多約束航跡規(guī)劃與跟蹤制導(dǎo)律

尹中杰，王 磊，楊建東，劉艷斌，王 楷，蔡克榮

（上海機電工程研究所，上海 201109）

0 引言

升力式飛行器是指能夠在20～70 km 高度進行高機動飛行，可執(zhí)行偵查與對抗等任務(wù)的飛行器。因其具有航程遠、機動性強等優(yōu)勢，受到各國的重視?？紤]到升力式飛行器在滑翔過程中存在多方面的過程、終端約束，其中的航跡規(guī)劃以及跟蹤控制律設(shè)計引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究［1-4］。

滑翔段航跡規(guī)劃是指在不違背熱流、動壓、過載等各種約束的前提下，通過制導(dǎo)控制將升力式飛行器引導(dǎo)至中末制導(dǎo)交班點的工作。研究大致分為非線性優(yōu)化、預(yù)測—校正、人工勢場法或啟發(fā)式4類。在非線性優(yōu)化方面，趙吉松等［5-9］基于配點法通過對控制、狀態(tài)變量進行離散，構(gòu)建出一種非光滑軌跡優(yōu)化方法。周鼎等［10-13］利用考慮終端狀態(tài)的偽譜法將連續(xù)最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，開展非致命故障下的任務(wù)降級軌跡規(guī)劃問題研究。該方法具有性能最優(yōu)、制導(dǎo)精度高的特點，但也存在強約束問題易收斂至局部最優(yōu)解、優(yōu)化時間較長的問題。在預(yù)測—校正方面，都延麗等［14-16］基于確定傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)位置的航路點制導(dǎo)律，提出基于能量剖面的軌跡規(guī)劃策略。在此基礎(chǔ)上，章吉力［17］引入預(yù)測落點偏差作為目標函數(shù)進行指令求解，有效提升終端制導(dǎo)精度。此方法具備在線規(guī)劃能力，但由于傾側(cè)邏輯單一且不考慮能耗最優(yōu)等指標，存在制導(dǎo)策略局限導(dǎo)致航程無法覆蓋全部能力范圍的問題。隨著啟發(fā)式概念的升溫，空天飛行器軌跡設(shè)計逐漸智能化［18-19］。陳上上等［20-21］通過計算再入走廊邊界的解析解，將約束轉(zhuǎn)為對參考剖面剩余坐標限制的指標函數(shù)，完成采用粒子群優(yōu)化的軌跡規(guī)劃。但是粒子群優(yōu)化只得到航跡剖面而非控制參數(shù)剖面，存在粒子數(shù)少于實際需求導(dǎo)致制導(dǎo)精度不足，軌跡無法物理實現(xiàn)的風(fēng)險。

在軌跡跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計方面，李曉龍等［22-23］將高度回路轉(zhuǎn)化為二階無靜差系統(tǒng)實現(xiàn)高度跟蹤。在此基礎(chǔ)上，劉凱等［24-26］應(yīng)用期望極點配置完成軌跡誤差時變反饋系統(tǒng)設(shè)計。但是基于經(jīng)驗設(shè)置的期望極點并不能保證二階系統(tǒng)控制性能的全局適應(yīng)性，上述方法不適用于動力學(xué)特性變化較大的全空域軌跡跟蹤。

綜上所述，考慮到現(xiàn)有方法在規(guī)劃并跟蹤有繞禁飛區(qū)需求、能量單調(diào)且冗余不足的升力式飛行器航跡時存在針對性不強的問題，提出飛行策略預(yù)劃分手段，設(shè)計性能指標最優(yōu)的多策略分段剖面函數(shù)。通過優(yōu)化剖面飛行攻角、傾側(cè)角剖面函數(shù)特征參數(shù)的方式將無窮維軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為有限維參數(shù)規(guī)劃問題，完成多約束航跡規(guī)劃。同時，基于LQR 調(diào)節(jié)器以位移加權(quán)誤差最小為優(yōu)化指標完成極點實時尋優(yōu)的軌跡跟蹤制導(dǎo)律二階系統(tǒng)設(shè)計，從而滿足全空域的高精度軌跡跟蹤。最后，通過拉偏情況的仿真，證明了方法的有效性。

1 動力學(xué)建模與問題描述

1.1 質(zhì)點動力學(xué)模型

質(zhì)點動力學(xué)模型在彈道坐標系中建立，采用傾斜轉(zhuǎn)彎模式（Bank To Turn，BTT），全再入過程均為無動力狀態(tài)，在球形大地假設(shè)下給出三維質(zhì)點動力學(xué)模型：

式中：V為速度；θ為彈道傾角；ψ為彈道偏角；h為高度；λ為飛行器在地表投影點的經(jīng)度，?為飛行器在地表投影點的緯度；Re為地球半徑；g為重力加速度；m為飛行器的質(zhì)量；γ為傾側(cè)角；D為阻力；L為升力。

L和D的計算方法由式（2）給出：

式中：ρ為大氣密度，可以視為高度的函數(shù)；Sref為參考面積；CL、CD分別為升力和阻力系數(shù)。

1.2 多約束航跡規(guī)劃問題描述

多約束航跡規(guī)劃是指在已知飛行器初始狀態(tài)的情況下，設(shè)計滿足末端狀態(tài)和過程約束的攻角、傾側(cè)角剖面，并為飛行器裝訂滿足多種約束條件且性能指標函數(shù)最優(yōu)的控制參數(shù)，從而完成優(yōu)化設(shè)計的工作。已知初始狀態(tài)和控制量為

為滿足特殊的任務(wù)需求以及飛行器動力學(xué)特性，飛行全程將面臨著嚴格的過程約束，如動壓Qv、距離特定禁飛區(qū)最小斜距ΔRi等，具體可以描述為以下形式：

除此之外，為確保在中末制導(dǎo)交班點飛行器狀態(tài)位于末制導(dǎo)窗口區(qū)間，需要設(shè)置如下的終端約束條件：

選用末速Vf最大作為性能指標，則多約束航跡規(guī)劃問題可以轉(zhuǎn)化為如下最優(yōu)控制問題：

1.3 航跡跟蹤制導(dǎo)問題描述

軌跡跟蹤制導(dǎo)問題可以描述為對于給定的滑翔段標稱軌跡：

利用線性二次型控制器設(shè)計原理，設(shè)計如下的狀態(tài)反饋控制器：

狀態(tài)反饋控制器基于設(shè)定的綜合考慮制導(dǎo)控制偏差與偏差控制量積分的加權(quán)性能指標函數(shù)：

計算滿足J最小的狀態(tài)反饋控制器系數(shù)，使得飛行器能夠用較小的加權(quán)偏差控制量確保實際飛行狀態(tài)與跟蹤標稱飛行軌跡中裝訂值總的偏差加權(quán)值最小。其中：

則軌跡跟蹤制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為如下的狀態(tài)反饋控制器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計問題：

2 多約束飛行航跡優(yōu)化設(shè)計

2.1 飛行策略剖面設(shè)計

針對現(xiàn)有方法（見表1）存在的計算量大、物理約束不滿足問題，本文基于策略預(yù)劃分手段分段設(shè)計策略剖面并優(yōu)化參數(shù)，將無窮維軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為有限維參數(shù)規(guī)劃問題，找到一條末速最優(yōu)、又不違背各種約束的飛行軌跡，完成滑翔段強約束軌跡規(guī)劃?；瓒尾呗云拭娣譃榭v平面、橫側(cè)向兩部分，下面分階段給出具體策略剖面設(shè)計方案。

表1 方法對比表Tab.1 Comparison of methods

2.1.1 縱向平面飛行策略方案

升力式飛行器滑翔段動力學(xué)特性差異明顯，所以對某一固定單一的飛行策略剖面進行參數(shù)優(yōu)化可能無法得到滿足約束的全局最優(yōu)、次最優(yōu)解。針對這個問題，基于策略預(yù)劃分手段將滑翔段分為3部分，分別為高空高速段、中空中速段和低空低速段，對應(yīng)大攻角滑翔策略、定攻角策略和過渡段策略，通過分三段優(yōu)化攻角剖面參數(shù)的方式完成縱向剖面設(shè)計。

在大攻角滑翔段，考慮到滑翔段初期飛行高度高導(dǎo)致大氣密度低升重?zé)o法配平，為避免飛行器以較大的高度變化率下滑，軌跡整體高度過低導(dǎo)致航程縮減，過渡段采用固定大攻角下滑。彈道逐漸拉起后，待高度變化率為正后切換至定攻角飛行段。

在定攻角飛行段，考慮到該階段飛行時間較長，設(shè)計復(fù)雜的攻角剖面形式存在優(yōu)化時間過長的問題，所以采用定攻角模式飛行，幅值以末速最大為優(yōu)化指標獲得，當(dāng)彈目相對距離Dr小于預(yù)設(shè)值Dr0后切換至過渡段。

在過渡段，考慮到中末制導(dǎo)交班點存在嚴格的高度、速度和彈道傾角約束，簡化的定攻角優(yōu)化方式并不適用，所以采用多項式剖面。但為減小優(yōu)化維數(shù)，結(jié)合升阻系數(shù)計算方式（2），將攻角形式設(shè)置為與速度相關(guān)的函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，引入彈目距離Dr倒數(shù)為自變量的修正項，從而在彈目距離足夠小時對攻角進行微調(diào)，確保終端條件得到滿足。

綜上，攻角剖面可以表示為以下形式：

式中：α1、α2、a3、a4為待優(yōu)化參數(shù)；C1為初始值為0的標志位，若θ≥0°則恒為1。

飛行器首先由于C1默認為0 且Dr>Dr0執(zhí)行α1指 令；當(dāng)C1變 為1 且Dr>Dr0時執(zhí)行α2指令，當(dāng)Dr≤Dr0后執(zhí)行α(V Dr)指令，攻角剖面如圖1所示。

圖1 攻角剖面Fig.1 Sketch of the attack angle section

2.1.2 橫側(cè)向平面飛行策略方案

由于制造業(yè)企業(yè)所得稅結(jié)構(gòu)受各國稅制結(jié)構(gòu)因素的影響，因而制造業(yè)企業(yè)在稅基設(shè)置、稅率水平、稅前扣除、稅收優(yōu)惠等方面也迥然不同。

橫側(cè)向平面策略函數(shù)優(yōu)化傾側(cè)角剖面γ(t DrΔRi)。首先，為確?；瓒文┒螐椀榔菨M足約束，設(shè)計自變量為彈目距離的彈道偏角過渡函數(shù)γc，通過平滑過渡的方式將彈道偏角轉(zhuǎn)至期望值ψf，確保在滑翔段末段彈道偏角滿足約束。

除此之外，為與禁飛區(qū)保持一定距離，設(shè)置了自變量為導(dǎo)彈與禁飛區(qū)斜距倒數(shù)的斥力場函數(shù)。當(dāng)相對距離小于預(yù)設(shè)值ΔRimin后加入修正指令Δγ，確保不會進入禁飛區(qū)。

式中：b1、b2、b3、bi為待優(yōu)化參數(shù)。

2.2 非線性參數(shù)規(guī)劃算法

考慮只含有等式約束條件的非線性規(guī)劃問題：

式中：c(x)為向量函數(shù)c(x)={c1(x)，c2(x)，…，cm(x)}T。

則拉格朗日函數(shù)為

可寫成如下形式：

若矩陣Bk是Hessian 矩陣L(xk，λk)的良好近似，則下式成為擬牛頓法的迭代公式：

上述的SQP 法，理論上只具有局部收斂性，為使其具有整體收斂性，則：

具體算法流程如圖2 所示：

圖2 SQP 程序框圖Fig.2 Program chart of the SPQ algorithm

3 軌跡跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計

將高度H、射擊系z項位移影響作為關(guān)注狀態(tài)量，引入位移微分項對狀態(tài)方程擴維，沿飛行軌跡線性化可得：

描述為狀態(tài)空間形式為

考慮飛行過程中與標稱軌跡的偏差，沿著e(t)=0，(t)=0 進行線性化可以得到

針對線性化后的時變系統(tǒng)，這里需要設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器：

通過線性二次型調(diào)節(jié)器配置反饋矩陣K，找到一組控制量u(t)。假設(shè)ATP+PA+Q+KTRK-KTBTP-PBK存在一個常量矩陣P使得：

令K=R-1BTP，則：

在此基礎(chǔ)上，通過求解黎卡提方程得到矩陣P與控制參數(shù)K，軌跡跟蹤制導(dǎo)律為以下形式：

4 仿真分析

4.1 仿真輸入

假設(shè)飛行器初始點經(jīng)緯度為（0.0°，0.0°），計劃繞過經(jīng)緯度為（4.7°，0.5°）、經(jīng)緯度為（6.7°，0.7°）的兩個半徑為50 km 的禁飛區(qū)，并到達距離經(jīng)緯度為（11.3°，1.0°）的目標點航程90 km 的中末制導(dǎo)交班點。結(jié)合上述情況，初始狀態(tài)見表2。

表2 初始狀態(tài)信息表Tab.2 Initial state information

這里設(shè)置如表3～表4 的過程、終端約束，以末速最大為優(yōu)化指標，優(yōu)化滿足所有約束的滑翔段軌跡。

表3 過程約束信息表Tab.3 Process constraint information

表4 終端約束信息表Tab.4 Terminal constraint information

4.2 軌跡優(yōu)化仿真分析

滑翔軌跡如圖3 所示，由圖3 可知，飛行器能夠飛抵中末制導(dǎo)交班點，且能夠與上述禁飛區(qū)保持安全距離。

圖3 滑翔軌跡Fig.3 Gliding trajectory diagram

速度、高度-時間曲線如圖4 和圖5 所示，由圖4和圖5 可知，采用非線性參數(shù)優(yōu)化算法飛行時間約為470 s，最大高度為初始點的50 km，末速為1 406 m/s?？紤]到末速為本次優(yōu)化指標，利用全局優(yōu)化算法進行指標檢驗，在此基礎(chǔ)上開展兩者的優(yōu)化計算效率對比分析。非線性參數(shù)規(guī)劃算法（470 s，1 406 m/s）相較于優(yōu)化算法（463 s，1 412 m/s）末速減小0.4%，但是優(yōu)化時間由原有162 s 減小為70 s，提升131.4%。

圖4 速度-時間曲線Fig.4 Speed-time curve

圖5 高度-時間曲線Fig.5 Height-time curve

彈道傾角-時間曲線如圖6 所示，由圖6 可知，標稱軌跡的終端彈道傾角為-3°位于終端約束范圍內(nèi)，飛行器狀態(tài)滿足中末制導(dǎo)交班條件。

圖6 彈道傾角-時間曲線Fig.6 Trajectory inclination angle-time curve

圖7 彈道偏角-時間曲線Fig.7 Trajectory declination angle-time curve

4.3 軌跡跟蹤仿真分析

考慮氣動不確定性的軌跡跟蹤仿真分析，驗證TLC 算法是否具有穩(wěn)定跟蹤標稱彈道的能力。功角、傾側(cè)角-時間曲線如圖8 和圖9 所示，由圖8 和圖9 可知，在升力系數(shù)10%、阻力系數(shù)20%偏差的情況下，TLC 算法能夠基于當(dāng)前時刻的位置、速度偏差解算修正指令，使得跟蹤誤差不發(fā)散。

圖8 攻角-時間曲線Fig.8 Attack angle-time curve

圖9 傾側(cè)角-時間曲線Fig.9 Pitch angle-time curve

高度誤差、Z向位置誤差如圖10 和圖11 所示，由圖10 和圖11 可知，飛行器在拉偏情況下，實際軌跡與標稱軌跡Y、Z軸誤差全程均小于0.1 km，基于TLC 算法得到修正指令后能夠穩(wěn)定跟蹤原有軌跡，從而確保飛行器精確到達中末制導(dǎo)交班點。

圖10 高度誤差-時間曲線Fig.10 Height error-time curve

圖11 Z 向位置誤差Fig.11 Position error along the Z-axis

5 結(jié)束語

本文針對升力式飛行器滑翔段多約束航跡規(guī)劃問題，首先結(jié)合飛行器不同空域的任務(wù)需求及彈道特性，基于飛行策略預(yù)劃分手段提出針對不同飛行狀態(tài)的攻角、傾側(cè)角分段剖面函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，利用序列二次規(guī)劃方法通過優(yōu)化滿足過程、終端約束的剖面函數(shù)特征參數(shù)的方式，得到性能指標函數(shù)最優(yōu)的控制構(gòu)型剖面，從而完成多約束航跡規(guī)劃。最后，通過線性二次型控調(diào)節(jié)器實時解算位移誤差加權(quán)值最小的狀態(tài)跟蹤反饋控制器系數(shù)，完成考慮氣動不確定性的軌跡跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計，從而為升力式飛行器多約束航跡規(guī)劃方案提供具備工程實用價值的技術(shù)途徑。