劉加霞 劉琳娜

【編者按】 ?數(shù)學(xué)史之于數(shù)學(xué)教育的價值已經(jīng)取得共識。

近年來，北京教育學(xué)院劉加霞教授的團(tuán)隊(duì)在研讀中外數(shù)學(xué)經(jīng)典文獻(xiàn)和數(shù)學(xué)史研究力作的基礎(chǔ)上，聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)的多個核心知識，深入挖掘與之密切相關(guān)的數(shù)學(xué)史料，適當(dāng)選擇數(shù)學(xué)史料融入教學(xué)的方式，開發(fā)了多個數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)（HPM）的課例。本期《專題研究》欄目聚焦“角”，依據(jù)數(shù)學(xué)史的梳理，對其教學(xué)展開探索。

摘 要： 小學(xué)數(shù)學(xué)中，“認(rèn)識角”的核心內(nèi)容是認(rèn)識角的大小及其作用。

梳理《考工記》《幾何原本》，發(fā)現(xiàn)：中國古代用規(guī)和矩作為基本工具進(jìn)行幾何操作，從而構(gòu)建出一些特殊的角度，以滿足技術(shù)規(guī)范的要求；古希臘數(shù)學(xué)則從360°分度體系的角度認(rèn)識一般意義的角，將角度與圓弧對應(yīng)起來，成為現(xiàn)代角的測量的本源。由此獲得教學(xué)啟示：突出直角的作用，體會度量單位產(chǎn)生的必要性；進(jìn)一步感悟度量的本質(zhì)——單位累加；用“長度”表示角的大小及其作用，有跡可循。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)史；角度；《考工記》；《幾何原本》

一、引言

角是除了“點(diǎn)、線、面、體”之外的類似“原始概念”的一個概念，它既是一個圖形，也是構(gòu)成其他圖形的基本要素。角的本質(zhì)在于刻畫直線的方向，因此，角的大小（角度）比角的定義更重要。

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生要分兩次“認(rèn)識角”，一般是在二年級和四年級。二年級主要是知道角的各部分名稱，辨認(rèn)角，知道直角、銳角與鈍角，初步感悟“角的大小與角兩條邊的長度無關(guān)，是角兩條邊岔開的程度”；四年級主要是學(xué)習(xí)角的度量，知道平角與周角等。雖然兩次“認(rèn)識角”的深度不同，但是，核心內(nèi)容都是認(rèn)識角的大小及其作用，而非角的定義。

角的大小與長度、面積、體積等幾何量有較大的差異。后三個量在本質(zhì)上都是“單位的累加”。例如，作為最基本的幾何量，（線段的）長度就是長度單位在同一方向上的順次累加。因此，學(xué)生感知長度最為容易。但是，刻畫角的大小有多種方法，角度單位的累加只是其中一種（沒有量角器也可以刻畫角的大?。?。因此，學(xué)生認(rèn)識角度要比學(xué)習(xí)其他幾何量更有難度。教學(xué)中如何突破難點(diǎn)呢？

一門學(xué)科的歷史是這門學(xué)科的教學(xué)指南，因?yàn)閷W(xué)生的理解具有歷史相似性。早在19世紀(jì)，美國數(shù)學(xué)史家卡約黎就曾指出：“學(xué)生所遭遇的困難往往是相關(guān)學(xué)科的創(chuàng)建者經(jīng)過長期思索和探討后所克服的實(shí)際困難”，因此“數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)的有效工具”。 ?［1］ 由此，“認(rèn)識角”的教學(xué)，可以通過追溯角度的發(fā)展史來突破難點(diǎn)。

中國古代和西方古代對角度概念和角度計量的建立有不同的發(fā)展路徑。本文運(yùn)用文獻(xiàn)分析法對有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行梳理，從中獲得教學(xué)啟示。

二、歷史文獻(xiàn)梳理

（一）《考工記》中特殊角度的表示方法及其運(yùn)用

中國古代數(shù)學(xué)對角度的認(rèn)識一直有欠圓滿。 ?［2］ 劉君燦曾斷言：“中國除了直角之外沒有一般的角度觀念?！??［3］ 關(guān)增建也曾指出：“中國傳統(tǒng)計量中沒有角度計量?！??［4］ 角度在天文觀測、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運(yùn)輸、文化娛樂、軍事戰(zhàn)爭等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，如制造量器、農(nóng)具、車輛、樂器、兵器等都涉及角度。沒有角度的相關(guān)知識，中國古人是如何解決這些現(xiàn)實(shí)問題的呢？除了天文觀測中涉及的角度問題（有學(xué)者認(rèn)為，天文分度不是角度 ?［5］ ）以外，古代技術(shù)百科全書《考工記》中有相關(guān)記載?！犊脊び洝穯柺烙趦汕Ф嗄昵暗拇呵飸?zhàn)國時期，據(jù)考是當(dāng)時齊國的官書。它是我國最早的手工藝技術(shù)專著，重視“就事說事”，在解決不同領(lǐng)域問題時界定了各種特殊的角。

1.用“倨句”表示一般的角度

“在中國古代科技術(shù)語中，沒有現(xiàn)代所用的角度這個詞，古人利用‘倨句表示一般的角度概念。” ?［6］ 一般情況下，倨表示鈍角，句表示銳角，倨句表示相應(yīng)角度的大小。

比如，《考工記·磬氏》中有：“磬氏為磬，倨句一矩有半?！边@里的倨句指樂器磬（如圖1所示）的“鼓上邊”與“股上邊”這兩條邊線的夾角，“一矩有半”是135°。

再如，《考工記·冶氏》中有：“戈廣二寸，內(nèi)倍之，胡三之，援四之，已倨則不入，已句則不 決…… 是故倨句外博，重三鋝；戟廣寸有半寸，內(nèi)三之，胡四之，援五之，倨句中矩，與刺重三鋝。”這段文字說明，兵器戈和戟的形制都與角度有關(guān)。具體來說，對于戈（如圖2所示），要注意援和胡之間的角度關(guān)系：角度太鈍，則不易啄入目標(biāo)；角度太銳，則雖能創(chuàng)敵而不易割斷之；二者間合適的角度應(yīng)該是“倨句外博”，即比直角略大一些。對于戟（戈與矛的組合兵器），則要求“倨句中矩”，即援和胡縱橫相交成直角。

2.“以矩生度”構(gòu)造出以直角為基礎(chǔ)的特殊角

中國古人對角度概念，首先是認(rèn)識了一些特殊角。并且，中國古代技藝采取用特定的名稱表示特定角度的方法，沒有角度單位（如當(dāng)下的1°角）的概念。具體來說，中國古人稱“直角”為“矩”（矩本是畫直角和方形的曲尺），以矩為基礎(chǔ)角度，通過一些幾何操作，進(jìn)一步創(chuàng)生出其他角度概念。這樣的方法稱作“以矩生度” ?［7］ 。

比如，《考工記·車人之事》中有：“車人之事，半矩謂之宣，一宣有半謂之欘，一欘有半謂之柯，一柯有半謂之磬折。”若用現(xiàn)行分度法表示，這些角度的具體數(shù)值為：矩＝90°，宣＝ 1 2 ×90°＝45°，欘＝45°＋ 1 2 ×45°＝ 67°30′， 柯＝67°30′＋ 1 2 ×67°30′＝101°15′，磬折＝101°15′＋ 1 2 ×101°15′＝151°52′30″。用圖形表示則如圖3所示。矩、宣、欘、柯（在“車人為車”中柯也是長度單位，合今約60厘米 ?［8］ ）、磬折就是一套特定條件下實(shí)用的角度單位制體系?！犊脊び洝分?，“韗人”制鼓、“車人”制耒、“匠人”興修水利等都用到了“磬折”這個角度。因?yàn)椤熬亍笔呛苋菀椎玫降模赃@樣的操作方法在實(shí)踐中并不繁難?？梢?，中國古人就是在“具體問題具體分析”中摸索出解決實(shí)用角度問題的獨(dú)特路徑的。

需要注意的是，有文獻(xiàn)認(rèn)為，“磬氏為磬，倨句一矩有半”中磬的“鼓上邊”與“股上邊”的夾角就是磬折，因此，磬折的大小應(yīng)該是“一矩有半”，即135°，但是，關(guān)增建認(rèn)為，“磬氏制磬”中的倨句并沒有明確地被稱為磬折，因此，磬折的大小應(yīng)該是“一柯有半”，即151°52′30″。 ?［9］ ?史學(xué)界對于磬折到底是多少仍有爭議，而對于倨句表示一般的角度概念則無爭議。

3.“以規(guī)生度”構(gòu)造出與周角相關(guān)的角度

“以矩生度”產(chǎn)生了宣、欘、柯與磬折，但是，僅有這幾個特殊的角度，還不能滿足生產(chǎn)生活需要，不能解決更多有關(guān)角度的現(xiàn)實(shí)問題。鑒于規(guī)和矩是古代最常用的幾何工具，《考工記》中還采用了“以規(guī)生度”的方法來確定其他一些特殊角度。 ?［10］

比如，《考工記·筑氏為削》中有：“筑氏為削，長尺博寸，合六而成規(guī)。”意思就是六把“削”（書刀）的刀背向外、依次排列而成一個圓（如圖4所示）。由此，每把“削”的刀背彎曲成一個圓弧，其弧長是相應(yīng)圓周長的六分之一，其所對的圓心角用現(xiàn)代360°分度系統(tǒng)來看就是60°。這里，實(shí)際上是用弧長刻畫角度。

再如，《考工記·弓人》中有：“為天子之弓，合九而成規(guī)；為諸侯之弓，合七而成規(guī)；大夫之弓，合五而成規(guī)；士之弓，合三而成規(guī)?！边@里，也都是用弧長表示角度。

《考工記》中記錄的“以規(guī)生度”方法，可以看作弧度制的萌芽：雖然沒有明確地用圓心角的度數(shù)表示角的大小，但是圓弧度量與角度度數(shù)表達(dá)在邏輯上是等價的。這種方法在描述星體的位置與運(yùn)動方面有不可磨滅的價值。中國古代天文觀測中的蓋天說、渾天說都是用圓弧長度刻畫天體的位置，重在圓弧的線性度量。

總之，中國古代無論技藝器具還是天文觀測中都沒有發(fā)展出一般角的概念，重視的都是特殊角。由于中國古代數(shù)學(xué)中“矩”還指矩形，《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》中是用“隅”來稱謂直角的，數(shù)學(xué)家們的注意力還是在“隅”這個特殊角上?！稘h書·律歷志》中有：“角，觸也，物觸地而出，戴芒角也?！边@里，角雖然不再指獸角，但仍然表示尖銳的形狀，而沒有抽象為數(shù)學(xué)上的角。北宋沈括的《夢溪筆談》中論及“隙出術(shù)”時所談的角是方錐的頂角，即立體角。直到南宋楊輝的《詳解九章算法》、明朝程大位的《算法統(tǒng)綜》中所使用的“角”，才與現(xiàn)代角的含義基本上沒有出入。中國古代數(shù)學(xué)著作中的角概念重在刻畫邊與邊的交會空間，即重在圖形角，研究角是為了研究幾何圖形，而不是抽象的角概念。 從技藝器具中的特殊角、天文觀測中的圓弧度量到圖形中的角，是角概念在中國古代發(fā)展的基本路線。中國古代幾何中的“角”與天文中的“度”沒有在“圓”中統(tǒng)一起來，是最大的遺憾。

（二）《幾何原本》中對角度的界定及其對當(dāng)下的影響

關(guān)于什么是“角”，西方幾何學(xué)也有不同的觀點(diǎn)，概述有三：角是兩條直線方向的差別；角是從一邊旋轉(zhuǎn)到另一邊的量；角是兩條直線相夾的那部分平面。 ?［11］

不同于中國古人“就事論事”地采用構(gòu)造法解決角度測量的問題，早在古巴比倫時期，人們已經(jīng)將圓周分為360度，每度分為60分，每分分為60秒。到了古希臘時期，人們已經(jīng)有了清晰的角度概念，輔之以相應(yīng)的測量儀器和測量方法，角度計量的建立也就水到渠成了。這一切，在古希臘數(shù)學(xué)名著《幾何原本》中有完整的體現(xiàn)。

《幾何原本》給出了角的一般定義，描述了角的分類、角的表示方法，以及如何對角進(jìn)行比較。其中有關(guān)角度單位體系及角度單位的進(jìn)位原則和具體測量方法的記錄如下：

凡大小圓界，俱定為三百六十度，而一度定為六十分，一分定為六十秒，一秒定為六十微，一微定為六十纖。

夫圓界定為三百六十度者，取其數(shù)無奇零，便于布算。

凡有度之圓界，可度角分之大小。如甲乙丙角，欲求其度，則以有度之圓心置于乙角，察乙丙甲之相離可以容圓界之幾度。如容九十度，即是甲乙丙直角；若過九十度者，為丁乙丙鈍角；不足九十度者，為丙乙戊銳角。觀此三角之度，其余可類推矣。

這里提到的“有度之圓界”就是現(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)角的度量必備的量角器，描繪的角度測量方法如圖5所示。

需要說明的是，上面所引的內(nèi)容出自清朝數(shù)學(xué)家梅玨成編纂的《數(shù)理精蘊(yùn)》第二卷，來自意大利傳教士利瑪竇與明代學(xué)者徐光啟合作編譯的《幾何原本》。由于所翻譯的底本的差異，目前通行的漢語版《幾何原本》（翻譯的底本是西斯版，更符合《幾何原本》的本意，而沒有加入后人的解釋）中并沒有這些內(nèi)容。

雖然利瑪竇與徐光啟合作編譯的《幾何原本》不能很好地體現(xiàn)《幾何原本》的本意，尤其是不能凸顯幾何學(xué)的公理化思想，但是，他們把360°圓心角分度體系介紹到了中國。我們接受了360°圓心角分度體系，從而有了表示角度大小的單位劃分，有了統(tǒng)一的單位制度就能進(jìn)行測量，有了測量就能發(fā)展成為計量。當(dāng)然，要建立真正的角度計量，還必須建立相應(yīng)的角度基準(zhǔn)（如檢定角度塊）和測量儀器，但是無論如何，沒有統(tǒng)一的單位制度，就不可能建立角度計量，因此可以說，《幾何原本》的引入為中國角度計量的出現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)。

綜上，中國古代在沒有角度定義和單位體系的情況下用規(guī)和矩作為基本工具進(jìn)行幾何操作，從而構(gòu)建出一些特殊的角度，以滿足技術(shù)規(guī)范的要求，重在解決實(shí)際問題。古希臘數(shù)學(xué)則從360°分度體系的角度認(rèn)識一般意義的角，將角度與圓弧對應(yīng)起來，成為現(xiàn)代角的測量的本源，重視通過公理化思想建構(gòu)幾何知識體系。中國古代數(shù)學(xué)關(guān)注“實(shí)用性”（當(dāng)然，劉徽除外）與古希臘數(shù)學(xué)重視邏輯推理（強(qiáng)調(diào)理性精神）形成了鮮明的對比。

三、教學(xué)啟示

通過有關(guān)角度的歷史文獻(xiàn)梳理，可得如下啟示：認(rèn)識事物可以從特殊到一般，小學(xué)生認(rèn)識角可以從特殊的角度入手，感悟直角無處不在，再認(rèn)識銳角、鈍角等，然后進(jìn)一步認(rèn)識構(gòu)成角的要素，辨別、描述一般的角。教學(xué)中，可以探究前述古代先民們創(chuàng)造的工具中的角度，了解這些特殊角的名稱以及各個角之間的大小關(guān)系，感悟角也可以“分割、累加”，為用量角器測量角積累度量經(jīng)驗(yàn)，并感悟悠久燦爛的中華傳統(tǒng)文化。具體來說，二年級和四年級“認(rèn)識角”的教學(xué)要重視以下內(nèi)容：

第一，突出直角的作用，體會度量單位產(chǎn)生的必要性。在以往的教學(xué)中，為幫助學(xué)生認(rèn)識角的度量單位，通常會讓學(xué)生多次進(jìn)行“用小角量大角”的活動，經(jīng)歷度量單位產(chǎn)生的過程，感悟統(tǒng)一度量單位的必要性。通過史料梳理，發(fā)現(xiàn)《考工記》中的角度大多以“矩”為源，而“矩”也是學(xué)生最常見的圖形或角度。教學(xué)中，要以此為“切入點(diǎn)”和“主線”，貫穿角的分類、角的度量全過程。

第二，進(jìn)一步感悟度量的本質(zhì)——單位

累加。與以往學(xué)習(xí)的有關(guān)度量的知識聯(lián)系起來，認(rèn)識到角的度量不是一個孤立的知識模塊，而與長度度量、面積度量具有內(nèi)在的一致性——度量單位累加，當(dāng)然也有不同——角的單位累加更復(fù)雜。教學(xué)中，不要急于讓學(xué)生進(jìn)行沒有思維含量的“量角”活動（如機(jī)械記憶“二合一看”），而要重視“要量的角”如何與“量角器上的角”重合，如何讀出量角器上角的度數(shù)，即重視“角的單位”是按順時針還是逆時針依次累加的。

第三，用“長度”表示角的大小，有跡可循。古人在“以規(guī)生度”的過程中是用“弧長”表示“角度”的?；跉v史相似性，學(xué)生用“長度”表示角的大小似乎很自然。課堂上隱約有很多學(xué)生是用“長度”表示角的大小的：當(dāng)角的兩條邊長度固定時，用兩條邊另一端點(diǎn)連線的長度表示角的大小。教學(xué)中，不要忽視學(xué)生的一些思維生長點(diǎn)，而要撬開一個小口，鼓勵學(xué)生基于學(xué)習(xí)興趣深入研究，也為中學(xué)學(xué)習(xí)三角函數(shù)積累經(jīng)驗(yàn)。

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