劉桂景

【摘? 要】? 與幾何圖形有關(guān)的最值問題，既能考查學(xué)生對(duì)幾何圖形的掌握情況，也能探查學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力，具有十分重要的意義.求解幾何最值問題主要從幾何定理和代數(shù)運(yùn)算兩個(gè)角度切入，不同解題思路具有各自的特點(diǎn).本文結(jié)合具體例題對(duì)不同解題思路做出分析，幫助學(xué)生多方面思考問題，提升綜合能力.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；平面幾何；最值；解題技巧

1? 幾何定理思路

運(yùn)用幾何定理解答幾何最值問題，具體方法是靈活利用常見幾何性質(zhì)對(duì)幾何圖形中點(diǎn)、線、面進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，使最值問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為熟悉已知的圖形，進(jìn)而對(duì)問題作出解答.常見的幾何定理或性質(zhì)有兩點(diǎn)之間線段距離最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊等，靈活運(yùn)用這些幾何定理，能解答大部分幾何最值問題.

例1? 如圖1，直線與軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)右側(cè)的軸上，且始終滿足，點(diǎn)在直線上，其橫坐標(biāo)為，請(qǐng)問：當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的周長最??？最小值是多少？

剖析? 四邊形中的邊長是定值，故最小值等價(jià)于求線段的最小值，通過構(gòu)造平行四邊形和對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短定理，可明確最小值情況對(duì)應(yīng)的圖形，運(yùn)用勾股定理列式運(yùn)算，即可求出最小值以及四邊形周長的最小值.

解析? ∵點(diǎn)在直線上，且橫坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)，

，

∵是定值，

∴問題等價(jià)于求的最小值，

過點(diǎn)作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，如圖6所示，

則是的最小值，

∵，，

∴，

∴四邊形周長的最小值為：.

2? 構(gòu)造函數(shù)思路

構(gòu)造函數(shù)思路是代數(shù)方面的解題思路，關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件和關(guān)系構(gòu)建函數(shù)解析式，將幾何最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，進(jìn)而對(duì)問題作出具體解答.常見的函數(shù)類型有：一次函數(shù)、一元二次函數(shù)以及反比例函數(shù)，找到幾何問題中的等式關(guān)系并構(gòu)造函數(shù)解析式，就能對(duì)最值問題作出解答.

例2? 某房地產(chǎn)公司擁有一塊“缺角矩形”荒地，邊長和方向如圖3所示，要在這塊地上建造一座長方形東西走向的公寓，請(qǐng)劃出這塊地基，并求出地基的最大面積（精確到）.

剖析 根據(jù)題意構(gòu)造直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系上將圖形轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)應(yīng)函數(shù)，其次符合題意的面積需要分三種不同情況進(jìn)行討論，根據(jù)面積公式列出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式并判斷對(duì)應(yīng)最大值，綜合分析比較即可求出最大面積.

解析? 以分別為軸建立直角坐標(biāo)系，

為正方向，長度單位為米，如圖4，

可知直線方程為，

假設(shè)動(dòng)點(diǎn)分別在運(yùn)動(dòng)，

以點(diǎn)為長方形公寓的其中一點(diǎn)，

①當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

點(diǎn)，

則，

，

當(dāng)時(shí)，，.

②當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形在點(diǎn)位置有最大值，

.

③當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形在點(diǎn)位置有最大值，

.

綜上，點(diǎn)位于時(shí)，公寓有最大面積.

變式? 如圖5，在中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)作交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是上的點(diǎn)，，則的最小值是______.

剖析? 根據(jù)已知條件分析可知、都是形狀確定的三角形，線段與的大小有關(guān)聯(lián)，對(duì)線段作出假設(shè)后，利用勾股定理找到對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系和具體解析式，即可對(duì)問題做出解答.

解析? 設(shè)，

則，，

作于點(diǎn)，如圖6，

∵，

∴，

，

在中，

，

∴當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為.

3? 結(jié)語

兩種不同思路都能有效解答幾何最值問題，上述例題也著重分析應(yīng)用不同思路解答問題的具體過程和特點(diǎn).常見的幾何性質(zhì)和函數(shù)類型，是學(xué)生們必須掌握的基礎(chǔ)內(nèi)容.只有熟悉并靈活運(yùn)用這些基礎(chǔ)知識(shí)，才能更高效地解答幾何最值問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]張紅琴.“轉(zhuǎn)化思想”在初中幾何最值問題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)之友，2021（04）：90-92.

[2]成政榮.初中幾何最值問題解法探究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（11）：42-43.