考慮剪力滯和剪切變形效應的UHPC箱梁長期撓度分析

馬俊軍，藺鵬臻，劉應龍，何志剛

(1.蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州交通大學 建筑與城市規(guī)劃學院，甘肅 蘭州 730070)

箱梁因具有抗彎扭剛度大、結(jié)構(gòu)自重輕和造型優(yōu)美等優(yōu)點,已在國內(nèi)外橋梁建設中得到廣泛應用[1-2]。大量工程實踐和理論研究表明,在長期荷載作用下,由于收縮徐變效應引起的箱梁跨中撓度下?lián)线^大和梁體開裂是導致混凝土箱梁受力性能和耐久性能不斷降低的主要原因[3-4]。因此,準確計算和預測箱梁在長期荷載作用下梁體撓度發(fā)展規(guī)律對我國混凝土橋梁結(jié)構(gòu)的建設具有重要意義[5-6]。

1 鋼筋混凝土箱梁時變撓度計算的控制微分方程

1.1 考慮全截面剪切變形對梁撓度計算的影響

在豎向荷載作用下,由剪力引起的截面剪切變形使截面發(fā)生翹曲,進而引起梁的附加撓度。以變形前截面中性軸的交點為坐標原點,沿梁豎向和縱向分別為z軸和x軸,考慮剪切變形后梁體截面轉(zhuǎn)角示意見圖1。根據(jù)鋼筋混凝土梁剪切變形原理,在豎向荷載作用下,任意時刻截面彎曲變形θ、剪切變形γ與撓度w之間的變化關系為[5]

圖1 考慮剪切變形的梁截面轉(zhuǎn)角示意

(1)

1.2 加載時刻翹曲位移函數(shù)的選取

在分析加載時刻混凝土箱梁剪力滯分布規(guī)律時,考慮到箱梁在豎向彎曲荷載作用下上、下翼緣板剪切變形的影響,在描述箱梁彎曲變形時,只采用廣義撓曲位移函數(shù)w(x,t0)無法真實反映箱梁的真實彎曲變形,需再引入一個能夠反映橫截面變形的縱向翹曲位移函數(shù)u(x,y,z,t0)。在箱梁截面中,以中性軸的交點為坐標原點,沿梁縱向為x軸,箱梁縱向翹曲位移見圖2。圖2中,h1、h2、h3分別為箱梁頂板、懸臂板底板至箱梁中心軸的距離。根據(jù)箱形截面梁彎曲變形特點,結(jié)合文獻[18],梁體各截面縱向翹曲位移函數(shù)u(x,y,z,t0)為

圖2 箱梁縱向翹曲位移示意

u(x,y,z,t0)=hi[θ(x,t0)+fi(y,z)U(x,t0)]

(2)

式中:U(x,t0)為箱梁翼板剪切變形的最大差值;θ(x,t0)為加載時刻梁段彎曲變形;hi為箱梁各翼板中心至箱梁形心軸的距離;fi(y,z)為箱梁截面剪力滯翹曲位移函數(shù)。

單箱單室箱形截面梁見圖3。圖3中,b1、b2、b3、tw分別為箱梁頂板、懸臂板、底板及腹板的寬度;ts1、ts2、ts3、tsr分別為箱梁頂板、懸臂板、底板、腹板中鋼筋等效厚度。

圖3 單箱單室箱梁橫截面示意

根據(jù)箱梁截面各翼板的構(gòu)造特點和豎向荷載作用下各翼板剪切變形規(guī)律和剪力流分布規(guī)律[18-19],箱梁各翼板翹曲位移函數(shù)分別取為

(3)

式中:ξ2為箱梁懸臂板面積A2與頂板面積A1之比,ξ2=A2/A1;ξ3為箱梁底板面積A3與上翼板面積(A1+A2)之比,ξ3=A3/(A1+A2)。

1.3 長期荷載作用下混凝土應力應變關系

1.3.1t時刻混凝土應變和彎曲變形

根據(jù)CEB-FIP 2010[20],在單向不變荷載作用下,t時刻混凝土的總應變εct(t)可由加載時刻(t0時刻)混凝土彈性應變εc(t0)、徐變應變εcc(t)以及收縮應變εsh(t,tsh)組成,即

εct(t)=εc(t0)+εcc(t)+εsh(t,tsh)

(4)

式中:εct為t時刻混凝土的總應變;tsh為混凝土收縮開始時間。

圖4 不同時刻混凝土應變與彎曲變形之間的關系

(5)

(6)

1.3.2 徐變系數(shù)

根據(jù)ACI209委員會建議,在單向不變荷載作用下,混凝土徐變系數(shù)φ(t,t0)可表示為t時刻混凝土徐變應變與彈性應變的比值[21],即

φ(t,t0)=εcc(t)/εc(t0)

(7)

式中:εc(t0)為加載時刻混凝土彈性應變;εcc(t)為t時刻混凝土徐變應變。

1.3.3t時刻混凝土應力應變關系

按照疊加原理,在t0時刻施加初應力σc(t0)后,又在t0至t時刻連續(xù)施加應力增量dσc的混凝土,之后t時刻混凝土總應變εct(t)為

J(t,t0)dτ+εsh(t,tsh)

(8)

J(t,t0)=[1+φ(t,t0)]/Ec

(9)

式中:J(t,t0)為混凝土徐變度;Ec為混凝土初始彈性模量。

研究結(jié)果表明,在線彈性范圍內(nèi),混凝土徐變泊松比為常數(shù),并等于瞬時彈性應變的泊松比[5,10],因此考慮時變效應后的混凝土應力應變關系可表示為

εct(t)=Aσc(t0)J(t,t0)+εsh(t,tsh)+

(10)

(11)

式中:μ為混凝土泊松比;εct(t)為t時刻混凝土應變列陣,εct(t)=[εx(t),εy(t),εz(t),γxy(t),γxz(t)γyz(t)]T,εx(t)、εy(t)、εz(t)分別為t時刻混凝土沿x、y、z方向的正應變,γxy(t)、γxz(t)、γyz(t)分別為t時刻混凝土沿xy、xz、yz平面的剪應變;σc(t0)為t0時刻混凝土應力列陣,σc(t0)=[σx(t0),σy(t0),σz(t0),τxy(t0),τxz(t0),τyz(t0)]T,σx(t0)、σy(t0)、σz(t0)分別為t0時刻混凝土沿x、y、z方向的正應力,τxy(t0)、τxz(t0)、τyz(t0)為t0時刻混凝土沿xy、xz、yz平面的剪應力;εsh(t,tsh)為混凝土收縮列陣。

為便于公式推導,將u(x,y,z,t0)、φ(t,t0)、J(t,t0)、εsh(t,tsh)、θ(x,t0)、θ(x,t)、w(x,t)分別簡寫為ut0、φ、J、εsh、θt0、θt、wt。

1.4 考慮徐變的剪力滯微分方程的建立

在應變能計算中,假定:①梁體各翼板豎向之間無擠壓(εz?0);②板平面外的剪切變形γxz與γyz以及橫向應變εy均很小,可忽略不計[21];③混凝土材料收縮徐變特性不會對箱梁縱向應力分布形狀產(chǎn)生影響,t時刻箱梁縱向位移函數(shù)與初始時刻保持一致[5]。則根據(jù)混凝土本構(gòu)關系,在不計混凝土收縮徐變引起的應力增量情況下,t時刻混凝土的縱向應變εx(t)、剪切變形γxy(t)、彎曲變形θt可分別表示為

εx(t)=σx(t0)J+εsh=εx(t0)(1+φ)+εsh

(12)

γxy(t)=2(1+μ)τxy(t0)J=γxy(t0)(1+φ)

(13)

(14)

根據(jù)t0時刻混凝土箱梁縱向位移函數(shù)u(x,y,z,t0),利用幾何方程可得t0時刻梁體任意截面任意位置混凝土正應變εix(t0)和剪應變γixy(t0)分別為[21]

(15)

(16)

式中:i=1,2,3;U′t0為箱梁翼板剪切變形最大差值的一階導數(shù)。

將式(15)代入式(12),可得t時刻混凝土縱向應變?yōu)?/p>

εix(t)=(1+φ)hi[θ′t0+fi(y,z)U′t0]+εsh

(17)

將式(16)代入式(13),可得t時刻混凝土剪切變形為

γixy(t)=f′i(y,z)Ut0(1+φ)

(18)

結(jié)構(gòu)體系的總勢能定義為結(jié)構(gòu)各部位總應變能與外力勢能之差[21],即

(19)

各應變能和外力勢能計算式分別如下:

1)翼板應變能

(20)

式中:V為梁段體積;Gc為混凝土初始剪切模量。

2)箱梁腹板應變能

(21)

式中:Ic4為腹板對形心軸的慣性矩;A4為腹板面積。

將式(14)代入式(21)后,可得t時刻箱梁腹板應變能為

(22)

3)鋼筋應變能

(23)

式中:Es為鋼筋彈性模量;εst(t)為考慮混凝土收縮徐變后鋼筋的總橫向應變,根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件和幾何方程[21],其表達式為

εist(t)=(1+φ)hi[θ′t0+fi(y,z)U′t0]

(24)

4)外力勢能

(25)

結(jié)合式(14),梁體外力勢能可改寫為

(26)

將式(20)、式(22)、式(23)、式(25)代入式(19),可得體系總勢能Π為

(27)

式中:K1=EcIc+EsIs;K2=EcIcu+EsIsu;K3=EcIcf+EsIsf;Ic=Ic1+Ic2+Ic3+Ic4;Is=Is1+Is2+Is3;Icu=3/4(Ic1+Ic2ξ2+Ic2ξ2);Isu=3/4(Is1+Is2ξ2+Is3ξ3);Icf=9/14(Ic1+Ic2ξ22+Ic3ξ32);Isf=9/14(Is1+Is2ξ22+Is3ξ32);Au=9/5(Ic1/b12+Ic2ξ22/b22+Ic3ξ32/b32);Ic、Is分別為箱梁全截面豎向彎曲慣性矩和翼板中鋼筋對截面形心軸的慣性矩;Icu、Isu分別為翼板、翼板中鋼筋剪滯翹曲慣性矩;Icf、Isf分別為翼板、翼板中鋼筋剪滯翹曲慣性積;Au為翼板的剪滯翹曲面積;Sc為翼板對截面形心軸的靜矩;Scf為翼板剪滯翹曲部分對截面形心軸的靜矩;Ic1、Ic2、Ic3分別為箱梁頂板、懸臂板和底板對截面形心軸的慣性矩;Is1、Is2、Is3、Is4分別為箱梁頂板、懸臂板、底板和腹板中鋼筋對截面形心軸的慣性矩。

根據(jù)最小勢能原理[21],對式(27)進行變分運算,可得到t時刻徐變、收縮及剪力滯耦合作用下梁體控制微分方程和邊界條件。得到的控制微分方程表達式為

(28)

邊界條件為

(29)

式中:x1、x2分別為箱梁計算起始截面和終止截面的位置。

(30)

K1θ″t0=-K2U″t0-Q(x)

(31)

1.5 考慮徐變的剪力滯撓度求解

求解式(28),可得到縱向翹曲位移函數(shù)的通解為

(32)

式中:C1、C2為通解中的待定常數(shù),可由邊界條件式(29)確定。

通過對式(31)進行積分,可得初等梁理論計算的曲率θ′t0表達式為

(33)

整理式(28)第三式和式(33),可得梁體撓度為

wt=wt1+wt2+wt3+wt4+C4x+C5

(34)

值得注意的是,在不計收縮徐變效應后,式(34)可退化為用于加載時刻混凝土梁的撓度計算表達。與此同時,若忽略第二項wt2剪力滯效應和第四項wt4剪切效應后,式(34)將進一步退化為初等梁撓度理論解。

2 不同荷載作用下簡支梁時變撓度計算理論解

2.1 簡支梁承受均布荷載的撓度解

2.1.1 縱向翹曲位移

以跨徑為l的混凝土簡支箱梁承受滿跨均布荷載q,見圖5。

圖5 簡支梁承受滿跨均布荷載

跨內(nèi)任意截面承受的彎矩、剪力分別為

(35)

將式(35)代入式(32),可得

(36)

引入式(29),可得簡支梁承受均布荷載作用時截面縱向翹曲位移為

(37)

2.1.2 撓度計算理論解

將式(35)和式(37)代入式(33),并引入式(29),可得梁體曲率θ′t0的表達式為

(38)

通過整理式(34)、式(35)、式(37)、式(38),并引入邊界條件wt(x=0)=0和wt(x=l)=0,可得梁體撓度為

(39)

2.2 簡支梁承受集中荷載的撓度解

2.2.1 縱向翹曲位移

混凝土簡支箱梁承受集中荷載P,布置見圖6?？鐑?nèi)任意截面承受的彎矩、剪力可用式(40)所示的分段函數(shù)表示,即

圖6 簡支梁承受集中荷載

(40)

將式(40)代入式(32),由邊界條件

(41)

整理可得截面縱向翹曲位移為

(42)

2.2.2 撓度計算理論解

將式(40)和式(42)代入式(33),并引入邊界條件式(29),可得左半部分梁體曲率表達式為

(43)

通過整理式(34)、式(40)、式(42)和式(43),并引入邊界條件wt(x=0)=0和w’t(x=l/2)=0,可得梁體左半部分撓度計算式為

(44)

3 算例分析

選取文獻[23]中跨徑為24 m的UHPC簡支箱梁作為算例,其截面尺寸及配筋見圖7。UHPC立方體抗壓強度fck為120 MPa,棱柱體抗壓強度fcm為88 MPa,抗拉強度fct為6 MPa,彈性模量為4.4×104MPa,泊松比μ為0.2。鋼筋N1～N11均采用直徑為10 mm的HPB300鋼筋,其彈性模量為210 GPa,泊松比為0.3,抗拉壓強度為270 MPa。假定在UHPC齡期為4 d時對UHPC簡支箱梁進行加載,荷載作用形式見圖8。根據(jù)DBJ 43/T 325—2017《活性粉末混凝土結(jié)構(gòu)技術規(guī)程》[24],UHPC徐變系數(shù)和收縮應變在加載50 a內(nèi)的發(fā)展情況見圖9。

圖7 箱梁1/2橫截面及配筋示意圖(單位:cm)

圖8 荷載作用示意

圖9 UHPC和NC徐變系數(shù)與收縮應變隨時間的變化

采用有限元分析軟件Midas Civil建立上述UHPC簡支箱梁的三維有限元分析模型,其中UHPC采用8節(jié)點實體單元模擬,鋼筋采用梁單元模擬。忽略鋼筋與混凝土之間的黏結(jié)滑移,鋼筋與混凝土之間采用共節(jié)點的連接方式。建立的有限元模型見圖10。

圖10 UHPC簡支箱梁有限元模型

3.1 加載時刻UHPC簡支箱梁撓度分析

為對比剪力滯效應和剪切效應對簡支梁撓度計算的影響,運用本文理論計算方法和有限元模擬方法計算得到了加載時刻UHPC簡支梁撓度曲線,結(jié)果見圖11,為對比分析不同計算方法的影響,分別按下述方法計算:①初等梁理論計算結(jié)果,即不考慮剪切變形和剪力滯效應影響的撓度,簡稱EBT;②初等梁理論計算結(jié)果的基礎上考慮剪切變形影響后計算所得撓度,簡稱EBL;③初等梁計算結(jié)果的基礎上考慮剪切效應后計算所得撓度,簡稱EBS;④初等梁理論計算結(jié)果的基礎上同時考慮剪切變形和剪力滯效應后計算所得的撓度,簡稱ELS;⑤有限元模擬結(jié)果,簡稱FEA。

圖11 不同計算方法計算的簡支梁撓度曲線

由圖11可知,在不同荷載作用下,運用本文理論公式計算的UHPC簡支梁總撓度與有限元模擬值之間吻合良好,最大撓度之間偏差小于1%。不同分析方法得到的撓度均由跨中向兩側(cè)支點遞減。在均布荷載(集中荷載)作用下,考慮剪切效應后產(chǎn)生的撓度明顯大于考慮剪力滯效應產(chǎn)生的撓度,在跨中截面兩者之間偏差最大,與按初等梁理論計算得到的跨中撓度相比,分別增大了7.6%(9.5%)和1.8%(1.4%),說明箱梁剪切效應對撓度計算的影響大于剪力滯效應。在同時考慮剪力滯效應和剪切效應的情況下,簡支梁跨中撓度分別是初等梁撓度的1.09倍(均布荷載)和1.11倍(集中荷載),表明剪力滯和剪切效應對簡支梁撓度計算存在影響,在箱梁撓度計算時應予以考慮。

3.2 長期荷載作用下UHPC簡支箱梁撓度分析

為描述UHPC收縮徐變對結(jié)構(gòu)附加撓度的影響,在上述ELS分析的基礎上考慮收縮徐變對UHPC簡支箱梁長期性能的影響,采用本文計算方法對不同荷載作用下UHPC簡支箱梁長期性能進行分析。按不同計算方法計算得到的UHPC簡支箱梁加載50 a后的撓度曲線和跨中最大撓度隨時間的變化見圖12,圖12中,ELSSC代表ELS+收縮徐變效應分析。

圖12 收縮徐變對簡支箱梁撓度的影響

由圖12(a)可知,不同荷載作用下,考慮收縮徐變效應后產(chǎn)生的撓度與加載時刻瞬時撓度沿橋梁跨度方向的分布規(guī)律一致,均由跨中向兩側(cè)支點遞減。在均布荷載(集中荷載)作用下,考慮收縮徐變效應后產(chǎn)生的撓度明顯大于加載時刻瞬時撓度,尤其是在跨中截面,兩者之間偏差最大,是加載時刻瞬時撓度的2.52倍(2.57倍)。說明收縮徐變效應對UHPC簡支梁長期撓度計算影響較大。

由圖12(b)可知,在不同荷載作用下,考慮收縮徐變效應計算得到的簡支梁跨中撓度隨服役時間的增加而增大,在加載初期,撓度增長速率較快,后期增長速率較慢,這主要是由于UHPC收縮徐變效應在加載初期發(fā)展較快,后期發(fā)展較慢引起的。

由圖12可知,不同荷載作用下,考慮收縮徐變效應后產(chǎn)生的撓度隨截面位置和時間的變化與有限元模擬結(jié)果一致,二者吻合良好。

3.3 截面配筋對UHPC簡支箱梁長期性能的影響

在上述ELSSC分析的基礎上,對比分析了截面配筋對簡支梁短、長期撓度計算的影響。簡支梁在不同荷載作用下,按不同分析工況計算得到的簡支梁撓度曲線見圖13。圖13中,CR代表考慮截面配筋;NCR代表不考慮截面配筋;t0和t分別代表加載時刻和分析終止時刻,t0=0、t=50 a。

圖13 配筋對簡支梁撓度計算的影響

由圖13可知,不同荷載作用下,不考慮配筋后計算得到的短、長期撓度與考慮配筋后計算得到的短、長期撓度沿跨度方向的分布規(guī)律一致,均由跨中向兩側(cè)支點遞減?？紤]截面配筋后計算得到的箱梁短、長期撓度明顯小于不考慮配筋后的撓度,特別是在跨中截面,兩者之間偏差最大。與不考慮截面配筋后計算得到的箱梁短、長期撓度相比,考慮截面配筋后跨中短期撓度分別減小了4.3%(均布荷載)和4.2%(集中荷載),長期撓度分別減小了11.0%(均布荷載)和10.6%(集中荷載)?？梢娍紤]截面配筋對簡支梁長期撓度的影響大于加載時刻瞬時撓度的影響。表明截面配筋對簡支箱梁短、長期撓度計算影響較大,在計算時應予以考慮。

不同荷載作用下,按不同分析工況計算得到的簡支梁跨中撓度的時程曲線,見圖14。由圖14可知,不同荷載作用下,考慮與不考慮截面配筋后計算得到的箱梁跨中撓度均隨時間的增加而增大,在加載初期,撓度發(fā)展速率較快,后期發(fā)展較慢?？紤]截面配筋后計算得到的跨中撓度明顯小于不考慮截面配筋后得到的箱梁跨中撓度,且隨服役時間的增大,兩者之間的偏差逐漸增大,服役時間從t0增加到t時,兩者之間偏差分別增大了7.9%(均布荷載)和7.5%(集中荷載),表明截面配筋對箱梁長期撓度的影響隨時間的增加而增大。這是由于隨著服役時間的推移,UHPC彈性模量逐漸減小而鋼筋彈性模量不變引起的。

圖14 簡支梁跨中撓度隨時間的變化

3.4 UHPC與NC材料特性對結(jié)構(gòu)長期撓度的影響

在上述ELSSC分析的基礎上,考慮截面配筋的影響,采用上述推導的簡支梁撓度理論計算公式,對滿足設計要求,且具有相同計算參數(shù)、截面形式以及邊界條件的UHPC梁和普通混凝土(NC)梁長期性能進行了分析。NC梁采用C50混凝土。根據(jù)TB 10092—2017《鐵路橋涵混凝土結(jié)構(gòu)設計規(guī)范》[25],C50混凝土極限抗壓強度和彈性模量分別取33.5、3.55×104MPa,泊松比取0.2,收縮徐變系數(shù)在50 a內(nèi)的發(fā)展見圖9。利用理論公式計算了不同荷載作用下NC梁和UHPC梁跨中撓度曲線,結(jié)果見圖15。不同時刻NC梁和UHPC梁跨中撓度計算結(jié)果見表1。

表1 不同時刻UHPC梁和NC梁跨中撓度的對比

圖15 UHPC梁和NC梁跨中撓度隨時間的變化

由圖15和表1可知,與不同荷載作用下NC梁跨中撓度相比,采用UHPC材料后簡支梁跨中瞬時加載撓度減小了18.5%,長期撓度減小了41.2%,說明采用UHPC材料可有效減小梁的短、長期撓度。均布荷載作用下,考慮收縮徐變效應后的NC和UHPC梁跨中撓度相比于加載時刻瞬時撓度分別增大了254.6%和155.8%,集中荷載作用下分別增大了255.9%和156.6%。表明UHPC材料在減小簡支梁短、長期撓度以及收縮徐變引起的撓度變化方面具有良好的抑制效果。

4 結(jié)論

本文綜合考慮箱梁剪切效應、剪力滯效應以及收縮徐變效應的影響,對長期荷載作用下UHPC簡支箱梁撓度進行了計算與分析。通過分析可得出如下結(jié)論:

1) 通過UHPC簡支箱梁算例計算結(jié)果表明,利用本文理論公式計算的箱梁撓度與有限元模擬結(jié)果吻合良好;推導的簡支梁撓度計算公式簡單,物理意義明確,利用公式不僅能計算加載時刻瞬時撓度,還能計算UHPC簡支梁的長期撓度。

2) UHPC簡支箱梁短期撓度計算結(jié)果表明,在均布荷載和集中荷載作用下,考慮剪力滯效應后計算得到的簡支梁跨中撓度分別是初等梁撓度的1.02倍和1.01倍;考慮剪切效應后計算得到的簡支梁跨中撓度分別是初等梁撓度的1.08倍和1.10倍。說明剪力滯和剪切效應對簡支梁撓度計算的影響不可忽略,且剪切效應的影響明顯大于剪力滯效應。

3) UHPC簡支箱梁長期撓度計算結(jié)果表明,收縮徐變效應是導致UHPC簡支梁長期撓度增大的主要原因。在均布荷載作用和集中荷載作用下,考慮UHPC收縮徐變效應后產(chǎn)生的跨中撓度分別是加載時刻瞬時撓度的2.52倍和2.57倍。

4) 考慮截面配筋后計算得到的箱梁短、長期撓度明顯小于不考慮配筋后的撓度,特別是在跨中截面,兩者之間偏差最大。均布和荷載作用下,考慮配筋后箱梁短、長期撓度均分別是不考慮配筋時的0.96、0.89倍。

5) 與NC梁撓度計算結(jié)果對比表明,采用UHPC材料代替NC材料可顯著降低結(jié)構(gòu)的長期撓度。在計算參數(shù)相同的情況下,UHPC梁的短、長期撓度分別是NC梁短、長期撓度的0.82、0.59倍。