1階WKB方法在黑洞準(zhǔn)正則模式應(yīng)用研究中的一點(diǎn)說明

徐孝寶

(嶺南師范學(xué)院 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,廣東 湛江 524048)

WKB方法是用來求解定態(tài)薛定諤方程的本征值和本征函數(shù)的一種半經(jīng)典近似的方法,它是由Wentzel、Brillouin和Kramers在1926年提出的. 它的基本思想是在勢函數(shù)V(x)可以看作是“緩慢變化的”,則定態(tài)薛定諤方程的解局部地看來就像是定勢中的解. 這一方法最初被應(yīng)用于計算束縛態(tài)的能量和勢壘的隧穿概率[1,2],例如伽莫夫首次從理論上解釋了α粒子的衰變概率. 隨后人們將WKB方法的應(yīng)用拓展到其他研究領(lǐng)域,t’Hooft認(rèn)為黑洞視界外的霍金輻射粒子所組成的正則系綜的熵對施瓦茲黑洞熵有貢獻(xiàn),為了解決視界處的發(fā)散問題他提出了磚墻(brick wall)模型,并利用WKB方法發(fā)現(xiàn)了黑洞熵是隨視界面積做標(biāo)度變化的規(guī)律[3],從而為黑洞熵的本質(zhì)是糾纏熵的想法提供了重要的依據(jù)[4]. Parikh和Wilczek認(rèn)為霍金輻射可以自然地用粒子對的隧穿效應(yīng)來理解[5,6],用WKB近似他們成功給出霍金輻射的一個半經(jīng)典解釋[7]. 另外,假真空衰變(False vacuum decay)問題的本質(zhì)是量子隧穿效應(yīng),WKB方法也被推廣到研究該問題[8].

與此同時,人們還對WKB方法做了各種推廣,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Maslov將普通的一維WKB方法推廣到了高維情形[9]. Voros等人研究了復(fù)數(shù)域上WKB漸近展開的精確形式,觀察到復(fù)現(xiàn)(resurgence)結(jié)構(gòu)[10],從而深化了人們對非微擾效應(yīng)的認(rèn)識,這一方法現(xiàn)在被稱為“精確WKB方法”. 另外,人們發(fā)現(xiàn)描述黑洞擾動的基本方程與薛定諤方程是同一類型的方程,從而發(fā)展了WKB方法來求解黑洞的準(zhǔn)正則模式問題[11],該方法的基本思想是將兩個漸近解跨過兩個轉(zhuǎn)折點(diǎn)與有效勢頂點(diǎn)處的近似解進(jìn)行匹配. 后來這一方法被推廣到更高階WKB展開,如3階[12]、6階[13]. 對于限制可能的引力理論和檢驗強(qiáng)引力理論,準(zhǔn)確計算出準(zhǔn)正則模式是非常重要的一項工作. 最近,Matyjasek和Opala通過使用帕德近似,將WKB方法推廣展開到第13階[14]. 鑒于WKB方法在許多領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用,本文的目的之一是對該方法有一個較為系統(tǒng)的認(rèn)識. 另外,由于不同文獻(xiàn)的符號約定的差異,滿足邊界條件的準(zhǔn)正則模式漸近解的形式也略有不同,本文將對1階WKB方法的漸近解匹配問題做一點(diǎn)說明,從而幫助讀者更好地理解WKB方法在準(zhǔn)正則模式研究中的應(yīng)用.

1 WKB方法的簡要回顧

1.1 WKB方法的基本思想

一維定態(tài)薛定諤方程:

(1)

式(1)可以簡化為

(2)

ψ(x)～ei S(x)/?

(3)

接著,式(2)化簡為

i ?S″-S′2+?2Q(x)=0

(4)

(5)

不難看出

(6)

(7)

所以,當(dāng)E>V(x)時,一階WKB近似解為

(8)

類似地,當(dāng)E

(9)

1.2 轉(zhuǎn)折點(diǎn)處的WKB近似解

根據(jù)上述的推導(dǎo),WKB近似的準(zhǔn)確性可以歸結(jié)到[15]

(10)

(11)

其中λ=2π/k是粒子的定域德布羅意波長. 這意味著當(dāng)勢函數(shù)緩慢變化以致于粒子的動量在很多波長

范圍內(nèi)近似為常數(shù)時,WKB近似方法是準(zhǔn)確的. 對于E

圖1 勢能函數(shù)曲線

為了得到正確的波函數(shù)和能量值,人們使用跨越轉(zhuǎn)折點(diǎn)的“補(bǔ)丁”波函數(shù),將2個漸近的WKB近似解拼接在一起[1].

我們首先給出“補(bǔ)丁”波函數(shù),在轉(zhuǎn)折點(diǎn)xc附近,勢函數(shù)可近似為

V(x)=E+V′(xc)(x-xc)

(12)

通過變量替換z=α(x-xc)

(13)

(14)

這是Airy方程,其解稱為Airy函數(shù),Ai(z)和Bi(z). 所以“補(bǔ)丁”波函數(shù)的一般形式為

ψp(x)=aAi[α(x-xc)]+bBi[α(x-xc)]

(15)

不妨取xc=x2,當(dāng)x>x2時,利用式(9),易得

(16)

利用Airy函數(shù)的漸近形式,有

(17)

比較式(16)、(17)可得

(18)

接著考慮x

(19)

再對ψp取x<

(20)

比較式(19)和(20),有

A=-i ei π/4D,B=i e-i π/4D

(21)

式(21)稱為聯(lián)絡(luò)公式,它將轉(zhuǎn)折點(diǎn)x2兩邊的WKB解連接在了一起. 這樣,WKB近似解可以寫為

(22)

對轉(zhuǎn)折點(diǎn)x1,做相似的分析,有WKB近似解

(23)

為了使得區(qū)間[x1,x2]之間的WKB近似解自洽,不難得出

(24)

或者

(25)

容易理解的是量子化條件式(25)對應(yīng)于Bohr-Sommerfeld量子化條件[15]

(26)

利用式(25),我們可以容易地得到諧振子的能量本征值.

2 黑洞準(zhǔn)正則模式與1階WKB方法

人們發(fā)現(xiàn)描述黑洞擾動的基本方程與定態(tài)薛定諤方程類似[11]

d2ψ/dx2+Q(x)ψ=0

(27)

在量子力學(xué)中,-Q(x)=2m/?2[V(x)-E],其中E是粒子能量,V(x)是勢壘,其在x→±∞處趨于常數(shù),ψ是波函數(shù).

下面來說明這一方法,在圖2的轉(zhuǎn)折點(diǎn)以外的區(qū)域I、III,WKB解為[2,11]

圖2 函數(shù)-Q(x)曲線

(28)

由于轉(zhuǎn)折點(diǎn)滿足|x2-x1|<<1且[-Q(x)]max≥0,則在區(qū)域Ⅱ,Q(x)可以近似為

(29)

(30)

這里定義了

式(30)的一般解為ψ=ADν(t)+BD-ν-1(t),Dν(t)是拋物柱面函數(shù). 當(dāng)|t|→∞時,利用Dν(t)的漸近形式[2],有

ψ≈Be-3iπ(ν+1)/4(4k)-(ν+1)/4(x-x0)-(ν+1)eik1/2(x-x0)2/2+[A+B(2π)1/2e-iνπ/2/Γ(ν+1)]eiπν/4(4k)ν/4.(x-x0)νe-ik1/2(x-x0)2/2,x>>x2

ψ≈Ae-3iπν/4(4k)ν/4(x0-x)νe-ik1/2(x-x0)2/2+[B-iA(2π)1/2e-iνπ/2/Γ(-ν)]eiπ(ν+1)/4(4k)-(ν+1)/4·(x0-x)-(ν+1)eik1/2(x-x0)2/2,x<

(31)

其中Γ(ν)是伽馬函數(shù). 可以驗證式(31)的2個解中含有e-ik1/2(x-x0)2/2的項與WKB解式(28)中的出射波匹配. 因此,對于準(zhǔn)正則模式,eik1/2(x-x0)2/2項的系數(shù)一定為0,所以B=0并且Γ(-ν)=∞,從而ν是一個正整數(shù). 這樣,準(zhǔn)正則模式需要滿足的條件是

(32)

因為Q是依賴于頻率ω的,再根據(jù)條件式(32),可知準(zhǔn)正則模式頻率是一系列離散的復(fù)數(shù)值. 這被稱作1階WKB方法[11]. 由于文獻(xiàn)[11]沒有說明式(31)的2個解中含有e-ik1/2(x-x0)2/2的項與WKB解式(28)中的出射波匹配的原因,下面具體分析這個原因,這將有助于人們更好地應(yīng)用WKB方法.

首先,在該論文里擾動場的時間依賴是eiωt,這與現(xiàn)在大多數(shù)文獻(xiàn)的選擇不同[16-18]. 根據(jù)準(zhǔn)正則模式是相對于“勢壘”的出射波,時間依賴eiωt的這一選擇導(dǎo)致準(zhǔn)正則模式的邊界條件為[11]

(33)

(34)

另一方面,我們也可以發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)正則模式的邊界條件式(33)與Konoplya等人的約定[17]是一致的. 在文獻(xiàn)[17]中,黑洞擾動的基本方程為

(35)

和式(27)比較可得U(x,ω)?-Q(x)

(36)

(37)

其中漸近波數(shù)k±(ω)是正數(shù),滿足

不難發(fā)現(xiàn),式(37)與(33)是一致的. 進(jìn)一步地有

(38)

如果x→±∞,V(x)→0,則可得

其中Reω<0. 這樣,在不同的符號約定下準(zhǔn)正則模式的邊界條件都等價于式(33). 進(jìn)一步地,滿足準(zhǔn)正則模式邊界條件的WKB漸近解為式(34). 更早地討論正確選擇WKB漸近解的準(zhǔn)正則模式邊界條件的文獻(xiàn)有[19]、[20].

(39)

(40)

這樣,極值點(diǎn)附近的解析解ψⅡ在無窮遠(yuǎn)(x→+∞)和視界(x→-∞)處的漸近形式(31)滿足準(zhǔn)正則模式邊界條件的漸近解,應(yīng)該是∝e-ik1/2(x-x0)2/2的項. 所以,漸近形式(31)中∝eik1/2(x-x0)2/2前的系數(shù)必須為零,即B=0并且Γ(-ν)=∞. 進(jìn)一步地得到了計算準(zhǔn)正則模式的1階WKB近似公式

(41)

所以,Destounis在回顧WKB方法時[21],關(guān)于擾動場的時間依賴項的選擇∝e-iωt與其所得出的結(jié)論是不自洽的.

不難看出式(41)類似于Bohr-Sommerfeld量子化條件式(26)或(24)、(25)[16]. 根據(jù)式(24),有

(42)

再利用式(39),有

(43)

從而

(44)

(45)

可以看出,式(45)和1階WKB近似式(41)形式上相同.

3 結(jié)論

本文回顧了WKB方法的基本原理,并且說明了利用1階WKB方法求解黑洞準(zhǔn)正則模式問題時漸近解是如何匹配的,從而為人們解決如何使用WKB方法計算黑洞準(zhǔn)正則模式的問題提供更多的參考依據(jù). 應(yīng)用WKB方法計算黑洞準(zhǔn)正則模式的一個重要前提條件是有效勢函數(shù)只有一個極值點(diǎn),然而這一條件并不適用于有質(zhì)量標(biāo)量場的擾動,此時有效勢函數(shù)有2個極值點(diǎn)[22],從而會出現(xiàn)3個轉(zhuǎn)折點(diǎn),這將增加WKB漸近解匹配的復(fù)雜性[23]. 近年來,人們對蟲洞的準(zhǔn)正則模式也做了大量研究,發(fā)現(xiàn)一些蟲洞的有效勢存在兩個極大值,從而傳統(tǒng)的WKB方法不能應(yīng)用于計算準(zhǔn)正則模式[24]. 推廣WKB方法來計算蟲洞的準(zhǔn)正則模式將是一件有意義的工作.