反應(yīng)堆瞬時(shí)短周期與反應(yīng)性引入速率約束問題研究

朱貴鳳 嚴(yán)睿 鄒楊 郁長清 趙學(xué)超 郭建

1（中國科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所 上海 201800）

2（中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049）

反應(yīng)堆周期反映了反應(yīng)堆內(nèi)核功率的變化速率和反應(yīng)性狀態(tài)，是反應(yīng)堆物理試驗(yàn)和運(yùn)行過程中需要監(jiān)測(cè)的重要物理量。反應(yīng)堆通常設(shè)有周期保護(hù)系統(tǒng)［1-7］，當(dāng)反應(yīng)堆周期小于安全限值時(shí)，系統(tǒng)將觸發(fā)緊急落棒操作。

在反應(yīng)堆中引入正的反應(yīng)性時(shí)，由于瞬變項(xiàng)的影響，初始中子通量急劇上升，初始瞬時(shí)周期遠(yuǎn)低于漸進(jìn)周期［8］，將可能觸發(fā)短周期保護(hù)，導(dǎo)致一些非必要的停堆操作。目前一些核電廠采用濾波方法對(duì)周期計(jì)算進(jìn)行處理［9-14］，盡可能過濾掉瞬時(shí)短周期效應(yīng)。但同一算法很難在不同工況下具有普適性，而且濾波的本質(zhì)是對(duì)不同時(shí)刻周期的平均，過濾加強(qiáng)會(huì)導(dǎo)致周期判斷的延時(shí)性。

反應(yīng)性引入速率對(duì)瞬時(shí)短周期具有較大影響，限制控制棒的提升速率成為抑制瞬時(shí)短周期現(xiàn)象的一些常規(guī)手段。然而，反應(yīng)堆運(yùn)行工況復(fù)雜，瞬時(shí)短周期還受當(dāng)前反應(yīng)性狀態(tài)、緩發(fā)中子先驅(qū)核（Delayed Neutron Precursor，DNP）濃度等影響。從抑制短周期角度來講，目前還沒有一個(gè)約束反應(yīng)性引入速率的一般方法。

本文基于點(diǎn)堆理論公式，推導(dǎo)反應(yīng)性引入速率與瞬時(shí)短周期的關(guān)系，給出一個(gè)通用的、偏保守的反應(yīng)性引入速率約束公式，為反應(yīng)堆物理啟動(dòng)過程中的控制棒提升速率設(shè)置提供理論參考。

1 瞬時(shí)短周期現(xiàn)象

反應(yīng)堆周期T(t)定義堆內(nèi)中子密度增長e倍所需要的時(shí)間，計(jì)算公式為：

式中：n(t)為堆內(nèi)中子密度，在實(shí)際工程中為核探測(cè)器的探測(cè)信號(hào)值。為了使用的便利性，通常把中子密度增長一倍所需時(shí)間定義為倍周期，或者稱為倍周期，一般用Td表示：

在階躍擾動(dòng)下，點(diǎn)堆方程n(t)的解為7個(gè)指數(shù)函數(shù)的線性組合［8］：

式中：n0為常數(shù)；ωj為反應(yīng)性方程的7個(gè)根，也稱角頻率；Aj為待定常數(shù)。當(dāng)引入正反應(yīng)性時(shí)，ωj中只有一個(gè)為正值，其余為負(fù)值，且Aj與ωj同號(hào)。因此，在階躍正反應(yīng)性引入初始時(shí)，由于有6組負(fù)的數(shù)值在迅速衰減，n(t)初始有一個(gè)瞬時(shí)增長過程。當(dāng)達(dá)到一定時(shí)間后，該6組負(fù)值衰減殆盡，n(t)的增長由第一組正值貢獻(xiàn)，僅與ω1相關(guān)。由式（1）和式（3）可知，此時(shí)T(t)與1ω1基本接近，稱為反應(yīng)堆漸進(jìn)周期。

正反應(yīng)性引入下的典型周期和中子密度變化趨勢(shì)曲線如圖1所示。本例反應(yīng)性從-1×10-3階躍引入到1×10-3，反應(yīng)堆周期首先陡降，達(dá)到最低值后，又迅速增長，逐漸穩(wěn)定在漸進(jìn)周期。顯然，初始的瞬時(shí)周期要小于漸進(jìn)周期，是任何正反應(yīng)性引入下的正常現(xiàn)象。瞬時(shí)短周期持續(xù)時(shí)間較短，對(duì)中子密度的增長推動(dòng)有限，但因?yàn)槠鋽?shù)值較小，有可能觸發(fā)周期保護(hù)，而造成非必要的停堆操作。

圖1 反應(yīng)性從-1×10-3階躍引入到1×10-3下的中子密度和反應(yīng)堆周期變化曲線Fig.1 Neutron density and reactor period curves during the step insertion of reactivity from -1×10-3 to 1×10-3

在相同反應(yīng)性引入量下，引入速率對(duì)瞬時(shí)短周期有較顯著的影響。如圖2所示，同樣引入1×10-3反應(yīng)性，引入速率越大，初始瞬時(shí)周期越小。并且在相同引入速率下，不同反應(yīng)性狀態(tài)下的瞬時(shí)周期也存在較大不同。因此，如何控制不同工況下的反應(yīng)性引入速率，確保瞬時(shí)短周期大于保護(hù)周期限值是反應(yīng)堆運(yùn)行過程中一項(xiàng)重要的工作。

圖2 不同引入速率下反應(yīng)性從-5×10-4引入到5×10-4，5×10-4引入到1×10-3的反應(yīng)堆周期變化曲線（彩圖見網(wǎng)絡(luò)版）Fig.2 Variation curves of reactor period under different insertion rates of reactivity from -5×10-4 to 5×10-4 and from 5×10-4 to 1×10-3 (color online)

2 反應(yīng)性引入速率與瞬時(shí)周期關(guān)系推導(dǎo)

本節(jié)將從點(diǎn)堆模型推導(dǎo)出反應(yīng)堆瞬時(shí)周期與反應(yīng)性引入速率的相關(guān)性。點(diǎn)堆公式如下：

式中：n為中子密度；ρ為反應(yīng)性；Λ為中子平均代時(shí)間；βeff為總的緩發(fā)中子有效份額，βi為第i組緩發(fā)中子有效份額；Ci為第i組先驅(qū)核濃度；λi為第i組衰變常數(shù)；Q為反應(yīng)堆外源中子源強(qiáng)。

對(duì)式（4）兩端除以n得到：

式（1）代入式（6）中有：

為了獲得反應(yīng)性變化率，對(duì)式（7）兩邊進(jìn)行時(shí)間求導(dǎo)，得到：

繼續(xù)對(duì)式（8）右邊第二項(xiàng)做適當(dāng)簡(jiǎn)化，消除Q。注意，同時(shí)根據(jù)式（7），得到，代入式（8），有：

式（9）初步建立了反應(yīng)性變化率與反應(yīng)堆周期的關(guān)系，但其中周期的變化率和先驅(qū)核的變化率難以觀測(cè)，受不同瞬時(shí)工況影響。本節(jié)將開展一些保守假設(shè)分析，對(duì)式（9）進(jìn)行簡(jiǎn)化處理。

首先將每一組先驅(qū)核濃度變化轉(zhuǎn)化成指數(shù)函數(shù)形式，根據(jù)式（5）有：

其中：ωc，i為假設(shè)的Ci含時(shí)角頻率，與該組緩發(fā)中子先驅(qū)核周期對(duì)應(yīng)，則根據(jù)式（10）可得到：

將式（11）代入式（9）中，得到：

并簡(jiǎn)化為：

在正反應(yīng)性引入過程中，由于瞬變項(xiàng)的影響，通常中子密度的周期要小于先驅(qū)核濃度的周期，如圖3所示的周期下降段。因此，應(yīng)大于任何一組ωc，i=1/Tc，i，進(jìn)一步得到：

圖3 反應(yīng)性從-1×10-3階躍引入到1×10-3下的反應(yīng)堆周期和不同組先驅(qū)核濃度增長周期變化曲線（彩圖見網(wǎng)絡(luò)版）Fig.3 Variation curves of reactor period and rising periods of delayed neutron precursors during the step insertion of reactivity from -1×10-3 to 1×10-3 (color online)

將不等式（14）代入式（13）得到：

式（15）中最后兩項(xiàng)合并，得到：

根據(jù)式（2）可將式（17）中的周期換算成倍周期。中子代時(shí)間和緩發(fā)中子有效份額均為常數(shù)，通過式（17）可以得到目標(biāo)反應(yīng)性和目標(biāo)最短倍周期下的反應(yīng)性引入速率約束限值。在確定需要控制的最短目標(biāo)周期情況下，可以根據(jù)式（17）獲得達(dá)到目標(biāo)反應(yīng)性需要約束的反應(yīng)性引入速率。如假設(shè)最小倍周期分別為20 s、30 s、40 s、100 s，不同反應(yīng)性狀態(tài)下的反應(yīng)性引入速率約束曲線分別如圖4所示。

圖4 不同目標(biāo)最短倍周期下的反應(yīng)性狀態(tài)與反應(yīng)性引入速率約束曲線Fig.4 Reactivity state and limit of reactivity insertion rate curve under different aims of shortest reactor double periods

在相同最短周期要求下，反應(yīng)性引入速率約束值基本與目標(biāo)反應(yīng)性狀態(tài)呈負(fù)線性關(guān)系。通過觀察式（17）可以發(fā)現(xiàn)，該線性斜率為，截距為其中，T為目標(biāo)最短周期。

當(dāng)反應(yīng)性引入速率為負(fù)值時(shí)，與式（14）和式（17）的近似假設(shè)不成立，因此無意義，即目標(biāo)最短周期不能大于目標(biāo)反應(yīng)性對(duì)應(yīng)的漸進(jìn)周期。

當(dāng)反應(yīng)性為負(fù)值時(shí)，只要點(diǎn)堆方程中的外源價(jià)值Q、平均中子代時(shí)間和緩發(fā)中子有效份額不隨反應(yīng)性狀態(tài)發(fā)生變化，上述推導(dǎo)公式依然成立。這表明，在次臨界下，允許更大的反應(yīng)性引入速率，而不突破相同的最短目標(biāo)周期值。

3 反應(yīng)性引入速率與短周期關(guān)系驗(yàn)證

為了驗(yàn)證反應(yīng)性約束公式（17）的合理性，本文選取幾個(gè)典型工況案例進(jìn)行驗(yàn)證說明。首先模擬假設(shè)目標(biāo)最短倍周期為20 s，反應(yīng)性從-9×10-3變化到1×10-3，分10次引入，每次增加1×10-3。其中每次引入反應(yīng)性速率根據(jù)式（17）計(jì)算得到，依次為33.0×10-5s-1、29.5×10-5s-1、26.1×10-5s-1、22.6×10-5s-1、19.1×10-5s-1、15.7×10-5s-1、12.2×10-5s-1、8.7×10-5s-1、5.3×10-5s-1和1.8×10-5s-1。為了比較先驅(qū)核是否平衡對(duì)倍周期曲線的影響，在每次完成反應(yīng)性引入之后，設(shè)置等待時(shí)間間隔分別為10 s和100 s。據(jù)此獲得兩條反應(yīng)性含時(shí)曲線，將其代入點(diǎn)堆模型中獲得中子密度曲線及周期曲線。點(diǎn)堆模型采用python語言中的常微分方程組求解函數(shù)odeint進(jìn)行計(jì)算［15-16］，動(dòng)態(tài)參數(shù)采用教材［8］中的數(shù)據(jù)。計(jì)算得到的倍周期曲線如圖5所示。結(jié)果表明：每次反應(yīng)性引入之后，最短倍周期基本接近，約25 s，大于目標(biāo)倍周期，說明采用式（17）推算出的反應(yīng)性引入速率偏保守。此外，圖5結(jié)果表明，不同反應(yīng)性、不同等待時(shí)間下的最短倍周期變化較小，在臨界后最短周期略有變化，說明緩發(fā)中子先驅(qū)核濃度在次臨界下平衡時(shí)間很短，對(duì)最短倍周期影響不大。

圖5 反應(yīng)性從-9×10-3到1×10-3下反應(yīng)堆倍周期曲線（分10次引入，每次引入1×10-3，引入速率依次為33.0×10-5 s-1、29.5×10-5 s-1、26.1×10-5 s-1、22.6×10-5 s-1、19.1×10-5 s-1、15.7×10-5 s-1、12.2×10-5 s-1、8.7×10-5 s-1、5.3×10-5 s-1和1.8 ×10-5 s-1，每次間隔時(shí)間為10 s和100 s）Fig.5 Reactor double period curves during reactivity change from -9×10-3 to 1×10-3 (each 1×10-3 insertion with speed of 33.0×10-5 s-1, 29.5×10-5 s-1, 26.1×10-5 s-1, 22.6×10-5 s-1, 19.1×10-5 s-1, 15.7×10-5 s-1, 12.2×10-5 s-1, 8.7×10-5 s-1, 5.3×10-5 s-1,and 1.8×10-5 s-1, and interval time of 10 s and 100 s)

圖6進(jìn)一步給出了不同目標(biāo)最短周期下的反應(yīng)堆周期曲線，同樣是反應(yīng)性從-9×10-3開始，每1×10-3一個(gè)臺(tái)階引入。其中目標(biāo)短倍周期40 s對(duì)應(yīng)的反應(yīng)性引入速率分別為15.5×10-5s-1、13.8×10-5s-1、12.1×10-5s-1、10.3×10-5s-1、8.6×10-5s-1、6.9×10-5s-1、5.1×10-5s-1、3.4×10-5s-1、1.7×10-5s-1，實(shí)際得到的最短倍周期在47～53 s范圍；目標(biāo)短倍周期60 s對(duì)應(yīng)的反應(yīng)性引入速率分別為10.1×10-5s-1、8.9×10-5s-1、7.8×10-5s-1、6.6×10-5s-1、5.5×10-5s-1、4.3×10-5s-1、3.1×10-5s-1、2.0×10-5s-1、0.84×10-5s-1，實(shí)際得到的最短倍周期在70～75 s范圍。任何工況下實(shí)際最短倍周期均大于目標(biāo)最短周期。

圖6 反應(yīng)性從-9×10-3到1×10-3下反應(yīng)堆倍周期曲線（分10次引入，每次引入1×10-3，每次間隔時(shí)間為100 s，目標(biāo)倍周期分別為20 s、40 s、60 s）Fig.6 Reactor double period curves during reactivity change from -9×10-3 to 1×10-3 (each 1×10-3 insertion with interval time of 100 s and aim reactor double period of 20 s, 40 s, and 60 s)

為了探明目標(biāo)倍周期與實(shí)際最短周期的差異，進(jìn)一步分析式（17）推導(dǎo)中近似處理帶來的影響。以目標(biāo)倍周期20 s為例，式（17）右邊對(duì)反應(yīng)性速率的貢獻(xiàn)僅為0.054×10-5s-1，即使考慮為10，的貢獻(xiàn)也僅為0.5×10-5s-1，說明對(duì)該項(xiàng)的去除影響可忽略；而對(duì)反應(yīng)性速率的貢獻(xiàn)達(dá)到了5.2×10-5s-1，并且隨著反應(yīng)性的增大而逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位，說明項(xiàng)中采用反應(yīng)堆周期代替先驅(qū)核周期的近似處理是造成目標(biāo)倍周期與實(shí)際最短周期差異的主要來源。

圖7展示了在緩發(fā)超臨界階段引入反應(yīng)性速率與反應(yīng)堆/先驅(qū)核倍周期的關(guān)系曲線，表1給出了不同目標(biāo)反應(yīng)性對(duì)應(yīng)的最短周期時(shí)刻各先驅(qū)核倍周期以及式（14）的近似誤差。結(jié)果表明，由于在緩發(fā)超臨界時(shí)，先驅(qū)核沒有穩(wěn)定值，本身具有一定正增長周期，因此當(dāng)反應(yīng)性引入時(shí)，其與最短周期之間的差距并不顯著，因而采用式（14）的近似處理誤差要比在次臨界時(shí)的小。當(dāng)然，先驅(qū)核增長周期受不同瞬態(tài)工況影響，造成的近似誤差都將不一樣。但無論如何，式（17）保證了計(jì)算結(jié)果的保守性。

表1 不同目標(biāo)反應(yīng)性下最短倍周期時(shí)刻的先驅(qū)核倍周期和近似處理誤差Table 1 DNP double period and processing error for different aimed reactivity cases

圖7 反應(yīng)性從-4×10-4到1.40×10-3下反應(yīng)堆倍周期和先驅(qū)核倍周期曲線（分9次引入，每次引入2.0×10-4，每次間隔時(shí)間為100 s，目標(biāo)倍周期為20 s）Fig.7 Reactor and double period curves of DNPs duringreactivity change from -4.0×10-4 to 1.40×10-3 (each 2.0×10-4 insertion with interval time of 100 s and aim reactor double period of 20 s)

4 結(jié)語

本文針對(duì)反應(yīng)堆反應(yīng)性引入時(shí)瞬時(shí)短周期過小而可能觸發(fā)非必要的停堆問題，從點(diǎn)堆模型出發(fā)推導(dǎo)出了具有普適性和偏保守的反應(yīng)性引入速率約束公式，去除了先驅(qū)核濃度變化和周期變化等實(shí)際難以測(cè)量的物理量，使得其在工程應(yīng)用中具有可實(shí)施性。本文采用該公式約束下的反應(yīng)性引入速率進(jìn)行點(diǎn)堆模型驗(yàn)證分析，計(jì)算得到的任意周期均不會(huì)小于目標(biāo)周期，且適用于次臨界和緩發(fā)臨界等不同工況，檢驗(yàn)了公式的可靠性。根據(jù)該公式結(jié)合控制棒微分價(jià)值，在設(shè)定的目標(biāo)周期下可以給出各種反應(yīng)性工況下的控制棒提升速率約束，為反應(yīng)堆物理啟動(dòng)中的控制棒速率約束提供了理論指導(dǎo)，同時(shí)也可為其他因素導(dǎo)致的瞬時(shí)短周期現(xiàn)象提供評(píng)估依據(jù)。本文對(duì)先驅(qū)核周期的處理偏保守，使得實(shí)際最短周期與目標(biāo)倍周期存在一定差異，下一步工作將對(duì)此進(jìn)行深入研究。

作者貢獻(xiàn)聲明朱貴鳳負(fù)責(zé)研究思路、理論推導(dǎo)、分析數(shù)據(jù)及文章撰寫；嚴(yán)睿對(duì)文章進(jìn)行審閱及指導(dǎo)；鄒楊提出研究課題并對(duì)文章進(jìn)行指導(dǎo)；郁長清、趙學(xué)超、郭建等負(fù)責(zé)對(duì)公式推導(dǎo)復(fù)核、文字修改。