺站無源干擾Fig.1 Schematic diagram of passive interference from power transmission lines to radio stations

1.2 現(xiàn)有的諧振頻率求解方法

輸電線路無源干擾計(jì)算主要采用矩量法。計(jì)算輸電線路無源干擾的簡化模型如圖2 所示。圖中有2 個坐標(biāo)系，即直角坐標(biāo)系(x,y,z) 和球坐標(biāo)系(r,θ,φ)，電磁波Ei以入射角(θi,φi)照射到輸電線路上；Es為觀測點(diǎn)P處的散射場強(qiáng)。為獲取輸電線路表面的感應(yīng)電流，而后獲取任意觀測點(diǎn)的散射場強(qiáng)，須建立聯(lián)系輸電線路表面感應(yīng)電流和入射場強(qiáng)之間的電場積分方程。

圖2 輸電線路無源干擾求解模型Fig.2 Passive interference solution model for power transmission lines

根據(jù)電磁場的基本理論，空間任意一點(diǎn)的散射場強(qiáng)可表示為

式中：ω為入射電磁波角頻率；μ為磁導(dǎo)率；k=為自由空間的波數(shù)，其中，ε 為自由空間的介電常數(shù)；?為哈密頓算子；為格林函數(shù)，其中，r'和r分別為源點(diǎn)和場點(diǎn)所在的位置；(r')為感應(yīng)電流；Sd為輸電線路表面積分域。

由理想金屬導(dǎo)體表面切向電場為0 的邊界條件，可得

式中：“tan”表示取切向分量。

將式（1）代入式（2）可得

式（3）即為聯(lián)系輸電線路表面感應(yīng)電流與入射電場的電場積分方程，由于式（3）涉及大量積分運(yùn)算，感應(yīng)電流(r')的求解過程困難。一般采用矩量法，將輸電線路劃分為若干單元，即對感應(yīng)電流作離散處理，從而將式（3）的積分方程轉(zhuǎn)化為矩陣方程。根據(jù)每個剖分單元的感應(yīng)電流在觀測點(diǎn)處散射場強(qiáng)的疊加，即可獲取任意位置的散射場強(qiáng)Es(r)。

求解干擾極值的過程中，在無線電臺站工作頻段內(nèi)，通常先選定若干固定的θi值，而后在［0°，360°］等間隔改變φi取值，從而改變Ei的入射方向，以獲取圖2 中觀測點(diǎn)P處散射場強(qiáng)Es(r)的最大值。顯然，此方法為離散化求解，需要進(jìn)行大量的掃頻計(jì)算。當(dāng)入射電磁波頻率更高或線路結(jié)構(gòu)更復(fù)雜時，消耗的計(jì)算資源更多，甚至出現(xiàn)無法求解的情況，且該方法只停留在定性分析無源干擾水平階段。

2 基于廣義諧振的輸電線路無源干擾諧振頻率求解

2.1 輸電線路無源干擾的廣義諧振頻率及Q值

文獻(xiàn)［16-17］在對飛機(jī)、船舶等電大尺寸散射體進(jìn)行研究時，發(fā)現(xiàn)在某些特定頻率下，存在目標(biāo)散射體的電磁散射突然增強(qiáng)的現(xiàn)象，將其定義為廣義諧振；從傳輸線理論、廣義諧振腔理論等方面對其進(jìn)行深入研究，推導(dǎo)出廣義Foster 定理［18］與廣義諧振條件的計(jì)算公式。該理論針對的是以線天線為對象的多天線系統(tǒng)在近場區(qū)的諧振現(xiàn)象，但可將其理論方法和相關(guān)結(jié)論發(fā)展到同樣處于開放空間的輸電線路無源干擾諧振頻率研究中。

由坡印廷定理可知，對于任意封閉曲面S所包圍的空間體積為V的電磁系統(tǒng)，假設(shè)其外法線單位向量為，可得系統(tǒng)的復(fù)功率平衡表達(dá)式為

式中：σ為電導(dǎo)率，為空間函數(shù)；α為衰減因子；E為遠(yuǎn)場區(qū)的電場場強(qiáng)；E*為遠(yuǎn)場區(qū)電場場強(qiáng)的共軛；H為遠(yuǎn)場區(qū)的磁場場強(qiáng)；H*為遠(yuǎn)場區(qū)磁場場強(qiáng)的共軛。

考慮輸電線路和無線電臺站組成的電磁開放系統(tǒng)如圖3 所示。圖3 中，Sp為第p個天線覆蓋區(qū)域的表面積，vp為第p個天線覆蓋區(qū)域表面所包圍的區(qū)域，N為天線總個數(shù)，v'為輸電線路表面Sd所包圍的區(qū)域。

假設(shè)輸電線路和無線電臺站構(gòu)成封閉曲面Se，曲面Se包含的空間體積為Ve，如圖3 所示。在無源區(qū)（Sd區(qū)），采用坡印廷定理有如下表達(dá)式：

在空間無窮遠(yuǎn)處，即Ve=V∞時，坡印廷矢量虛部為零，則從電磁能量的角度可以認(rèn)為式（4）和式（5）具有相同的物理含義。因此，可將輸電線路金屬陣列、無線電臺站視為統(tǒng)一整體，引入系統(tǒng)函數(shù)的概念，從而應(yīng)用系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)來預(yù)測系統(tǒng)的諧振頻率。當(dāng)系統(tǒng)諧振時，式（5）中等式右邊最后一項(xiàng)為零。

輸電線路構(gòu)成的金屬陣列，可以看作有耗的電磁系統(tǒng)，設(shè)其損耗為Ploss，根據(jù)復(fù)頻率理論，引入復(fù)頻率=ω0(1+jδ)，其中，ω0為系統(tǒng)的諧振頻率，δ為損耗因子，根據(jù)系統(tǒng)中能量的衰減特征，其損耗為

式中：W為t時刻系統(tǒng)諧振時存儲的平均能量。

諧振系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)Q值為

可得

通過以上推導(dǎo)，能夠?qū)⑤旊娋€路無源干擾諧振頻率與Q值一一對應(yīng)起來。根據(jù)文獻(xiàn)［16］中的結(jié)論，當(dāng)諧振頻率所對應(yīng)得Q值足夠大時，輸電線路無源干擾才表現(xiàn)出較強(qiáng)的諧振，即干擾水平較高，可據(jù)此篩選掉不明顯的諧振極點(diǎn)。

2.2 輸電線路無源干擾的系統(tǒng)函數(shù)及諧振頻率求解

上文中，基于廣義諧振理論，引入輸電線路無源干擾系統(tǒng)函數(shù)的概念。假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為E(s)，并在復(fù)頻域中展開。

式中：O(s)、I(s)分別為系統(tǒng)函數(shù)在復(fù)頻域?qū)?yīng)的輸入與輸出；E(s)為觀測點(diǎn)處的散射場強(qiáng)的復(fù)數(shù)表示形式，即E(s)=| |Es(r) ejφ(r)，其中，φ(r)為Es(r)對應(yīng)的相位；a0、a1、a2、…am和b0、b1、b2、…bn分別為將系統(tǒng)函數(shù)在復(fù)頻域用Padé 有理函數(shù)展開后分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)；s=jωˉ為復(fù)頻率；m和n分別為系統(tǒng)函數(shù)E(s)分子分母的最高次項(xiàng)，決定待求系數(shù)a、b數(shù)量。上述系數(shù)可由模型參數(shù)估計(jì)［19-20］插值計(jì)算方法獲得。在MATLAB 中采用roots 函數(shù)直接求解系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式的根，即為系統(tǒng)函數(shù)對應(yīng)的極點(diǎn)。其中穩(wěn)定的極點(diǎn)（在復(fù)頻域左半部分的極點(diǎn)）對應(yīng)于輸電線路可能的無源干擾諧振頻率。

2.3 算例分析

2.3.1 廣播天線激勵下的無源干擾

基于IEEE 提供的0.535～1.705 MHz 頻段廣播天線激勵的9 基鐵塔輸電線路的無源干擾模型，本文在電磁仿真軟件FEKO 中建立考慮鐵塔細(xì)節(jié)的仿真模型，如圖4 所示。其中，輸電線路鐵塔高為50.9 m，檔距為274 m。

圖4 輸電線路無源干擾仿真模型Fig.4 Simulation model of passive interference for power transmission lines

廣播天線高為195 m，距離輸電線路中心448 m。天線饋電電壓為1 V，位于地面上。仿真頻率范圍為［0.53 MHz，3.20 MHz］，采樣點(diǎn)間隔為0.12 MHz，共有采樣點(diǎn)23 個。采用矩量法計(jì)算觀測點(diǎn)P（0，2 000 m，0）處的場強(qiáng)信息。

根據(jù)采樣點(diǎn)的場強(qiáng)信息，包括場強(qiáng)幅值和相位，通過模型參數(shù)估計(jì)插值方法計(jì)算式（9）中的系數(shù)a0、a1、a2…、am和b0、b1、b2…、bn，從而獲取系統(tǒng)函數(shù)，并計(jì)算其極點(diǎn)。根據(jù)廣義諧振理論獲取諧振頻率及Q值。在初步移除不穩(wěn)定極點(diǎn)后，相關(guān)參數(shù)如表1 所示。

表1 無源干擾諧振頻率計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculation results of passive interference under different resonance frequencies

根據(jù)廣義諧振理論，只有當(dāng)Q值足夠大時，才有較強(qiáng)的諧振特性。因此，可以確定頻率為1.131 MHz、1.917 MHz、2.687 MHz，即第3 個、第6 個和第9 個極點(diǎn)對應(yīng)輸電線路的無源干擾諧振頻率，如表1 中的“*”所示。

為驗(yàn)證方法的準(zhǔn)確性，將本文方法的預(yù)測結(jié)果與IEEE 模型的預(yù)測值進(jìn)行比較。在考慮地線的情況下，IEEE 諧振頻率為［11］

式中：c為光速；h為塔高；d為檔距；M為正整數(shù)。

在0.535～1.7 MHz 頻段內(nèi)，根據(jù)式（10）計(jì)算的諧振頻率為0.431 MHz、0.862 MHz、1.293 MHz。與表1 中本文方法預(yù)測的諧振頻率對比，可以發(fā)現(xiàn)，在1.7 MHz 以下，本文方法僅在1.131 MHz 時出現(xiàn)干擾諧振，且與IEEE 的預(yù)測結(jié)果有一定偏差。這可歸因于仿真中采用了更精細(xì)的模型，并從能量角度消除了不明顯的諧振點(diǎn)（即忽略了0.606 MHz 與0.902 MHz 的諧振頻率）。

在0.535～3.2 MHz 頻帶內(nèi)，本文方法預(yù)測的結(jié)果與矩量法掃頻計(jì)算結(jié)果如圖5 所示。顯然，兩者的結(jié)果一致，第2 個干擾峰值處的最大偏差約為3%。

圖5 廣播天線激勵下散射場強(qiáng)Fig.5 Scattering field strength excited by broadcast antenna

為了分析采樣點(diǎn)對預(yù)測結(jié)果的影響，選擇17 個采樣點(diǎn)，即采樣間隔為0.15 MHz，預(yù)測無源干擾諧振頻率，相關(guān)參數(shù)如表2 所示。

表2 無源干擾諧振頻率計(jì)算結(jié)果Table 2 Calculation results of passive interference under different resonance frequencies 單位：MHz

與表1 中的計(jì)算結(jié)果相比，可以發(fā)現(xiàn)采樣點(diǎn)的變化導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果有一定偏差，但可以保證系統(tǒng)的真實(shí)諧振頻率不變。因此，通過適當(dāng)選擇采樣點(diǎn)，可以較準(zhǔn)確地獲得無源干擾的諧振頻率。

為了更直觀地展示輸電線路在廣播天線照射下的近場分布情況，繪制3 個諧振頻率下的輸電線路近場云圖如圖6 所示，繪制3 個非諧振頻率下的輸電線路近場云圖如圖7 所示。

圖6 諧振頻率下的輸電線路近場云圖Fig.6 Near-field nephogram of power transmission lines at resonance frequency

圖7 非諧振頻率下的輸電線路近場云圖Fig.7 Near-field nephogram of power transmission lines at non-resonant frequency

顯然，相同位置處，諧振頻率下的散射場強(qiáng)遠(yuǎn)高于非諧振頻率下的散射場強(qiáng)。同時值得注意的是，越靠近輸電線路，散射場強(qiáng)越強(qiáng)，即散射場強(qiáng)隨空間距離的增加而衰減，該現(xiàn)象可由式（1）解釋。文中仿真實(shí)驗(yàn)觀測點(diǎn)P的位置依據(jù)實(shí)際情況（輸電線路和廣播臺站的位置關(guān)系）選定。因此，本文輸電線路無源干擾諧振頻率的預(yù)測方法準(zhǔn)確可行。

2.3.2 垂直極化平面波激勵下的無源干擾

為了驗(yàn)證該方法對不同激勵的適用性，將圖2中的廣播天線替換為垂直極化平面波，入射場強(qiáng)為1V/m?？梢园l(fā)現(xiàn)用垂直極化平面波作為激勵時，散射場強(qiáng)會有所增大，但不會影響輸電線路無源干擾的諧振特性分析。選擇Q值較高的前3 個極點(diǎn)，其對應(yīng)的參數(shù)列于表3。當(dāng)與圖8 所示的矩量法結(jié)果進(jìn)行比較時，前2 個諧振頻率非常一致。但第3 個諧振頻率的偏差約為0.5 MHz。

表3 前3個高Q值無源干擾諧振頻率Table 3 The first three high Q and resonance frequencies of passive interference

圖8 垂直極化平面波激勵下散射場強(qiáng)Fig.8 Scattering field strength excited by vertically polarized plane wave

通過仿真分析發(fā)現(xiàn)，較大的偏差主要由采樣點(diǎn)位置造成。由于本文采用等間隔頻率的采樣點(diǎn)，不可避免地獲得偏離場強(qiáng)峰值場強(qiáng)信息。若存在過多偏離峰值的采樣點(diǎn)，將直接導(dǎo)致由式（9）求解得到的系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)發(fā)生偏移，從而使得預(yù)測的諧振頻率發(fā)生偏差。圖8 中，第3 個諧振點(diǎn)恰好位于兩個采樣點(diǎn)之間）（如紫色虛線框所示的3 個位置），直接導(dǎo)致偏差的出現(xiàn)，而前兩個諧振點(diǎn)沒有出現(xiàn)類似的情況，因而預(yù)測的諧振頻率較準(zhǔn)確。初步建議應(yīng)選擇更多的采樣點(diǎn)，且采樣點(diǎn)應(yīng)盡量靠近場強(qiáng)較高的頻點(diǎn)，或者引入自適應(yīng)的采樣方法。

3 結(jié)論

1）將廣義諧振理論引入到中波段輸電線路的無源干擾研究中，提出了基于廣義諧振理論的輸電線路無源干擾諧振頻率求解方法，實(shí)現(xiàn)了整個中波頻段的輸電線路無源干擾預(yù)測，彌補(bǔ)了IEEE 標(biāo)準(zhǔn)的頻率限制。仿真實(shí)驗(yàn)表明，該方法不受外界激勵源的限制。當(dāng)采樣點(diǎn)合適時，諧振頻率預(yù)測的最大偏差約為3%。

2）在獲取諧振頻率時，十分依賴構(gòu)建系統(tǒng)函數(shù)的采樣點(diǎn)的位置和數(shù)量。理論上，采樣點(diǎn)越多，采樣點(diǎn)的位置越靠近真實(shí)的干擾極值，構(gòu)建的系統(tǒng)函數(shù)越能反映系統(tǒng)的電磁特性，預(yù)測的諧振頻率也就越準(zhǔn)確。但過多的采樣點(diǎn)，同樣會帶來較大的計(jì)算量，且干擾極值實(shí)際獲取也較為困難。因此，研究自適應(yīng)的采樣方法，從而優(yōu)化系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)建，最終實(shí)現(xiàn)跟準(zhǔn)確的無源干擾諧振頻率預(yù)測是下一步研究的重點(diǎn)。