基于傅里葉變換的不確定性原理

于海燕,鄭神州

(1. 內蒙古民族大學 數學科學學院,內蒙古 通遼 028043;2. 北京交通大學 數學與統(tǒng)計學院,北京 100044)

表1 可積函數f(x)與其傅里葉變換之間的關系

量子力學與經典物理學的不同之處在于:物體同時具有粒子和波的雙重特性(波粒二象性),作為描述量子態(tài)規(guī)律的薛定諤方程的解是用復變函數形式表示,從統(tǒng)計學的角度看, 量子場解的模平方表示量子運動的概率密度函數. 系統(tǒng)的能量、動量和其他量可以保持為測量值(量子化),并且得知測量值的精度有限(不確定性原理);與經典力學比較最顯著的一個差異,就是不確定性原理. 在量子力學當中,粒子的位置越精確,它的動量就越難確定,反之亦然[4]. 事實上,量子不確定性背后是否有更深刻的原理,這是美國《科學》期刊列出的新世紀要解決的125個科學前沿問題中的第21個,故其研究的重要性不言而喻.

對于信號傳播與其傅里葉變換傳播之間的一個更為定量的表述是量子力學中最著名的不等式:海森伯不確定性原理. 傅里葉變換的伸縮屬性可以看作:如果我們擠壓x中的函數,則其傅里葉變換在ξ中伸展,即同時集中任意一個函數和它的傅里葉變換是不可能實現的.實際上,Paley-Wiener定理:如果f(x)是緊支撐的一個非零分布(這包含緊支撐函數),則其傅里葉變換從不擁有緊支撐; 直接蘊涵在調和分析下的測不準原理的一個非常初等的形式[3,4].

1 傅里葉變換、逆變換式及基本性質

傅里葉變換定義為[1,2]:設

則其傅里葉逆變換式

我們先列出幾個有用的基本性質:

1) 線性性質: 若

如果α,β是常數,則有

F[αf1(t)+βf2(t)]=αF[f1(t)]+βF[f2(t)]

2) 位移和伸縮變換性質:

F[f(t±t0)]=e±iωt0F[f(t)],

3) 微分性質:若f(x)在(-∞, +∞)上連續(xù)或僅有限個可去間斷點,且當|x|→+∞時,f(x)→0, 則F[f′(x)]=iωF[f(x)].

6) Plancherel恒等式:設f∈L1(n)∩L2(n),那么n), 且

2 海森伯不確定性

下面我們依據第一節(jié)中的傅里葉變換性質,給出海森伯不確定性原理的一個證明.

(1)

上面最后一步用了微分性質3.利用Plancherel恒等式和Cauchy-Schwarz不等式, 得到

(2)

另一方面,我們知道任何復數的模總是不少于它的實部.于是有

(3)

所以

注記1:海森伯不確定性原理不僅對復值函數成立, 通過類似方法可以驗證海森伯不確定性原理適用于更一般的標準線性變換、小波變換和更一般的微分-積分變換,最近研究的成果將其拓廣到了Clifford代數中的四元數值等問題上相應的各種變換[5-7].

3 Hardy(哈代)不確定性原理

(4)

2) 下面的菲拉格曼-林德洛夫原理,實際上它是解析函數最大模原理在無界區(qū)域上的一個推廣.嚴格地說,我們不能直接利用一般形式的菲拉格曼-林德洛夫原理,因為它需要函數F(z)是一次冪的指數增長,而在這里有二次冪的指數增長.但是我們可以稍微調整一下F(z)來解決這個問題.首先,設0<θ<π/2,考慮下面的角形區(qū)域Γθ:={reiα:r>0,0≤α≤θ},由式(4)可得

|F(ξ+iη)|≤eπξ2

(5)

因此,如果δ>0,并且θ足夠接近π/2,則有函數eiδz2F(z)在Γθ的邊界上由1控制,那么對于任意足夠小ε>0,exp(-iεeiεz2+ε+iδz2)F(z)也在Γθ的邊界上由1控制,且在Γθ的內部,在無窮遠處趨向于0,從而由極大值原理可知其也由1控制.令ε→0,然后θ→π/2,δ→0,我們可以得到F(z)在右上象限的邊界是1,用同樣的的方法處理剩下的象限.定理得證.

進一步Hardy不確定性原理可推廣為如下.

定理2：設f∈L2(R)滿足

|f(x)|≤C(1+|x|)Ne-aπx2,

其中C>0,N∈Z; 那么若ab>1,則f=0;若ab=1,則存在一個階數至多為N的多項式P(x),使得f(x)=P(x)e-aπx2.

注記2:1) 作為Hardy不確定性在對偶空間(Lp—Lq)上的一個對應,G.W.Morgan[9]得到以下變體版本:設f∈L2(R),10,使得

|f(x)|≤Cexp(-2πp-1ap|x|p),

成立,如ab>|cos(pπ/2)|1/p,那么有f(x)≡0恒成立.

2) Beurling不確定性原理[10]:若f∈L2(Rd),使得

成立,那么存在一個階數至多為(N—d)/2的多項式P,使得f(x)=P(x)e-π〈Ax,x〉成立,這里A是一個確定的d階實正定矩陣.