巧借導(dǎo)函數(shù)解決高中數(shù)學(xué)不等式壓軸難題

李 強(qiáng)

(蘇州大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部,江蘇 蘇州 215131)

不等式問題是高中數(shù)學(xué)的必考知識(shí)點(diǎn),同時(shí)也是重難點(diǎn).高中數(shù)學(xué)不等式的壓軸難題主要出現(xiàn)在解答題最后一題的第二小問中,與函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系較為緊密,考查形式多為不等式的證明或恒成立問題,難度較大.在求解時(shí),我們可以根據(jù)已知條件,結(jié)合函數(shù)與方程思想,巧借導(dǎo)函數(shù)解決高中數(shù)學(xué)不等式壓軸難題.

1 利用導(dǎo)函數(shù)解決不等式證明問題

在利用導(dǎo)函數(shù)解決不等式證明問題時(shí),需要結(jié)合構(gòu)造法.根據(jù)所要證明的不等式,構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值加以證明[1].高中階段,常見的構(gòu)造方法包括:

(1)直接構(gòu)造法.將需要證明的不等式f(x)>g(x)轉(zhuǎn)化為證明f(x)-g(x)>0或f(x)-g(x)<0,進(jìn)而通過構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)并證明函數(shù)F(x)與0的關(guān)系進(jìn)而證明原不等式;

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造函數(shù).根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮,或利用常見的放縮結(jié)論,如

lnx≤x-1,

ex≥x+1,

lnx0),

(3)構(gòu)造形似函數(shù).即將原不等式進(jìn)行適當(dāng)變形,如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù),從而將不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊為相同結(jié)構(gòu)的式子的形式,再根據(jù)“相同形式”構(gòu)造輔助函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)求解[2];

(4)構(gòu)造雙函數(shù).若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn),那么我們可以分開構(gòu)造雙函數(shù)f(x)和g(x),通過比較證明.

例1 (成都高三9月月考)已知函數(shù)f(x)=xlnx-2ax2+x,a∈R.

(1)若f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,求a的取值范圍;

解析(1)由題可得

f′(x)=lnx+2-4ax,x>0,

因?yàn)閒(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,

所以f′(x)=lnx+2-4ax在(0,+∞)內(nèi)恒成立.

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)為x1和x2,則f′(x)=lnx+2-4ax在(0,+∞)內(nèi)有兩根x1和x2.

兩式相減,得

lnx1-lnx2=4a(x1-x2).

設(shè)0

所以h(t)在t∈(0,1)上單調(diào)遞減.

所以h(t)>h(1)=0.

題后反思本題主要考查函數(shù)與不等式的綜合問題.在求解時(shí)需要利用構(gòu)造法將不等式問題與函數(shù)結(jié)合起來,再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì),判斷函數(shù)與零點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)而證明.構(gòu)造函數(shù)展開討論是解決本題的關(guān)鍵和突破點(diǎn),思路要重點(diǎn)把握.

2 利用導(dǎo)函數(shù)解決不等式恒成立問題

在利用導(dǎo)函數(shù)解決不等式的恒成立問題時(shí),有兩種常見思路:一種是先利用綜合法,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)之間的大小關(guān)系的決定條件,確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn).分類后,判斷不同區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性得到最值,進(jìn)而證明不等式[3].另一種,則是直接通過導(dǎo)函數(shù),確定其與零點(diǎn)之間的關(guān)系,并以此劃分分類標(biāo)準(zhǔn)證明不等式恒成立.通常,若a>f(x)對(duì)x∈D恒成立,則只需要a>[f(x)]max;若af(x0)成立,則只需要a>[f(x)]min;若存在x0∈D,使a

例2(杭州高三一模)已知函數(shù)f(x)=(x-a)ex(a∈R).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

解析(1)因?yàn)閒′(x)=(x-a+1)ex,

當(dāng)x∈(-∞,a-1)時(shí),f′(x)<0;

當(dāng)x∈(a-1,+∞)時(shí),f′(x)>0;

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,a-1),單調(diào)遞增區(qū)間為(a-1,+∞).

(2)由g(x)=f(x)+lnx-x-b,b∈Z,

以此構(gòu)造函數(shù)令h(x)=(x-2)ex+lnx-x,則

即x0=-lnx0.

所以[h(x)]max=h(x0)

=(x0-2)ex0+lnx0-x0

因?yàn)閎∈Z,即b的最小值為-3.

題后反思本題主要考查的是不等式的恒成立以及函數(shù)的單調(diào)性問題.第一小問比較簡單,直接對(duì)f(x)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可順利求解.第二小問中涉及了不等式的恒成立問題,求解時(shí),首先需要將不等式進(jìn)行變形,構(gòu)造函數(shù),進(jìn)而對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并判斷出在已知區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性情況,找出極值,綜合求解.本題主要考查同學(xué)們的推理能力和計(jì)算能力,屬于高中數(shù)學(xué)壓軸題中的中等難度題,思路和方法要重點(diǎn)掌握.

3 結(jié)束語

雖然不等式問題在高中數(shù)學(xué)壓軸題中較為常見,但在求解時(shí)也是有具體的方法和思路可循的.在解決高中數(shù)學(xué)的不等式壓軸難題時(shí),我們需要利用函數(shù)與方程思想,將原不等式進(jìn)行適當(dāng)變形或直接利用構(gòu)造法將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.再利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值之間的關(guān)系綜合求解.當(dāng)然,高中階段不等式壓軸問題中還常涉及含參變量問題、求取值范圍問題,同學(xué)們都需要在日常的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練過程中,及時(shí)對(duì)不等式壓軸問題進(jìn)行歸納和總結(jié),保證自己在考場上能做到游刃有余.