基于自適應(yīng)多層RLS的鋰離子電池參數(shù)辨識

段雙明，張勝利

（現(xiàn)代電力系統(tǒng)仿真控制與綠色電能新技術(shù)教育部重點實驗室（東北電力大學(xué)），吉林 吉林 132012）

鋰離子電池由于其高能量密度、長循環(huán)壽命和無記憶效應(yīng)的優(yōu)點被廣泛應(yīng)用在電動汽車、新能源發(fā)電和移動電子設(shè)備等領(lǐng)域[1-2]。模型參數(shù)辨識是電池建模的重要步驟，辨識結(jié)果的準(zhǔn)確性直接影響模型的精確性，而模型參數(shù)直接影響現(xiàn)有電池故障診斷效果[3-4]和電池狀態(tài)估計精度[5-6]。因此，實現(xiàn)精確的參數(shù)辨識對于電池管理至關(guān)重要。

在線參數(shù)辨識可以根據(jù)電池所處的環(huán)境和狀態(tài)實時修正模型參數(shù)，因此被大量研究。文獻(xiàn)[7]提出滑動窗口差分遺忘因子遞推最小二乘法，選擇自適應(yīng)變時間寬度的數(shù)據(jù)來更新遺忘因子，實現(xiàn)了對遺忘因子的進(jìn)一步控制，但只驗證了在電池參數(shù)不發(fā)生變化情況下的結(jié)果，對于變化參數(shù)的情況并未討論。文獻(xiàn)[8]針對電池模型不同部位的收斂時間的不同特點，使用RLS（recursive least squares）和擴(kuò)展卡爾曼濾波異步辨識二階等效電路模型，驗證了電壓誤差從零初值收斂到確定參數(shù)的收斂時間，同樣存在的問題是在參數(shù)發(fā)生變化的情況下，并未說明參數(shù)收斂時間。文獻(xiàn)[9]使用粒子群優(yōu)化模擬退火算法對三種不同類型的電池模型參數(shù)進(jìn)行辨識，展示了所提方法在不同模型間的通用性，但所用方法并未驗證在實時參數(shù)辨識上的計算時間問題。文獻(xiàn)[10]提出使用恒流間歇滴定技術(shù)建立等效電路模型參數(shù)的精確查找表，對不同溫度下的電池參數(shù)進(jìn)行精確表征，但這需要大量的前期實驗時間，并且同一型號的電池存在不一致性差異，隨著使用時間的增加，查找表精度會越來越差。文獻(xiàn)[11]針對鋰離子電池組提出了一種改進(jìn)的復(fù)合等效建模方法和拼接卡爾曼濾波算法，提高了荷電狀態(tài)的預(yù)測精度。文獻(xiàn)[12]提出了一種改進(jìn)的前饋-長短期記憶（FF-LSTM）建模方法，通過有效地考慮電流、電壓和溫度等因素，實現(xiàn)了精確的全生命周期SOC預(yù)測。

在電流變化頻繁的運(yùn)行條件下，極化電容參數(shù)會劇烈變化，而RLS 適用于參數(shù)變化緩慢的系統(tǒng)，當(dāng)參數(shù)變化劇烈時，辨識參數(shù)誤差會增大[13]，故針對電池參數(shù)發(fā)生變化時導(dǎo)致辨識誤差的問題，本文提出自適應(yīng)多層RLS參數(shù)辨識方法，所提方法根據(jù)層數(shù)變化來更新參數(shù)，以提升算法參數(shù)跟蹤能力。設(shè)計層數(shù)選擇器，根據(jù)誤差e(k)值的變化選擇層數(shù)，減小計算量，搭建仿真實驗平臺，驗證所提方法的正確性和有效性。

1 電池模型

由于戴維南模型精度較高且計算量不大，本文選擇戴維南模型作為電池待辨識模型，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。戴維南模型由受控電壓源、歐姆內(nèi)阻和并聯(lián)的電阻以及電容組成，電壓源表示電池的開路電壓(open circuit voltage，OCV)，其值會隨著SOC 的變化而改變。歐姆內(nèi)阻R0代表了當(dāng)電流流過模型時所產(chǎn)生的瞬態(tài)電壓降，歐姆內(nèi)阻由電極材料電阻、電解液電阻等組成，是體現(xiàn)電池健康狀態(tài)(state of health，SOH)的重要指標(biāo)[14]。并聯(lián)的電阻電容分別是極化內(nèi)阻RP和極化電容CP，其可以描述當(dāng)電池充電或放電時電壓的瞬態(tài)變化[15]。圖1 所示戴維南模型電流和電壓關(guān)系可以由公式(1)描述。

圖1 戴維南電池模型Fig.1 Theveinan battery model

式(1)中，UP為極化電壓，Ut為端電壓，i為充電或放電電流，Uocv為開路電壓。進(jìn)行參數(shù)辨識前需要將該時域模型轉(zhuǎn)化為外源性自回歸模型[16]。令Ul=Uoc-Ut，可得傳遞函數(shù)：

對式(2)使用雙線性變換[17]：

式中，z為離散化運(yùn)算子，Ts為采樣間隔，可得傳遞函數(shù)的離散形式為：

中間參數(shù)a1、b0、b1可分別表示為：

從式(4)可得離散模型：

式中，y(k)為端電壓矩陣，φ(k)為輸入矩陣，θ(k)為參數(shù)矩陣，分別表示為：

獲得參數(shù)矩陣θ(k)后，可根據(jù)式(8)解出戴維南模型的參數(shù)值。

2 自適應(yīng)多層RLS參數(shù)辨識

2.1 RLS

在最小二乘方法中，為使給定的數(shù)據(jù)和假定的信號或無噪聲數(shù)據(jù)之差的平方達(dá)到最小，即最小化式(9)。在公式(9)中，當(dāng)遺忘因子λ為1 時，式(9)為標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘法。當(dāng)λ小于1 時，隨著i的增加，指數(shù)λk-i會越來越大，這表示新數(shù)據(jù)更新參數(shù)的權(quán)重大于舊數(shù)據(jù)，因此實現(xiàn)對時變系統(tǒng)的參數(shù)跟蹤[18]。

遞推最小二乘為式(9)的遞推形式，其迭代公式如下：

式(10)～式(13)中，K(k)為增益矩陣，P(k)為協(xié)方差矩陣，I為單位矩陣，λ通常取0.95～1。遺忘因子的取值會對參數(shù)辨識的結(jié)果產(chǎn)生影響。例如在第k次的計算中，λ越小，第k次之前的數(shù)據(jù)點對第k次參數(shù)更新所占的比例越小。傳統(tǒng)的RLS參數(shù)更新受限于指數(shù)遺忘的形式，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化劇烈時，存在參數(shù)誤差。本文提出使用層數(shù)更新參數(shù)的自適應(yīng)多層RLS法，以提升對快速變化參數(shù)辨識的精度。

2.2 自適應(yīng)多層RLS參數(shù)辨識

電池參數(shù)會隨著SOC、電流和溫度的變化而變化，AMLRLS從各層得出的參數(shù)中，計算電壓誤差中參數(shù)量所占的比例，提取誤差中的參數(shù)量，從而減小參數(shù)誤差。為了形成多層RLS結(jié)構(gòu)，對于式(6)所表示的系統(tǒng)，在第一層RLS中，根據(jù)式(14)可將系統(tǒng)重新表示為式(15)的形式，其中下標(biāo)Ln表示第n層，即把式(6)的y(k)作為第一層的yL1(k)，把θ(k)作為第一層的θL1(k)。

式(14)中，yL1(k)表示第k次的端電壓，θL1(k)表示第一層的參數(shù)大小，根據(jù)第一層的辨識結(jié)果，可得第一層的電壓誤差為：

展開yL1(k)后為：

θL1(k) -可表示為θL2(k)，作為第一層參數(shù)估計后的參數(shù)誤差矩陣。在第二層中，RLS用來估計第一層產(chǎn)生的參數(shù)誤差θL2(k)。和第一層相似，第二層的估計誤差如式(18)所示：

展開yL2(k)后為：

后面每一層的yL(k)取計算上一層估計參數(shù)的電壓誤差，例如在第(m-1)層中，其估計的參數(shù)為θL(m-1)(k)，θL(m-1)(k)所產(chǎn)生的誤差[θL(m-1)(k) -]作為下一層待估計的參數(shù)，如式(20)所示[13]：

得到第(m- 1)層的yLm(k)后，第(m- 1)層的ek和與第一層RLS類似，分別為：

式中，Kk增益矩陣為第一層的增益矩陣，即所有層共用一個Kk增益矩陣。達(dá)到規(guī)定的計算層數(shù)后，第k次數(shù)據(jù)點的參數(shù)就是第k次所有層的參數(shù)之和，即：

隨著層數(shù)的增加，參數(shù)誤差會越來越小，但參數(shù)誤差減小到一定程度后噪聲對參數(shù)的影響增大，考慮更多的層數(shù)帶來更多的計算負(fù)擔(dān)，選擇合適的層數(shù)是必要的。當(dāng)參數(shù)變化更劇烈時，因為RLS的指數(shù)遺忘性質(zhì)會導(dǎo)致參數(shù)誤差變大，而參數(shù)誤差體現(xiàn)在e(k)上，故可以通過增加RLS 層數(shù)對參數(shù)誤差進(jìn)行補(bǔ)償，因此合理的RLS層數(shù)應(yīng)該和參數(shù)變化有關(guān)。此外，當(dāng)參數(shù)誤差小到一定程度后繼續(xù)增加層數(shù)以減小誤差并不合理，因為足夠小的誤差下噪聲所占的比例會變大，故層數(shù)不應(yīng)太大。綜上，層數(shù)選擇器的設(shè)計如式(24)所示：

式(24)中，round()代表取整數(shù)函數(shù)，Lmin為最小層數(shù)，h為敏感系數(shù)，ebase為允許誤差，e(k)為k時刻的誤差，h表示了L(k)隨誤差e(k)變化的快慢，h取值為0～1，當(dāng)h接近1時，L(k)變化加快，h接近0時，L(k)變化變慢。根據(jù)式(24)可以得出：當(dāng)e(k)大于ebase時，L(k)會增加；當(dāng)e(k)小于ebase時，L(k)會減小，因此通過增加層數(shù)來減小誤差是可行的。層數(shù)選擇器的加入使誤差控制在可以接受的范圍內(nèi)，并且減小了計算量。結(jié)合層數(shù)選擇器后，AMLRLS參數(shù)辨識步驟如表1所示。

表1 AMLRLS參數(shù)辨識流程Table 1 The parameters identification steps of AMLRLS

3 仿真驗證

為了驗證所提方法在參數(shù)變化時跟蹤參數(shù)的能力，本文使用MATLAB仿真電池戴維南等效電路模型，采樣頻率設(shè)置為1Hz。其中模型參數(shù)設(shè)定為R0=0.07Ω，RP=0.01Ω，CP設(shè)置為1000～1200F 的變化值。分別使用三種方法對變化的極化電容CP進(jìn)行辨識，AMLRLS遺忘因子設(shè)置為0.99，最大層數(shù)為4，最小層數(shù)為1，AFFRLS最大遺忘因子設(shè)置為0.99，最小遺忘因子設(shè)置為0.98，RLS遺忘因子設(shè)置為0.99。仿真結(jié)果如圖2所示。圖2(a)為極化電容以2000 s為周期變化的情況，結(jié)果顯示在參數(shù)發(fā)生變化后，三種方法依次收斂至真實值。得益于以多層結(jié)構(gòu)更新參數(shù)，AMLRLS 與真實值最為靠近，在最短的時間內(nèi)逼近真實值。AFFRLS收斂至真實值的時間大于AMLRLS，但AFFRLS具有改變遺忘因子的優(yōu)勢，這使得其在小于RLS的時間內(nèi)收斂至設(shè)定的準(zhǔn)確值，RLS收斂至真實值的時間最長，辨識到的參數(shù)有明顯的時間滯后。圖2(b)為極化電容以1000 s為周期變化的情況，其辨識結(jié)果與圖2(a)類似，不同的是由于參數(shù)變化頻率加快，算法辨識值和真實值之差有所增大。

圖2 算法辨識以不同周期變化的極化電容Fig.2 Algorithmic identification of polarizing capacitors with varying time periods.

表2 統(tǒng)計了圖2 三種算法辨識結(jié)果與真實值的平均絕對誤差(mean absolute error, MAE)，其中圖2(a)中AMLRLS 的MAE 是RLS 的37.5%，是AFFRLS 的55.4%。圖2(b)在極化電容參數(shù)變化頻率增加的情況下，三種方法的MAE 比圖2(a)的結(jié)果都有所增加，在圖2(b)中，AMLRLS 的MAE 是RLS的31.0%，是AFFRLS的53.5%。根據(jù)以上分析，可以得出當(dāng)極化電容參數(shù)變化的頻率越大，AMLRLS的MAE相較于RLS的提升越大。

表2 極化電容以不同頻率變化的平均絕對誤差對比Table 2 Comparison of mean absolute error of polarized capacitance at different frequencies

4 實驗驗證

4.1 SOC-OCV曲線

在參數(shù)辨識之前，需要進(jìn)行實驗確定電池的SOC和OCV曲線，SOC與OCV的關(guān)系可用式(25)的多項式表示[19]：

式中，ci為多項式系數(shù)。首先，將電池以1 C倍率的恒定電流進(jìn)行充電，充電至截止電壓4.2 V，隨后以恒定電壓4.2 V 進(jìn)行恒壓充電，當(dāng)電流降低到0.01 C時，停止充電，此時電池已經(jīng)充滿，充滿后每次以1/20C的電流放10%的電量，放電后間隔2 個小時，并記錄此時的SOC-OCV 對應(yīng)值，之后進(jìn)行下一次放電。經(jīng)過以上實驗，可以得出SOCOCV 的11 個對應(yīng)點。為了得出SOC-OCV 曲線，需要使用MATLAB曲線擬合工具箱對SOC-OCV點進(jìn)行擬合，擬合的結(jié)果如圖3所示。圖中11個點分別對應(yīng)了SOC從0至1時開路電壓從3.2 V至4.2 V的變化情況。

圖3 SOC-OCV擬合曲線Fig.3 SOC-OCV fitting curve

4.2 DST和FUDS工況下的驗證

電池在實際使用中，電池參數(shù)在不斷發(fā)生變化[20]，為了驗證所提方法在模型參數(shù)變化情況下的優(yōu)勢，本文使用DST（dynamic stress test）和FUDS（federal urban driving schedule）兩種電流變化比較大的電流文件來進(jìn)行實驗。實驗數(shù)據(jù)均來源于馬里蘭大學(xué)鋰電池數(shù)據(jù)集，實驗電池型號為INR 18650-20R，容量2000mAh。DST 和FUDS電壓電流的特點分別如圖4所示，從圖中可以看出FUDS與DST電流變化的幅值相同，但FUDS的電流變化相對更頻繁，且兩種電流文件中電壓不斷下降，電池總體呈放電趨勢。實驗所設(shè)置的溫度為25 ℃，實驗電池初始SOC為80%。辨識后根據(jù)電壓誤差的大小作為電池參數(shù)辨識是否準(zhǔn)確的依據(jù)，電壓誤差的計算方法為[7]：

圖5 是根據(jù)式(26)得到的電壓誤差。在圖5(a)的DST 電流文件中，可以看出相同的部分為在電流變化較大的情況下，電壓誤差也相對較大，這是因為在電流變化大時，電池參數(shù)發(fā)生變化，而算法并不能及時地收斂至變化的電池參數(shù)，而AMLRLS使用多層結(jié)構(gòu)遞推分離出電壓誤差中的參數(shù)量，故在2000～8000 s 這一階段的AMLRLS 的最大電壓誤差要小于作為對比的AFFRLS和RLS，這驗證了所提方法在參數(shù)變化情況下可以降低電壓誤差的優(yōu)點。另外，在開始和結(jié)束時間段3種方法的電壓誤差均高于中間時間段。在FUDS 電流文件中，電流變化頻繁，在電流變化大時AMLRLS 低電壓誤差的優(yōu)勢并不明顯。為了更直觀地評價所提方法的優(yōu)勢，分別計算DST 電流文件和FUDS 電流文件下的平均絕對誤差(27)和均方根誤差(28)。在式(27)和式(28)中，Vtest為實驗所測得的電壓，Vmodel為電池等效電路模型的電壓，N為總數(shù)據(jù)點個數(shù)。

圖5 DST電流文件和FUDS電流文件下電壓誤差Fig.5 Voltage error under DST current file and FUDS current file

計算結(jié)果如表3 所示，從表中數(shù)據(jù)可以看出，本文所用方法無論是絕對誤差還是均方根誤差都小于RLS和AFFRLS，對比AFFRLS和RLS的結(jié)果，AFFRLS作為RLS的改進(jìn)算法得益于變化的遺忘因子的優(yōu)勢可以減小電壓平均絕對誤差和電壓均方根誤差。而AMLRLS以改變RLS層數(shù)遞推計算電壓誤差中的參數(shù)所占的比例，從而從電壓誤差中提取出參數(shù)值，這使得AMLRLS在DST和FUDS下電壓誤差均小于AFFRLS。比較DST電流文件和FUDS電流文件，由于FUDS電流文件中電流變化比DST電流文件中電流變化更加頻繁，這導(dǎo)致DST電流文件下的誤差要小于FUDS電流文件下的誤差。

表3 DST和FUDS下電壓誤差的比較Table 3 Comparison of voltage errors under DST and FUDS

圖6(a)和圖6(b)分別為所提方法在DST電流文件下的層數(shù)分布和層數(shù)統(tǒng)計，在圖6(a)中，層數(shù)分布的形狀與DST 電流形狀具有相似性，這是因為受到電流變化的影響，電池參數(shù)會發(fā)生變化，層數(shù)選擇器則選擇較高的層數(shù)使更新的參數(shù)更接近變化后的參數(shù)值，這使電流和層數(shù)產(chǎn)生了形狀上的關(guān)聯(lián)。在圖6(b)中，DST 共有10630 個數(shù)據(jù)點，74.8%的數(shù)據(jù)點為一層，共7948個。3層和4層的數(shù)據(jù)點占比最小，分別為6.1%和6.9%，計算至兩層的數(shù)據(jù)點高于計算了3 層和4 層的數(shù)據(jù)點，占比為12.2%。

圖6 DST下AMLRLS層數(shù)分布和層數(shù)統(tǒng)計Fig.6 The layer distribution and layer count statistics under DST for AMLRLS.

圖7(a)和圖7(b)分別為所提方法在FUDS 電流文件下的層數(shù)分布和層數(shù)統(tǒng)計。在圖7(a)中，2層、3 層和4 層的數(shù)量相較于DST 更為密集。圖7(b)的情況和圖6(b)類似，層數(shù)多的數(shù)據(jù)點占比小，計算到一層的數(shù)據(jù)點占比仍然是最多的，與圖6(b)不同的是計算至2～4層的數(shù)據(jù)點占比提高了，這是因為FUDS 電流變化頻率更高，導(dǎo)致電壓誤差e(k)始終較高，故層數(shù)選擇器偏向選擇較高的層數(shù)。圖6(b)和圖7(b)表明了加入了層數(shù)選擇器后，層數(shù)選擇器可以根據(jù)e(k)選擇合適的層數(shù)，避免了所有數(shù)據(jù)點計算至最大層數(shù)導(dǎo)致計算量變大的劣勢。

圖7 FUDS下AMLRLS層數(shù)分布和層數(shù)統(tǒng)計Fig.7 The layer distribution and layer count statistics under FUDS for AMLRLS

4.3 不同溫度和初始SOC下的驗證

為了驗證所提方法在不同情況下的性能，本文使用不同溫度和初始SOC 對電池進(jìn)行參數(shù)辨識，得出的電壓誤差如表4所示。對于DST電流文件下的實驗結(jié)果，當(dāng)設(shè)定溫度為0 ℃、初始SOC 為50%時，RLS 的MAE 和RMSE(Root Mean Square Error)最大，AMLRLS 的MAE 和RMSE 最小；在80%初始SOC 的情況下，AMLRLS 電壓MAE 和RMSE同樣小于其他兩種方法。對比這兩組不同初始SOC的誤差我們發(fā)現(xiàn)，以80%初始SOC進(jìn)行實驗的電壓MAE 和RMSE 要小于50%初始SOC 的情況，這說明在相同的溫度下較大的初始SOC 其電壓誤差較??；同時對比誤差大小也說明了在0 ℃時，即使初始SOC 不同，AMLRLS 電壓誤差都會小于RLS和AFFRLS。對于DST電流文件下45 ℃的情況，也能得出上述結(jié)論。另外，比較0 ℃和45 ℃的結(jié)果，可以看出在不同的溫度下，本文所提方法均可降低電壓MAE和RMSE。

表4 不同情況下的電壓誤差比較Table 4 Comparison of voltage errors in different cases

對比DST 電流文件和FUDS 電流文件的結(jié)果，可以看出FUDS 電流文件下的電壓誤差普遍大于DST電流文件，這是因為FUDS的電流變化相較于DST更加頻繁?？傊?，綜合以上結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)在不同的溫度、不同初始SOC 和不同電流文件下本文所提方法的電壓MAE和RMSE均小于對比方法，驗證了所提方法的有效性和適用性。

4.4 算法辨識時間對比

為了對比各類算法的計算時間，并體現(xiàn)層數(shù)選擇器的作用，本文針對DST 工況和FUDS 工況對算法參數(shù)辨識時間進(jìn)行對比。使用的計算機(jī)CPU為Intel i5-6300HQ，默認(rèn)頻率為2.3GHz。辨識時間對比結(jié)果如表5所示，在DST工況和FUDS工況中，RLS所用時間最短，AFFRLS所用時間略高于RLS，本文所提方法計算時間高于AFFRLS 和RLS，在DST 工況下，AMLRLS 計算時間是RLS的1.66 倍，是AFFRLS 的1.61 倍；在FUDS 工況下，AMLRLS 計算時間是RLS 的1.94 倍，是AFFRLS 的1.8 倍。本文另外對比了在沒有設(shè)置層數(shù)選擇器的情況下AMLRLS 的計算時間，結(jié)果如表5第二行所示，在DST工況下，AMLRLS計算時間為所提算法未設(shè)置層數(shù)選擇器情況下的62%；在FUDS工況下，AMLRLS計算時間為所提算法未設(shè)置層數(shù)選擇器情況下的71%，這驗證了在設(shè)置層數(shù)選擇器后，所提方法的計算時間將大幅減小。

表5 算法辨識時間對比Table 5 Algorithm identification time comparison

5 結(jié) 論

本文首先對基礎(chǔ)的RLS算法進(jìn)行改進(jìn)，以算法中的參數(shù)更新公式和電壓誤差更新公式作為RLS多層結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，將本層的電壓誤差作為下一層參數(shù)更新的目標(biāo)值，進(jìn)而在下一層計算中分離出電壓誤差中的參數(shù)量，使其更準(zhǔn)確地辨識變化的電池參數(shù)。每次參數(shù)辨識的層數(shù)需要根據(jù)不同的辨識精度而變化，而不是設(shè)定固定的層數(shù)值，故設(shè)計層數(shù)選擇器以第一層辨識結(jié)果電壓誤差作為選擇合理層數(shù)的依據(jù)，最終形成AMLRLS 算法。AMLRLS 算法的不同之處在于其更新參數(shù)并非以控制遺忘因子的大小來實現(xiàn)的，而是改變RLS層數(shù)，這使得其參數(shù)辨識結(jié)果實現(xiàn)了更低的電壓誤差。仿真結(jié)果顯示，對于參數(shù)變化頻率越大的電池，AMLRLS的優(yōu)勢越明顯。實驗在不同溫度、不同初始SOC 和不同電流下驗證了AMLRLS 具有較強(qiáng)的適用性。已經(jīng)做的工作并未對歷史辨識數(shù)據(jù)進(jìn)行充分利用，故未來的研究工作將圍繞如何把歷史的辨識數(shù)據(jù)融合進(jìn)AMLRLS辨識計算中這一問題展開。