■許昌市高中數(shù)學(xué)胡銀偉名師工作室 胡銀偉

計數(shù)問題是重要的數(shù)學(xué)問題,通過對計數(shù)基本原理、排列與組合、二項式定理及其應(yīng)用的學(xué)習(xí),我們能夠了解計數(shù)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系,能夠初步解決簡單的計數(shù)問題。兩個計數(shù)原理是人們在大量實踐經(jīng)驗的基礎(chǔ)上歸納出來的基本規(guī)律,也是進一步研究排列、組合問題的基礎(chǔ)。排列、組合與兩個計數(shù)原理的綜合是高考命題的熱點,試題難度較小,多以選擇、填空題形式出現(xiàn),考查同學(xué)們的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。排列與組合常與概率、離散型隨機變量的分布列等知識綜合,多在解答題中綜合命題,考查同學(xué)們的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二項式定理也是高考命題熱點之一,多出現(xiàn)在選擇、填空題中,難度中等,主要考查二項展開式中的特定項、二項式系數(shù)的性質(zhì)、二項式定理的應(yīng)用等,也考查同學(xué)們的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

下面我們結(jié)合2023年高考真題,對計數(shù)原理高考考點進行解讀。

考點1 對計數(shù)原理綜合應(yīng)用的考查

例1(1)【2023 年全國甲卷理數(shù)第9題】現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動,在某一星期的星期六、星期日兩天,每天從這5人中安排2人參加公益活動,則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有( )種。

A.120 B.60 C.30 D.20

(2)【2023 年 全 國 乙 卷 理 數(shù) 第7 題】甲、乙兩位同學(xué)從6 種課外讀物中各自選讀2種,則這兩人選讀的課外讀物中恰有1 種相同的選法共有( )。

A.30種 B.60種

C.120種 D.240種

(3)【2023 年 全 國 新 課 標(biāo)Ⅰ卷 第13 題】某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有_____種(用數(shù)字作答)。

命題意圖:本題主要考查兩個基本計數(shù)原理與排列、組合知識的綜合,考查同學(xué)們邏輯推理及數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

權(quán)頭正要開罵，一看是何守一忙伸著手到處找何東，看見捂著臉的何東馬上說：“箏箏要有一點閃失，你你你…。”

解題思路:(1)利用分類加法原理,分類討論5名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動的情況,可求解。(2)首先選相同的讀物有6種情況,然后在剩余的讀物中再選擇2 種讀物進行排列,最后根據(jù)分步計數(shù)原理進行解答。(3)先分類討論選修2門或3門課,當(dāng)選修3門時,再討論具體選修課的分配方法,結(jié)合組合數(shù)運算進行解答。

解析:(1)不妨記5 名志愿者為a,b,c,d,e,假設(shè)a連續(xù)參加了兩天公益活動,從剩余的4人中抽取2人分別參加星期六與星期日的公益活動,共有A24=12(種)方法。同理b,c,d,e連續(xù)參加了兩天公益活動,也各有12種方法。所以恰有1 人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數(shù)為5×12=60。選B。

(2)首先確定相同的讀物,共有C16種情況,然后兩人各自選另外一種讀物,相當(dāng)于在剩余的5種讀物中選出2種進行排列,共有A25種方法。根據(jù)分步乘法原理知共有C16·A25=120(種)選法。選C。

(3) (ⅰ)當(dāng)從8 門課中選修2 門,則不同的選課方案共有

(ⅱ)當(dāng)從8 門課中選修3 門,①若體育類選修課有1 門,則不同的選課方案共有

綜上,不同的選課方案共有16+24+24=64(種)。

考點2 對排列組合的考查

例2【2023年全國新課標(biāo)Ⅱ卷第3題】某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況,用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有400名學(xué)生和200名學(xué)生,則不同的抽樣結(jié)果共有( )。

命題意圖:本題是考查抽樣方法及組合的知識,考查同學(xué)們的邏輯推理及數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

解題思路:利用分層抽樣的原理和組合數(shù)公式進行解答。

根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理,可得不同的抽樣結(jié)果共有C40400·C20200種。

選D。

考點解讀:排列、組合是兩類特殊的計數(shù)求解方式,在計數(shù)原理求解中起著舉足輕重的作用。解答排列、組合問題,首先要根據(jù)題意明確是排列問題還是組合問題,或者是排列與組合的混合問題;其次要抓住問題的本質(zhì)特征,靈活運用基本原理和公式進行解答。

解答排列與組合問題時要注意一些策略和方法技巧的應(yīng)用,如特殊元素優(yōu)先安排、相鄰問題捆綁處理、不相鄰問題插空處理、定序問題倍縮法處理等。

考點3 排列組合與概率的綜合考查

例3【2023年全國甲卷文數(shù)第4題】某校文藝部有4名學(xué)生,其中高一、高二年級各2名。從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演,則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為( )。

命題意圖:本題綜合考查排列組合與古典概型,也考查同學(xué)們的邏輯推理及數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

解題思路:利用古典概型的概率公式,結(jié)合組合的知識進行解答。

解析:依題意知,從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演,總的基本事件有C24=6(個),其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有C12C12=4(個)。所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為選D。

考點解讀:由于概率與排列組合聯(lián)系緊密,有承上啟下的作用,故二者經(jīng)常交匯構(gòu)造一些等可能事件的概率問題,是高考命題的熱點。