張晨曦，岳修賢，王 信，但志宏，周 強(qiáng)，白長(zhǎng)青

（1.機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049；1.西安交通大學(xué) 陜西省先進(jìn)飛行器服役環(huán)境與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049；3.中國(guó)航發(fā)四川燃?xì)鉁u輪研究院，四川綿陽(yáng) 621703）

0 引言

蝶閥一般由閥板、閥桿、閥體和密封圈等部件組成，廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)流量控制，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、啟閉迅速、調(diào)節(jié)性能好等優(yōu)點(diǎn)［1-2］。通常的大口徑蝶閥是指口徑大于1 m的蝶閥，大口徑蝶閥適合調(diào)節(jié)大口徑管道流量，是航空發(fā)動(dòng)機(jī)試車臺(tái)、大型高壓油氣運(yùn)輸管道等重要設(shè)備系統(tǒng)中重要的控制部件。由于大口徑蝶閥的閥板面積較大，在承受流體力矩后容易產(chǎn)生變形，從而影響到蝶閥的密封性和調(diào)節(jié)特性，故一般需要在閥板上設(shè)計(jì)加強(qiáng)結(jié)構(gòu)以保證閥板的強(qiáng)度和剛度，這也是大口徑蝶閥與中、小口徑蝶閥關(guān)鍵不同之處。大口徑蝶閥中典型的閥板加強(qiáng)結(jié)構(gòu)主要有板加強(qiáng)型和塊加強(qiáng)型兩種類型。

對(duì)于中小口徑蝶閥，其結(jié)構(gòu)、流動(dòng)特性及性能控制已有許多研究。LIN等［3-4］研究了蝶閥閥桿直徑對(duì)于蝶閥流量特性及扭力矩的影響。XUN等［5］研究了蝶閥表面粗糙度對(duì)蝶閥流量系數(shù)及壓降的影響。在小開(kāi)度下，蝶閥的多場(chǎng)耦合機(jī)理也得到了研究［6］。葉志烜等［7-8］對(duì)蝶閥下游渦旋結(jié)構(gòu)做了一些分析，討論了渦旋的成因和表現(xiàn)形式。常見(jiàn)的三偏心蝶閥具有軸向、徑向和角度偏心的3個(gè)偏心量，各偏心量對(duì)蝶閥流場(chǎng)流動(dòng)性能影響已有學(xué)者進(jìn)行了比較深入的研究［9］。為精確控制蝶閥開(kāi)度，蝶閥閥板的驅(qū)動(dòng)力矩也有相應(yīng)的研究［10］。李凱等［11］對(duì)蝶閥進(jìn)行模態(tài)分析和加速度載荷下的響應(yīng)譜分析，進(jìn)而改進(jìn)了蝶閥性能。DONG等［12］基于CFD技術(shù)分析了核電站中控制冷卻通道蝶閥的流動(dòng)特性。WON等［13］在蝶閥全開(kāi)的工況下研究了其下游流場(chǎng)振動(dòng)對(duì)蝶閥性能的影響。另外，流固耦合特性分析方法也被應(yīng)用到蝶閥流量系數(shù)和流阻系數(shù)的計(jì)算中［14］。

近年來(lái)，航空發(fā)動(dòng)機(jī)試車臺(tái)等設(shè)備中關(guān)鍵的流量控制閥門——大口徑蝶閥受到研究者們的關(guān)注，特別是其流動(dòng)特性與流量系數(shù)研究。張松等［15］對(duì)大口徑蝶閥的數(shù)學(xué)建模與流場(chǎng)特性進(jìn)行研究，建立了大口徑蝶閥的運(yùn)動(dòng)特性模型。但并沒(méi)有具體分析閥板加強(qiáng)結(jié)構(gòu)對(duì)閥流場(chǎng)的影響規(guī)律。何慶中等［16］使用CFX軟件模擬了大口徑蝶閥的流場(chǎng)，通過(guò)增加圓角來(lái)優(yōu)化蝶板加強(qiáng)結(jié)構(gòu)，減小了渦街共振。朱美印等［17］提出了一種基于特征坐標(biāo)，可以從大量離散試驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取大口徑蝶閥連續(xù)特征信息的坐標(biāo)定位回歸算法。大口徑蝶閥在不同開(kāi)度下的流固耦合與振動(dòng)特性得到一定的研究［18］，動(dòng)網(wǎng)格與UDF技術(shù)被用于解決大口徑蝶閥在關(guān)閉過(guò)程中流場(chǎng)不穩(wěn)定問(wèn)題［19-22］。在現(xiàn)有研究中，已經(jīng)認(rèn)識(shí)到大口徑蝶閥不同于常見(jiàn)的中、小口徑蝶閥，具有其特有的流動(dòng)特性。但對(duì)于大口徑蝶閥獨(dú)特的閥板加強(qiáng)結(jié)構(gòu)形式對(duì)其流動(dòng)特性的影響分析較少，兩種典型的板加強(qiáng)型和塊加強(qiáng)型閥板加強(qiáng)結(jié)構(gòu)對(duì)閥門流量系數(shù)的影響規(guī)律還不清楚，制約了發(fā)動(dòng)機(jī)試車臺(tái)等系統(tǒng)的性能預(yù)測(cè)和精確控制。

本文以具有典型閥板加強(qiáng)結(jié)構(gòu)的兩種大口徑蝶閥為研究對(duì)象，建立CFD仿真模型，劃分網(wǎng)格并進(jìn)行無(wú)關(guān)性驗(yàn)證。通過(guò)和試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證了仿真模型的合理性。數(shù)值模擬得到兩種異構(gòu)蝶閥在多種工況下的質(zhì)量流量，并計(jì)算其流量系數(shù)，研究壓比、開(kāi)度對(duì)其流動(dòng)特性的影響規(guī)律，對(duì)比分析不同閥板加強(qiáng)結(jié)構(gòu)對(duì)其流場(chǎng)及流量系數(shù)的影響。尋找大口徑蝶閥流量系數(shù)與管道流動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系，提出適用于大口徑蝶閥的流量系數(shù)計(jì)算公式。

1 大口徑蝶閥流場(chǎng)CFD建模及試驗(yàn)驗(yàn)證

大口徑蝶閥閥板面積大，為了避免承受流體力矩產(chǎn)生較大變形影響蝶閥的密封性和調(diào)節(jié)特性，需要在閥板上設(shè)計(jì)加強(qiáng)結(jié)構(gòu)以保證其強(qiáng)度和剛度。大口徑蝶閥中典型的閥板加強(qiáng)結(jié)構(gòu)主要有板加強(qiáng)型和塊加強(qiáng)型兩種類型，對(duì)應(yīng)的蝶閥結(jié)構(gòu)如圖1所示。蝶閥由密封圈、閥體、閥桿、閥板和閥板加強(qiáng)結(jié)構(gòu)等部件組成。板加強(qiáng)型閥板結(jié)構(gòu)為多塊板組合形成空間板結(jié)構(gòu)，中間流體可以相互流動(dòng)；而塊加強(qiáng)型閥板結(jié)構(gòu)為多塊板組合形成的塊狀封閉多面體，流體只能在多面體外流動(dòng)。

圖1 大口徑異構(gòu)蝶閥典型結(jié)構(gòu)Fig.1 Typical structures of large-diameter butterfly valves with different structures

閥門流場(chǎng)建模中計(jì)算域分為閥前管道、蝶閥區(qū)域、閥后管道3個(gè)部分。為減小管道部分對(duì)蝶閥域流動(dòng)特性的影響，閥前管道長(zhǎng)度取3倍的管道內(nèi)徑，閥后管道長(zhǎng)度取10倍的管道內(nèi)徑，對(duì)應(yīng)蝶閥域管道長(zhǎng)度取2倍管道內(nèi)徑。分別考慮2種蝶閥閥板結(jié)構(gòu)，采用FLUENT軟件建立對(duì)應(yīng)的流體動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型，網(wǎng)格劃分如圖2所示?？紤]管道閥門流場(chǎng)的對(duì)稱性，取1/2模型作為計(jì)算域。由于蝶閥域流場(chǎng)流動(dòng)狀態(tài)復(fù)雜，對(duì)應(yīng)劃分細(xì)密的網(wǎng)格，而閥前和閥后管道對(duì)應(yīng)劃分相對(duì)稀疏的網(wǎng)格。仿真分析中采用一階迎風(fēng)格式，SIMPLE算法，湍流模型為 Realizable k-ε模型。

圖2 大口徑蝶閥網(wǎng)格Fig.2 Mesh of large-diameter butterfly valve

將入口壓力P1和出口壓力P2作為CFD仿真邊界條件，壓比Pr=P2/P1，蝶閥表面和管道內(nèi)壁均設(shè)置為無(wú)滑移的壁面，在確定閥門開(kāi)度VP為10%的工況下進(jìn)行不同網(wǎng)格數(shù)下的質(zhì)量流量仿真結(jié)果的計(jì)算對(duì)比，可以驗(yàn)證所建立模型的網(wǎng)格無(wú)關(guān)性，結(jié)果見(jiàn)表1，其中N為網(wǎng)格數(shù)，Q為出口質(zhì)量流量，δ為各網(wǎng)格數(shù)下與490萬(wàn)網(wǎng)格數(shù)下的質(zhì)量流量仿真結(jié)果間的相對(duì)誤差。從表中可以看出，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)從90萬(wàn)增加到156萬(wàn)時(shí)，質(zhì)量流量計(jì)算結(jié)果誤差從1.769%顯著減小到0.718%；當(dāng)網(wǎng)格數(shù)再增大到230萬(wàn)時(shí)，誤差已減小到0.026%。這表明選擇約為230萬(wàn)的網(wǎng)格數(shù)量進(jìn)行仿真計(jì)算能夠滿足計(jì)算精度要求。

表1 大口徑蝶閥網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證結(jié)果Tab.1 Grid independence verification results

根據(jù)流體力學(xué)原理，流體的運(yùn)動(dòng)服從質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒定律，并通過(guò)守恒定律來(lái)給出流體動(dòng)力學(xué)的控制方程組：

式中，ρ為流體密度；u為流體的速度矢量；p為壓強(qiáng)；f為作用在單位體積上的質(zhì)量力；k為流體傳熱系數(shù)；cP為比熱容；T為溫度場(chǎng)；ST為黏性耗散項(xiàng)。

使用試驗(yàn)測(cè)試獲得的質(zhì)量流量和出口壓力作為邊界條件，通過(guò)仿真計(jì)算獲得對(duì)應(yīng)試驗(yàn)工況下板加強(qiáng)型蝶閥閥前壓力值，對(duì)比結(jié)果如圖3所示。

圖3 大口徑蝶閥數(shù)值模擬與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison between simulation results and experimental data of large-diameter butterfly valves

可見(jiàn)在多種工況下，數(shù)值模擬結(jié)果與測(cè)試數(shù)據(jù)吻合較好。經(jīng)分析在小開(kāi)度情況下閥門周圍流場(chǎng)湍流特性顯著，而大口徑管道流量測(cè)量手段和測(cè)量位置受限，由于測(cè)量誤差造成測(cè)試數(shù)據(jù)與仿真結(jié)果存在一定差異。表明本文所建立的大口徑蝶閥CFD仿真模型是合理可靠的，可進(jìn)行多種工況下的大口徑蝶閥流體動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算和分析。

2 兩種大口徑異構(gòu)蝶閥流動(dòng)特性分析

使用總壓入口和靜壓出口的邊界條件，分別仿真計(jì)算兩種大口徑蝶閥在9個(gè)開(kāi)度（VP=10%，20%，30%，40%，50%，60%，70%，80%，90%）與9個(gè)壓比（Pr=0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9）共81組工況下的質(zhì)量流量?；贑FD仿真計(jì)算結(jié)果，討論兩種大口徑異構(gòu)蝶閥流動(dòng)特性隨著壓比和開(kāi)度的變化規(guī)律。

為了對(duì)該算法的可實(shí)現(xiàn)性和正確性進(jìn)行驗(yàn)證，采用Verilog HDL語(yǔ)言編寫了Testbench測(cè)試文件，在Modelsim仿真環(huán)境中對(duì)該算法進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖4示出2種蝶閥在不同壓比條件下的流場(chǎng)對(duì)稱截面的流速流線分布。從圖中可以看到，流場(chǎng)的最大流速和高流速區(qū)域面積均隨壓比增大而減小，流速分布逐漸均勻，流場(chǎng)流速分布有明顯變化。大口徑板加強(qiáng)型蝶閥流場(chǎng)在閥板和閥板加強(qiáng)結(jié)構(gòu)與來(lái)流接觸處的后方會(huì)產(chǎn)生渦旋，且隨著壓比的增大，渦旋的影響范圍也增大。大口徑塊加強(qiáng)型蝶閥流場(chǎng)在閥板和閥板加強(qiáng)結(jié)構(gòu)的延伸段存在1對(duì)渦旋，加強(qiáng)結(jié)構(gòu)突出部與來(lái)流接觸處的后方也存在1個(gè)渦旋，且隨著壓比增大，渦旋的影響范圍也隨之增大。在開(kāi)度相同的條件下，壓比的增大會(huì)降低蝶閥流場(chǎng)中的流速和質(zhì)量流量。

圖4 不同壓比下兩種大口徑蝶閥截面流速流線分布（Vp=80%）Fig.4 Velocity distribution of large-diameter butterfly valves at varying pressure ratio（Vp=80%）

圖5示出了大口徑蝶閥在不同閥門開(kāi)度條件下流場(chǎng)對(duì)稱截面上的流速流線分布。在小開(kāi)度情況下，氣體通過(guò)大口徑蝶閥后會(huì)有較強(qiáng)的射流，在閥后產(chǎn)生大量渦旋，閥前的氣體流線形式復(fù)雜，在沖擊閥板后產(chǎn)生局部回流并最終向兩側(cè)流去，同樣產(chǎn)生渦旋。隨著開(kāi)度的增大，大口徑板加強(qiáng)型蝶閥管內(nèi)流場(chǎng)趨于平緩；在中等開(kāi)度下，閥板和閥板加強(qiáng)結(jié)構(gòu)接觸來(lái)流位置的后側(cè)產(chǎn)生渦旋，閥桿后方的圓柱繞流在周圍流場(chǎng)影響下同樣產(chǎn)生渦旋；在較大開(kāi)度下，閥桿后方的渦旋會(huì)逐漸減小。隨著開(kāi)度的增大，渦旋影響的范圍逐漸縮小，左側(cè)渦旋影響范圍擴(kuò)大，加強(qiáng)結(jié)構(gòu)處渦旋由于氣體流速增大而受到約束收縮，閥后的渦旋隨速度差的減小而擴(kuò)大其影響的范圍?？梢钥吹?，閥門開(kāi)度對(duì)流場(chǎng)流速分布有顯著影響，在相同壓比的條件下，流速與質(zhì)量流量會(huì)隨開(kāi)度增大而增大。

圖5 不同開(kāi)度下兩種大口徑蝶閥截面流速流線分布（Pr=0.8）Fig.5 Velocity distribution of large-diameter butterfly valves at varying opening（Pr=0.8）

圖6示出2種大口徑蝶閥質(zhì)量流量隨開(kāi)度和壓比變化的曲線。可以看出，2種大口徑蝶閥的質(zhì)量流量隨開(kāi)度與壓比變化具有相似的趨勢(shì)，在相同的壓比條件下，大口徑蝶閥質(zhì)量流量隨閥門開(kāi)度的增大而增加，且其趨勢(shì)大體上表現(xiàn)出先增強(qiáng)后減弱的特點(diǎn)。在相同的開(kāi)度條件下，質(zhì)量流量隨壓比增加而減小，且其趨勢(shì)逐漸加強(qiáng)。

圖6 大口徑蝶閥不同壓比和開(kāi)度下的質(zhì)量流量Fig.6 Mass flow rate of large-diameter butterfly valves at varying opening and pressure ratio

3 大口徑蝶閥流量系數(shù)計(jì)算公式

流量系數(shù)表示在閥門打開(kāi)一定的角度時(shí)的壓力損失和單位質(zhì)量流量的關(guān)系，流量系數(shù)越大，則閥門流通能力越好。對(duì)于空氣等可壓縮流體，可利用等熵過(guò)程方程、理想氣體狀態(tài)方程、連續(xù)性方程和伯努利方程推導(dǎo)出大口徑蝶閥的質(zhì)量流量計(jì)算式為［17］：

式中，Q為質(zhì)量流量，kg/s；Φ為流量系數(shù)，無(wú)量綱數(shù)；A為大口徑蝶閥流通面積，m2；P1為大口徑蝶閥閥前壓力，Pa；R為通用氣體常數(shù)，J/（kg·k），對(duì)空氣取287 J/（kg·K）；T1為大口徑蝶閥閥前溫度，K。

2種大口徑蝶閥對(duì)應(yīng)的流通面積隨開(kāi)度變化關(guān)系見(jiàn)表2。其中，A1表示塊加強(qiáng)型蝶閥的流通面積，A2表示板加強(qiáng)型蝶閥的流通面積。

表2 大口徑蝶閥不同開(kāi)度下的閥門流通面積Tab.2 Flow areas of large-diameter butterfly valves at varying opening

圖7 2種大口徑蝶閥的流量系數(shù)隨開(kāi)度和壓比變化對(duì)比Fig.7 Comparison between flow coefficients of two kinds of large-diameter butterfly valves at varying opening and pressure ratio

相同壓比下，在開(kāi)度小于40%時(shí)，隨開(kāi)度的增大，流量系數(shù)呈減小的趨勢(shì)；在開(kāi)度達(dá)到40%而小于80%時(shí)，流量系數(shù)隨開(kāi)度增大而增大；在開(kāi)度為90%時(shí)，流量系數(shù)又相對(duì)80%開(kāi)度的有所減小。在相同開(kāi)度條件下，大口徑蝶閥的流量系數(shù)隨壓比的增大而減小，且隨著壓比的增大，流量系數(shù)減小的趨勢(shì)更加顯著?？偟膩?lái)說(shuō)，在大開(kāi)度下，壓比對(duì)大口徑蝶閥的流量系數(shù)的影響較開(kāi)度的影響更加顯著。特別注意到，大口徑蝶閥的流量系數(shù)隨壓比和開(kāi)度的變化均具有顯著的非線性特性。

可以看到，除10%的開(kāi)度外，大口徑板加強(qiáng)蝶閥的流量系數(shù)均高于大口徑塊加強(qiáng)蝶閥的流量系數(shù)，并在50%的開(kāi)度下達(dá)到最大差值為0.298 0；且大口徑板加強(qiáng)型蝶閥的流量系數(shù)提高率最高為15.03%，平均提高率為8.928%。在工程實(shí)際中，在小開(kāi)度下密封圈與蝶閥蝶板會(huì)有小幅度摩擦，破壞兩者的接觸邊緣，不利于閥門啟閉精度和閥門全閉時(shí)密封性的保持，一般應(yīng)避免閥門長(zhǎng)時(shí)間在小開(kāi)度工況下工作。在大開(kāi)度的穩(wěn)態(tài)流場(chǎng)中，由于塊加強(qiáng)的加強(qiáng)結(jié)構(gòu)形式不允許流體通過(guò)，使得蝶閥蝶板和加強(qiáng)結(jié)構(gòu)在下游產(chǎn)生了巨大的渦旋，破壞流場(chǎng)的穩(wěn)定性，降低流速、流量，而板加強(qiáng)的加強(qiáng)結(jié)構(gòu)形式使得流體可以穿過(guò)，顯著減小甚至消去了后方的大渦旋，降低能量損失。此外，板加強(qiáng)的結(jié)構(gòu)形式還有助于減小局部回流，增大流速、流量，進(jìn)而提高流量系數(shù)。

通過(guò)流通面積比（A/S）與管道入口雷諾數(shù)Re來(lái)表征閥門開(kāi)度與壓比，大口徑蝶閥流量系數(shù)Φ與管道入口雷諾數(shù)及閥門管道流通面積比的關(guān)系如圖8所示。

圖8 不同閥門管道流通面積比下大口徑蝶閥流量系數(shù)與雷諾數(shù)關(guān)系Fig.8 Relationship between flow coefficients of largediameter butterfly valves at different flow areas of valve pipeline and Reynolds number

下文所指管道雷諾數(shù)均為管道入口處的雷諾數(shù)。發(fā)現(xiàn)2種大口徑異構(gòu)蝶閥的流量系數(shù)均與其管道雷諾數(shù)呈現(xiàn)出一種線性關(guān)系，且該線性關(guān)系的斜率受大口徑蝶閥閥門管道流通面積比影響，其斜率隨著面積比增大而減小。

基于2種大口徑蝶閥的流量系數(shù)計(jì)算結(jié)果及其機(jī)理分析，發(fā)現(xiàn)在確定的流通面積下，閥門流量系數(shù)受管道雷諾數(shù)直接影響，存在一種線性關(guān)系，進(jìn)而給出一種新的基于管道雷諾數(shù)的大口徑蝶閥流量系數(shù)計(jì)算式為：

式中，Φ為流量系數(shù)，無(wú)量綱數(shù)；k為流量系數(shù)隨雷諾數(shù)線性變化的斜率系數(shù)；S為管道流通面積，m2；A為大口徑蝶閥流通面積，m2；Re為管道雷諾數(shù)；

圖9示出的2種大口徑異構(gòu)蝶閥k隨S/A變化的規(guī)律是相同的，基于上述數(shù)值仿真結(jié)果，給出k的具體表達(dá)式為：

圖9 2種蝶閥對(duì)應(yīng)的k值與所提出公式的k曲線Fig.9 Comparison between the corresponding k value of the two kinds of butterfly valves and k curve of the formula proposed

從圖中可以看到，具有不同加強(qiáng)結(jié)構(gòu)形式的2種大口徑蝶閥在流量和流量系數(shù)上都存在較大差異，而在其與管道雷諾數(shù)及流通面積比的規(guī)律上則體現(xiàn)出一致性。和原有計(jì)算公式相比較，此計(jì)算公式只需測(cè)得雷諾數(shù)與閥門流通面積就可以計(jì)算流量系數(shù)，不需要再測(cè)量質(zhì)量流量與閥前壓力等值，且在實(shí)際工程中，管道雷諾數(shù)比流量更容易測(cè)得。將流量系數(shù)式（5）代入式（4），得到新的大口徑蝶閥流量計(jì)算式為：

通過(guò)式（7）計(jì)算大口徑蝶閥在各開(kāi)度和壓比下的質(zhì)量流量，與CFD數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖10所示。所提出的流量系數(shù)公式與CFD仿真計(jì)算值誤差見(jiàn)表3，從表中可以看出，最大誤差為6.71%，且僅有1組數(shù)據(jù)誤差大于±5%，故本文提出的流量系數(shù)計(jì)算公式與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了所提出的計(jì)算式的準(zhǔn)確性和可靠性。

圖10 大口徑蝶閥質(zhì)量流量仿真值與公式計(jì)算值對(duì)比Fig.10 Comparison between the simulated value of the mass flow rate of large-diameter butterfly valve and the calculated value of the formula proposed

4 結(jié)論

（1）大口徑蝶閥的質(zhì)量流量隨著開(kāi)度增大、壓比減小而增大；流量系數(shù)隨著壓比增大而減小，隨著開(kāi)度先減小后增大最終再次減小，其曲線轉(zhuǎn)折點(diǎn)分別出現(xiàn)在對(duì)應(yīng)40%，80%開(kāi)度的位置。

（2）板加強(qiáng)型蝶閥相較于塊加強(qiáng)型蝶閥，減小閥后渦旋顯著，減少能量損失，在閥門的主要工作范圍內(nèi)提高了流量系數(shù)。

（3）在已有公式的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)大口徑蝶閥流量系數(shù)與管道雷諾數(shù)存在一種線性關(guān)系，提出基于管道雷諾數(shù)的流量系數(shù)計(jì)算公式，并驗(yàn)證了該式的準(zhǔn)確性。