范 鋒, 楊佩璽, 王啟宇, 馮金揚(yáng), 要佳敏, 胡 若, 吳書清

(1.河北工程大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，河北 邯鄲 056038； 2.中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院，北京 100029；3.國(guó)家市場(chǎng)監(jiān)管總局 時(shí)間頻率與重力計(jì)量基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100029)

1 引 言

激光干涉式絕對(duì)重力儀采用激光干涉法測(cè)量落體在真空中自由下落的加速度。落體中內(nèi)嵌1個(gè)角錐棱鏡,測(cè)量時(shí),通過激光干涉儀精確地測(cè)量真空腔中落體的下落位移與時(shí)間關(guān)系[3]。激光干涉式絕對(duì)重力儀測(cè)量的不確定度可以達(dá)到μGal量級(jí)(1 Gal=1 cm/s2)[3]。在絕對(duì)重力儀測(cè)量過程中,重力作用于落體的質(zhì)量中心(簡(jiǎn)稱質(zhì)心,center of mass,COM),而干涉儀測(cè)量落體中角錐棱鏡光學(xué)中心(簡(jiǎn)稱光心, optical center,OC)的位移,由于落體加工和定位精度的限制,導(dǎo)致落體的光心與質(zhì)心不完全重合,因此當(dāng)落體在下落過程中發(fā)生旋轉(zhuǎn)時(shí),就會(huì)產(chǎn)生重力測(cè)值誤差[6]。落體光心和質(zhì)心的距離可分為垂直于重力方向的水平偏移量和沿重力方向的豎直偏移量,落體采用軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),在落體自由下落過程中,與豎直偏移量相比,水平偏移量很小,可以忽略不計(jì)。落體旋轉(zhuǎn)誤差作為絕對(duì)重力儀主要的不確定度來源,是影響其測(cè)量準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性的重要因素[9]。

Hanada等采用旋轉(zhuǎn)法調(diào)校落體[10],將落體放在1個(gè)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤上,通過高速旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤,將質(zhì)心調(diào)至旋轉(zhuǎn)軸上,同時(shí)用邁克爾遜干涉儀測(cè)量經(jīng)過落體反射的光程長(zhǎng)度的變化,并通過計(jì)算1個(gè)周期內(nèi)產(chǎn)生的條紋數(shù)來測(cè)量光心與旋轉(zhuǎn)軸之間的距離。當(dāng)條紋數(shù)最小時(shí),認(rèn)為光心與旋轉(zhuǎn)軸重合,該方法的測(cè)量不確定度可達(dá)到50 μm。Germak等在此方法的基礎(chǔ)上做了改進(jìn)[11],用空氣軸承將落體固定在旋轉(zhuǎn)臺(tái)上,通過邁克爾遜干涉儀將落體的光心調(diào)到水平旋轉(zhuǎn)軸上,其測(cè)量結(jié)果的不確定度可達(dá)25 μm,但是由于旋轉(zhuǎn)臺(tái)本身并不是絕對(duì)平衡,且調(diào)校靈敏度很大程度上取決于空氣軸承的摩擦力,因此會(huì)引入測(cè)量誤差。Rothleitner等用三坐標(biāo)機(jī)器測(cè)量光心位置、平衡機(jī)測(cè)量質(zhì)心[12],使得兩心間距的不確定度優(yōu)于25 μm,當(dāng)落體的旋轉(zhuǎn)角速度為0.01 rad/s時(shí),落體旋轉(zhuǎn)引入的重力測(cè)量不確定度為0.7 μGal。但該方法屬于接觸式測(cè)量,測(cè)量時(shí)間長(zhǎng)且設(shè)備搭建比較復(fù)雜。Niebauer等提出了利用扭力線懸掛落體的扭擺法[13],利用正交干涉儀測(cè)量了光心在扭轉(zhuǎn)模式下沿干涉儀測(cè)量方向的位移。扭轉(zhuǎn)模態(tài)的二次諧波振幅與質(zhì)心和光心在重力方向上的偏移量成正比。通過調(diào)整質(zhì)心螺母,使扭轉(zhuǎn)模式的二次諧波振幅最小化。質(zhì)心會(huì)圍繞扭力線和下落體之間的懸掛點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到扭力線的延伸線上,從而完成對(duì)光心和質(zhì)心距的調(diào)校。余燁等在扭擺法的基礎(chǔ)上考慮了落體扭轉(zhuǎn)和擺動(dòng)模態(tài)等因素的影響[14],并進(jìn)行了優(yōu)化,通過理論分析,得到落體質(zhì)心與光心之間距離的測(cè)量不確定度為1.4 μm。該方法雖然理論精度非常高,但對(duì)實(shí)驗(yàn)環(huán)境要求比較嚴(yán)格,其測(cè)量精度和正交干涉儀的分辨力有關(guān),且耗時(shí)較長(zhǎng),裝置和測(cè)量過程均較為復(fù)雜。由于上述方法較為復(fù)雜且只給出了光心質(zhì)心距的測(cè)量結(jié)果,并未給出其在絕對(duì)重力儀實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的結(jié)果。

本文提出了一種基于落體懸吊的光心質(zhì)心調(diào)校方法,該方法具有測(cè)量裝置結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、調(diào)校簡(jiǎn)易高效的優(yōu)點(diǎn)?；谠摲椒?搭建了一套落體調(diào)校裝置,結(jié)合懸絲懸吊和落體的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),利用高精度自準(zhǔn)直儀監(jiān)測(cè)落體的俯仰角,實(shí)現(xiàn)對(duì)落體光心質(zhì)心的重合度調(diào)校。本文首先介紹了方法原理和裝置,然后對(duì)裝置的測(cè)量不確定度進(jìn)行了評(píng)估,最終將落體放入NIM-3A型絕對(duì)重力儀中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了分析和討論。

2 懸吊法原理及其裝置搭建

2.1 落體光心質(zhì)心距的影響機(jī)理

如圖1所示,落體在下落過程中光心會(huì)繞質(zhì)心以恒定的角速度旋轉(zhuǎn),從而引入光程的測(cè)量誤差,其下落旋轉(zhuǎn)過程中光程變化可表示為:

圖1 落體干擾機(jī)理示意圖Fig.1 Schematic diagram of falling body interference

h(t)=h2-h1=Rsin(γ0+ωt)-Rsinγ0

(1)

產(chǎn)生的重力值干擾項(xiàng)為:

Δg=Rω2sin(γ0+ωt)

(2)

式中:R為落體的光心質(zhì)心間距;ω為旋轉(zhuǎn)角速度;γ0為初始時(shí)刻光心與質(zhì)心所在直線與水平面的夾角。

由于落體下落時(shí)間短,引起的偏轉(zhuǎn)角度ωt很小,且當(dāng)γ0為90°或270°時(shí),R達(dá)到最大值Rmax,故式(2)可簡(jiǎn)化為:

Δg=ω2Rmax

(3)

在實(shí)際應(yīng)用中,可通過最小化落體的光心質(zhì)心間距來減小該項(xiàng)引入的誤差。例如在FG5型絕對(duì)重力儀中[15],落體的光心質(zhì)心間距調(diào)校到25 μm,通過機(jī)械精調(diào)使得落體的旋轉(zhuǎn)角速度控制在0.01 rad/s,此時(shí)引入的重力測(cè)量不確定度可降低到0.25 μGal。隨著落體支撐點(diǎn)的磨損和釋放機(jī)構(gòu)軸承的松動(dòng),落體會(huì)加劇旋轉(zhuǎn),在極端條件下,角速度會(huì)達(dá)到0.1 rad/s,則此時(shí)會(huì)引入25 μGal的旋轉(zhuǎn)誤差。因此,落體的光心質(zhì)心距是1個(gè)重要的誤差來源。

2.2 懸吊法原理

懸吊法調(diào)校落體光心質(zhì)心距的原理如圖2所示。落體采用軸對(duì)稱設(shè)計(jì),其中角錐棱鏡的光心在落體的外圓線處,并將懸絲固定在該外圓線上的懸吊點(diǎn)處。當(dāng)落體被懸吊后,若落體的光心和質(zhì)心重合,則此時(shí)落體處于水平懸吊狀態(tài),如圖2(a)所示;當(dāng)落體的質(zhì)心和光心不重合時(shí),由于質(zhì)心不在懸絲所在的軸線上,在重力作用下落體會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng),如圖2(b)所示。同時(shí)假設(shè)自準(zhǔn)直儀輸出的光束(即入射光)嚴(yán)格處于水平方向,此時(shí)入射光與落體中角錐棱鏡的法線方向之間的夾角即為懸吊狀態(tài)下的俯仰角α。通過調(diào)節(jié)質(zhì)心螺母對(duì)落體的質(zhì)心位置進(jìn)行調(diào)節(jié),直至落體在懸吊狀態(tài)下處于水平姿態(tài),此時(shí)入射光垂直入射落體角錐棱鏡表面,反射光沿原光路反射回自準(zhǔn)直儀,則可通過自準(zhǔn)直儀測(cè)量的俯仰角,將質(zhì)心調(diào)節(jié)至與光心重合。此時(shí)質(zhì)心移動(dòng)的距離與α的關(guān)系為:

圖2 懸吊法原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of the suspension method

(4)

式中:α為自準(zhǔn)直儀監(jiān)測(cè)的俯仰角;δz為光心和質(zhì)心的間距;r為落體的底面半徑。

2.3 懸吊法裝置搭建

本文研究的調(diào)校裝置主要由落體懸吊裝置和高精度自準(zhǔn)直儀組成。落體的質(zhì)心螺母表面設(shè)計(jì)有可調(diào)節(jié)刻度,當(dāng)質(zhì)心螺母轉(zhuǎn)動(dòng)10°時(shí),對(duì)應(yīng)于落體質(zhì)心的位置理論改變量為1.8 μm,這種落體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有較高的調(diào)校靈敏度。如圖3所示,測(cè)量時(shí)以落體為參照物,光心相對(duì)于懸吊點(diǎn)的位置不變,此時(shí)角錐棱鏡光心在懸絲軸線上。當(dāng)落體處于水平懸吊狀態(tài)時(shí),該參考系的y軸與懸吊下落體的懸絲一致,z軸與自準(zhǔn)直儀的測(cè)量光平行,x軸為與測(cè)量光垂直的水平軸。

圖3 懸吊裝置示意圖Fig.3 Schematic diagram of the suspension device

為了保證懸吊法裝置測(cè)量的準(zhǔn)確度,因此,在測(cè)量之前需先對(duì)自準(zhǔn)直儀進(jìn)行初始調(diào)節(jié)校準(zhǔn),將其主光軸的輸出光方向調(diào)整到水平方向。測(cè)量時(shí),使落體在懸絲的牽引下處于自由擺動(dòng)狀態(tài),使得落體在水平位置做小角度扭轉(zhuǎn),自準(zhǔn)直儀的入射光完全直射在角錐棱鏡的底面上,并且使用磁阻尼裝置對(duì)落體擺動(dòng)進(jìn)行快速衰減,使得落體盡快進(jìn)入準(zhǔn)靜止?fàn)顟B(tài)。同時(shí),在軟件視窗內(nèi)觀察反射十字光的位置,調(diào)節(jié)落體質(zhì)心螺母將反射光調(diào)至與自準(zhǔn)直儀光源的十字光重合。由OptiAngle軟件實(shí)時(shí)觀測(cè)俯仰角,其測(cè)量界面如圖4所示,界面右上角可以得到落體角錐棱鏡的反射光與自準(zhǔn)直儀十字光存在的夾角為2.77″,因此可知此時(shí)落體已處于水平懸吊狀態(tài),其質(zhì)心與光心已經(jīng)基本重合。

圖4 俯仰角監(jiān)測(cè)Fig.4 Pitch angle monitoring

3 測(cè)量不確定度分析

3.1 測(cè)量重復(fù)性引入的不確定度

根據(jù)本文所提方法,在相同實(shí)驗(yàn)條件下,將調(diào)校完成的落體進(jìn)行10次重復(fù)懸吊,由俯仰角監(jiān)測(cè)得到的落體光心質(zhì)心間距δz的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 重復(fù)性實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.1 Sheet of Repeatability Experiment Data

由于每次重復(fù)懸吊落體存在人為操作誤差,導(dǎo)致重復(fù)懸吊位置不唯一,從而產(chǎn)生一定的測(cè)量誤差。因此采用貝塞爾公式法對(duì)測(cè)量可重復(fù)性引入的不確定度uA進(jìn)行評(píng)估,實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差由式(5)計(jì)算:

(5)

實(shí)際測(cè)量以3次測(cè)量每次測(cè)量10個(gè)結(jié)果均值作為估計(jì)值,計(jì)算得到測(cè)量重復(fù)性引入的不確定度分量uA:

(6)

3.2 系統(tǒng)誤差項(xiàng)引入的不確定度

1) 落體結(jié)構(gòu)誤差

如圖5所示,考慮到由于機(jī)械加工精度的影響,落體在裝配時(shí)理論上光心所在的外圓線與角錐棱鏡光心的實(shí)際位置存在測(cè)量偏差,懸吊法調(diào)校完成后,實(shí)際的懸吊位置與光心會(huì)偏離距離Δl。因此要實(shí)現(xiàn)正確的調(diào)校,需要根據(jù)落體加工誤差的正負(fù)再次調(diào)節(jié)質(zhì)心螺母進(jìn)行修正, 修正量為Δl。

圖5 誤差修正示意圖Fig.5 Schematic diagram of error correction

Δl=|H-hOC|

(7)

式中:H為角錐棱鏡的安裝面到懸吊點(diǎn)外圓線的高度;hOC為角錐棱鏡光心的實(shí)際高度。

由于落體選用的角錐棱鏡為實(shí)心角錐棱鏡,考慮到其在空氣中的折射率出廠標(biāo)定為n=1.515 09,則實(shí)際光心位置hOC可等效為:

hOC=h/n

(8)

式中:h為角錐棱鏡頂端到底部端面的垂直距離。

因此落體裝配時(shí)需要準(zhǔn)確測(cè)量H和h。實(shí)驗(yàn)采用高準(zhǔn)確度自動(dòng)影像測(cè)量系統(tǒng)的球頭探針模式(接觸式,型號(hào)為DT5040M/A,測(cè)量準(zhǔn)確度為0.003 mm)測(cè)量。實(shí)驗(yàn)共測(cè)量同一批次5個(gè)落體,每個(gè)分別測(cè)量5次并取平均值,最后得到H的均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差,結(jié)果如表2所示。

表2 H測(cè)量結(jié)果Tab.2 Result of H measurement mm

由表2所示的測(cè)量結(jié)果可知,得到該項(xiàng)引入的δz測(cè)量不確定u1=8.79 μm。

實(shí)驗(yàn)采用測(cè)量分辨力為±0.002 mm影像儀分別測(cè)量5個(gè)落體對(duì)應(yīng)的5個(gè)角錐棱鏡在三維空間內(nèi)棱鏡頂端到底面端面的垂直距離h,每個(gè)重復(fù)測(cè)量5次,結(jié)果如表3所示。

表3 光心位置測(cè)量結(jié)果Tab.3 Position measurement results of OC mm

由表3所示的測(cè)量結(jié)果,可以得到由光心測(cè)量引入的δz測(cè)量不確定度u2=9.68 μm。

2) 懸絲懸吊誤差

考慮到懸絲與落體之間屬于金屬接觸,當(dāng)落體處于水平懸吊狀態(tài)時(shí),在重力作用下懸絲與落體之間會(huì)產(chǎn)生摩擦力。由于落體實(shí)際質(zhì)心位置與懸吊點(diǎn)并不一致,使得原本落體在水平位置的小角度偏移會(huì)被懸絲摩擦力平衡,從而對(duì)實(shí)際的光心質(zhì)心間距產(chǎn)生測(cè)量誤差。如圖6所示,懸絲在重力作用下發(fā)生微小的拉伸形變,則落體此時(shí)所受應(yīng)力F可以等效為式(9)所示形式。

圖6 落體受摩擦力示意圖Fig.6 Schematic diagram of the friction force on falling body

(9)

式中:S為懸絲的橫截面積;E為懸絲的楊氏模量;K為懸絲的原長(zhǎng);ΔK為懸絲的拉伸量。

如圖6所示,以水平面為參考面,落體在y軸上的受力,有:

Fsinθ=fcosθ

(10)

在z軸上的受力有:

mg=Fcosθ+fsinθ

(11)

式中θ為落體實(shí)際與水平面的夾角;m為落體的質(zhì)量;f為懸絲與落體間的摩擦力。

為了減小懸絲摩擦力引入的誤差,考慮到懸絲的物理特性,實(shí)驗(yàn)選用的懸絲材料為摩擦系數(shù)較小且剛性較強(qiáng)的鎢絲,其長(zhǎng)度為60 mm,直徑為20 μm,落體整體的質(zhì)量為56 g。由式(9)～式(11)評(píng)估出落體與水平面的偏轉(zhuǎn)角θ可達(dá)到0.8°,則由懸絲摩擦力引入的δz測(cè)量不確定度u3=12.57 μm。

3) 自準(zhǔn)直儀測(cè)量誤差

實(shí)驗(yàn)使用的自準(zhǔn)直儀TriAngle TA300-57,角度范圍為±0.21°,測(cè)量分辨力為0.003″,測(cè)量準(zhǔn)確度為±0.75″。由蒙特卡羅(Monte Carlo)法模擬評(píng)估得到,自準(zhǔn)直儀引入的δz測(cè)量不確定度分量u4=0.01 μm。

3.3 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

由于落體結(jié)構(gòu)誤差、光心位置誤差、懸絲懸吊誤差、測(cè)量?jī)x器誤差之間沒有相關(guān)性,則懸吊法調(diào)校落體光心和質(zhì)心距δz的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:

(12)

取置信因子k=2,擴(kuò)展不確定度U為37.7 μm。

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

4.1 懸吊法分辨力測(cè)試

為驗(yàn)證第3節(jié)評(píng)估結(jié)果的準(zhǔn)確性,將調(diào)校完成的落體通過多次調(diào)節(jié)質(zhì)心螺母來改變其質(zhì)心與光心的距離。質(zhì)心螺母旋轉(zhuǎn)1圈,質(zhì)心理論改變量為64 μm。在調(diào)校過程中,依次將質(zhì)心螺母旋進(jìn)1圈,然后旋出0.5圈和1.5圈,結(jié)果如圖7所示。

圖7 調(diào)校分辨力Fig.7 Adjustment accuracy

每次改變質(zhì)心螺母在落體中的位置所引起質(zhì)心的理論變化與懸吊法實(shí)測(cè)變化如表4所示。由表4可以看出,通過調(diào)整質(zhì)心螺母改變落體質(zhì)心位置,得到實(shí)測(cè)值與理論改變量誤差小于1.3 μm。

表4 δz調(diào)校數(shù)據(jù)表Tab.4 Adjustment datas of δz μm

4.2 絕對(duì)重力儀實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了進(jìn)一步驗(yàn)證懸吊法調(diào)校落體光心質(zhì)心距的準(zhǔn)確性,在僅改變落體的條件下,分別將調(diào)校前后落體在NIM-3A型絕對(duì)重力儀上進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),并同步進(jìn)行落體旋轉(zhuǎn)角速度測(cè)量[16],以下為其中1個(gè)落體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)為中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院昌平院區(qū)重力基準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室,該點(diǎn)位的重力參考值為9.801 226 446 Gal。

將調(diào)校前后的落體分別完成10組,每組40次,每組間隔40 min,總共400次下落測(cè)試實(shí)驗(yàn)。其中圖8(a)為落體調(diào)校前后的重力值測(cè)量結(jié)果,可以看出調(diào)校后落體的重力測(cè)值的分散性顯著減小,調(diào)校后落體重力測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差從51 μGal減小到27 μGal。圖8(b)為本次實(shí)驗(yàn)每組的測(cè)量結(jié)果(平均值)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,調(diào)校后落體重力測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差優(yōu)化到調(diào)校前的1/2。落體旋轉(zhuǎn)角速度測(cè)量均值如表5所示,考慮到重力儀的測(cè)量不確定度,其實(shí)測(cè)值與參考值的差值Δg包含其它誤差項(xiàng),因此用Δg的最大值計(jì)算可得到δz的最大值,則由式(3)可以得到:調(diào)校前落體的光心質(zhì)心距δz小于96.71 μm,調(diào)校后落體的光心質(zhì)心距δz小于19.43 μm,實(shí)驗(yàn)結(jié)果滿足第3.3節(jié)不確定度評(píng)估結(jié)果(k=2)。

表5 測(cè)量結(jié)果Tab.5 Results of measurement

圖8 落體調(diào)校前后重力測(cè)量對(duì)比結(jié)果Fig.8 Comparison results of before and after falling bodies adjustment in absolute gravimeter

4.3 討論

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,懸吊法調(diào)校后落體的光心質(zhì)心距雖然能滿足NIM-3A型重力儀的正常使用需求,但是懸吊法的調(diào)校不確定度仍有優(yōu)化空間。分析導(dǎo)致懸吊法的調(diào)校不確定度受限的原因可能是角錐棱鏡加工及工藝處理過程中頂角的磨損,所以實(shí)際的棱鏡高度hoc就會(huì)偏小,從而導(dǎo)致計(jì)算修正量Δl包含的誤差不可控。

目前準(zhǔn)確定位光心位置的方式和精度都存在局限性,因此,落體角錐棱鏡光心的精確定位是個(gè)比較大的誤差項(xiàng)。另一方面,經(jīng)過評(píng)估得到懸絲的摩擦力為最大的不確定度分量,通過優(yōu)化懸吊方式或更換更合適材料的懸絲減小摩擦,優(yōu)化理論模型,可以再進(jìn)一步減小懸吊法的調(diào)校不確定度。

5 結(jié) 論

落體光心質(zhì)心距的精確調(diào)校對(duì)于提升NIM-3A型絕對(duì)重力儀的測(cè)量準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性十分重要。本文設(shè)計(jì)了一種基于懸吊法的落體調(diào)校裝置,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:

1) 經(jīng)過評(píng)估其調(diào)校落體的光心質(zhì)心距的不確定度優(yōu)于20 μm,并在NIM-3A型絕對(duì)重力儀中得到驗(yàn)證。若落體旋轉(zhuǎn)角速度控制在0.02 rad/s以內(nèi),則調(diào)校后落體引入的重力測(cè)值不確定度優(yōu)于1 μGal。

2) 懸吊法可以實(shí)現(xiàn)在簡(jiǎn)易環(huán)境下實(shí)現(xiàn)精確的質(zhì)心調(diào)校,該方法具有測(cè)量裝置構(gòu)成簡(jiǎn)單、調(diào)校方式簡(jiǎn)易的優(yōu)勢(shì),且落體光心質(zhì)心距的調(diào)校精度滿足NIM-3A型絕對(duì)重力儀的高精度測(cè)量需求。

此外,該方法還可以應(yīng)用于多種同類重力儀的落體調(diào)校,為提升我國(guó)自主研發(fā)的自由落體式激光干涉絕對(duì)重力儀的測(cè)量不確定度水平及可靠性提供幫助。