閆 凱，張麗娜

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

本文討論如下模型

值得注意的是，這里函數(shù)a(x),b(x) 在生物上表示環(huán)境中物種的資源分布隨空間位置的變換而變化，因此資源分布是不均勻的，即空間環(huán)境是異性的.相對(duì)應(yīng)的，若a(x),b(x) 為正常數(shù)，則表示物種處于空間同性的環(huán)境中.近年來(lái)，空間異性環(huán)境對(duì)捕食模型的影響得到了廣泛的研究[1-4].結(jié)果表明，與空間同性環(huán)境相比，空間異性環(huán)境中模型的動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜，數(shù)學(xué)上進(jìn)行分析也更為困難.

當(dāng)模型(1)中的功能反應(yīng)函數(shù)為Monod-Haldane 型時(shí)，即Li 等[5]和Zou 等[1]對(duì)此進(jìn)行了研究.具體地，當(dāng)a(x),b(x) 為正常數(shù)，Ω=(0,π) 時(shí)，文獻(xiàn)[5]以d2為分支參數(shù)研究了由正平衡點(diǎn)產(chǎn)生的Hopf 分支和平衡態(tài)分支.若a(x),b(x) 為函數(shù)時(shí)，Zou 等[1]研究了空間異性環(huán)境對(duì)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響，并利用局部分支定理和不動(dòng)點(diǎn)理論討論了正平衡態(tài)解的存在性.

眾所周知，功能反應(yīng)函數(shù)是影響捕食模型動(dòng)力學(xué)行為的一個(gè)關(guān)鍵因素.因此具有各種功能反應(yīng)函數(shù)的捕食模型得到了廣泛的研究[6-8].1989 年，Crowley 等[9]提出了Crowley-Martin 型功能反應(yīng)函數(shù)其中正常數(shù)c,r1,r2分別表示捕食者的捕獲率、捕食時(shí)間和捕食者之間的干擾.它與Beddington-DeAngelis 型功能反應(yīng)函數(shù)相似，不同之處在于分母中增加了物種間的相互干擾項(xiàng)r1u、r2v.因此Crowley-Martin 型功能反應(yīng)函數(shù)能更好地描述一些生態(tài)環(huán)境中的捕食行為.

受文獻(xiàn)[1-4]的啟發(fā)，本文關(guān)注空間異性環(huán)境對(duì)模型(1)動(dòng)力學(xué)行為的影響.首先，我們應(yīng)用線性化方法分析半平凡解的穩(wěn)定性.其次，應(yīng)用局部分支理論討論正平衡解的存在性、分支方向以及穩(wěn)定性.

1 預(yù)備知識(shí)與線性穩(wěn)定性分析

首先介紹后面分析中將會(huì)使用到的幾個(gè)引理.由文獻(xiàn)[10]知單物種

的第k個(gè)特征值記為μk(d,h).則由文獻(xiàn)[10]知下述結(jié)論成立.

引理2[10]特征值問(wèn)題(2)的主特征值 μ1(d,h) 關(guān)于d光滑，關(guān)于h連續(xù).則：

注1類(lèi)似計(jì)算可以證明系統(tǒng)(1)的平凡解 (0,0) 是不穩(wěn)定的.

2 平衡態(tài)的局部分支

本節(jié)，我們以擴(kuò)散率d1作為分支參數(shù)，應(yīng)用局部分支理論[12-13]研究由半平凡平衡態(tài)產(chǎn)生的分支現(xiàn)象.系統(tǒng)(1)的平衡態(tài)系統(tǒng)為

從而橫截性條件L1(φ*,0)?R(L0) 成立.因此由局部分支定理知定理2 結(jié)論成立.證畢.

下面我們討論分支方向以及分支正解的穩(wěn)定性.

證明將分支正解的表達(dá)式(7)帶入系統(tǒng)(6)的第一個(gè)方程，除以s并關(guān)于s求導(dǎo)一次后，令s=0，可得