低周疲勞的結(jié)構(gòu)應(yīng)變法在鐵路貨車上的工程應(yīng)用

邵文東，趙尚超，李強，裴憲軍，馬巧艷，李向偉

(1.北京交通大學(xué),機械與電子控制工程學(xué)院,北京,100044；2.中車齊齊哈爾車輛有限公司,齊齊哈爾,161002；3.東南大學(xué),機械工程學(xué)院,南京,211189)

0 序言

焊接結(jié)構(gòu)疲勞評估的主S-N曲線法自提出以來，取得了很好的應(yīng)用效果，該方法采用與外載荷平衡的結(jié)構(gòu)應(yīng)力作為參數(shù)，解決了焊接結(jié)構(gòu)高周疲勞壽命預(yù)測時S-N曲線的選取困難和有限元計算時的網(wǎng)格敏感性問題[1-4].2007年針對低周疲勞問題，在ASME BPVC VIII-2標準中給出了偽彈性算法，即將疲勞試驗獲得的加載—位移曲線外推插值，深入的研究表明該算法是有局限性的，為解決該局限性提出了結(jié)構(gòu)應(yīng)變法，并推導(dǎo)了彎曲為主和膜應(yīng)力為主的理想彈塑性材料的結(jié)構(gòu)應(yīng)變理論解[5].產(chǎn)品設(shè)計時要求應(yīng)力低于屈服強度，故而很少存在低周疲勞問題，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)應(yīng)變方法的應(yīng)用較少[6-9].

2019年，高一迪等人[10]在國內(nèi)率先在開展了等效結(jié)構(gòu)應(yīng)變法在低周疲勞范圍的適用性研究，結(jié)果表明作為結(jié)構(gòu)應(yīng)力法的延伸，結(jié)構(gòu)應(yīng)變法可以應(yīng)用到低周疲勞范圍.近年來，有些鐵路貨車產(chǎn)品出現(xiàn)了低周疲勞故障問題，線路測試時發(fā)現(xiàn)，原來認為彈性狀態(tài)的構(gòu)件，在運用過程中確實存在高于屈服的應(yīng)力響應(yīng).在設(shè)計前端，隨著輕量化設(shè)計要求的提出，一方面結(jié)構(gòu)要減重，另一方面更要充分發(fā)揮構(gòu)件的潛力，所以設(shè)計也開始考慮低周疲勞設(shè)計[11].因此詳細梳理結(jié)構(gòu)應(yīng)變法理論，建立分析流程，開展工程領(lǐng)域的適用性研究是目前亟待開展的研究工作.

鑒于此，在前期成果的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)理想彈塑性模型下結(jié)構(gòu)應(yīng)變計算公式，并基于理論算法開展程序的設(shè)計和驗證.基于平面應(yīng)變的有限元模型和結(jié)構(gòu)應(yīng)變理論解進行理論的適用性分析，提出結(jié)構(gòu)應(yīng)變法的適用范圍，實現(xiàn)低周疲勞的結(jié)構(gòu)應(yīng)變法在鐵路貨車上的應(yīng)用，為該方法在工程領(lǐng)域的推廣應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

1 結(jié)構(gòu)應(yīng)變法理論

結(jié)構(gòu)應(yīng)變法的理論假設(shè)為：對于完全彈塑性各向同性材料，通過彈性和塑性變形后，假定沿著厚度方向上的變形仍然維持在1個平面上；其次，結(jié)構(gòu)應(yīng)變法理論是以平面應(yīng)變狀態(tài)進行考慮，焊接接頭模型如圖1所示，采用六面體單元進行網(wǎng)格劃分，平板承受拉伸載荷，則焊接接頭中部為平面應(yīng)變狀態(tài)，兩側(cè)為平面應(yīng)力狀態(tài)，故可將三維問題簡化為平面問題，如按最危險部位考核的話，實際疲勞評估應(yīng)考慮為平面應(yīng)變狀態(tài).

圖1 具有平面應(yīng)變效應(yīng)的焊接接頭Fig.1 Welded joints with plane strain effect

1.1 結(jié)構(gòu)應(yīng)變的計算方法

將焊接接頭的承載情況分為兩種形式：(a)彎曲載荷較大情況，彎曲應(yīng)力導(dǎo)致板上、下面都發(fā)生屈服；(b)膜力載荷較大情況，膜應(yīng)力導(dǎo)致上表面發(fā)生屈服.

1.1.1 上下表面都發(fā)生屈服

對于貫穿厚度的1個截面，首先使用彈性狀態(tài)的結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算的方式，得到膜應(yīng)力 σm和彎曲應(yīng)力σb，兩者求和后顯然已經(jīng)超過了屈服強度SY，如圖2所示.

圖2 上下表面均發(fā)生屈服Fig.2 Yield occurs on both the upper and lower surfaces

由于塑性變形原因，彈性軸發(fā)生偏移，偏移距離為e，彈性芯變?yōu)?2c，內(nèi)、外表面的應(yīng)變分別為ε0和εi，內(nèi)外表面應(yīng)變對應(yīng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)力分別為和根據(jù)彈性狀態(tài)和塑性狀態(tài)下的力和彎矩等效，列出

式中：σm和σb為彈性狀態(tài)下計算的膜應(yīng)力和彎曲應(yīng)力；SY為 材料的屈服強度；P為拉伸載荷，M為彎曲載荷；t為 板厚；e為彈性軸偏離中性層的距離；c為發(fā)生塑性變形后的中性層與塑性區(qū)距離；εi和 ε0為內(nèi)、外表面的應(yīng)變；為產(chǎn)生內(nèi)、外表面 εi和 ε0時的彈性結(jié)構(gòu)應(yīng)力.求解后可獲得式(2)中的彈性軸偏移距離和彈性芯

上述計算適用于線性硬化材料或冪硬化材料，彈性芯參數(shù) 2c是產(chǎn)生塑性變形后留下的彈性芯大小，中性軸移軸參數(shù)e是產(chǎn)生塑性變形以后中性軸的偏移量.在彈性芯參數(shù) 2c和中性軸移軸公式e的計算公式中包含的到σm和σb，兩者需要通過數(shù)值分析計算得到.假設(shè)彈性核的存在占主導(dǎo)地位，根據(jù)材料力學(xué)的幾何關(guān)系，彎曲變形的曲率為

式中：R為 彎曲的曲率半徑；Z為彈性模量；I為慣性矩.

發(fā)生塑性變性后，中性軸偏移后曲率半徑也跟著變化，如圖3所示.

圖3 變形關(guān)系Fig.3 The relation of deformation

根據(jù)圖3中的變形關(guān)系，可以計算出最外層的應(yīng)變ε0和最內(nèi)層的應(yīng)變εi，即

再根據(jù)最外層應(yīng)變和最內(nèi)層應(yīng)變計算膜應(yīng)變和彎曲應(yīng)變，即

式中：εm為膜應(yīng)變；εb為彎曲應(yīng)變.

獲得膜應(yīng)變 εm和彎曲應(yīng)變 εb后，將兩者求和獲得結(jié)構(gòu)應(yīng)變εs，同等效結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算方法一樣，在循環(huán)載荷作用下，等效結(jié)構(gòu)應(yīng)變的參數(shù)為

式中：ΔEs等 效結(jié)構(gòu)應(yīng)變的變化范圍；Δεs為結(jié)構(gòu)應(yīng)變的變化范圍；m為應(yīng)力強度因子的冪指數(shù)，取值為3.6；r為彎曲應(yīng)變 εb與結(jié)構(gòu)應(yīng)變εs的比值；I(r)1n為載荷比r的無量綱函數(shù)[3].

等效結(jié)構(gòu)應(yīng)變計算后，結(jié)合主E-N曲線，如表1所示，進行壽命N計算，即

表1 主E-N曲線Table 1 Main E-N curve

式中：C和h為 試驗常數(shù)；N為壽命.

1.1.2 上表面發(fā)生屈服

當膜應(yīng)力較大時，彎曲應(yīng)力和膜應(yīng)力只能使板的一側(cè)發(fā)生屈服.對于貫穿厚度的一個截面，使用彈性計算的方式，將得到 σm和 σb，兩者求和后只有外表面超過了屈服強度SY，如圖4所示.

圖4 上表面發(fā)生屈服示意圖Fig.4 Schematic diagram of yield on the upper surface relation of deformation

根據(jù)彈性狀態(tài)和塑性狀態(tài)下的力和彎矩等效，得出

經(jīng)計算后，獲得中性軸和彈性核，即

根據(jù)材料力學(xué)的幾何關(guān)系，彎曲變形的曲率為

根據(jù)曲率公式，計算外表面和內(nèi)表面的應(yīng)變?yōu)?/p>

膜應(yīng)變和彎曲應(yīng)變、等效結(jié)構(gòu)應(yīng)變計算公式與式(5)、式(6)一致，壽命計算如式(7)所示.用有效的屈服應(yīng)力替換上述公式中材料的屈服強度SY為

式中：ν為泊松比.

式(12)將上述公式擴展到平面應(yīng)變問題.如果使用馮米塞斯準則，可用下式的E′替 換E.

1.1.3 結(jié)構(gòu)應(yīng)變法的計算實施流程

在彎曲為主的加載式(1)中，將彎矩等效整理后為

如圖2所示，當c=0時，整個截面均達到塑性，求解式(14)，得

如圖4所示，當c=0.5t-e時，僅截面一側(cè)發(fā)生塑性變形，求解式(14)，得

根據(jù)以上計算結(jié)果，以彈性計算獲得結(jié)構(gòu)應(yīng)力σs=σm+σb后，整個截面存在以上幾種狀態(tài)：(1)當σs≤SY時，截面沒有發(fā)生屈服；(2)當 σb≤σbmin，且σs＞SY時，外表面都發(fā)生屈服；(3)當σbmin≤σb≤σbmax，且 σs＞SY時，內(nèi)、外表面都發(fā)生屈服；(4)當σb＞＞σbmax時，截面發(fā)生塑性失效.基于上述原理程序流程如圖5所示.

圖5 焊接結(jié)構(gòu)高、低周疲勞實施流程Fig.5 Calculation process of high and low cycle fatigue of welded structures

2 試驗驗證及分析

2.1 試驗驗證

以Q450NQR1材料的搭接接頭試樣為研究對象，焊接接頭尺寸示意圖如圖6所示，為保證試驗的準確性，使用能夠?qū)崿F(xiàn)塑性應(yīng)變測量的測試膠水進行應(yīng)變片粘貼.應(yīng)變片布置如圖7所示，在距離焊趾C截面2 mm、17 mm的B截面、A截面位置的上下表面布置應(yīng)變片.

圖6 焊接接頭寬板試樣示意圖(mm)Fig.6 Schematic diagram of wide plate specimen of welded joint

圖7 應(yīng)變片布置位置(mm)Fig.7 Strain gauge arrangement position

值得注意的是由于搭接接頭產(chǎn)生了附加彎矩，搭接接頭長度為300 mm，兩端夾具的夾持長度分別為80 mm，在仿真模型上一定要考慮夾持長度.另外，由于板的寬度和應(yīng)變片尺寸限制，導(dǎo)致布置的測點并不在1條直線上，但由于是小試樣，不會產(chǎn)生較大影響.彈性加載下的應(yīng)變測試結(jié)果如表2所示，由于構(gòu)件焊接過程中存在焊接變形，首次加載后，構(gòu)件會發(fā)生1次變形調(diào)整，卸載后再重新加載，測試結(jié)果穩(wěn)定，如圖8所示.根據(jù)表2中的應(yīng)變測試結(jié)果，采用結(jié)構(gòu)應(yīng)力的方法進行應(yīng)力集中系數(shù)計算.第1次拉伸時，試驗存在變形微校正，選擇拉伸第2次的數(shù)據(jù)計算應(yīng)力集中系數(shù)為

表2 彈性加載下的應(yīng)變測試Table 2 strain test under elastic loading

圖8 焊接接頭應(yīng)變片布置及應(yīng)變測試Fig.8 Strain gauge arrangement and strain testing of welded joints

圖9 實測的應(yīng)變曲線Fig.9 Measured strain curves

按實測的應(yīng)力集中系數(shù)1.73，380 MPa載荷下彎矩引起的最大應(yīng)力為273.6 MPa.根據(jù)上表面屈服的結(jié)構(gòu)應(yīng)變的式(8)～ 式(11)可得：上表面焊趾的微應(yīng)變?yōu)? 910，焊趾下表面為460.膜應(yīng)變和彎曲應(yīng)變分別為1 685和1 225.彈性模量E為206 000，m為 3.6，板厚t為5 mm.則彎曲比r，載荷控制下和等效結(jié)構(gòu)應(yīng)變ΔEs分別為

根據(jù)式(7)計算了該試樣在不同統(tǒng)計值下的壽命，并與疲勞試驗結(jié)果進行了對比，結(jié)果如表3所示.可見，中值下的低周疲勞壽命計算結(jié)果與試驗值吻合.

2.2 適用性分析

建立的平面應(yīng)變有限元模型如圖10所示，模型一端施加對稱約束，另一端施加膜應(yīng)力和彎曲應(yīng)力載荷，在靠近對稱約束位置，建立路徑，路徑的起點和終點如圖10所示.

圖10 平面應(yīng)變模型Fig.10 Plane strain finite element model

理論算法和平面應(yīng)變的有限元模型對比如圖11所示.固定端的膜應(yīng)力載荷σm取為250 MPa，300 MPa，350 MPa和380 MPa，通過改變端部彎曲應(yīng)力載荷，計算不同彎曲應(yīng)力載荷下平面應(yīng)變模型和結(jié)構(gòu)應(yīng)變理論解對比如圖11(a)～ 圖11(d)所示.

圖11 理論算法和平面應(yīng)變的有限元模型對比Fig.11 Comparison between theoretical algorithm and plane strain finite element model.(a) the membrane stress is 250 MPa;(b) the membrane stress is 300 MPa;(c) the membrane stress is 350 MPa;(d) the membrane stress is 380 MPa;(e) the bending stress is 250 MPa;(f) the bending stress is 325 MPa

固定端的彎曲應(yīng)力載荷 σb取250 MPa、325 MPa，通過改變端部膜應(yīng)力載荷，計算不同膜應(yīng)力載荷.平面應(yīng)變模型和結(jié)構(gòu)應(yīng)變理論解對比如圖11(e)、圖11(f)所示.計算結(jié)果表明：當材料的屈服為550 MPa，當彎曲載荷與膜應(yīng)力載荷合載荷為700 MPa時，平面應(yīng)變模型和結(jié)構(gòu)應(yīng)變理論解結(jié)果完全一致，高于700 MPa后，隨著載荷的增加，誤差也隨著增加.

3 應(yīng)用實例

以貨車車體為研究對象，采用板殼單元建模，單元長度為30 mm，將車體考慮為柔性體，采用固定交界面法完成柔性體計算[12-13].為了能夠施加與實際狀態(tài)更為吻合的載荷，以試驗臺模型作為車體仿真的邊界條件[14].貨車虛擬試驗?zāi)Ｐ腿鐖D12所示.在虛擬試驗臺的車鉤加載端，施加制動等效壓縮載荷，載荷達到峰值后的車體的最大主應(yīng)力云圖如圖13所示，主應(yīng)力最大的位置集中在車體底盤，在車鉤和兩側(cè)過度位置主應(yīng)力集中較為嚴重.一般來講，主應(yīng)力與結(jié)構(gòu)正應(yīng)力往往有正相關(guān)的關(guān)系，因此我們根據(jù)車體最大主應(yīng)力云圖對關(guān)心焊縫進行篩選.提取了如圖13所示的A1和B1位置的正應(yīng)力，發(fā)現(xiàn)A1位置明顯超過Q450NQR1鋼的屈服極限，B1位置與屈服極限接近，如圖14所示.通過計算的節(jié)點力先計算結(jié)構(gòu)應(yīng)力，再根據(jù)2.1節(jié)中的計算流程計算出結(jié)構(gòu)應(yīng)變，對比了結(jié)構(gòu)應(yīng)力法和結(jié)構(gòu)應(yīng)變的損傷對比結(jié)果，如圖15所示.

圖12 貨車虛擬試驗?zāi)Ｐ虵ig.12 Virtual test model of fast freight car

圖13 變形及最大主應(yīng)力云圖Fig.13 Cloud map of deformation and maximum principal stress.(a) first side of car body;(b) second side of car body

圖14 正應(yīng)力曲線Fig.14 Normal stress curves

圖15 基于結(jié)構(gòu)應(yīng)力和結(jié)構(gòu)應(yīng)變所得損傷對比Fig.15 Comparison of damage based on structural stress and structural strain.(a) The position of A1;(b) The position of B1

A1位置～ A4位置由于結(jié)構(gòu)正應(yīng)力超出材料比例極限較多，因此塑性變形比較明顯，這導(dǎo)致了基于結(jié)構(gòu)應(yīng)變計算的車體疲勞損傷超過基于結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算的車體疲勞損傷，以A1位置為例，基于結(jié)構(gòu)應(yīng)變計算的車體疲勞損傷比基于結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算的車體疲勞損傷高2倍.而在車鉤附近的B1位置～B4位置，由于結(jié)構(gòu)正應(yīng)力超出材料屈服強度不多，因此基于結(jié)構(gòu)應(yīng)變計算得到疲勞損傷僅僅略大于基于結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算得到的疲勞損傷.雖然近幾年針對低周疲勞問題，針對更為精確的材料應(yīng)力應(yīng)變性能曲線，提出了更為準確的計算方法，但由于理想彈塑性材料不需要材料的力學(xué)性能曲線，所以開展的結(jié)構(gòu)應(yīng)變法在工程具有很大的應(yīng)用價值.

4 結(jié)論

(1)為了解決鐵路貨車的低周疲勞評估問題，詳細梳理低周疲勞的結(jié)構(gòu)應(yīng)變法理論，完成了程序設(shè)計和方法的適用性驗證.

(2)平面應(yīng)變有限元模型和結(jié)構(gòu)應(yīng)變法理論解的對比結(jié)果表明，基于理想彈性性模型的結(jié)構(gòu)應(yīng)變方法及程序計算的Q450NQR1材料，當結(jié)構(gòu)應(yīng)力高出屈服強度150 MPa以內(nèi)時，平面應(yīng)變模型和結(jié)構(gòu)應(yīng)變理論解結(jié)果完全一致，超過該范圍后，隨著載荷的增加，誤差也增加.

(3)低周疲勞的結(jié)構(gòu)應(yīng)變法現(xiàn)階段能夠滿足鐵路貨車的設(shè)計需求，研究為該方法的工程推廣應(yīng)用提供了良好的技術(shù)支撐.