戴飆 方志平

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是思維活動的教學(xué).“思維”可以從不同的角度去解釋，從心理學(xué)的角度來說，“思維”是人腦的一種高級的心理活動，“思維”不同于其他心理活動的本質(zhì)在于“思維”是對客觀事物本質(zhì)屬性以及內(nèi)在規(guī)律的反映［1］.思維品質(zhì)主要包括思維的廣闊性、深刻性、批判性和獨(dú)創(chuàng)性等幾個方面.針對思維品質(zhì)的訓(xùn)練，對提高學(xué)生的思維能力，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有積極的意義.本文列舉幾例闡述思維品質(zhì)在立體幾何解題中的滲透，供讀者參考.

1.在探索性問題中滲透思維的廣闊性

思維的廣闊性是指善于全面地考察問題，從事物的各種聯(lián)系中認(rèn)識事物，避免問題的片面性及狹義性，這使我們不僅能抓住事物的基本特征，而且不忽略重要的細(xì)節(jié).數(shù)學(xué)思維的廣闊性具有流暢、變通和獨(dú)特的特點(diǎn)，在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生不局限于某一種解題思路及方法，大膽聯(lián)想，從問題的各種條件與結(jié)論出發(fā)，發(fā)現(xiàn)解決問題的新途徑.

解法1：如圖1，作PD⊥BC于D，連結(jié)AD，作

2.在關(guān)系轉(zhuǎn)換問題中滲透思維的深刻性

思維的深刻性是指思維活動的抽象程度和邏輯水平．表現(xiàn)為能洞察所研究的每一個事物的實(shí)質(zhì)以及相互關(guān)系，能從所研究材料中揭示被掩蓋住的特殊情況，能夠抓住問題的本質(zhì)和規(guī)律，深入細(xì)致地加以分析和解決，圖2而不被一些表面現(xiàn)象所迷惑 ［2］.

例2 三個邊長為12的正方形都被連接兩條相鄰邊的中點(diǎn)的直線分成A，B兩片，如圖2所示，把這六片粘在一個正六邊形的外面，

如圖3所示，然后折成一個多面體，求這個多面體的體積.

解：如圖3，每個B片的兩側(cè)都是A片，要將其粘合在一起就是要將三個直角頂點(diǎn)和邊粘合在一起，那么三個直角頂點(diǎn)和邊粘合在一起是一個怎樣的圖形？圖中的直角邊MN和GH會重合嗎？點(diǎn)N，L，H三點(diǎn)會有怎樣的結(jié)果？

解決了上述問題就容易得出折成的幾何體為如圖4所示的幾何體，其中點(diǎn)S就是圖3中N，L，H三個點(diǎn)重合在一起的點(diǎn).由于

如果將正六邊形的頂點(diǎn)與點(diǎn)S連接起來，如圖6所示，

則原幾何體被分割成一個正六棱錐和三個全等的有三條棱兩兩垂直的三棱錐，體積可求.

如果注意到將圖中QY，PX延長必交于一點(diǎn)，得一正方形……可將原幾何體補(bǔ)形成如圖7所示的正方體，其體積恰為一個棱長為12的正方體體積的一半.

評注：本題的思維價值，就是學(xué)生能否揭示該問題中最特殊的情況，即三個直角粘合在一起的圖形特征，這正是該問題能否解決的關(guān)鍵所在.通過由表及里的思維，概括歸納，抓住事物本質(zhì)及規(guī)律，可發(fā)展思維的深刻性.

3.在涉及概念問題中滲透思維的批判性

批判性是數(shù)學(xué)思維優(yōu)良品質(zhì)的一個重要特性，其內(nèi)涵是能自覺地進(jìn)行自我反省，對自己的思維和行為作出評價、判斷和監(jiān)控，并可預(yù)見到可能出現(xiàn)的各種結(jié)果；能從問題的正、反兩方面進(jìn)行思考，既有成功的思想準(zhǔn)備，也有失敗再重來的思想意識；能及時判斷解題方法的優(yōu)劣，調(diào)整改善解題的思路，以求得優(yōu)美的解法；善于總結(jié)自己成功和失敗的經(jīng)驗(yàn)，并用來指導(dǎo)未來的實(shí)踐［3］.

例3 如圖8，在多面體ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長后相交于E、F兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長、寬分別為c、d與a、b且a>c，b>d， 兩底面間的距離為h.

（1）求側(cè)面ABB1A1與底面ABCD所成二面角的正切值；

（2）證明：EF∥面ABCD.

所以側(cè)面ABB1A1與底面ABCD所成二面角的正切值為2hb－d.

評注：本解法的錯誤之處在于：直接利用結(jié)論“O1O垂直于上、下底面” ， 事實(shí)上， 這是正棱臺的性質(zhì)， 在本題當(dāng)中， 該結(jié)論仍然正確， 但證明該結(jié)論相當(dāng)困難， 所需篇幅甚至遠(yuǎn)大于解答本題之篇幅.

正解：（1）如圖10，過B1C1作面ABCD的垂面，交底面于PQ，過B1作B1G⊥PQ，垂足為G，因?yàn)槊鍭BCD∥面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°，所以AB⊥PQ，AB⊥B1P，所以∠B1PQ為所求二面角的平面角.過C1作C1H⊥PQ，垂足為H，由于相對的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，所以四邊形B1PQC1為等腰梯

4.在動態(tài)問題中滲透思維的獨(dú)創(chuàng)性

思維的獨(dú)創(chuàng)性是指思維活動的創(chuàng)新程度．它表現(xiàn)為思考問題和解決問題時的方式、方法或結(jié)果的新穎、獨(dú)特、別出心裁．善于發(fā)現(xiàn)問題、解決并引申問題是思維創(chuàng)造性的表現(xiàn)之一［4］.

例4 若點(diǎn)Pα，直線lα，過點(diǎn)P且與直線l成30°角的直線交平面α于點(diǎn)M，若點(diǎn)M的軌跡為一圓錐曲線，求其離心率.

評注：本題中盡管“動態(tài)”的背景下活躍著動態(tài)的點(diǎn)和線，但在其動態(tài)性的層面內(nèi)，隱藏和潛伏著不變（靜態(tài)）的元素.只要細(xì)心觀察，匠心獨(dú)運(yùn)，獨(dú)具慧眼，就會從動態(tài)的圖形中捕捉到不變的靜態(tài)的因素，實(shí)現(xiàn)“動中取靜，以靜制動”之效應(yīng).

綜上案例，思維品質(zhì)在立體幾何解題中的滲透，向我們闡述了思維的廣闊性是對學(xué)生進(jìn)行思維品質(zhì)訓(xùn)練的基礎(chǔ)與前提，思維的深刻性是對學(xué)生進(jìn)行思維品質(zhì)訓(xùn)練的深化過程，思維的批判性是在深刻性的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，思維的獨(dú)創(chuàng)性是對學(xué)生進(jìn)行思維品質(zhì)訓(xùn)練的歸宿與新的起點(diǎn).

參考文獻(xiàn)

［1］汪文賢.數(shù)學(xué)思維論［M］.浙江攝影出版社，2007.

［2］張先榮.從新課程教學(xué)理念談數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的養(yǎng)成［J］.安陽師范學(xué)院學(xué)報，2007，5.

［3］ 袁保金.在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2008，3月（上）.

［4］蔣維聆.培養(yǎng)思維能力提高智能素質(zhì)［J］.廣西教育學(xué)院學(xué)報，2004，4.