王力梅, 李金悅

(1.天水師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅 天水 741001;2.陜西科技大學 數(shù)學與數(shù)據(jù)科學學院,陜西 西安 710021)

電網(wǎng)是包含發(fā)電節(jié)點、負荷節(jié)點以及傳輸線的人工構造的復雜網(wǎng)絡之一[1-2].電網(wǎng)在正常工作過程中會受到天氣、環(huán)境等各方面因素的影響,個別元件的失效往往會引起其他元件發(fā)生故障,進一步導致整個網(wǎng)絡的崩潰,電網(wǎng)比較脆弱[3-4].所以,網(wǎng)絡在面對失效時的彈性能力尤為重要.

目前,學者把二階擺動方程作為研究電力系統(tǒng)的一個簡化模型[5],電力系統(tǒng)通常以某種方式和信息網(wǎng)耦合為二層網(wǎng)絡,電網(wǎng)給信息網(wǎng)中的系統(tǒng)提供電力以維持其正常工作,信息網(wǎng)中的系統(tǒng)同時采集電網(wǎng)數(shù)據(jù),以供工作人員監(jiān)控和調(diào)配.文獻[6]分析了多層網(wǎng)絡的模型構造方法及其動力學行為描述.隨后,學者從不同的角度研究了電網(wǎng)面向元件失效時的穩(wěn)定運行能力[7].然而,大多數(shù)已報道的研究成果忽略了真實的電網(wǎng)中傳輸線的傳輸能力并不是完全一樣的現(xiàn)實問題.

本文中,筆者基于二階擺動方程,考慮傳輸線的權重,構建2層耦合權重電網(wǎng)的數(shù)學物理模型,從能量流的角度分析電網(wǎng)面對級聯(lián)故障時的彈性能力,結合動力學理論和數(shù)值模擬結果討論電網(wǎng)在不同失效狀態(tài)下彈性能力的變化.

1 2層電力網(wǎng)絡數(shù)學模型

首先給出如下二階擺動方程:

(1)

忽略傳輸電線上的能量損失,則可得Gij=0,并且電壓取常值E′i=1.根據(jù)(1)可以得到電網(wǎng)一般化的數(shù)學表達式

(2)

每個節(jié)點的動力學都可以用(2)來描述,其中θi表示各節(jié)點的相角,ωi表示轉(zhuǎn)動頻率,Di表示阻尼系數(shù),矩陣Bij表示傳輸線的(i,j)的傳輸能力.令發(fā)電節(jié)點Pi=1,負荷節(jié)點Pi=-1.電力網(wǎng)絡要正常穩(wěn)定運行,必須保證所有的節(jié)點實現(xiàn)頻率同步.因此,根據(jù)電網(wǎng)模型可求出平衡點

(3)

其中,i0表示節(jié)點的相位角、頻率在此平衡狀態(tài)下的值.

主要考慮雙層網(wǎng)絡的不同層的節(jié)點數(shù)相同、層與層之間一對一連接的情形,即第1層的節(jié)點在第2層有對應的節(jié)點.同時假設每條邊的傳輸能力權重為γi,γj,分別表示節(jié)點i和j的度.由此,雙層權重網(wǎng)絡的動力學方程可描述為

(4)

為了簡單起見,固定阻尼參數(shù)D=1,假設層A和層B含有相同的發(fā)電節(jié)點和負荷節(jié)點數(shù),上述情形的網(wǎng)絡拓撲結構如圖1所示.

圖1 2層網(wǎng)絡的拓撲結構圖Fig.1 The Topology of Duplex Network

對于電網(wǎng)來講,節(jié)點i和j之間的傳輸能量流近似表示為Fij=Bij(θi-θj),并且能量流Fij與傳輸線的權重有關.因此,能量流可進一步描述為

Fij(t)=|(γiγj)Bijsin(θi(t)-θj(t))|.

(6)

用能量流的改變程度評估電網(wǎng)面對失效時的彈性能力是一種有效的方法,根據(jù)(6),假設一條傳輸線上可以承載的最大能量流為Cij=αFij,其中α∈[0,1]是可調(diào)參數(shù).為了保證電網(wǎng)的正常運行,網(wǎng)絡中所有傳輸線上的能量流需要滿足如下條件:

|Fij(t)|≤Cij=αBij(γiγj).

(7)

2 電網(wǎng)的彈性能力分析

從電網(wǎng)穩(wěn)定運行的角度來講,彈性能力主要體現(xiàn)在面對不同類型的元件失效時,電網(wǎng)能否保持正常運行的能力.假設最初的失效由一條傳輸線的失效引起,同時導致耦合矩陣的值發(fā)生改變,最終使得所有傳輸線上的流量發(fā)生改變.對于前述的網(wǎng)絡拓撲結構,當傳輸線的連接發(fā)生改變時,可由(4)重新計算新網(wǎng)絡中的節(jié)點的相角以及傳輸線上的能量流.基于電網(wǎng)的實際特征,將網(wǎng)絡的傳輸線分為同質(zhì)線和異質(zhì)線2大類,其中同質(zhì)線表示傳輸線兩端的節(jié)點屬性一致,如同為發(fā)電節(jié)點或者負荷節(jié)點;異質(zhì)線表示傳輸線兩端節(jié)點的屬性相反.

假設圖1所示的拓撲結構網(wǎng)絡在初始狀態(tài)保持穩(wěn)定運行,在此狀態(tài)下,網(wǎng)絡節(jié)點的相角以及傳輸線上的能量流隨時間的演化過程如圖2所示.

a.所有相角趨于一個固定值; b.傳輸線上能量流隨時間的演化過程.圖2 相角及傳輸線上能量流隨時間的演化過程Fig.2 The Original Power Network Maintains Steady State

由圖2可以看出,網(wǎng)絡的節(jié)點相角趨于常值,傳輸線的能量流趨于定值,電網(wǎng)正常運行.

如果從電網(wǎng)中刪除一條同質(zhì)傳輸線e58以蓄意攻擊原始電網(wǎng),圖3顯示了網(wǎng)絡受到攻擊后所有節(jié)點的相角及能量流隨時間的演化過程.觀察圖3可知,網(wǎng)絡節(jié)點的相角隨時間的演化依然趨于常值,傳輸線上的能量流與原始穩(wěn)定網(wǎng)絡中差值很小,且可以保證每條傳輸線不超過其最大傳輸能力.這表明,當原始電網(wǎng)移除一條同質(zhì)邊時,彈性能力比較強,網(wǎng)絡可以保持穩(wěn)定運行.

如果移除一條異質(zhì)邊e39以蓄意攻擊原始電網(wǎng),圖4顯示了網(wǎng)絡中節(jié)點的相角、頻率和能量流隨時間的演化過程.觀察圖4可知,網(wǎng)絡節(jié)點的相角、頻率隨時間的演化呈無序態(tài),并且在可調(diào)參數(shù)取定值的條件下,傳輸線上的能量流超過了初始穩(wěn)定狀態(tài)的臨界值.

由圖3和圖4可得出結論:在刪除異質(zhì)邊攻擊的情況下,網(wǎng)絡彈性能力變?nèi)?而刪除同質(zhì)邊攻擊的情況下,網(wǎng)絡彈性能力變強.

3 結 論

基于雙層加權電網(wǎng)的數(shù)學模型,從能量流的角度分析了電網(wǎng)在不同傳輸線被移除時,網(wǎng)絡抵抗失效的能力;并以一個雙層電網(wǎng)為研究對象,借助數(shù)值仿真的方法分析了電網(wǎng)的彈性能力的變化.結果表明,在同質(zhì)傳輸線失效時,網(wǎng)絡彈性能力較強,而在異質(zhì)傳輸線失效時,網(wǎng)絡彈性能力較弱.所得結果可在一定程度上為實際網(wǎng)絡的構建及保護措施提供理論依據(jù).