朱 冉 徐禮文 孟慶海

基于函數(shù)型數(shù)據(jù)分析算法的電阻性本質(zhì)安全電路電弧放電模型

朱 冉1徐禮文2孟慶海1

（1. 北方工業(yè)大學電氣與控制工程學院 北京 100144 2. 北方工業(yè)大學理學院 北京 100144）

區(qū)別于電感性和電容性本質(zhì)安全電路，電阻性本質(zhì)安全電路的電弧放電波形因具有三種類型一直無法被準確描述，且電阻性電路本質(zhì)安全判據(jù)的不完善描述會導致實際運行條件下爆炸事故的多發(fā)性。對此，該文首先考慮電阻性本質(zhì)安全電路的放電過程及波形特征，基于函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法，建立了高維、參數(shù)強相關(guān)、適用范圍廣的電阻性電路電弧放電數(shù)學模型，并基于模型建立了相應(yīng)的本質(zhì)安全能量判據(jù)；然后采用該模型模擬電阻性電路放電過程并提出了一種電弧放電波形分類方法，發(fā)現(xiàn)在特定電路參數(shù)條件下，當電路正常工作電流≤0.15 A或≥0.6 A時，電弧放電基本呈現(xiàn)典型放電形式；最后搭建火花放電試驗平臺，驗證了所建電弧模型的可行性與預測效果的準確性。

電弧放電數(shù)學模型 本質(zhì)安全 函數(shù)型數(shù)據(jù) 能量判據(jù)

0 引言

應(yīng)用于煤炭、石油、化工等爆炸性氣體環(huán)境的電氣設(shè)備必須滿足電氣防爆要求，且須對弱電設(shè)備優(yōu)先設(shè)計成為本質(zhì)安全型。研究本質(zhì)安全（以下簡稱本安）電路的理論基礎(chǔ)是電弧放電引燃機理、電弧放電數(shù)學模型和本質(zhì)安全判據(jù)。本安電路電弧放電屬于低能（mJ級）電弧放電，其過程復雜，同時受到電氣參數(shù)、環(huán)境參數(shù)和檢測裝置等因素的影響[1-2]。目前，對電路安全性能的評估和研究的常用方法主要包括：使用IEC火花試驗裝置進行放電試驗，根據(jù)試驗結(jié)果直接判斷，以及通過建立電弧放電數(shù)學模型來設(shè)定能量判據(jù)和功率判據(jù)。這些方法在評估電路安全性能中起著關(guān)鍵作用，有助于確保電路在各種條件下的穩(wěn)定性和可靠性。

最基本的本安電路按性質(zhì)可分為電感性電路、電容性電路與電阻性電路。其中，電感性電路電弧放電的數(shù)學模型研究居多，包括放電電流線性衰減模型[3]、放電電流拋物線模型、放電電流冪函數(shù)模型、靜態(tài)伏安特性模型[4]和動態(tài)伏安特性模型[5]等。文獻[6]根據(jù)電弧能量平衡理論結(jié)合最小二乘法，建立Mayr動態(tài)電弧電阻模型。文獻[7]將電感性電路電弧放電與統(tǒng)計學相結(jié)合，發(fā)現(xiàn)放電時間的雙正態(tài)分布規(guī)律。文獻[8]基于橢圓積分法，推導電感性電路試驗電極的微觀表面形貌、發(fā)射電流密度、焦耳熱和熱傳導效應(yīng)等因素與電弧特性的關(guān)系并建立模型。文獻[9]考慮極間場增強因子作用，建立甲烷-空氣混合氣體電感分斷建弧過程的電子漂移擴散模型和非電子組分重物質(zhì)輸運模型。

對于電容性本質(zhì)安全電路，現(xiàn)階段放電模型包括文獻[10]提出的電勢電容等效模型，以及文獻[11]應(yīng)用Matlab中Cftool工具箱，提出的最小點燃曲線數(shù)值化電容性電路放電模型等。文獻[12]利用最小二乘法得到了放電持續(xù)時間與電容之間的數(shù)學表達式，建立了電容性電路短路放電電流和電壓模型。文獻[13]通過分析IEC火花試驗波形提出了電容性電路放電指數(shù)模型，得到了電容性電路放電電流、放電電壓的數(shù)學表達式。文獻[14]綜合考慮了電路中線路的電感、電容、電阻參數(shù)，建立了與實際電路一致的電容等效電路模型。文獻[15]利用Fluent軟件建立電容性電路放電間隙電壓、電流數(shù)學模型，擬合出最小點火半徑與有效點燃能量之間的函數(shù)關(guān)系式。文獻[16]基于Fowler-Nordheim理論分析一次放電火花電壓變化特性，建立放電電壓指數(shù)模型，推導了火花功率與初始電壓、放電電阻、放電時間的函數(shù)關(guān)系。文獻[17]采用等效電荷法，建立了電容短路后火花放電的二維PIC/MCC（particle in cell with Monte Carlo collision）模型。

區(qū)別于電感性和電容性本質(zhì)安全電路，電阻性本質(zhì)安全電路的電弧放電波形因具有三種類型一直無法被準確描述。文獻[18]僅模仿電感性電路的放電電流拋物線模型對電阻性電路電弧放電的三種形式進行了簡單描述。

上述研究表明，目前對于電阻性本質(zhì)安全電路的電弧放電模型的研究還不完善，試驗波形和理論分析表明，電阻性電路電弧放電的數(shù)據(jù)特征是高維度的，且電路參數(shù)的影響及環(huán)境的影響呈現(xiàn)出高度相關(guān)性，以往的建模手段無法直接探究模型數(shù)值解。此外，通過建立的單一電壓或電流模型而推導出的相關(guān)表達式可能因簡化而存在誤差，并且本安非爆炸性評價方法理論缺少對電阻性電路本安判據(jù)的描述，致使其在實際工作中因參數(shù)不合理而引起的爆炸事故的可能性大大增加。

1 電阻性本質(zhì)安全電路電弧放電原理及特征

電弧放電是本質(zhì)安全理論中最常見的放電形式，其主要出現(xiàn)在小電流、低電壓的本質(zhì)安全電路中。電路觸電斷開瞬間，接觸壓力降低且電極接觸面減小。當電極上的電流電壓與接觸點熔點相當時，電極間形成液態(tài)金屬滴。隨著電極繼續(xù)拉開，液態(tài)金屬滴在兩極間形成金屬橋，引發(fā)電弧[19]。電阻性火花試驗等效電路如圖1所示，圖中為電源電壓，為電路電阻，A表示放電電弧。

電阻性電路的電弧發(fā)生形式主要分為以下兩種：

1）電阻性電路的斷路火花。電阻為線性元件無法儲能，電源能量即為火花能量的來源。電路斷開時，電極接觸面迅速減小，導致電流密度增大，電極間的電壓隨電阻增大，電極熔化形成液態(tài)金屬橋。

2）電阻性電路的閉合火花。當電源電壓較高時，電極因電路的閉合接近，接觸瞬間空氣擊穿電離；當電源電壓較低時，則不會產(chǎn)生電流。這就導致即使運行電壓低于最小建弧電壓，電路仍會產(chǎn)生電弧。

以往研究認為，電阻性電路的放電模型可由電感性電路放電模型簡化得到[20]。但由于電路性質(zhì)發(fā)生變化，模型的簡化并不適用。IEC火花試驗裝置的電極斷開時，低能電弧放電存在三種具有本質(zhì)性區(qū)別的放電形式[18]，目前尚未有文獻對其機理進行合理解釋，本文分別對三種形式電弧的形成與熄滅過程進行描述。電阻性電路放電實驗波形的三種形式分別如圖2～圖4所示。

圖2 電阻性電路放電實驗波形第一種形式

圖3 電阻性電路放電實驗波形第二種形式

圖4 電阻性電路放電實驗波形第三種形式

第一種放電形式是電極間電壓首先突變?yōu)樽钚〗ɑ‰妷?，電流服從歐姆定律重新分配；之后電弧電壓持續(xù)上升而電流持續(xù)下降；末期電弧電壓快速升到電源電壓，而電流快速下降為零。這種放電形式出現(xiàn)的概率為70%，且最容易引起爆炸，屬于該類型電路低能電弧放電的典型形式。其放電電壓、電流與功率隨時間變化的波形如圖2所示。

第二種放電形式是瞬間成弧后，電弧電壓上升，電流下降，在整個放電時間內(nèi)電弧功率逐漸降低，初期幾乎沒有變化，后期迅速降低到零值。在此情形下，放電時間相對較長，并且發(fā)生概率約為25%，其放電電流、電壓與功率如圖3所示。

第三種放電形式是瞬間成弧后，在放電過程中，電弧電壓、電流基本恒定，直至放電完畢，此時電弧電壓突然升到電源電壓，電弧電流突然降為零，放電時間小，功率基本不變，其發(fā)生概率僅為5%，且不會引起爆炸。其放電電流、電壓與功率如圖4所示。

2 基于函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法的電弧模型

2.1 函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法

函數(shù)型數(shù)據(jù)分析（Functional Data Analysis, FDA）[21]回歸算法無需對數(shù)據(jù)采集頻率做任何限制，即可將動態(tài)函數(shù)曲線轉(zhuǎn)換為“原始數(shù)據(jù)”，具備無限維的空間特征，其描述了如何使用數(shù)據(jù)光滑后的函數(shù)型數(shù)據(jù)進行建模，并提供其回歸系數(shù)函數(shù)的估計算法和解的表示，具有更強的普適性。其算法流程如圖5所示。

圖5 函數(shù)數(shù)據(jù)分析回歸算法流程

FDA算法具體計算步驟如下：

1）假定初始函數(shù)型數(shù)據(jù)回歸模型為式（1），設(shè)定模型優(yōu)化次數(shù)為，此時的迭代次數(shù)=1。

式中，()為響應(yīng)變量；()為維未知的函數(shù)形系數(shù)；X為第個特征量（協(xié)變量）；X()為效應(yīng)函數(shù)，代表不同協(xié)變量所占響應(yīng)變量的權(quán)重；()為誤差函數(shù)，通常假設(shè)()的均值為0。

2）求解系數(shù)函數(shù)與響應(yīng)變量在Hilbert空間存在的最優(yōu)傅里葉基函數(shù)（Fourier basis function）展開式[22]。對于給定的函數(shù)()，其傅里葉基函數(shù)展開式為

式中，φ()為關(guān)于的基函數(shù)，=1, 2,…,，2r-1()= sin()，2r()=cos()；c為傅里葉基函數(shù)的展開系數(shù)；為基函數(shù)個數(shù)。的選取決定了模型的擬合是否平滑，較大的值可以顯著地提高離散數(shù)據(jù)的平滑度，但存在丟失有用噪聲的風險；過小的值會使被展開函數(shù)的一些重要擬合信息被錯過。

3）采用最小二乘準則定義損失函數(shù)，確定系數(shù)函數(shù)組成的系數(shù)矩陣。

4）計算損失函數(shù)導數(shù)f=0時的模型系數(shù)函數(shù)。

5）判斷此時的優(yōu)化次數(shù)與設(shè)置優(yōu)化次數(shù)是否相等。

6）若=，則輸出模型，算法結(jié)束；若1，則令=+1，將此時的系數(shù)函數(shù)作為模型的新參數(shù)，返回步驟2）計算，直至=。

通過以上算法，可以揭示電弧放電更深層級的動態(tài)演化規(guī)律，剖析高維復雜數(shù)據(jù)下電阻性電路放電的本質(zhì)特征，建立更合理、更直觀的放電模型。

2.2 放電電弧電壓數(shù)學模型

本節(jié)基于上述函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法，結(jié)合電阻性電路電弧放電特性，詳細闡述放電電弧電壓的數(shù)學模型建模過程。

影響電阻性電路放電電弧特性的主要可控因素即電路的電參數(shù)（電源電壓、電阻）。給定參數(shù)和，組成個試驗取值數(shù)對(E,R)，=1, 2,…,；對應(yīng)每一個(E,R)，測得其開路電弧電壓試驗波形，在每一條波形特定節(jié)點上有限維取值，由離散數(shù)據(jù)重構(gòu)隱含在其中的連續(xù)本征函數(shù)u()，由此共得到組電壓樣本數(shù)據(jù)(E,R;u())。取一組樣本，以理想直流電壓源與電路電阻的非時變性和插值法重構(gòu)后電弧電壓函數(shù)的非線性特征為基礎(chǔ)，假定初始模型類型為標量協(xié)變量，響應(yīng)變量為函數(shù)的函數(shù)型數(shù)據(jù)模型進行優(yōu)化，優(yōu)化次數(shù)=100，初始模型公式為

式中，a()、b()分別為協(xié)變量和關(guān)于的未知系數(shù)函數(shù)；()為關(guān)于的誤差函數(shù)。式（3）中，理想電源電壓與電阻不受時間變化影響，即設(shè)、為標量協(xié)變量，電弧電壓()為函數(shù)型響應(yīng)變量。

將系數(shù)函數(shù)與響應(yīng)變量函數(shù)展開成最優(yōu)傅里葉基函數(shù)形式分別為

式中，()=[1()2() …θ()]為()、()的最優(yōu)傅里葉基函數(shù)展開式；T、TT分別為展開系數(shù)a、b、c組成的系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置；()=[1()2() …φ()]為()的最優(yōu)傅里葉基函數(shù)展開式；代表展開的第個基函數(shù)，=1, 2,…,。

為方便記錄，記

即、分別為T與T、T組成的系數(shù)矩陣；為誤差函數(shù)組成的矩陣。

利用最小二乘準則定義的損失函數(shù)LMSSE確定系數(shù)函數(shù)的系數(shù)矩陣，可得到一個簡單的線性光滑器為

式中，為第組樣本組數(shù)。

定義三個矩陣表示基函數(shù)矩陣，分別為

為了可讀性，省略時間變量和微分記號d（后文中也有相應(yīng)的省略），則式（8）簡化表示為

根據(jù)矩陣的跡的性質(zhì)以及Kronecker乘積性質(zhì)，使用矩陣按行拉直運算vec(·)可得

解得系數(shù)矩陣為

此時，令優(yōu)化次數(shù)=+1，更新模型系數(shù)函數(shù)，直至=100。

遍歷其余樣本數(shù)據(jù)，得到組電壓模型為

輸出以和為變量的電弧電壓函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸模型為

2.3 放電電弧電流數(shù)學模型

放電電流數(shù)據(jù)與放電電壓數(shù)據(jù)特征相近，電弧電流模型的建模過程與電弧電壓相同，本文對其進行簡要描述。測得組電流樣本數(shù)據(jù)(E,R;i())，=1, 2,…,。

輸入初始參數(shù)與模型得到

式中，()為電源電壓變量的系數(shù)函數(shù)；()為電阻變量的系數(shù)函數(shù)；()為隨機誤差函數(shù)。

模型式（15）中函數(shù)的最優(yōu)傅里葉基函數(shù)展開式為

式中，T、TT分別為展開系數(shù)v、w、d組成的系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置。

定義系數(shù)矩陣的最小二乘損失函數(shù)為

同理，遍歷組樣本則可建立以和為變量的放電電弧電流()模型為

3 電阻性電路本安判據(jù)的建立

通過IEC火花試驗裝置進行爆炸性檢測試驗，對檢測條件要求較高，且成本較高、周期長、不確定因素多，這些局限最終會大幅降低本安產(chǎn)品的生產(chǎn)效率。本安非爆炸評價方法雖然不能完全替代爆炸性評價的方法，但利用計算機輔助[23-24]研究電路的本質(zhì)安全性能判別，對設(shè)計與檢測本質(zhì)安全電路具有重要的指導意義。相關(guān)文獻提出基于電感性電路放電電流衰減模型的功率判據(jù)，對常用的能量判別式做了補充。然而，目前尚缺乏一個獨立的、完備的電阻電路模型和基于該模型的判據(jù)。

3.1 功率模型

為了深入研究電弧的能量變化規(guī)律，對電阻性電路進行準確的本安性能評價，本文利用函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法將不同特征的動態(tài)函數(shù)曲線轉(zhuǎn)換為“原始數(shù)據(jù)”進行分析，從理論上提出一種獨立于電壓和電流模型的功率模型，以降低由于電壓和電流模型約束而導致的本安性能評估的誤差。

基于試驗所測得的組電弧電壓g與組電流g波形數(shù)據(jù)，以純電阻電路功率定義式為依據(jù)，計算每一組樣本功率與時間變量的函數(shù)關(guān)系，并繪制波形曲線，在每一條波形特定節(jié)點上有限維取值，得到組功率樣本數(shù)據(jù)(E,R;p())，=1, 2,…,。

值得注意的是，功率波形與電壓、電流波形特征顯然不同，但這并不影響函數(shù)型數(shù)據(jù)回歸模型的形式，通過模型系數(shù)函數(shù)()的自適應(yīng)過程，能夠使最終的模型與波形保持一致。因此，本文提出的函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法對電弧功率模型的建立依舊是可行的。

設(shè)初始模型及系數(shù)函數(shù)為

式中，()為電源電壓變量的系數(shù)函數(shù)；()為電阻變量的系數(shù)函數(shù)；()為隨機誤差函數(shù)。

利用基函數(shù)展開系數(shù)函數(shù)與響應(yīng)函數(shù)可得

式中，T、TT分別為系數(shù)g、h、m組成的系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置。

定義功率模型系數(shù)矩陣的損失函數(shù)為

同理，遍歷組樣本則可建立以和為變量的放電電弧功率()模型為

3.2 能量判據(jù)

基于前文所建立的功率模型，設(shè)電弧放電時間為，則電弧放電能量g表達式為

將式（27）展開得到

根據(jù)式（28），結(jié)合最小點燃能量，可以建立簡單電阻性電路本安性能判據(jù)為

故能量判據(jù)為

4 仿真驗證及分析

4.1 試驗平臺

為驗證所得數(shù)學模型，本文基于IEC標準火花試驗裝置對不同電源電壓與電阻進行電弧放電試驗，對比實測值與仿真模型之間的差異。按照標準直流電阻性電路拓撲連接電路。被試電路接入火花試驗裝置電極，將電路參數(shù)調(diào)整到規(guī)定的安全系數(shù)后，判定在電極系統(tǒng)的規(guī)定轉(zhuǎn)數(shù)內(nèi)是否打出火花。兩接觸電極之一是由帶有兩道槽的旋轉(zhuǎn)鎘電極盤組成；另一個接觸電極由四根鎢絲組成，鎢絲直徑為0.2 mm，并固定在圓周直徑為50 mm的極握上（極握用黃銅材料制造）。旋轉(zhuǎn)極握使鎢絲電極在開槽的鎘盤上滑動，極握與鎘盤之間的距離為10 mm。鎢絲的自由長度為11 mm，其不與鎘盤接觸時，垂直于鎘盤表面。驅(qū)動鎘盤和極握的兩軸相隔31 mm，并且兩軸之間和試驗裝置底盤之間相互絕緣。電流通過軸系上的滑動電極流進和流出，兩軸由不導電的齒輪嚙合起來，齒輪傳動比為50:12。用電機帶動的極握轉(zhuǎn)速為80 r/min。開通電源后鎘盤與鎢絲裝置以相同且均勻的轉(zhuǎn)速接觸、斷開打火放電。

試驗電路系統(tǒng)選用UT37014型直流穩(wěn)壓電源，DLM3034型示波器用于電弧波形的采集。將所述火花裝置的正、負極連接到示波器的第一通道測定電弧電壓；示波器第二通道連接電阻兩端的正負極測量電弧電流。試驗采樣頻率設(shè)定為12.5 kHz。試驗數(shù)據(jù)列于表1中。

表1 電阻電路電弧放電試驗數(shù)據(jù)

Tab.1 Resistance circuit arc discharge test data sheet

試驗共記錄36組不同電路條件樣本類型。其中，訓練集共28組樣本類型，用于算法程序以訓練最優(yōu)模型；檢驗集共8組樣本類型，用于檢驗模型是否準確。每組樣本類型的電弧電壓、電流波形重復測量五次，試驗共記錄360組波形。根據(jù)示波器信號合成取得36組對應(yīng)的功率波形共計180組。

4.2 模型訓練與放電分類判斷

將試驗收集的訓練集數(shù)據(jù)導入Matlab進行仿真分析，根據(jù)2.1節(jié)所提出的函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法編寫程序，訓練三種（電壓、電流、功率）模型。

插值法處理后的訓練集電弧電壓、電弧電流及功率平滑曲線分別如圖6～圖8所示。

圖6 電阻性電路電弧電壓樣本擬合曲線

圖7 電阻性電路電弧電流樣本擬合曲線

以文獻[18]提出的放電形式一在放電試驗中出現(xiàn)的次數(shù)最多、形式二次之、形式三出現(xiàn)的次數(shù)最少的結(jié)論為依據(jù)。本文在此基礎(chǔ)上整合出電壓、電流與功率波形與放電形式類型一致的樣本組，對其電弧放電不同形式可能出現(xiàn)的先決條件進行初步研究。分類形式見表2。其中g(shù)/S1、g/S2、g/S3分

圖8 電阻性電路電弧功率樣本擬合曲線

別表示在此電路參數(shù)條件下電弧電壓波形屬于放電的第一、二、三種形式；g與g分類形式與g同理。

從表2可看出，放電形式一在放電試驗中出現(xiàn)的次數(shù)最多、形式二次之、形式三出現(xiàn)次數(shù)最少，結(jié)果與文獻[18]結(jié)論相符。結(jié)合表2，交叉對比電壓、電流及功率波形，整合三種電參數(shù)波形均符合同一種放電特征的樣本組，繪制不同放電形式出現(xiàn)概率與電路正常工作電流的關(guān)系如圖9所示。

圖9 電阻性電路電弧放電形式分類

表2 不同電路參數(shù)下的電壓、電流、功率分類形式

Tab.2 Voltage, current and power classification table under different circuit parameters

由上述圖表分析可知，當電源電壓參數(shù)范圍為24 V≤≤48 V且電阻范圍為20W≤≤360W時，電弧第一種放電形式在放電試驗中出現(xiàn)的概率最大，第三種形式出現(xiàn)概率最小，這與前人結(jié)論相符。相同參數(shù)范圍內(nèi)，圖9中陰影區(qū)域表示電弧放電第二種形式可能出現(xiàn)的范圍，放電第一種形式出現(xiàn)在空白區(qū)域的概率較大。從電路正常工作電流角度分析可知，當電流值≤0.15 A或≥0.6 A時，電弧放電表征為第一種放電形式，這時電路電弧的放電時間長，功率前期上升，能量也隨之增大，容易引起爆炸；當正常工作電流值0.15 A＜＜0.6 A時，電弧放電表征趨向于第二種放電形式，這時電弧的放電時間雖長，但前期功率基本不變，后期迅速下降。

需要特別說明的是，第三種形式出現(xiàn)的概率未能與電路電流表現(xiàn)出直接關(guān)系，其他試驗條件下的放電形式分類與正常工作電流關(guān)系也仍需進一步探究。

為判斷所提出的基于函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法建立的模型是否適用于電弧放電的所有形式，執(zhí)行仿真程序進行模型訓練。由于樣本數(shù)據(jù)數(shù)量龐大無法呈現(xiàn)全部仿真結(jié)果，本文選取部分結(jié)果進行討論。部分模型訓練結(jié)果與分類形式如圖10所示。

觀察試驗數(shù)據(jù)與仿真數(shù)據(jù)對比曲線不難發(fā)現(xiàn)，在不同電路參數(shù)條件下，對于趨勢有所差異的放電電弧電壓、電流及功率波形，仿真值與實測值基本吻合。通過訓練的模型可以清晰地區(qū)分電阻性電路電弧放電的三種形式，說明函數(shù)數(shù)據(jù)分析回歸算法所建立的數(shù)學模型具有較好的普適性。

4.3 誤差分析

函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法建立數(shù)學模型的自適應(yīng)過程的復雜程度決定了模型與實測值的誤差大小，本文采取最小二乘優(yōu)化準則求解出的電壓模型系數(shù)函數(shù)()()以及電流模型系數(shù)函數(shù)()()的95%置信區(qū)間范圍如圖11所示。

圖11 電壓與電流模型系數(shù)函數(shù)95%置信區(qū)間

由圖11可以看出，電壓與電流模型的系數(shù)函數(shù)根據(jù)各自協(xié)變量初始值的不同，其置信區(qū)間范圍有所差別。

為深入探究所提模型描述實際波形的準確程度，本文利用回歸評價指標均方誤差（Mean Square Error, MSE）、方均根誤差（Root Mean Square Error, RMSE）、平均絕對誤差（Mean Absolute Error, MAE）、決定系數(shù)（2）表征模型式（14）、式（20）、式（26）訓練過程存在的誤差。將訓練樣本組按分類代入電壓、電流、功率模型進行回歸計算，并繪制折線圖如圖12所示。

對比電壓、電流及功率模型的各類指標分析得出，電壓與功率模型的MSE、MAE計算值較大，則實際值與理論值之間的誤差較大；電流模型的MSE、MAE計算值較小，其系數(shù)函數(shù)的自適應(yīng)過程好。電流模型的馴化程度優(yōu)于電壓與功率模型。

圖12 模型回歸指標對比

表3分別列出了少數(shù)樣本組三種模型的決定系數(shù)。其中，決定系數(shù)最小為0.790 1，最大為1，其余均在0.8～0.99范圍內(nèi)浮動，說明在本文的試驗條件下，至少有80%的實際數(shù)據(jù)可以被所建模型所描述，證明了函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸模型的可行性。但考慮到工程環(huán)境的復雜性與多變性，模型實際應(yīng)用的誤差范圍有待進一步精確。

表3 三種模型決定系數(shù)計算結(jié)果對比表

Tab.3 Comparison table of determination coefficient calculation results of three models

4.4 模型預測效果評估

與傳統(tǒng)電弧解析模型不同的是，本文采用的函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法所建立的放電模型不僅反映了變量、與()、()、()的高維函數(shù)關(guān)系，同時能對電弧電壓、電流進行數(shù)值模擬，從而實現(xiàn)對本安和非本安狀態(tài)的判定和預報。以電阻性電路火花放電試驗檢驗集樣本作為實際值，對模型預測值與其之間的誤差進行檢測，根據(jù)回歸指標表征模型預測效果。電弧模型預測值與實際值對比如圖13所示。

圖13 檢驗樣本電弧模型預測值與實際值對比

由圖13可看出，模型預測值與實際值存在偏差，但趨勢相同且偏差不大。檢驗樣本組模型的回歸指標計算值見表4～表6。

表4 檢驗樣本組電弧電壓模型回歸指標計算值

Tab.4 The model regression indicators of the arc voltage model of the sample group were tested

表5 檢驗樣本組電弧電流模型回歸指標計算值

Tab.5 The model regression indicators of the arc current model of the sample group were tested

表6 檢驗樣本組電弧功率模型回歸指標計算值

Tab.6 The model regression indicators of the arc power model of the sample group were tested

檢驗集六組樣本類別中，電流模型的MSE與MAE值小于其他模型，這說明電流模型仿真出的預測值與實際值之間的誤差較小。除電壓模型第三組（=48 V,=90W）樣本類型和電流、功率模型第四組（=48 V,=120W）樣本類型外，其余組的2均在0.84～0.96之間，表明在本文所進行試驗的試驗條件下，至少有84%的實際數(shù)據(jù)可以被電弧電壓、電流及功率模型預測。

5 結(jié)論

本文對電阻性電路電弧放電特性曲線進行深入分析，推斷放電階段電弧各波形出現(xiàn)的電路參數(shù)條件，綜合考慮電阻電路電源電壓和電阻對時間變量的影響，提出了一種將不同特征動態(tài)函數(shù)曲線轉(zhuǎn)換為“原始數(shù)據(jù)”進行分析的函數(shù)型數(shù)據(jù)分析思想。通過函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法建立了高維且參數(shù)強相關(guān)、適用范圍廣的電阻性電路電弧放電數(shù)學模型，具體結(jié)論如下：

1）對提出的放電模型進行不同電路參數(shù)下的仿真分析，搭建試驗平臺將試驗結(jié)果與之進行對比。結(jié)果證明了所提出的函數(shù)型數(shù)據(jù)分析電弧模型的準確性和可行性，并基于功率模型與最小點燃曲線建立了電阻性電路本安能量判據(jù)。

2）當電源電壓參數(shù)為24 V≤≤48 V且電阻范圍為20W≤≤360W時，根據(jù)電阻性電路電弧放電三種形式將試驗數(shù)據(jù)分類，探究不同形式出現(xiàn)可能的電路參數(shù)條件。從電路正常工作電流角度分析可知，當電流值≤0.15 A或≥0.6 A時，電弧放電表征為功率前期上升；當正常工作電流值0.15 A＜＜0.6 A時，電弧放電表征為前期功率基本不變，后期迅速下降。但其他電路參數(shù)形式下的放電形式分類與正常工作電流關(guān)系仍需進一步探究。

基于函數(shù)型數(shù)據(jù)分析回歸算法建立電阻性電路電弧放電數(shù)學模型發(fā)現(xiàn)，電弧放電不同形式的放電條件規(guī)律有利于本質(zhì)安全電路的優(yōu)化設(shè)計。建立電阻電路的本安能量判據(jù)，有利于完善本質(zhì)安全非爆炸性評價方法。但這種本質(zhì)安全性能評估判據(jù)的使用需要大量試驗數(shù)據(jù)驗證作為支撐，后續(xù)還需要開展更詳細的試驗以驗證前述理論分析。

[1] 皇金鋒, 李林鴻, 任舒欣, 等. 考慮濾波電容等效串聯(lián)電阻的輸出本質(zhì)安全型Buck-Boost變換器分析與設(shè)計[J]. 電工技術(shù)學報, 2021, 36(8): 1658-1670. Huang Jinfeng, Li Linhong, Ren Shuxin, et al. Analysis and design of an intrinsically safe Buck-Boost converter on considering of the filter capacitor with equivalent series resistance[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(8): 1658-1670.

[2] 朱林, 劉樹林, 劉柏清, 等. 本質(zhì)安全低壓直流電路放電理論及數(shù)值研究綜述[J]. 工礦自動化, 2022, 48(8): 16-25. Zhu Lin, Liu Shulin, Liu Boqing, et al. Review of discharge theory and numerical research on intrinsically safe low voltage DC circuits[J]. Journal of Mine Automation, 2022, 48(8): 16-25.

[3] 柯拉夫欽克B C, 謝洛夫B N, 葉雷金A T, 等. 安全火花電路[M]. 張丙軍, 譯. 北京: 煤炭工業(yè)出版社, 1981.

[4] Uber C, Hilbert M, Felgner A, et al. Electrical discharges caused by opening contacts in an ignitable atmosphere - part I: analysis of electrical parameters at ignition limits[J]. Journal of Loss Prevention in the Process Industries, 2019, 61: 114-121.

[5] 孟慶海, 胡天祿, 牟龍華. 本質(zhì)安全電路低能電弧放電特性及參數(shù)[J]. 電工技術(shù)學報, 2000, 15(3): 28-30, 35. Meng Qinghai, Hu Tianlu, Mu Longhua. Low energy arc discharge characteristic and parameters of intrinsically safe circuits[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2000, 15(3): 28-30, 35.

[6] 趙永秀, 劉樹林, 馬一博. 爆炸性試驗電感電路分斷放電特性分析與建模[J]. 煤炭學報, 2015, 40(7): 1698-1704. Zhao Yongxiu, Liu Shulin, Ma Yibo. Analysis and modeling of inductor-disconnected-discharged chara-cteristics based on explosive test[J]. Journal of China Coal Society, 2015, 40(7): 1698-1704.

[7] 孟慶海, 王進己. 本質(zhì)安全電感電路電弧放電時間雙正態(tài)分布[J]. 電工技術(shù)學報, 2017, 32(2): 119-124. Meng Qinghai, Wang Jinji. Dual normal distribution of arc discharge time for inductive intrinsically safe circuits[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2017, 32(2): 119-124.

[8] 趙永秀, 劉樹林, 王瑤, 等. 安全火花試驗電極熱場致發(fā)射模型和溫度效應(yīng)的數(shù)值模擬研究[J]. 電工技術(shù)學報, 2019, 34(20): 4179-4187. Zhao Yongxiu, Liu Shulin, Wang Yao, et al. Research on numerical simulation of thermal field electron emission and temperature effect for safety spark test electrode[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(20): 4179-4187.

[9] 趙永秀, 張穎, 田江暉. 爆炸性環(huán)境電感分斷建弧機理及影響因素[J]. 高電壓技術(shù), 2022, 48(9): 3765-3775. Zhao Yongxiu, Zhang Ying, Tian Jianghui. Arcing mechanism and influencing factors on inductor- disconnected-discharge in explosive environment[J]. High Voltage Engineering, 2022, 48(9): 3765-3775.

[10] 康騫, 許春雨, 田慕琴, 等. 電勢電容電路短路火花放電影響因素分析[J]. 工礦自動化, 2020, 46(8): 38-43, 63. Kang Qian, Xu Chunyu, Tian Muqin, et al. Analysis of influencing factors of short-circuit spark discharge in electric potential capacitance circuit[J]. Industry and Mine Automation, 2020, 46(8): 38-43, 63.

[11] 王玉婷, 劉樹林, 馬一博, 等. 簡單電容電路最小點燃電壓曲線的數(shù)值化研究[J]. 電工技術(shù)學報, 2014, 29(增刊1): 345-350. Wang Yuting, Liu Shulin, Ma Yibo, et al. Research on digitization of the minimum ignition voltage curve of simple capacitive circuit[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2014, 29(S1): 345-350.

[12] 劉樹林, 鐘久明, 樊文斌, 等. 電容電路短路火花放電特性及其建模研究[J]. 煤炭學報, 2012, 37(12): 2123-2128. Liu Shulin, Zhong Jiuming, Fan Wenbin, et al. Short circuit discharge characteristics of the capacitive circuit and its mathematical model[J]. Journal of China Coal Society, 2012, 37(12): 2123-2128.

[13] 劉建華. 爆炸性氣體環(huán)境下本質(zhì)安全電路放電理論及非爆炸評價方法的研究[D]. 徐州: 中國礦業(yè)大學, 2008. Liu Jianhua. A study on discharge theory and non-explosion evaluating method of the intrinsically safe circuits for explosive atmospheres[D]. Xuzhou: China University of Mining and Technology, 2008.

[14] 趙永紅. 容性本安電路放電模型及放電特性分析[J]. 煤炭工程, 2021, 53(6): 172-175. Zhao Yonghong. Discharge model and characteristic analysis of capacitive intrinsic safety circuit[J]. Coal Engineering, 2021, 53(6): 172-175.

[15] 劉樹林, 于昌隆. IEC安全火花試驗裝置點燃因素研究[J]. 西安科技大學學報, 2023, 43(1): 167-174. Liu Shulin, Yu Changlong. Study on igniting factors of IEC safety spark test apparatus[J]. Journal of Xi’an University of Science and Technology, 2023, 43(1): 167-174.

[16] 宋璐雯, 劉樹林. 電極移動速度對電容短路火花放電特性的影響[J]. 西安科技大學學報, 2022, 42(4): 826-832. Song Luwen, Liu Shulin. Effect of electrode moving speed on the spark discharge characteristics of capacitor short circuit[J]. Journal of Xi’an University of Science and Technology, 2022, 42(4): 826-832.

[17] 王黨樹, 欒哲哲, 古東明, 等. 基于電荷等效法的電容短路放電微觀特性數(shù)值模擬研究[J]. 電工技術(shù)學報, 2021, 36(13): 2684-2696. Wang Dangshu, Luan Zhezhe, Gu Dongming, et al. Numerical simulation research on microscopic characteristics of capacitor short-circuit discharge based on charge equivalent method[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(13): 2684-2696.

[18] 劉建華, 王崇林, 姜建國. 直流電阻性本質(zhì)安全電路低能電弧放電分析[J]. 中國礦業(yè)大學學報, 2003, 32(4): 440-442, 451. Liu Jianhua, Wang Chonglin, Jiang Jianguo. Analysis of low-energy arc discharge of D.C. resistive intrinsically safe circuits[J]. Journal of China University of Mining & Technology, 2003, 32(4): 440-442, 451.

[19] 鞏泉役, 彭克, 陳羽, 等. 基于電弧隨機性和卷積網(wǎng)絡(luò)的交流串聯(lián)電弧故障識別方法[J]. 電力系統(tǒng)自動化, 2022, 46(24): 162-169. Gong Quanyi, Peng Ke, Chen Yu, et al. Identification method of AC series arc fault based on randomness of arc and convolutional network[J]. Automation of Electric Power Systems, 2022, 46(24): 162-169.

[20] 劉樹林, 郝雨蒙, 李艷, 等. 基于最大功率的本安Buck變換器設(shè)計方法[J]. 電工技術(shù)學報, 2021, 36(3): 542-551. Liu Shulin, Hao Yumeng, Li Yan, et al. Design methods of intrinsically safe Buck converter based on the maximum output power[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(3): 542-551.

[21] Baranowski J, Grobler-D?bska K, Kucharska E. Recognizing VSC DC cable fault types using Bayesian functional data depth[J]. Energies, 2021, 14(18): 5893.

[22] Guo Yi, Tierney S, Gao Junbin. Robust functional manifold clustering[J]. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 2021, 32(2): 777-787.

[23] 王英, 曹麗, 陳小強, 等. 考慮雙弓間距的雙弓網(wǎng)Habedank電弧數(shù)學模型研究[J]. 高壓電器, 2021, 57(11): 18-26. Wang Ying, Cao Li, Chen Xiaoqiang, et al. Research on Habedank arc mathematics model of double pantograph-catenary considering double pantographs interval[J]. High Voltage Apparatus, 2021, 57(11): 18-26.

[24] 郝莎, 徐建源, 林莘, 等. 基于隔離開關(guān)結(jié)構(gòu)和操作特性的電弧放電模型研究與應(yīng)用[J]. 高壓電器, 2022, 58(4): 131-136. Hao Sha, Xu Jianyuan, Lin Xin, et al. Research and application of arc discharge model based on the structure and operation characteristics of discon-nector[J]. High Voltage Apparatus, 2022, 58(4): 131-136.

[25] 國家市場監(jiān)督管理總局, 國家標準化管理委員會. 爆炸性環(huán)境第4部分：由本質(zhì)安全型“i”保護的設(shè)備: GB/T 3836.4—2021[S]. 北京: 中國標準出版社, 2021.

[26] 孟慶海, 牟龍華, 王崇林, 等. 本質(zhì)安全電路的功率判別式[J]. 中國礦業(yè)大學學報, 2004, 33(3): 292-294. Meng Qinghai, Mu Longhua, Wang Chonglin, et al. Electric power criterion of intrinsic safe circuits[J]. Journal of China University of Mining & Technology, 2004, 33(3): 292-294.

Arc Discharge Model of Resistive Intrinsically Safe Circuit Based on Functional Data Analysis Algorithm

Zhu Ran1Xu Liwen2Meng Qinghai1

（1. School of Electrical and Control Engineering North China University of Technology Beijing 100144 China 2. College of Science North China University of Technology Beijing 100144 China）

Different from the traditional inductive and capacitive intrinsically safe circuits, the resistive intrinsically safe circuit is difficult to describe accurately due to its three different discharge waveforms. The experimental waveform and theoretical analysis show that the arc of the resistive circuit has multi-dimensional characteristics, and there is a strong correlation between it and environmental factors. It is difficult to solve it directly by traditional modeling methods, which makes the intrinsic safety criterion of the resistive circuit lack a complete theoretical system, resulting in multiple accidents in the actual operating environment. In order to solve such problems, this paper proposes a discharge model based on functional data analysis regression algorithm on the basis of studying the arc discharge characteristic curve of resistive intrinsically safe circuit, and establishes the arc discharge energy criterion of resistive intrinsically safe circuit based on this model.

Firstly, the functional data analysis regression algorithm framework is constructed, and the mathematical models of arc discharge voltage and current are established respectively based on the three essential different discharge waveform characteristics of low energy arc discharge when the electrode of IEC spark test device is disconnected. Secondly, a power model independent of voltage and current model is proposed theoretically. Based on the power model, the energy criterion of resistive intrinsically safe circuit is supplemented. The model is simulated by Matlab software and a classification method of arc discharge waveform is proposed. Finally, a spark discharge test platform is built to verify the feasibility of the arc model and the accuracy of the prediction effect. The model does not require any restrictions on the frequency of data acquisition, and converts the dynamic function curve into 'original data', which has infinite dimensional spatial characteristics and reduces the error caused by the simplification of the formula in the derivation process. The comparison between the experimental data and the simulation results shows that under the experimental conditions carried out in this paper, at least 80% of the actual data of the three different discharge waveforms can be described by the model, which proves the feasibility and universality of the functional data analysis regression model. The evaluation of the prediction effect of the discharge model established by the functional data analysis regression algorithm shows that at least 84% of the actual data can be predicted by the arc voltage, current and power model under the test conditions in this paper. It solves the problem that the arc discharge waveform of resistive intrinsically safe circuit cannot be accurately described because of three types. In addition, the model is used to explore the circuit parameter conditions of three cases of arc discharge in resistive circuits. It is found that under the condition of the power supply voltage parameter of 24 V≤≤48 V and the resistance range of 20W≤≤360W, when the normal working current of the circuit is≤0.15 A or≥0.6 A, the arc discharge is characterized by an early increase in power; when the normal operating current value is 0.15 A＜＜0.6 A, the arc discharge is characterized by the initial power basically unchanged and the later rapid decline.

Through simulation and experimental results, the following conclusions are drawn: (1) The proposed functional data analysis arc model solves the problem that the arc discharge waveform of the resistive intrinsically safe circuit cannot be accurately described due to three types. (2) The proposed model uses the idea of functional data analysis to transform the dynamic function curves of different characteristics into 'original data' for analysis, which reduces the error caused by formula simplification. (3) Compared with the traditional model, the proposed model can predict the discharge arc voltage and current values at different discharge times, which solves the problem that the traditional model cannot explore the numerical solution.

Arc discharge mathematical model, intrinsic safety, functional data, energy criterion

國家社會科學基金重點資助項目（20BTJ046）。

2023-02-14

2023-04-22

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.230161

TD685; TM133

朱 冉 女，1999年生，碩士研究生，研究方向為電氣安全技術(shù)。E-mail：2602440779@qq.com

孟慶海 男，1986年生，研究員，研究方向為電氣安全技術(shù)。E-mail：mengqinghai@ncut.edu.cn（通信作者）

（編輯 李 冰）