王芳 李實(shí) 王榮浩

(1. 南京師范大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院,南京 210023)

(2. 陸軍工程大學(xué) 國防工程學(xué)院,南京 210007)

引言

近年來人們對(duì)非線性系統(tǒng)的關(guān)注度越來越高,大量控制方案已被廣泛研究[1-4].文獻(xiàn)[5]將嚴(yán)格實(shí)用穩(wěn)定性相關(guān)概念推廣到具有控制輸入的非線性奇異系統(tǒng),利用兩個(gè)Lyapunov函數(shù)和比較原理得出該類系統(tǒng)嚴(yán)格利用穩(wěn)定及嚴(yán)格實(shí)用漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件;最近切換非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析以及控制器設(shè)計(jì)逐漸成為研究熱點(diǎn)[6-8].文獻(xiàn)[6]研究了一類單輸入單輸出切換非線性系統(tǒng)輸出與擾動(dòng)的解耦問題,提出了此類系統(tǒng)輸出與擾動(dòng)的完全解耦的充分條件;文獻(xiàn)[7]為基于切換規(guī)則為時(shí)間依賴型的切換非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了觀測(cè)器,保證了系統(tǒng)穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[8]研究了典型非線性廣義系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器和觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題.

在實(shí)際應(yīng)用中,許多切換非線性控制系統(tǒng)存在系統(tǒng)帶寬和通訊資源有限的問題.如何節(jié)約通訊資源成為另一研究熱點(diǎn).針對(duì)這一問題,文獻(xiàn)[9]研究一類輸入飽和的切換非線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)輸出反饋控制問題,設(shè)計(jì)了基于降維觀測(cè)器的輸出反饋控制器,保證了閉環(huán)信號(hào)全局有界;文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)非線性干擾觀測(cè)器,用于任意切換非線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)跟蹤;基于駐留時(shí)間條件,文獻(xiàn)[11-13]研究了切換非線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問題, 所提出的方案在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時(shí)排除了Zeno現(xiàn)象.文獻(xiàn)[14,15]研究了基于平均駐留時(shí)間約束的切換非線性系統(tǒng), 設(shè)計(jì)了事件觸發(fā)控制器并導(dǎo)出了系統(tǒng)穩(wěn)定所需要滿足的平均駐留時(shí)間條件.文獻(xiàn)[16]針對(duì)一類切換非線性系統(tǒng)的周期事件觸發(fā)控制展開了研究, 給出了輸出反饋周期事件觸發(fā)控制方案,保證了系統(tǒng)在任意切換下的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[17]研究了含有未知控制系數(shù)的切換非線性非嚴(yán)格反饋系統(tǒng),設(shè)計(jì)了一個(gè)公共的降維觀測(cè)器及帶有離散事件觸發(fā)控制器的輸出反饋周期事件觸發(fā)控制器,使通訊資源的利用降低.

以上研究是在執(zhí)行器正常工作前提下展開的,但是實(shí)際控制系統(tǒng),由于外部環(huán)境或自身因素影響,執(zhí)行器在實(shí)際運(yùn)行過程中可能發(fā)生故障.文獻(xiàn)[18-22]針對(duì)不同類型系統(tǒng),研究了容錯(cuò)控制方案;文獻(xiàn)[23]研究了包含未知擾動(dòng)和執(zhí)行器故障切換非線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)了魯棒H∞可靠控制器,使系統(tǒng)在任意切換下全局二次穩(wěn)定.文獻(xiàn)[24]研究了切換非線性大系統(tǒng)的輸出反饋?zhàn)赃m應(yīng)事件觸發(fā)容錯(cuò)控制問題,設(shè)計(jì)了新型自適應(yīng)容錯(cuò)事件觸發(fā)控制器,保證了閉環(huán)信號(hào)有界.需要指出的是上述結(jié)果都是基于公共Lyapunov函數(shù)研究的,但是據(jù)作者所知針對(duì)含有平均駐留時(shí)間約束的切換非線性系統(tǒng)容錯(cuò)事件觸發(fā)控制問題研究卻鮮有報(bào)道,本文主要提出了3個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題:(1)若切換非線性系統(tǒng)包含執(zhí)行器故障,如何設(shè)計(jì)容錯(cuò)事件觸發(fā)控制器來克服執(zhí)行器故障帶來的影響同時(shí)節(jié)約系統(tǒng)通訊資源?(2) 如何為每個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器?(3)如何選取平均駐留時(shí)間條件,使閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)有界?本文針對(duì)以上問題展開研究,主要內(nèi)容如下:

(1) 與已有文獻(xiàn)[11-15]相比,本文考慮的系統(tǒng)中包含執(zhí)行器故障,為了有效地實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)控制,我們引入坐標(biāo)變換將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為新系統(tǒng),并設(shè)計(jì)出模態(tài)依賴的狀態(tài)觀測(cè)器與控制器.

(2) 不同于文獻(xiàn)[18,21]設(shè)計(jì)的控制器,為了節(jié)約控制系統(tǒng)的通訊資源,本文設(shè)計(jì)了一種新穎的自適應(yīng)輸出反饋事件觸發(fā)容錯(cuò)控制方案.

(3) 文中設(shè)計(jì)了一種新型事件觸發(fā)機(jī)制,該機(jī)制可以有效避免切換發(fā)生在觸發(fā)區(qū)間內(nèi),導(dǎo)致的控制器模態(tài)和系統(tǒng)模態(tài)不匹配的現(xiàn)象對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.

1 問題描述

考慮如下切換非線性系統(tǒng):

(1)

由于外部環(huán)境或自身因素影響,執(zhí)行器在實(shí)際運(yùn)行過程中可能發(fā)生故障.在本文中,執(zhí)行器的故障模型[9]被描述為:

(2)

引理1[26]切換信號(hào)有平均駐留時(shí)間τa>0,若存在常數(shù)N0>0則存在:

引理2[27,28]基于集合Ωz存在連續(xù)函數(shù)F(Z),對(duì)于任意?>0,令L為模糊規(guī)則數(shù),存在模糊邏輯系統(tǒng)ΘTΦ(Z)滿足:

其中

Z=[Z1,...,Zn]T,

Θ=[Θ1,...,ΘL]T,Φ(Z)=[φ1(Z),...,φL(Z)]T,

F(Z)=ΘTΦ(Z)+μ(Z),

引理3[29]對(duì)于?η>0,x∈R函數(shù)tanh(·)滿足

本文的控制目標(biāo)是為系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)輸出反饋?zhàn)赃m應(yīng)模糊事件觸發(fā)控制器,保證其對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)半全局一致最終有界.

2 主要結(jié)果

2.1 觀測(cè)器設(shè)計(jì)

由于狀態(tài)未知,我們引入如下的坐標(biāo)變換:

ξi=xi/ζ,

(3)

其中i=1,…,n.

由公式(3),系統(tǒng)(1)可以描述為:

(4)

其中

設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器如下:

(5)

是Hurwitz矩陣.

由式(4)和式(5)可得:

(6)

其中

Fσ(t)(ξ)=[f1,σ(t)(ξ1)+b1,σ(t)(1-ζ)ξ1,…,

Dσ(t)(t)=[d1,σ(t)(t),...,dn,σ(t)(t)]T,

注2由于系統(tǒng)(1)的執(zhí)行器中未知,我們針對(duì)系統(tǒng)直接設(shè)計(jì)觀測(cè)器存在一定的難度.因此,我們引入坐標(biāo)變換(3),將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)(4),并由此設(shè)計(jì)模態(tài)依賴的狀態(tài)觀測(cè)器(5).

2.2 事件觸發(fā)控制器設(shè)計(jì)

基于觀測(cè)器(5),首先定義坐標(biāo)變換如下:

(7)

其中αi-1為虛擬控制器.

當(dāng)σ(t)=k表示第k子系統(tǒng)激活.

第1步: 選擇Lyapunov形式為:

(8)

進(jìn)而可得:

(9)

根據(jù)引理2得:

θi=max{‖Θi,k‖2:k∈M},i=0,1,2,...,n,

(10)

(11)

(12)

其中

(13)

由Young’s不等式可得:

(14)

(15)

設(shè)計(jì)虛擬控制律和自適應(yīng)律:

(16)

由Young’s不等式得:

(17)

將式(12),式(14)～式(17)代入式(13)得:

(18)

第2步: 選擇Lyapunov函數(shù)形式為:

其中r2>0是設(shè)計(jì)參數(shù).對(duì)其求導(dǎo)得:

(19)

(20)

(21)

其中b2=maxk∈M{b2,k}.

將式(18),式(20)和式(21)代入式(19)得:

(22)

其中

根據(jù)引理2得:

其中μ2,k(Z2)為逼近誤差.

利用Young’s不等式,有:

(23)

設(shè)計(jì)虛擬控制律和自適應(yīng)律:

(24)

其中

(25)

第j步: (3≤j≤n-1)選擇Lyapunov形式為:

(26)

其中rj>0是設(shè)計(jì)參數(shù).

對(duì)其求導(dǎo)得:

(27)

其中

(28)

利用Young’s不等式可得:

(29)

(30)

其中bj=maxk∈M{bjk}.

令

設(shè)計(jì)虛擬控制律和自適應(yīng)律:

(31)

將式(29)～式(31)代入式(27)得:

(32)

步驟n: 選擇Lyapunov函數(shù)形式為:

(33)

其中rn>0是設(shè)計(jì)參數(shù),對(duì)其求導(dǎo)得:

(34)

其中

令

(35)

(36)

(37)

其中bn=maxk∈M{bn,k}.

設(shè)計(jì)虛擬控制律和自適應(yīng)律為:

(38)

(39)

將式(36)～式(39)代入式(34)得:

(40)

設(shè)計(jì)事件觸發(fā)控制器:

(41)

u(t)=?(tp),?t∈[tp,tp+1),

(42)

tp+1=inf{t∈R||ε(t)|≥βk|u(t)|+

γ2,korσ(t)≠σ(tp)},

(43)

其中ε(t)=?(t)-u(t),ηk>0,γ1,k>0,γ2,k>0,0<βk<1是設(shè)計(jì)參數(shù)滿足γ1,k>γ2,k/(1-βk),tp,p∈+是觸發(fā)時(shí)刻,當(dāng)觸發(fā)規(guī)則式(43)被滿足則控制器輸入為u(tp+1).

基于式(41)～式(43)可得:

?(t)=[1+ζ1(t)βk]u(t)+ζ2(t)γ2,k,

(44)

其中|ζ1(t)|≤1,|ζ2(t)|≤1.

控制器可表示為:

(45)

將控制律式(45)代入式(40)得:

(46)

(47)

結(jié)合式(46)、式(47)與引理3可得:

(48)

0.557ηk.

(49)

(50)

注3當(dāng)切換發(fā)生在觸發(fā)區(qū)間[tp,tp+1)時(shí),由于控制器需要在tp+1時(shí)刻才進(jìn)行更新,因此,可能出現(xiàn)控制器模態(tài)和系統(tǒng)模態(tài)不匹配的情況,進(jìn)而對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生影響,為了避免這一問題,我們構(gòu)造了新型的觸發(fā)機(jī)制式(43).

2.3 穩(wěn)定性分析

令

h=mink∈M{[λmin(Qk)-4-n]/λmax(Pk),

2ci,2li,i=1,...,n},

φ=maxk∈M{δn,k+0.557ηk}.

可得:

(51)

定理1：考慮切換非線性系統(tǒng)(1)滿足假設(shè)1,在觀測(cè)器(5),事件控制器(42)及觸發(fā)機(jī)制(43)的作用下,如果平駐留時(shí)間滿足τa>ln?/h,那么可得系統(tǒng)(1)對(duì)應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)半全局一致最終有界.

證明：為系統(tǒng)(1)選取Lyapunov函數(shù)為:

Vk[X(t)]≤?Vs[X(t)],

(52)

其中?>1,k,s∈M.

選擇函數(shù)H(t)=ehtVσ(t)[X(t)],有:

≤φeht,t∈[tq,tq+1)

(53)

其中[tq,tq+1)表示相鄰切換時(shí)間間隔.

結(jié)合式(52)可得:

H(tq+1)=ehtq+1Vσ(tq+1)[X(tq+1)]

(54)

選擇區(qū)間q=0→q=Nσ(T,0)-1,得:

≤…

(55)

?T≥t≥0.

(56)

由Nσ(T,0)-q≤1+Nσ(T,tq+1),q=0,1,…,Nσ(T,0)可得:

?Nσ(T,0)-j≤?1+N0e(h-l)(T-tq+1),

(57)

由于l

(58)

結(jié)合式(57)和(58),式(55)可變?yōu)?

(59)

進(jìn)一步有:

(60)

為排除Zeno現(xiàn)象,由ε(t)=?(t)-u(t),對(duì)于?t∈[tp,tp+1)有:

(61)

≤ψ(tp+1-tp).

(62)

3 仿真算例

在本節(jié)中,將通過仿真算例驗(yàn)證所提出方案有效性.

例1 考慮如下切換非線性系統(tǒng):

(63)

本例考慮υ(t)=0.5u(t)+0.8sin(t).

根據(jù)式(5)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器,根據(jù)式(16),(31),(38)和(39)設(shè)計(jì)虛擬控制律和自適應(yīng)律,根據(jù)式(41)～(43)事件觸發(fā)控制器.跟蹤信號(hào)設(shè)置為yd=0.2sin2t,針對(duì)系統(tǒng)(63),選取初始值及參數(shù)如下:

仿真結(jié)果如圖1～圖6所示:

圖1 y和yd軌跡Fig.1 Trajectories of y and yd

圖1顯示系統(tǒng)輸出信號(hào)和跟蹤信號(hào),圖2,3顯示系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡,切換信號(hào)顯示在圖4,控制信號(hào)和事件觸發(fā)時(shí)刻分別顯示在圖5和圖6.從仿真結(jié)果可以看出,閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)有界,從而驗(yàn)證本文提出的方案是有效的.

圖2 狀態(tài)ξ1,ξ2和ξ1,ξ2的軌跡Fig.2 Trajectories of ξ1,ξ2 and ξ1,ξ2

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)x2的軌跡Fig.3 Trajectory of x2

圖4 切換信號(hào)σ(t)Fig.4 Switching signal σ(t)

圖5 事件觸發(fā)時(shí)刻Fig.5 Event-triggered instants

圖6 控制信號(hào)uFig.6 Control signal u

4 結(jié)論

本文針對(duì)一類具有執(zhí)行器故障的切換非線性系統(tǒng),解決了模糊自適應(yīng)事件觸發(fā)輸出反饋容錯(cuò)控制問題.通過設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器,估計(jì)了不可測(cè)量狀態(tài).設(shè)計(jì)了事件觸發(fā)控制策略能減輕傳輸負(fù)擔(dān),最后利用多Lyapunov函數(shù)和平均駐留時(shí)間方法,證明了所設(shè)計(jì)的方法使閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)半全局一致最終有界并排除Zeno現(xiàn)象.未來將進(jìn)一步研究隨機(jī)切換非線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問題.