算子及其函數(shù)的(UWE)性質(zhì)的判定

高 凱，曹小紅

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 西安 710119)

在本文中，C 表示復(fù)平面，D 表示復(fù)平面上的單位閉圓盤，T 表示單位圓周.H表示無限維的復(fù)Hilbert空間，B(H) 為H上的有界線性算子全體.設(shè)T∈B(H)，N(T) 和R(T) 分別表示T的零空間和值域.令n(T)=dimN(T)，d(T)=dim(H/R(T)).若R(T) 閉且n(T)＜∞，則稱T為上半Fredholm 算子；若d(T)＜∞，則稱T為下半Fredholm 算子.特別地，如果R(T) 閉且n(T)=0，則稱T為下有界算子.稱T為半Fredholm 算子，若T為上半Fredholm 算子或下半Fredholm 算子.此時，其指標(biāo)定義為ind(T)=n(T)-d(T).特別地，若-∞＜ind(T)＜+∞，則稱T為Fredholm 算子.如果T是指標(biāo)為零的Fredholm 算子，則稱T為Weyl 算子.T的升標(biāo) asc(T) 定義為滿足N(Tn)=N(Tn+1) 的最小非負(fù)整數(shù)n，若這樣的整數(shù)不存在，則記 asc(T)=+∞.T的降標(biāo) d es(T) 定義為滿足R(Tn)=R(Tn+1) 的最小非負(fù)整數(shù)n，若這樣的非負(fù)整數(shù)不存在，則記 d es(T)=+∞.Browder 算子是指有有限升降標(biāo)的Fredholm 算子.T的上半Fredholm 譜、本質(zhì)譜、逼近點譜、本質(zhì)逼近點譜、Weyl 譜、Browder 譜分別定義為：

1909 年，Weyl[2]在檢驗?zāi)硞€自伴算子的Weyl 譜時發(fā)現(xiàn)該自伴算子所有緊擾動的譜集之交恰好等于它的譜集除去那些有限重的孤立特征值.這一結(jié)果的出現(xiàn)引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，并將它稱為Weyl 定理.隨著Weyl 定理研究的不斷深入[3-8]，也相繼產(chǎn)生Weyl 定理的一系列變形，比如Browder 定理、a-Weyl 定理[9]等.2015 年，Berkani M 等首次在文獻[10]中介紹了有界線性算子的 (UWE) 性質(zhì)，隨后學(xué)者們研究了很多不錯的成果[11-12].稱算子T滿足 (UWE) 性質(zhì)，若

其中E(T)={λ ∈isoσ(T):n(T-λI)＞0}.設(shè)集合E?C，isoE表示E中所有的孤立點，accE表示E的所有聚點.我們用T∈(UWE) 表示T滿足 (UWE) 性質(zhì).

1 有界線性算子的 (UWE) 性質(zhì)

下面繼續(xù)對算子的 (UWE) 性質(zhì)給出等價刻畫.

推論2設(shè)T∈B(H)，則下列敘述等價：

2 算子函數(shù)的 (UWE) 性質(zhì)判定

設(shè)T∈B(H)，令 H ol(σ(T)) 表示在 σ (T) 的某個鄰域上解析的函數(shù)全體.

注意到：算子的 (UWE) 性質(zhì)與其函數(shù)的 (UWE) 性質(zhì)之間沒有必然的聯(lián)系.通過下面的例子來說明這一事實.

例6設(shè)A,B∈B(?2) 定義為：

例7設(shè)A,B∈B(?2) 定義為：

接下來，我們給出算子函數(shù)滿足 (UWE) 性質(zhì)的充要條件.

定理2設(shè)T∈B(H)，則任給f∈Hol(σ(T))，f(T)∈(UWE) 當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：

下面我們繼續(xù)對算子函數(shù)的 (UWE) 性質(zhì)進行刻畫.

注3在引理1 中，反包含f(σ1(T))?σ1(f(T)) 一般不成立.

例8設(shè)A,B∈B(?2) 定義為：

推論4設(shè)T∈B(H)，則任給f∈Hol(σ(T))，f(T)∈(UWE) 當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：

注4(1)在推論4 中的條件(2)在充分性的證明中是必不可少的.

例9設(shè)A,B∈B(?2) 定義為：

(2)在推論4 中的條件(3)對于充分性是必不可少的.

例10設(shè)A,B∈B(?2) 定義為：