核主泵機械密封可靠性Bayes分析的適應性

高燈，孫見君，張玉言

(南京林業(yè)大學機械電子工程學院，江蘇南京 210037)

核主泵利用流體動壓型機械密封防止反應堆內含放射性、高溫或高壓冷卻流體的泄漏，其可靠性對核電站的安全穩(wěn)定運行具有舉足輕重的作用[1]。為了確保系統(tǒng)安全、穩(wěn)定、可靠運行，運行商常定期更換在役機械密封件，并記錄下這些未失效機械密封的相關數(shù)據(jù)。如何利用無失效數(shù)據(jù)去估計核主泵機械密封可靠性一直為工程技術人員所關注。

無失效數(shù)據(jù)研究可以追溯到1979年MARTZ和WALLER[2]的研究。大多數(shù)無失效數(shù)據(jù)研究主要集中在置信限法和結合先驗信息的Bayes類方法上，面向航天發(fā)動機、船舶、電子元器件、軸承等高可靠性要求產品。韓明、沈繼紅、宋永剛等[3-5]結合Bayes理論探討了產品壽命服從指數(shù)分布的可靠性評估方法。SONG和CAO[6]給出了先驗分布為Gamma分布結合Bayes模型的失效概率標準平方誤差損失函數(shù)。JIANG等[7]將函數(shù)凹凸性和Bayes理論相結合，給出了Weibull分布下，失效概率區(qū)間的估計值。金光和沈靜[8]針對小樣本無失效衛(wèi)星活動部件可靠性評估問題，提出一種Bayes信息融合技術，充分利用不同型號相似活動部件數(shù)據(jù)，來提高評估精度。高攀東、蔡忠義、姜祥周等[9-11]探討了E-Bayes估計與多層Bayes估計應用在其他高可靠性產品的優(yōu)劣性。傅惠民等[12]提出一種可靠性評估和壽命預測的方法，旨在提高壽命實驗中出現(xiàn)極少失效數(shù)據(jù)場合下的預測精度。該方法缺陷在于需知道Weibull分布形狀參數(shù)的下限。賈祥等人[13]給出了產品服從Weibull分布的一般可靠性分析步驟。

上述研究為Bayes類方法拓展至重要裝備的機械密封可靠性評估提供了有益借鑒。肖麗麗等[14-15]針對核主泵機械密封可靠度評定問題，通過最優(yōu)置信限法估計可靠性參數(shù)，并探討了影響參數(shù)估計值的主要因素；之后基于配分布曲線法和修正似然函數(shù)法分析了參數(shù)估計值和給定時間的可靠度估計值，并指出了2種方法的不同適用范圍。置信限法得出的結果往往較為“保守”，不夠精確，而Bayes類方法可以有效彌補置信限的“保守”問題，但卻因先驗信息的不同而有差別，從而影響了可靠度評估的精度。可見，Bayes理論應用于核主泵機械密封可靠度評估仍需更多的探討。

本文作者擬通過搜集到的大亞灣核主泵機械密封的故障數(shù)據(jù)，確定其可靠度分布；結合配分布曲線法建立基于Bayes理論的核主泵機械密封可靠性評估模型；最后，通過故障數(shù)據(jù)確定的可靠度分布參數(shù)做無失效仿真算例，探究先驗分布參數(shù)對E-Bayes估計和多層Bayes估計精度的影響。研究成果可為進一步開展基于Bayes理論的核主泵機械密封可靠性評估工作奠定基礎。

1 大亞灣核主泵機械密封小樣本數(shù)據(jù)可靠度分布的確定

為確定搜集到的大亞灣核主泵機械密封故障數(shù)據(jù)所服從的壽命分布類型，文中分別采用常見的指數(shù)分布和Weibull分布對數(shù)據(jù)進行擬合，通過擬合優(yōu)度確定壽命分布類型，從而為后續(xù)基于無失效數(shù)據(jù)核主泵機械密封可靠度評估提供一個參照。

1.1 數(shù)據(jù)來源

搜集到的核主泵機械密封數(shù)據(jù)來源于文獻[16]，保留故障退出的數(shù)據(jù)，去除正常退出的情況，篩選得到核主泵機械密封的壽命數(shù)據(jù)，見表1。

1.2 可靠度分布的確定

圖估計法是工程上常用的直觀易懂、簡單易行的方法，該方法適用于樣本容量不大的場合。當樣本數(shù)量為n時，通過可靠性試驗可以得到n個故障時間，然后將故障時間按照依次增加的順序排列為t1，t2，…，tn。當樣本容量有限時，對應的各故障時刻的累積分布F(ti)可由公式(1)[17]近似計算。

(1)

由式(1)可以計算得到n個數(shù)據(jù)對，即(t1，F(xiàn)(t1))，(t2，F(xiàn)(t2))，…，(tn，F(xiàn)(tn))。 當通過線性化處理，使累積故障概率F(ti)與t具有直接或者間接的線性關系時，可初步認為壽命數(shù)據(jù)來源于這種分布。累計失效概率見表2。

(1)指數(shù)分布擬合

當產品的壽命時間滿足指數(shù)分布時，對指數(shù)分布函數(shù)F(t)=1-e-λt進行線性變化，可以得到：

(2)

設Y=ln(1/(1-F(t)))，X=t，則Y和X呈線性關系，λ是斜率。Y和F(t)一一對應的關系擬合結果如圖1所示。

圖1 指數(shù)分布擬合Fig.1 Exponential distribution fitting

由擬合的直線可知，λ=-0.000 14。擬合結果：F(t)=1-e0.000 14t。

(2)Weibull分布擬合

當產品的壽命時間滿足Weibull分布時，對Weibull分布函數(shù)F(t)=1-exp{-(t/η)m}進行線性變化，m為形狀參數(shù)，表征瞬時失效率隨時間的變化率，η為尺度參數(shù)，表征失效速率的變化快慢，將Weibull分布函數(shù)進行變形，可以得到：ln ln{1/[1-F(t)]}=mlnt-mlnη，設Y=ln{ln{1/[1-F(t)]}}，X=lnt，則Y和X呈線性關系，直線的斜率為m，此時軸上的截距為lnη。擬合結果如圖2所示。

圖2 Weibull分布擬合Fig.2 Weibull distribution fitting

擬合結果：

F(t)=1-exp(-(t/12 632)1.8)

(3)

(3)擬合優(yōu)度比較

求出直線回歸方程后，用擬合優(yōu)度K2作為衡量匹配后直線效果好壞的標準。K2越接近1(或越大)，則表明所匹配的直線效果越好。擬合優(yōu)度結果見表3。

表3 擬合優(yōu)度計算對比

比較結果可知，Weibull分布擬合效果最佳。所以認為大亞灣核主泵機械密封可靠度服從Weibull分布，把該分布當作基準(見式(4))。

R(t)=exp[-(t/12 632)1.8]

(4)

2 基于配分布曲線法的核主泵機械密封可靠性分析

2.1 先驗分布為Beta分布的Bayes方法

Bayes方法中先驗分布所含未知參數(shù)確定困難時，通過引用先驗分布的參數(shù)作為超參數(shù)，對超參數(shù)再給出一個先驗，最后綜合信息得到可靠性參數(shù)的Bayes估計。當試驗中機械密封并無失效，且需滿足在(0，ti)內機械密封失效概率較小的可能性大，較大的可能性小，此時可選Beta分布作為失效概率pi的共軛先驗分布。根據(jù)Bayes理論，pi的先驗概率密度[17]為

(5)

a，b取不同值時，Beta分布有很大區(qū)別，b越大，Beta分布概率密度函數(shù)尾部越細，Bayes估計的穩(wěn)健性越差；當0

分別選取超參數(shù)a、b在定義域上的均勻分布作為其先驗分布[17]：

(6)

根據(jù)Bayes理論，得pi的多層先驗分布[19]為

(7)

2.2 失效概率估計方法

2.2.1pi的E-Bayes估計

π(pi|b)=b(1-pi)b-1，0

(8)

又超參數(shù)b為先驗分布在區(qū)間(1，c)上的均勻分布，則在平方損失下，pi的E-Bayes估計[18]為

(9)

2.2.2pi多層Bayes估計

同樣，pi的先驗由式(8)給出，超參數(shù)b的先驗分布取區(qū)間(1，c)上的均勻分布，則pi的多層先驗密度函數(shù)[20]為

(10)

由似然函數(shù)和先驗概率密度函數(shù)，可得平方損失下，pi的多層Bayes估計[20]為

(11)

2.3 加權最小二乘法的參數(shù)估計

(12)

(13)

由此不難得到：

(14)

(15)

最終可求得時刻τ處的可靠度估計：

(16)

3 仿真算例分析

為比較E-Bayes方法和多層Bayes方法的優(yōu)劣，以大亞灣核主泵機械密封可靠度函數(shù)為基準，通過將2種方法估計出的可靠度與原始可靠度的平均相對誤差來比較優(yōu)劣。表4給出了6個任務時間(h)的原始可靠度。

表4 原始參數(shù)下的可靠度

為了討論c對E-Bayes方法和多層Bayes方法評估精度的影響，運用Monte Carlo法生成服從Weibull分布的隨機數(shù)，產生該組數(shù)據(jù)的原始數(shù)據(jù)為m=1.8，η=12 632，得到一組無失效數(shù)據(jù)如表5所示。

表5 仿真核主泵機械密封無失效數(shù)據(jù)樣本

表6、表7給出了E-Bayes方法和多層Bayes方法在不同參數(shù)c和不同任務時間下的失效概率。數(shù)據(jù)表明：c一定時，失效概率隨時間的增加而增加；時間一定時，失效概率隨c的增加而降低。

表6 E-Bayes方法的失效概率估計值

表7 多層Bayes法失效概率估計值

圖4 不同參數(shù)c下的尺度參數(shù)估計值Fig.4 Estimated values of scale parameters under different parameters c

表8、表9給出了E-Bayes估計和多層Bayes估計的平均相對誤差。結果表明：時間一定時，可靠度隨c值的增加而增加；c值一定時，可靠度隨時間的增加而降低。E-Bayes估計平均相對誤差達到最低時，c=9；多層Bayes估計平均相對誤差達到最低時，c=8。

表8 E-Bayes估計的平均相對誤差

表9 多層Bayes估計的平均相對誤差

圖5示出了E-Bayes估計和多層Bayes估計的平均相對誤差隨參數(shù)c的變化曲線。結果表明：參數(shù)c=8時，E-Bayes估計和多層Bayes估計產生的平均相對誤差最為接近且均達到較低水平。由此可以推斷：針對核主泵機械密封，先驗分布為Beta分布時，參數(shù)c=8時，評估精度達到最佳水平。

圖5 平均相對誤差隨參數(shù)c的變化Fig.5 Variation of average relative error with parameter c

4 結論

(1)建立了結合Bayes理論的可靠性分析模型，并通過大亞灣核主泵機械密封運行數(shù)據(jù)，驗證了c取值適當時結合Bayes理論可靠性分析方法的可行性。

(2)建立的可靠性分析方法的分析步驟：首先通過定時截尾試驗獲得產品的無失效數(shù)據(jù)，其次根據(jù)Bayes理論計算得到產品失效概率的估計值，最后利用加權最小二乘法擬合離散的失效概率點得出參數(shù)的點估計，進而得到可靠度估計。

(3)從E-Bayes估計和多層Bayes估計所產生的平均相對誤差來看，c<8時，優(yōu)先選擇多層Bayes估計；c>8時，優(yōu)先選擇E-Bayes估計。

(4)針對無失效情形下核主泵機械密封的可靠性分析問題，先驗分布為Beta分布時，參數(shù)c=8時，E-Bayes估計和多層Bayes估計所產生的誤差均達到較低水平。