趙敬華 施佳 榮海迎 林杰

收稿日期：2023-05-29；修回日期：2023-07-27? 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（72201173）；上海市“科技創(chuàng)新行動(dòng)計(jì)劃”軟科學(xué)研究項(xiàng)目（22692108400）

作者簡(jiǎn)介：趙敬華（1984—），女，山東冠縣人，副教授，碩導(dǎo)，博士，主要研究方向?yàn)楣芾頉Q策分析、互動(dòng)創(chuàng)新等；施佳（1999—），女（通信作者），浙江湖州人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闆Q策分析（222421172@st.usst.edu.cn）；榮海迎（1997—），女，安徽懷遠(yuǎn)人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闆Q策分析；林杰（1967—），男，四川渠縣人，教授，博導(dǎo)，博士，主要研究方向?yàn)闆Q策支持系統(tǒng)、供應(yīng)鏈優(yōu)化與仿真、數(shù)據(jù)挖掘等．

摘? 要：針對(duì)司法案件決策環(huán)境的復(fù)雜性及評(píng)價(jià)信息的模糊性，提出一種基于GRA-GCRITIC（grey relational analysis-group criteria importance through intercriteria correlation）和改進(jìn)加權(quán)雙向投影的區(qū)間Fermatean模糊Hamacher-TODIM多屬性群決策方法。首先考慮到各位專家對(duì)各評(píng)價(jià)方案下各指標(biāo)評(píng)價(jià)信息的差異性，提出一種GRA-GCRITIC方法，該方法將灰色關(guān)聯(lián)融入到CRITIC中，以確定指標(biāo)綜合權(quán)重比單一獲取的指標(biāo)權(quán)重更加客觀可靠；其次，結(jié)合信任關(guān)系對(duì)加權(quán)雙向投影法進(jìn)行改進(jìn)，兼顧主客觀關(guān)系，利用專家個(gè)體與群體評(píng)價(jià)信息的隸屬度及非隸屬度矩陣間的相似度得到專家權(quán)重；最后，考慮到?jīng)Q策者的損失規(guī)避心理，將融合了Hamacher算子的TODIM方法拓展至區(qū)間Fermatean模糊環(huán)境中，通過(guò)具體算例可得到其綜合優(yōu)勢(shì)度及排序，驗(yàn)證了所提方法的可行性及靈活性。

關(guān)鍵詞：區(qū)間Fermatean模糊；GRA-GCRITIC；改進(jìn)加權(quán)雙向投影；Hamacher-TODIM；多屬性群決策

中圖分類號(hào)：C934；TP391.9??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695（2024）02-026-0493-08

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.05.0233

Interval-valued Fermatean fuzzy multi-attribute group decision-making method based on GRA-GCRITIC and improved weighted bidirectional projection

Zhao Jinghua1，Shi Jia1，Rong Haiying1，Lin Jie2

（1.School of Management，University of Shanghai for Science & Technology，Shanghai 200093，China；2.School of Economics & Management，Tongji University，Shanghai 200092，China）

Abstract：Aiming at the complexity of the judicial case decision-making environment and the fuzziness of evaluation information，this paper proposed an interval-valued Fermatean fuzzy Hamacher-TODIM multi-attribute group decision-making method based on GRA-GCRITIC and improved weighted bidirectional projection.Firstly，considering the differences in evaluation information of each index under each evaluation scheme by experts，this paper proposed a GRA-GCRITIC method，which integrated grey relation into CRITIC to determine the comprehensive weight of indicators more objectively and reliably than obtaining a single indicator weight.Secondly，considering the subjective and objective relationship，this paper used the trust relationship to improve the weighted bidirectional projection method.The approach utilized the similarity between the membership and non-membership degree matrices of expert individual and group evaluation information to obtain expert weights.Finally，considering the decision-makers loss aversion psychology，this paper extended the TODIM method，which incorporated the Hamacher operator，to an interval-valued Fermatean fuzzy environment.And a specific case used this method to obtain the comprehensive advantage and ranking.It verifies the feasibility and flexibility of the proposed method.

Key words：interval-valued Fermatean fuzzy；GRA-GCRITIC；improved weighted bidirectional projection；Hamacher-TODIM；multi-attribute group decision-making

0? 引言

近年來(lái)，司法輿情案件的相關(guān)話題易引起社會(huì)高度關(guān)注，而社會(huì)輿論一定程度上也會(huì)使該類案件陷入“執(zhí)行難”的困境，以至于影響社會(huì)法治化進(jìn)程［1］。因此，諸多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究。王新雷等人［2］通過(guò)分析220件涉人工智能案件的裁判結(jié)果，指出現(xiàn)階段該類案件在法律適用方面存在的突出難題；白梅［3］針對(duì)民間借貸案件執(zhí)行難問(wèn)題，指出各部門各組織需增強(qiáng)協(xié)作配合，強(qiáng)化執(zhí)行措施等，以確保案件執(zhí)行難的問(wèn)題標(biāo)本兼治。在現(xiàn)有研究成果中，主要體現(xiàn)在案件執(zhí)行難的困境描述以及給出相應(yīng)的解決措施， 較少采用科學(xué)的決策方法對(duì)司法案件進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。考慮到司法領(lǐng)域的復(fù)雜性、不確定性，以及單人決策的局限性，專家群體在評(píng)價(jià)司法案件時(shí)會(huì)涉及到多方面因素，可將其視為一個(gè)多屬性群決策問(wèn)題。

專家群體由于自身知識(shí)水平、經(jīng)驗(yàn)等差異性難以對(duì)復(fù)雜的司法案件作出準(zhǔn)確評(píng)價(jià)，往往以模糊數(shù)的形式表達(dá)自身偏好。為了使評(píng)價(jià)信息表達(dá)方式更全面有效，學(xué)者不斷拓展模糊集的相關(guān)研究，Senapati等人［4］將隸屬度與非隸屬度范圍擴(kuò)充至0≤μ3+v3≤1 ，提出了Fermatean模糊集（FFS）；Jeevaraj［5］在FFS基礎(chǔ)之上，提出區(qū)間Fermatean模糊集（IVFFS），以［0，1］中的閉合子區(qū)間來(lái)刻畫隸屬度和非隸屬度，從而更為靈活高效地度量不確定信息。關(guān)于IVFFS已有較多的研究成果，譬如Jeevaraj［5］提出了距離測(cè)度、相似測(cè)度和得分函數(shù)、精確函數(shù)等；Rani等人［6］在此基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)得分函數(shù)并驗(yàn)證其有效性。集成算子在多屬性群決策過(guò)程中起到聚合專家群體評(píng)價(jià)值的作用，除了最常見(jiàn)的加權(quán)平均、幾何算子以外，Einstein算子［6］、Hamacher算子［7］、Frank算子［8］等也在逐步應(yīng)用至IVFFS中。IVFFS常用的決策方法有TOPSIS［6］、COPRAS［9］等，但考慮決策者損失規(guī)避心理的TODIM方法鮮有研究。同時(shí)，現(xiàn)有文獻(xiàn)中TODIM模糊評(píng)價(jià)方法仍存在不足，學(xué)者主要將其應(yīng)用于最終評(píng)價(jià)結(jié)果［10］，而忽略了聚合信息過(guò)程中決策者的心理行為，即結(jié)合集成算子的TODIM法有待深入探究。

在實(shí)際進(jìn)行決策時(shí)，屬性間往往存在一定的聯(lián)系。譬如司法案件的執(zhí)行時(shí)間長(zhǎng)短會(huì)在一定程度上體現(xiàn)出其執(zhí)行機(jī)制是否合理，也會(huì)影響到其法律效應(yīng)和社會(huì)效應(yīng)，而執(zhí)行質(zhì)量的結(jié)果也會(huì)從中有所凸顯。相反，案件的執(zhí)行程序是否得當(dāng)?shù)戎T多因素也會(huì)對(duì)執(zhí)行時(shí)間有所影響。CRITIC法是以標(biāo)準(zhǔn)差和線性相關(guān)系數(shù)來(lái)衡量屬性間的差異和關(guān)聯(lián)［11］，諸多學(xué)者將該方法與改進(jìn)得分函數(shù)［6］、距離相關(guān)性［12］、CODAS-SORT法［13］、TOPSIS法［14］等相融合，從而獲取影響決策的多維屬性權(quán)重。但屬性間的關(guān)聯(lián)不一定是線性關(guān)系，通常存在非線性關(guān)系?；疑P(guān)聯(lián)（GRA）的基本思想是以序列曲線幾何形狀的逼近程度來(lái)判斷其聯(lián)系是否緊密，若曲線越接近，相應(yīng)的序列之間關(guān)聯(lián)度就越大，反之就越?。?5］?；谊P(guān)聯(lián)度能更加靈活地反映屬性間的非線性關(guān)系，進(jìn)而得到屬性權(quán)重信息。張識(shí)宇等人［15］將CRITIC法和灰關(guān)聯(lián)度結(jié)合應(yīng)用于精確數(shù)的評(píng)價(jià)環(huán)境中，獲取組合權(quán)重。然而，區(qū)間Fermatean模糊集灰關(guān)聯(lián)度的研究鮮有文獻(xiàn)發(fā)表。

若片面地由某位專家對(duì)司法案件進(jìn)行主觀評(píng)價(jià)，這可能很難達(dá)成專家群體共識(shí)，因此采用專家群體智慧進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的方法會(huì)顯得更加客觀可靠。而專家群體往往具備不同的決策能力，選擇合適的專家權(quán)重確定方法有利于完善多屬性群決策體系?，F(xiàn)階段基于區(qū)間Fermatean模糊環(huán)境的多屬性群決策中，學(xué)者往往直接根據(jù)專家影響力或?qū)＜议g的信任程度［8］主觀賦予專家權(quán)重，鮮有學(xué)者對(duì)其進(jìn)行深入探究，僅發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)［7］提出了一個(gè)專門用來(lái)確定專家權(quán)重的公式，以及文獻(xiàn)［16］基于前景理論獲得專家前景權(quán)重。但在其他模糊環(huán)境下，學(xué)者常根據(jù)客觀評(píng)價(jià)信息來(lái)確定專家權(quán)重，梁薇等人［17］在基本不確定區(qū)間猶豫模糊環(huán)境下，提出了基于可信度的專家權(quán)重確定方法；杜秀麗等人［18］將加權(quán)雙向投影法引入到區(qū)間直覺(jué)模糊環(huán)境中，通過(guò)專家與群體間的偏好相似度來(lái)確定專家權(quán)重；趙敬華等人［19］在畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境中融合了信任網(wǎng)絡(luò)和偏好相似度，綜合主客觀因素以獲得專家權(quán)重，并將其應(yīng)用到應(yīng)急群決策中。

經(jīng)上述文獻(xiàn)梳理可知，區(qū)間Fermatean模糊環(huán)境下的決策方法仍較少，還未涉及到考慮決策者損失規(guī)避心理行為的TODIM方法，且現(xiàn)階段TODIM方法缺少與集成算子的結(jié)合。同時(shí)現(xiàn)有研究成果主要集中在供應(yīng)商的選擇、新能源汽車充電樁的選址、應(yīng)急決策等領(lǐng)域，但對(duì)于司法案件評(píng)價(jià)背景下的多屬性群決策方法的研究較少。目前未見(jiàn)學(xué)者將GRA與CRITIC方法結(jié)合應(yīng)用于區(qū)間Fermatean模糊環(huán)境中的屬性權(quán)重確定；且關(guān)于專家權(quán)重的研究還有待拓展。鑒于此，本文提出一種基于GRA-GCRITIC和改進(jìn)加權(quán)雙向投影的區(qū)間Fermatean模糊Hamacher-TODIM多屬性群決策方法，并將該方法應(yīng)用于司法案件評(píng)價(jià)中。

1? 預(yù)備知識(shí)

定義1［3］? 設(shè)X為論域，則該論域上的Fermatean模糊集（FFS）可表示為

F={〈x，μF（x），νF（x）〉|x∈X}（1）

其中：X→［0，1］，x∈X；μF（x）∈［0，1］代表元素x屬于X的隸屬度；νF（x）∈［0，1］，代表元素x屬于X的非隸屬度，且對(duì)于任意x∈X，0<（μF（x））3+（νF（x））3≤1；猶豫度或不確定度πF（x）=31-（μF（x））3-（νF（x））3。

定義2［5］? 設(shè)X為論域，則該論域上區(qū)間Fermatean模糊集（IVFFS）可表示為

F={〈x，［μFL（x），μFU（x）］，［νFL（x），νFU（x）〉|x∈X}（2）

其中：X→Int［0，1］，x∈X；μF（x）=［μFL（x），μFU（x）］代表元素x屬于X的隸屬度；νF（x）=［νFL（x），νFU（x）］ 代表元素x屬于X的非隸屬度，且對(duì)于任意x∈X，0

定義3［5］? 若F=〈［μFL，μFU］，［νFL，νFU］〉，F(xiàn)1=〈［μF1L，μF1U］，［νF1L，νF1U］〉和F2=〈［μF2L，μF2U］，［νF2L，νF2U］〉為三個(gè)區(qū)間Fermatean模糊數(shù)，且λ>0 ，則有如下運(yùn)算法則：

a） F1F2=［3μF1L3+μF2L3-μF1L3μF2L3，

3μF1U3+μF2U3-μF1U3μF2U3］，［νF1LνF2L，νF1UνF2U］；

b） F1F2=［μF1LμF2L，μF1UμF2U］，

［3νF1L3+νF2L3-νF1L3νF2L3，3νF1U3+νF2U3-νF1U3νF2U3］；

c） λF=［31-（1-μFL3）λ，31-（1-μFU3）λ］，［νFLλ，νFUλ］；

d） Fλ=［μFLλ，μFUλ］，［31-（1-νFL3）λ，31-（1-νFU3）λ］。

定義4［5］? 設(shè)F=〈［μFL，μFU］，［νFL，νFU］〉為區(qū)間Fermatean模糊數(shù)，則F的得分函數(shù)為

S（F）=12（（μFL）3+（μFU）3-（νFL）3-（νFU）3）∈［-1，1］（3）

式（3）是最常用的得分函數(shù)，但其未考慮猶豫度，在一些特殊情況下可能會(huì)失效，例如：對(duì)于兩個(gè)IVFFN，F(xiàn)1=（［30.25，30.3］，［30.35，30.5］），F(xiàn)2=（［30.15，30.4］，［30.25，30.6］）運(yùn)用式（3）無(wú)法區(qū)別兩者大小，但其猶豫度顯然不同。因此，本文采用文獻(xiàn)［6］提出的區(qū)間Fermatean模糊改進(jìn)得分函數(shù)（F） 。

定義5［6］? 設(shè)F=〈［μFL，μFU］，［νFL，νFU］〉為區(qū)間Fermatean模糊數(shù)，則F的得分函數(shù)為

（F）=12（（（μFL）3-（νFL）3）（1+πFU）+（（μFU）3-（νFU）3）（1+πFL））∈［-1，1］（4）

接上例，運(yùn)用式（4）比較F1和F2，可以得到S（F1）=-0.245

定義6［5］? 設(shè)F1=〈［μF1L，μF1U］，［νF1L，νF1U］〉，F(xiàn)2=〈［μF2L，μF2U］，［νF2L，νF2U］〉為兩個(gè)區(qū)間Fermatean模糊數(shù)，則F1和F2的歐氏距離為

D（F1，F(xiàn)2）=16（μ3F1L-μ3F2L）2+（μ3F1U-μ3F2U）2+（ν3F1L-ν3F2L）2+

（ν3F1U-ν3F2U）2+（π3F1L-π3F2L）2+（π3F1U-π3F2U）2（5）

定理1［7］? 設(shè)Fi=〈［μFiL，μFiU］，［νFiL，νFiU］〉（i=1，2，…，n）為一組區(qū)間Fermatean模糊數(shù)，η>0，w=（w1，w2，…，wn）T是其權(quán)重向量，wi≥0，i=1，2，…，n，∑ni=1wi=1，則區(qū)間Fermatean模糊Hamacher加權(quán)平均算子，即

IVFFHWA（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n）=⊕ni=1（wi·Fi）=

3ni=1（1+（η-1）·μFiL3）wi-ni=1（1-μFiL3）wini=1（1+（η-1）·μFiL3）wi+（η-1）ni=1（1-μFiL3）wi，

3ni=1（1+（η-1）·μFiU3）wi-ni=1（1-μFiU3）wini=1（1+（η-1）·μFiU3）wi+（η-1）ni=1（1-μFiU3）wi，

3ηni=1（vFiL）wi3ni=1（1+（η-1）（1-vFiL3））wi+（η-1）ni=1（vFiL）3wi，

3ηni=1（vFiU）wi3ni=1（1+（η-1）（1-vFiU3））wi+（η-1）ni=1（vFiU）3wi（6）

定理2［7］? 設(shè)Fi=〈［μFiL，μFiU］，［νFiL，νFiU］〉（i=1，2，…，n）為一組區(qū)間Fermatean模糊數(shù)，η>0，w=（w1，w2，…，wn）T是其權(quán)重向量，wi≥0，i=1，2，…，n；∑ni=1wi=1，則區(qū)間Fermatean模糊Hamacher加權(quán)幾何算子，即

IVFFHWG（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n）=ni=1（Fi）wi=

3ηni=1（μFiL）wi3ni=1（1+（η-1）（1-μFiL3））wi+（η-1）ni=1（μFiL）3wi，

3ηni=1（μFiU）wi3ni=1（1+（η-1）（1-μFiU3））wi+（η-1）ni=1（μFiU）3wi，

3ni=1（1+（η-1）·νFiL3）wi-ni=1（1-νFiL3）wini=1（1+（η-1）·νFiL3）wi+（η-1）ni=1（1-νFiL3）wi，

3ni=1（1+（η-1）·νFiU3）wi-ni=1（1-νFiU3）wini=1（1+（η-1）·νFiU3）wi+（η-1）ni=1（1-νFiU3）wi（7）

2? GRA-GCRITIC和改進(jìn)加權(quán)雙向投影法的構(gòu)建

對(duì)于一個(gè)屬性值為區(qū)間Fermatean模糊語(yǔ)言的多屬性群決策問(wèn)題，設(shè)專家群體集合為E={e1，e2，…，ek}，被評(píng)價(jià)方案集合為A={A1，A2，…，Am}，評(píng)價(jià)指標(biāo)集合為C={c1，c2，…，cn}。評(píng)價(jià)矩陣Xl =［xlij］m×n表示第l位專家對(duì)第i個(gè)評(píng)價(jià)方案的第j個(gè)指標(biāo)的評(píng)價(jià)信息值（1≤l≤k，1≤i≤m，1≤j≤n）。

2.1? 基于GRA-GCRITIC的指標(biāo)權(quán)重確定方法

在多屬性群決策過(guò)程中，各位專家對(duì)各評(píng)價(jià)方案下的各指標(biāo)評(píng)價(jià)信息往往存在差異，且不同指標(biāo)之間必然會(huì)存在一定的關(guān)聯(lián)。CRITIC法是一種兼顧評(píng)價(jià)指標(biāo)信息差異和關(guān)聯(lián)的屬性賦權(quán)方法，但它存在一定的局限性。而灰色關(guān)聯(lián)能更靈活地反映指標(biāo)間的非線性關(guān)系，可有效彌補(bǔ)CRITIC中線性相關(guān)系數(shù)的缺陷。本文參考文獻(xiàn)［15］，提出一種GRA-GCRITIC方法，該方法在CRITIC基礎(chǔ)上改線性相關(guān)系數(shù)為灰色綜合關(guān)聯(lián)度，能以系統(tǒng)的角度反映區(qū)間Fermatean模糊環(huán)境多屬性群決策問(wèn)題中多維指標(biāo)間的關(guān)聯(lián)性，同時(shí)依靠專家群體來(lái)確定指標(biāo)綜合權(quán)重比單一獲取的指標(biāo)權(quán)重更加客觀可靠。其主要步驟如下：

a）專家群體給出各自的評(píng)價(jià)信息。專家el根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)給出相應(yīng)的區(qū)間Fermatean模糊初始評(píng)價(jià)矩陣Xl=［xlij］m×n，其中xlij=（［μFLijl，μFUijl］，［νFLijl，νFUijl］）。

Xl=xl11xl21…xl1n

xl21xl22…xl2n

xlm1xlm2…xlmnm×n

b）規(guī)范化評(píng)價(jià)矩陣。為了消除成本型和效益型指標(biāo)之間的差異，通過(guò)規(guī)范化各評(píng)價(jià)指標(biāo)，得到規(guī)范化評(píng)價(jià)矩陣l=［lij］m×n，其中

l ij =（［lFLij，lFUij］，［lFLij，lFUij］）=

（μFLijl，μFUijl］，［νFLijl，νFUijl］）cj屬于效益型指標(biāo)

（［νFLijl，νFUijl］，μFLijl，[μFUijl］）cj屬于成本型指標(biāo)（8）

c）計(jì)算得分函數(shù)矩陣。根據(jù)改進(jìn)得分函數(shù)式（4），將規(guī)范化評(píng)價(jià)矩陣l=［ijl］m×n轉(zhuǎn)換為得分函數(shù)矩陣l=［lij］m×n。

d）根據(jù)得分函數(shù)矩陣，計(jì)算指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差，以衡量指標(biāo)間的縱向差異性。

σlj=∑mi=1（lij-lj）2m（9）

其中：lj=∑mi=1lij/m。

e）根據(jù)得分函數(shù)矩陣，計(jì)算各指標(biāo)的灰色最優(yōu)關(guān)聯(lián)度rljmax、最劣關(guān)聯(lián)度rljmin及綜合關(guān)聯(lián)度Rlj，以衡量指標(biāo)間的橫向相似性。

rlj max=1m∑mi=1mini minj|l+j-lij|+ζ maxi maxj|l+j-lij||l+j-lij|+ζ maxi maxj|l+j-lij|（10）

rlj min=1m∑mi=1mini minj|lij-l-j|+ζ maxi maxj|lij-l-j||lij-l-j|+ζ maxi maxj|lij -l-j|（11）

Rlj=1（1+rlj minrlj max）（12）

其中：jl+=maxmi=1 ijl，jl-=minmi=1ijl；ζ是分辨系數(shù)，ζ∈［0，1］，一般取ζ=0.5。

f） 計(jì)算各專家對(duì)不同指標(biāo)的優(yōu)先級(jí)權(quán)重：

Zlj=σlj×Rlj（13）

進(jìn)行歸一化處理得到各專家對(duì)不同指標(biāo)的權(quán)重值：

wlj=Zlj/∑nj=1Zlj（14）

其中：wlj∈（0，1），且∑nj=1wlj=1。

g） 計(jì)算專家群體的指標(biāo)綜合權(quán)重：

Wj=∑kl=1wlj×wel（15）

其中：wel表示第l位專家的最終權(quán)重，將在2.2節(jié)中詳細(xì)闡述。Wj∈（0，1），且∑nj=1Wj=1。

2.2? 結(jié)合信任關(guān)系的改進(jìn)加權(quán)雙向投影法的專家權(quán)重確定

在實(shí)際決策過(guò)程中，確定合理的專家權(quán)重對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的準(zhǔn)確性和公正性至關(guān)重要。專家權(quán)重的確定需要綜合考慮多方面因素，包括專家的經(jīng)驗(yàn)水平、專業(yè)背景、專家間的信任關(guān)系等主觀因素，以及個(gè)人評(píng)價(jià)信息與群體綜合評(píng)價(jià)信息間的相似度等客觀因素。

2.2.1? 專家初始權(quán)重的構(gòu)建

為了準(zhǔn)確度量專家個(gè)體在決策過(guò)程中的影響力，可以根據(jù)專家間的信任關(guān)系來(lái)確定其初始權(quán)重。專家通常采用“非常信任”“較信任”“一般信任”等語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)表達(dá)對(duì)他人的信任程度，故本文結(jié)合語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)來(lái)表示專家間的信任關(guān)系。

定義7［20］? 專家es對(duì)eh的信任關(guān)系可以用語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)lshα（α=-τ，-τ+1，…，0，…，τ-1，τ）表示，如表1所示。

其中：lshα代表專家es對(duì)eh 的信任關(guān)系用語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)lα表示時(shí)的下標(biāo)α（s，h∈k，s≠h）。參照文獻(xiàn)［8］，將語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)定量化，專家es對(duì)eh的信任程度如下所示。

tsh=lshα+τ2τ（16）

根據(jù)信任程度可進(jìn)一步獲得專家eh的初始權(quán)重：

Eeh=∑ks=1，s≠htsh/∑kh=1? ∑ks=1，s≠htsh（17）

其中：Eeh∈（0，1），且∑kh=1Eeh=1。

2.2.2? 利用改進(jìn)加權(quán)雙向投影法求取專家最終權(quán)重

鑒于區(qū)間Fermatean模糊評(píng)價(jià)信息之間相似測(cè)度的局限性，本文參考文獻(xiàn)［18］提出的改進(jìn)加權(quán)雙向投影方法，將每位專家的評(píng)價(jià)矩陣和聚合后的綜合評(píng)價(jià)矩陣劃分成隸屬度矩陣和非隸屬度矩陣，由這兩種矩陣分別得到雙向投影值，并將其加權(quán)融合求出專家個(gè)體與群體間的相似度，從而求取專家最終權(quán)重。其主要步驟如下：

a） 專家聚合評(píng)價(jià)信息。根據(jù)Hamacher算子式（6）（7）以及專家初始權(quán)重Eel聚合各專家的初始規(guī)范化評(píng)價(jià)矩陣，從而獲得初始綜合評(píng)價(jià)矩陣=［ij］m×n，其中ij=（［FLij，F(xiàn)Uij］，［FLij，F(xiàn)Uij］）。

b） 劃分得到隸屬度矩陣及非隸屬度矩陣。根據(jù)隸屬度及非隸屬度對(duì)各專家的初始規(guī)范化評(píng)價(jià)矩陣Xl=［xijl］m×n和初始綜合評(píng)價(jià)矩陣=［ij］m×n進(jìn)行劃分，可以得到專家el評(píng)價(jià)信息的隸屬度矩陣Pl =（μlFij）m×n=（［μlFLij，μlFUij］）m×n、非隸屬度矩陣Ql =（νlFij）m×n=（［νlFLij，νlFUij］）m×n；初始綜合評(píng)價(jià)信息的隸屬度矩陣=（Fij）m×n=（［FLij，F(xiàn)Uij］）m×n、非隸屬度矩陣=（Fij）m×n=（［FLij，F(xiàn)Uij］）m×n。

c）計(jì)算加權(quán)雙向投影值?？紤]到不同指標(biāo)的權(quán)重wlj對(duì)矩陣相似性的影響，在步驟b） 基礎(chǔ)之上，求得專家el評(píng)價(jià)信息和初始綜合評(píng)價(jià)信息的隸屬度矩陣、非隸屬度矩陣的加權(quán)雙向投影值。以隸屬度矩陣為例：

WBP（Pl，）=11+|Plw‖Plw‖-Plw‖w‖|（18）

其中：

‖Plw‖=∑mi=1∑nj=1（wlj）2（（μFLijl）2+（μFUijl）2）（19）

‖w‖=∑mi=1∑nj=1（wlj）2（2FLij+2FUij）（20）

Pl w=∑mi=1? ∑nj=1（wlj）2μlFijFij=∑mi=1? ∑nj=1（wlj）2（μlFLijFLij+μlFUijFUij）（21）

同理，可求得WBP（Ql，Q^），不再贅述。

d） 計(jì)算專家el與群體相似度。

Dl（φ）=φWBP（Pl，）+（1-φ）WBP（Ql，Q^）（22）

其中：φ為隸屬度和非隸屬度偏好系數(shù)，φ∈［0，1］。

e） 求取專家最終權(quán)重。專家與群體的相似度越大，則該專家被賦予較大權(quán)重。反之，該專家被賦予較小權(quán)重。

wel=Dl（φ）∑kl=1Dl（φ）（23）

其中：wel∈（0，1），且∑kl=1wel=1。

3? 基于GRA-GCRITIC和改進(jìn)加權(quán)雙向投影的Hamacher-TODIM群決策模型

為了更好地處理評(píng)價(jià)信息的模糊性和復(fù)雜性，本文在區(qū)間Fermatean模糊環(huán)境中引入了GRA-GCRITIC方法求取各專家對(duì)不同指標(biāo)的權(quán)重wlj，在由信任關(guān)系得到的專家初始權(quán)重Eel基礎(chǔ)上改進(jìn)加權(quán)雙向投影法，進(jìn)一步求得專家最終權(quán)重wel；同時(shí)考慮到專家的損失規(guī)避心理行為，將結(jié)合了Hamacher算子的TODIM方法應(yīng)用于區(qū)間Fermatean模糊多屬性群決策問(wèn)題中。具體步驟如下：

a）根據(jù)改進(jìn)得分函數(shù)將各專家給出的評(píng)價(jià)矩陣轉(zhuǎn)換成得分函數(shù)矩陣Sl=［sijl］m×n，計(jì)算各指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差σlj和灰色綜合關(guān)聯(lián)度Rlj，從而求得各專家對(duì)不同指標(biāo)的權(quán)重值wlj。

b）通過(guò)信任關(guān)系得到專家初始權(quán)重Eel后，采用Hamacher算子進(jìn)行聚合獲得初始綜合評(píng)價(jià)矩陣；在專家el評(píng)價(jià)信息和初始綜合評(píng)價(jià)信息的隸屬度矩陣Pl =（μlFij）m×n、=（Fij）m×n，非隸屬度矩陣Ql =（νlFij）m×n、=（Fij）m×n基礎(chǔ)之上，計(jì)算加權(quán)雙向投影值WBP（Pl，）、WBP（Ql，），進(jìn)而求出專家el與群體相似度Dl（φ），確定專家最終權(quán)重wel。

c）求得專家最終權(quán)重wel后，再次利用Hamacher算子進(jìn)行聚合獲得最終綜合評(píng)價(jià)矩陣′=［′ij］m×n，其中′ij=（［′FLij，′FUij］，［′FLij，′FUij］）。

d）根據(jù)式（15）確定專家群體的指標(biāo)綜合權(quán)重，并進(jìn)一步計(jì)算各指標(biāo)的相對(duì)權(quán)重：

Wjr=Wj/Wr（24）

其中：Wr=maxnj=1 Wj。

e） 計(jì)算指標(biāo)Cj下，方案As相較于方案At的優(yōu)勢(shì)度：

Φj（As，At）=wjr∑nj=1wjrD（′sj，′tj）′sj′tj

0′sj～′tj

-1θ∑nj=1wjrwjrD（′sj，′tj）′sj′tj（25）

其中：D（′sj，′tj）表示IVFFN間的距離，可由式（5）計(jì)算得到；θ表示專家面對(duì)損失時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)因子，且θ>0（1≤s≤m，1≤t≤m，s≠t）。

f） 計(jì)算方案As相較于其他方案的總體優(yōu)勢(shì)度，其他方案相較于方案As的總體優(yōu)勢(shì)度以及方案As的綜合優(yōu)勢(shì)度：

Ω+（As，At）=∑mt=1∑nj=1Φj（As，At）（26）

Ω-（At，As）=∑mt=1∑nj=1Φj（At，As）（27）

Ω（As）=Ω+（As，At）-Ω-（At，As）（28）

g） 對(duì)方案的綜合優(yōu)勢(shì)度進(jìn)行排序，得到最佳和最劣方案。

4? 算例分析

由于司法案件的復(fù)雜性和不確定性，司法機(jī)關(guān)在短時(shí)間內(nèi)很難對(duì)其作出準(zhǔn)確的判斷。通過(guò)對(duì)司法案件進(jìn)行科學(xué)評(píng)價(jià)，挑選出典型案件，進(jìn)而可以通過(guò)媒體等渠道進(jìn)行宣傳，提高法律的知名度和公信力，推動(dòng)社會(huì)法制化進(jìn)程。同時(shí)，這些典型案件可以作為其他司法機(jī)關(guān)學(xué)習(xí)和參考的案例，有助于提高司法機(jī)關(guān)的執(zhí)行效率和質(zhì)量，推動(dòng)司法工作的規(guī)范化、專業(yè)化和現(xiàn)代化。此外，評(píng)選典型案件有利于發(fā)現(xiàn)執(zhí)行過(guò)程中存在的問(wèn)題和不足，為推進(jìn)司法改革和創(chuàng)新提供借鑒價(jià)值，有助于建立更加完善和先進(jìn)的司法制度和執(zhí)行機(jī)制。因此，構(gòu)建科學(xué)合理的司法案件評(píng)價(jià)方法，是司法機(jī)關(guān)提高執(zhí)行能力和水平的重要手段，也是促進(jìn)司法公正、推動(dòng)社會(huì)發(fā)展進(jìn)步的力量源泉。

現(xiàn)邀請(qǐng)五位司法領(lǐng)域?qū)I(yè)人士E={e1，e2，e3，e4，e5} 參考一系列典型司法案件歸納出最為重要的五項(xiàng)指標(biāo)C={C1，C2，C3，C4，C5}，如表2所示，并對(duì)五個(gè)備選司法案件A={A1，A2，A3，A4，A5}進(jìn)行評(píng)價(jià)，專家以區(qū)間Fermatean模糊數(shù)的形式給出相應(yīng)的評(píng)價(jià)信息。下面利用基于GRA-GCRITIC和改進(jìn)加權(quán)雙向投影法的Hamacher-TODIM群決策方法來(lái)評(píng)出最具代表性的司法案件。

4.1? 基于GRA-GCRITIC方法的指標(biāo)權(quán)重

五位專家分別對(duì)五個(gè)備選案件的五項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)，得到區(qū)間Fermatean模糊初始評(píng)價(jià)矩陣Xl=［xlij］m×n，并根據(jù)式（8）將其規(guī)范化，得到規(guī)范化評(píng)價(jià)矩陣Xl=［xijl］m×n，如表3所示。利用改進(jìn)得分函數(shù)式（4），將規(guī)范化評(píng)價(jià)矩陣轉(zhuǎn)換成得分函數(shù)矩陣Sl=［sijl］m×n；再根據(jù)式（9）～（12）求得各專家關(guān)于指標(biāo)間的標(biāo)準(zhǔn)差σlj和灰色綜合關(guān)聯(lián)度Rlj，如表4、5所示。通過(guò)式（13）（14）求得各專家對(duì)不同指標(biāo)的權(quán)重值wlj，如表6所示。

對(duì)表6進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)專家e1、e2、e4、e5均認(rèn)為指標(biāo)C5（案件的執(zhí)行質(zhì)量）相對(duì)最重要，專家e3也將指標(biāo)C5認(rèn)定為次重要指標(biāo)，可見(jiàn)其影響程度相對(duì)較高。專家e2、e3、e5均認(rèn)為指標(biāo)C1（案件的執(zhí)行時(shí)間）相對(duì)最不重要，專家e1也將指標(biāo)C1認(rèn)定為次不重要指標(biāo)，說(shuō)明該指標(biāo)在整體中的影響程度相對(duì)較低。

4.2? 結(jié)合信任關(guān)系的改進(jìn)加權(quán)雙向投影法的專家權(quán)重

具有不同經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)水平的專家以語(yǔ)言數(shù)形式表達(dá)自己對(duì)其他專家的信任關(guān)系，獲得專家群體的信任關(guān)系矩陣，如表7所示。參照文獻(xiàn)［8］，取τ=4。通過(guò)式（16）可將信任關(guān)系轉(zhuǎn)換為信任程度，并進(jìn)一步利用式（17）得到專家初始權(quán)重Eel=（0.165，0.212，0.153，0.200，0.271）。

獲得專家初始權(quán)重后，利用IVFFHWA算子式（6）對(duì)各專家的初始規(guī)范化評(píng)價(jià)矩陣（表3）進(jìn)行聚合，得到初始綜合評(píng)價(jià)矩陣，如表8所示。為保證數(shù)據(jù)客觀性，取η=1。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)式（18）～（21）可得專家個(gè)體評(píng)價(jià)信息與綜合評(píng)價(jià)信息的隸屬度矩陣、非隸屬度矩陣之間的加權(quán)雙向投影值WBP（Pl，）、WBP（Ql，），并通過(guò)式（22）得到專家el與群體相似度Dl（φ），如表9所示。為保證權(quán)重的合理性，取偏好系數(shù)φ=0.5。最后，利用式（23）可以求得專家最終權(quán)重wel=（0.201，0.203，0.185，0.200，0.210）。這說(shuō)明第五位專家在司法案件評(píng)選中的評(píng)價(jià)最為重要，不僅僅是因?yàn)槠湓趯I(yè)領(lǐng)域的影響力，更是因?yàn)槠湓谒痉ò讣脑u(píng)選中始終能與群體中其他專家達(dá)成共識(shí)。

4.3? Hamacher-TODIM決策方法

根據(jù)已得專家最終權(quán)重wel，再次利用IVFFHWA算子式（6）對(duì)初始規(guī)范化評(píng)價(jià)矩陣（表3）進(jìn)行聚合，得到最終綜合評(píng)價(jià)矩陣，如表10所示。同時(shí)，利用式（15）可得到專家群體的指標(biāo)綜合權(quán)重Wj=（0.147，0.182，0.197，0.203，0.272），進(jìn)一步通過(guò)式（24） 可求得指標(biāo)相對(duì)權(quán)重。

獲得指標(biāo)相對(duì)權(quán)重后，利用式（4）（5）（25）～（28）可以計(jì)算出備選司法案件的優(yōu)勢(shì)度、總體優(yōu)勢(shì)度及綜合優(yōu)勢(shì)度，如表11所示。不失一般性，取θ=2.25。根據(jù)綜合優(yōu)勢(shì)度對(duì)備選司法案件進(jìn)行降序排列，得出A5A3A2A1A4，即第五個(gè)司法案件最具有代表性和權(quán)威性，而第四個(gè)司法案件的評(píng)價(jià)結(jié)果最劣。

為進(jìn)一步加深對(duì)司法案件“執(zhí)行難”的認(rèn)識(shí)，對(duì)以上五個(gè)備選司法案件的綜合評(píng)價(jià)結(jié)果進(jìn)行分析。第五個(gè)司法案件在各項(xiàng)指標(biāo)下的執(zhí)行均較好，但對(duì)于“執(zhí)行機(jī)制”這一指標(biāo)層面需要加強(qiáng)，其面對(duì)復(fù)雜或特殊情況時(shí)的執(zhí)行能力需進(jìn)一步提升；第三個(gè)司法案件要提高創(chuàng)新意識(shí)和執(zhí)行質(zhì)量，在面對(duì)難辦案件時(shí)，創(chuàng)新意識(shí)尤為重要，所以在執(zhí)行機(jī)制方面須及時(shí)進(jìn)行改革創(chuàng)新以促進(jìn)案件的順利執(zhí)行；第二個(gè)司法案件產(chǎn)生的輿論易對(duì)社會(huì)行為和公共秩序產(chǎn)生影響，所以要及時(shí)作出執(zhí)行措施，以改善社會(huì)效果；第一個(gè)案件中的司法部門按照已有法律規(guī)定處理該案件時(shí)所產(chǎn)生的法律效應(yīng)不佳，需及時(shí)審查核實(shí)案件證據(jù)是否全面、應(yīng)用法律是否準(zhǔn)確、法律文書是否規(guī)范等；第四個(gè)司法案件雖在“執(zhí)行質(zhì)量”這一指標(biāo)表現(xiàn)尚可，但在其余四項(xiàng)指標(biāo)下均表現(xiàn)不佳，由于各項(xiàng)指標(biāo)的綜合權(quán)重相差不大，故該案件綜合評(píng)價(jià)最劣。

5? 對(duì)比分析

5.1? Hamacher集成算子和TODIM方法分析

Hamacher算子［21］是一種靈活、可解釋的模糊集合集成算子，它可以將不同的模糊信息聚合為更全面準(zhǔn)確的信息，同時(shí)它的調(diào)節(jié)因子可以根據(jù)不同的決策背景來(lái)調(diào)整聚合程度，為高效決策提供了更大的發(fā)展空間。利用文獻(xiàn)［7］基于區(qū)間Fermatean模糊Hamacher集成算子的方法對(duì)上述問(wèn)題直接進(jìn)行求解，如表12所示，可以發(fā)現(xiàn)基于IVFFHWA算子和IVFFHWG算子得到的排序結(jié)果最優(yōu)方案均是A5，最劣方案均是A4，這說(shuō)明Hamacher集成算子具有一定的魯棒性，能夠在一定程度上減小隨機(jī)誤差等對(duì)聚合結(jié)果的影響，使得決策結(jié)果更加實(shí)用可靠。

在傳統(tǒng)的TODIM方法中，決策者的損失規(guī)避心理行為是重要考慮因素，它通常結(jié)合普通的算子求取各方案的綜合優(yōu)勢(shì)度并對(duì)其進(jìn)行排序。但是當(dāng)兩個(gè)模糊集合的交集為空集時(shí)，普通的算子可能無(wú)法處理這種情況?？紤]到司法案件的群決策問(wèn)題涉及到廣泛的決策背景和諸多社會(huì)因素，指標(biāo)屬性值存在較大不確定性，僅靠普通的集成算子聚合會(huì)出現(xiàn)不合理的結(jié)果。本文Hamacher-TODIM決策方法不僅利用良好算子進(jìn)行信息集成，提高了決策效率，而且充分考慮決策者的損失規(guī)避心理特征，具有一定的準(zhǔn)確性和可靠性，這對(duì)于復(fù)雜的司法案件決策來(lái)說(shuō)具有重要意義。

5.2? 前景理論和改進(jìn)得分函數(shù)分析

為了凸顯本文基于GRA-GCRITIC和改進(jìn)加權(quán)雙向投影的Hamacher-TODIM決策方法的合理性和有效性，使用文獻(xiàn)［16］基于前景理論的區(qū)間Fermatean模糊環(huán)境對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行求解，得到的排序結(jié)果為A5A3A2A1A4 ，總體排序與本文一致。在利用前景理論計(jì)算備選司法案件的前景值時(shí)，首先需要設(shè)定前景參照點(diǎn)，且參照點(diǎn)的設(shè)定存在主觀誤差，而TODIM方法是在前景理論基礎(chǔ)上提出來(lái)的［22］，無(wú)須選取參照點(diǎn)，這也說(shuō)明了TODIM方法具有一定的優(yōu)越性。

使用文獻(xiàn)［5］的得分函數(shù)和區(qū)間Fermatean模糊加權(quán)Hamacher算子對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行求解，可以發(fā)現(xiàn)其得分函數(shù)的總體排序與本文的改進(jìn)得分函數(shù)基本完全一致，如圖1所示，但文獻(xiàn)［5］的得分函數(shù)未考慮猶豫度，使得在求解過(guò)程中一些備選司法案件間的得分函數(shù)過(guò)于接近，從而導(dǎo)致選擇失效，這說(shuō)明改進(jìn)得分函數(shù)可以明顯區(qū)分出最優(yōu)最劣司法案件，具有較高的準(zhǔn)確性。

5.3? 靈敏性分析

在改進(jìn)加權(quán)雙向投影法的構(gòu)建中，為了了解隸屬度和非隸屬度偏好系數(shù)φ對(duì)方案排序產(chǎn)生的影響，對(duì)其進(jìn)行敏感性分析。φ∈［0，1］時(shí)，備選司法案件的綜合優(yōu)勢(shì)度如圖2所示，可見(jiàn)無(wú)論隸屬度和非隸屬度偏好系數(shù)的取值如何變化，對(duì)最終排序無(wú)影響。 φ=0 時(shí)專家完全根據(jù)非隸屬度相似度取得專家最終權(quán)重；φ=1時(shí)專家完全根據(jù)隸屬度相似度取得專家最終權(quán)重，這也說(shuō)明了該方法具有穩(wěn)定性。

在基于區(qū)間Fermatean模糊加權(quán)Hamacher算子的TODIM方法決策過(guò)程中，風(fēng)險(xiǎn)因子θ可以反映專家的損失規(guī)避心理行為，故對(duì)其進(jìn)行靈敏性分析。取θ∈［0.25，2.25］，研究其對(duì)備選司法案件的綜合優(yōu)勢(shì)度及排序的影響，如圖3所示，可見(jiàn)風(fēng)險(xiǎn)因子θ的取值不會(huì)對(duì)最終排序造成影響。但當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)因子θ=0.25時(shí)，各司法案件綜合優(yōu)勢(shì)度的區(qū)分度極大，專家受損失的影響相對(duì)最大；反之，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)因子θ=2.25時(shí)，各司法案件綜合優(yōu)勢(shì)度的區(qū)分度最小，專家受損失的影響也相對(duì)最小。隨著θ的增大，司法案件的最劣綜合優(yōu)勢(shì)度呈上升趨勢(shì)，最優(yōu)綜合優(yōu)勢(shì)度呈下降趨勢(shì)。

6? 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)司法案件“執(zhí)行難”決策背景，利用區(qū)間Fermatean模糊環(huán)境對(duì)其進(jìn)行研究，本文提出了基于GRA-GCRITIC和改進(jìn)加權(quán)雙向投影的Hamacher-TODIM決策方法，所提方法創(chuàng)新點(diǎn)如下：

a）區(qū)間Fermatean模糊環(huán)境可以更全面地涵蓋不確定性信息，同時(shí)提高了專家個(gè)體表達(dá)方式及偏好的靈活性。

b）提出GRA-GCRITIC方法分別確定各位專家對(duì)各評(píng)價(jià)方案下各指標(biāo)的權(quán)重，并結(jié)合專家權(quán)重獲得指標(biāo)綜合權(quán)重比單一獲取的指標(biāo)權(quán)重更加客觀可靠。

c）針對(duì)群決策中專家權(quán)重未知，在信任關(guān)系基礎(chǔ)上提出改進(jìn)加權(quán)雙向投影法得到專家最終權(quán)重，全面反映出專家群體的主客觀因素，提高了群決策的評(píng)價(jià)效率。

d）Hamacher算子和TODIM方法分別考慮了指標(biāo)屬性值的靈活多樣性和專家群體的損失規(guī)避心理行為，將兩者有效融合能使決策結(jié)果更切合實(shí)際。

最后通過(guò)專家群體評(píng)價(jià)備選司法案件驗(yàn)證了該決策方法的可行性和穩(wěn)定性，為區(qū)間Fermatean模糊多屬性群決策問(wèn)題開(kāi)拓新思路。且TODIM方法結(jié)合了良好集成算子的靈活性和魯棒性，對(duì)于司法領(lǐng)域決策問(wèn)題具有一定的實(shí)踐意義。

由于現(xiàn)實(shí)環(huán)境的不確定性和社會(huì)性，專家群體間、指標(biāo)屬性間的相互關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的不同網(wǎng)絡(luò)屬性從不同角度描述了不同節(jié)點(diǎn)的重要性［23］，所以下一步的研究方向是將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)融入到該決策方法中，從而獲取專家權(quán)重和屬性權(quán)重信息。同時(shí)考慮到評(píng)價(jià)信息的多樣性，僅靠區(qū)間Fermatean模糊數(shù)來(lái)進(jìn)行評(píng)價(jià)存在不足，故可以將其與概率語(yǔ)言環(huán)境進(jìn)一步融合。

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