探究高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的解題方法

林超良

(泉州實驗中學(xué),福建 泉州 362000)

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分,也是高考數(shù)學(xué)的命題重點,對學(xué)生的綜合運用能力要求比較高[1].熟練掌握導(dǎo)數(shù)解題方法,可以完善學(xué)生的知識框架、提高應(yīng)用能力、培養(yǎng)自主探究習(xí)慣[2].本文以不同類型的數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題為例,探究、分析導(dǎo)數(shù)的解題方法,更好地發(fā)揮導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的作用.

1 求切線方程

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是“切點處導(dǎo)數(shù)等于切線斜率”.這一特征是求解函數(shù)切線方程的基礎(chǔ).求切線,需要兩個要素.其一,切點坐標;其二,切線斜率.

例1已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).求曲線y=f(x)在點A(0,f(0))處的切線方程.

分析這道題的知識點是求在曲線上一點處的切線方程(斜率).先求出導(dǎo)函數(shù),由k=f′(0)得到切線斜率,再根據(jù)點A坐標即可得到切線方程.

由題意f′(x)=cosx+xsinx-1,所以f′(0)=0,即切線的斜率k=0,且f(0)=0,所以曲線y=f(x)在點A(0,f(0))處的切線方程為y=0.

在解決切線方程的過程中,要注意以下幾點:

(1)已知切點,求曲線的切線方程:已知切點(x0,y0),求出切點處的切線斜率f′(x0);

(2)過曲線上一點,求切線方程:過已知曲線上一點求切線方程,應(yīng)注意到曲線上這一點,分為是切點和不是切點兩種情況.

(3)過曲線外一點,求切線方程:這種情況和“過曲線上一點求切線方程”相似,都是先設(shè)出切點坐標,再進行切線方程的求解.

2 研究函數(shù)的單調(diào)性

在利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性時,一般流程如下:首先求出函數(shù)的定義域,之后對函數(shù)求導(dǎo),接著判斷導(dǎo)函數(shù)的正負,最后通過導(dǎo)函數(shù)的正負,得出單調(diào)區(qū)間.

例2已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù),討論f′(x)的單調(diào)性.

分析利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,通常歸結(jié)為求含參不等式的解集問題.含參一元二次不等式問題著重考查分類討論思想,是高考命題中的重點和熱點問題,而對含有參數(shù)的不等式問題,需要注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論[3],解題時需要關(guān)注定義域及分類討論的標準.

設(shè)g(x)=f′(x)=lnx-2ax+1,對g(x)求導(dǎo),分a≤0和a>0討論即可.

當a≤0時,g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

3 求函數(shù)的極值、最值

函數(shù)極值和值域問題是高考的重點和難點所在,考試大綱強調(diào):重點考查利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極大(小)值、最大(小)值,研究方程和不等式.

解決極值和最值的主要流程是:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f(x);(3)解方程f′(x)=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根;(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)=0的根x0左右兩側(cè)值的符號,如果左正右負,那么f(x)在x0處取極大值,如果左負右正,那么f(x)在x0處取極小值.

分析這道題的知識點是求已知函數(shù)的極值.求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),進而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而結(jié)合極值的概念即可求出結(jié)果.

因為f′(x)=x2+3x+2=(x+1)(x+2),令f′(x)=0,得x1=-1,x2=-2,當x變化時,f′(x),f(x)的變化見表1:

表1 x變化時,f ′(x),f(x)的變化表

4 研究函數(shù)的圖象

一般而言,作函數(shù)圖象有以下流程:先求出函數(shù)的定義域,接著判斷函數(shù)的周期性和奇偶性,求出函數(shù)的零點、函數(shù)與y軸的交點等特殊點,之后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點,最后根據(jù)上述結(jié)論精細繪制函數(shù)的大致圖象.

例4 函數(shù)f(x)=xsinx+cosx的導(dǎo)數(shù)f′(x)的部分圖象大致為( ).

圖1 例4題圖

分析根據(jù)已知,利用函數(shù)的求導(dǎo)公式以及函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值進行排除.

因為f(x)=xsinx+cosx,

所以f′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx.

令g(x)=f′(x)=xcosx,x∈R,則g(-x)=-xcosx=-g(x),所以函數(shù)g(x)=xcosx是奇函數(shù),A,C錯誤;又g(π)=πcosπ=-π<0,B錯誤.故選D.

導(dǎo)數(shù)作為解決函數(shù)的一個重要工具,其主要目的就是判斷并確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進而得出函數(shù)增減的大致情況,再依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決實踐問題,才能更好地理解以后的放縮問題.

5 求參數(shù)取值范圍

解決參數(shù)取值范圍問題可以根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性和極(最)值,大致繪制函數(shù)圖象的趨勢,再運用數(shù)形結(jié)合分析問題(或結(jié)合圖象特征分析零點的位置)轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式組,通過解不等式組求出參數(shù)的取值范圍.

例5已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=a(x+1)·(x-a),若f(x)在x=-1處取到極大值,則a的取值范圍是多少?

分析這道題分a=0,a>0和a<0三種情況,結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)與極值的定義即可判斷.由題意當a=0時不成立,當a≠0時f′(x)有兩個零點x=-1與x=a.

①當a>0時,f′(x)開口向上,且-10,x∈(-1,a)時f′(x)<0,所以f(x)在x=-1處取到極大值;

②當a<0時,f′(x)開口向下.當a=-1時,f′(x)≤0,f(x)單調(diào)遞減,f(x)無極大值;當a<-1時,在區(qū)間x∈(a,-1)上f′(x)>0,x∈(-1,+∞)上f′(x)<0,故f(x)在x=-1處取到極大值;

當-10,故f(x)在x=-1處取到極小值.

綜上有a>0或a<-1.

6 解不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式通常有如下流程:首先,構(gòu)造新函數(shù)F(x),接著通過導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間,最后通過判斷定義域內(nèi)F(x)與0的大小關(guān)系來證明不等式.這類題目重點在于靈活準確地構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)解不等式.

例6已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x),且(x+1)f(x)+xf′(x)≥0對x∈[0,+∞)恒成立,則下列不等式一定成立的是( ).

A.f(1)>2ef(2) B.3f(2)>2ef(3)

C.2f(1)

分析這道題的考點為用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性.設(shè)g(x)=xexf(x),則g′(x)=ex[(x+1)f(x)+xf′(x)]≥0,所以函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.g(2)=2e2f(2)>g(1)=ef(1),即f(1)<2ef(2),故A,C錯誤;g(2)=2e2f(2)

從上述解題步驟可看出,構(gòu)造新函數(shù)是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式最重要的環(huán)節(jié),之后在相應(yīng)區(qū)間上判斷單調(diào)性,最后形成結(jié)論.事實上,解題過程中常會綜合用到多種方法,教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識,樹立運用多種方法解決問題的意識,能夠把復(fù)雜問題簡單化.

7 結(jié)束語

綜上可知,導(dǎo)數(shù)涵蓋了多元化的邏輯思維,可以豐富學(xué)生的解題思路,解答題目更便捷,促進學(xué)習(xí)效率提升.若要使導(dǎo)數(shù)的價值和作用發(fā)揮至最大,學(xué)生必須深入理解導(dǎo)數(shù)知識點,熟練掌握導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識和變換形式,在不斷練習(xí)中鞏固技能,切實做到活學(xué)活用,提升解題效率.