張淑婷

（浙江省杭州市景匯中學）

一、緣起：單元起始課教學中的誤區(qū)分析

學習數(shù)學概念，是學好數(shù)學的基礎.對于數(shù)學三大核心領域之一的幾何學的學習，掌握圖形的概念和學習路徑對學生建立完整的幾何體系非常重要.三角形是初中階段重要的幾何圖形之一，研究三角形的過程可以激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，提升學生對數(shù)學的認識.三角形中的特例（等腰三角形，直角三角形）的地位往往也是特殊的，對特例的研究具有典型性和示范性.筆者以浙教版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“浙教版教材”）八年級上冊“等腰三角形”一課為例，通過教學設計和實踐，提出對單元起始課教學的一些思考.

在當前的起始課教學中，普遍存在以下兩點誤區(qū).

1.過于注重概念闡述，忽視概念的形成

教學中，有些教師過分地強調概念的敘述，沒有從數(shù)學內部把數(shù)學概念的形成、發(fā)展講清楚，導致學生對概念的理解模糊，學生“知其然，不知其所以然”，忽視了概念之間的聯(lián)系.

浙教版教材八年級上冊第二章“特殊三角形”主要研究等腰三角形和直角三角形，是第一章“三角形的初步知識”的延續(xù)和深化.從整體來看，這部分內容遵循從一般到特殊、從定性到定量的研究路徑.在單元整體觀念引領下，上好“等腰三角形”這一“特殊三角形”單元的起始課，為后續(xù)學習等腰三角形的性質和判定構建整體框架，也為研究直角三角形或其他幾何圖形起到引領和示范作用.

2.單純注重概念應用，忽視知識間的聯(lián)系

在單元起始課的教學中，教師通常采用“概念＋例題”的教學模式，使學生忽視了從問題到方法、結論之間的探索過程.

本節(jié)課研究的內容是等腰三角形的概念及其性質（軸對稱性），如果僅講解教材上的內容，解決教材中的例題，既不利于加深學生對等腰三角形及其衍生結構的理解，也不利于后續(xù)學習直角三角形、四邊形時對知識和方法進行遷移和聯(lián)系.因此，通過上好單元起始課提升學生對知識的整體建構能力是十分有必要的.

二、架構：單元整體觀念引領下的教學思路

1.教材內容分析

單元整體教學是根據(jù)系統(tǒng)論的整體性原則，將知識的一個單元視為一個整體，立足單元整體開展教學設計和實施.通過對教材內容重新整合、整體呈現(xiàn)，實現(xiàn)課堂教學效率的提高，體現(xiàn)數(shù)學知識之間的內在邏輯關系.通過分析人教版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）和浙教版教材，筆者發(fā)現(xiàn)兩者都將等腰三角形安排在軸對稱之后學習，意在借助軸對稱來研究等腰三角形的一些特殊性質.

人教版教材八年級上冊的編排中，等腰三角形是1個課時（定義、性質、判定的研究在1個課時內完成），等邊三角形是1 個課時.學生在學習等腰三角形的內容前已經(jīng)學習了直角三角形，因此可以類比直角三角形的研究思路，按照“定義—性質—判定”的思路研究等腰三角形.浙教版教材中，先學習等腰三角形，再學習直角三角形，因此等腰三角形的研究呈現(xiàn)了圖形特例研究的示范.浙教版教材中將等腰三角形內容設置了4 個課時，其中等腰三角形的性質分2 個課時（其中包含等邊三角形的內容）完成.學生收獲的知識可能是碎片化的，很難自主進行知識的聯(lián)系和方法的遷移.由此對教材內容進行分析、重組、整合，遵循“整體—局部—整體”的順序，強化知識之間的內在聯(lián)系，構建一個前后一致、邏輯連貫、遷移能力強的數(shù)學認知結構，讓學生形成圖形研究的思維系統(tǒng).

2.教學思路分析

本節(jié)起始課教學分為4 個階段（如圖1），每個階段對應本節(jié)課的教學環(huán)節(jié).

圖1

階段1：獲得概念.

學生已經(jīng)學習過三角形的初步知識，研究了三角形的相關要素（邊，角，重要線段），以及全等和軸對稱的相關知識.本節(jié)課是在研究了一般三角形的基礎上，將邊的大小關系特殊化引入的一類三角形——等腰三角形，是從一般到特殊的范例，對后續(xù)研究直角三角形或其他幾何圖形起到了一般觀念的引領作用.

階段2：運用概念.

在等腰三角形的定義和表示的學習過程中，讓學生聚焦等腰三角形中邊的相關問題，通過辨一辨、算一算、證一證三個環(huán)節(jié)讓學生理解等腰三角形的概念，其中包含了歸納推理思想，具體體現(xiàn)在解決與等腰三角形相關的證明題的解決過程中；在解決等腰三角形中邊的計算問題時，用到了分類討論和方程思想.

階段3：探索性質.

等腰三角形是反映對稱性最基本的平面封閉圖形，所以涉及對稱思想.八年級學生已經(jīng)學習了三角形、全等三角形和圖形的軸對稱.而等腰三角形具有軸對稱性，此性質的得出需要根據(jù)已有知識經(jīng)歷觀察和歸納的過程.在軸對稱性質的應用過程中，針對等腰三角形中線段間關系的問題，學生習慣用全等解決，若直接應用等腰三角形的軸對稱性解釋并表述，學生需要一個認識和熟練的過程.

階段4：梳理總結.

教師以問題串的形式與學生一起梳理本節(jié)課所學內容，讓學生進一步整體感知獲得幾何對象、研究幾何對象的過程，獲得研究幾何對象的“一般方法”，即“定義—性質—判定—應用”，為后續(xù)學習直角三角形或其他幾何圖形提供路徑和方法，體現(xiàn)了數(shù)學的整體性和連貫性.

三、實踐：指向學生發(fā)展的單元起始課教學

環(huán)節(jié)1：獲得概念.

問題1：（操作1）把一張長方形紙片沿圖2中的虛線裁剪，可以得到什么圖形？

圖2

追問1：在前面的章節(jié)，我們是怎樣來研究三角形的？

追問2：若將三角形的要素特殊化，又會有什么新的結論呢？

追問3：（操作2）把一張長方形紙片按照圖3中的虛線對折，再沿圖4 中的任意虛線裁剪，展開后能得什么到圖形？結合裁剪的過程來看，展開后的圖形形狀有什么特點？

圖3

圖4

追問4：（操作3）把一張長方形紙片沿圖5中的任意虛線裁剪，可以得到什么圖形？結合裁剪的過程來看，展開后的圖形形狀有什么特點？

圖5

師生活動：教師執(zhí)行操作1，學生回答得到了三角形，研究了它的要素——邊、角、重要線段，還研究了兩個三角形間的關系——全等.教師執(zhí)行操作2和操作3，引導學生從形狀的角度觀察后歸納：將一般三角形的邊、角特殊化后可以得到等腰三角形或直角三角形.從一般到特殊地獲得本節(jié)課的研究對象——等腰三角形.

【設計意圖】研究幾何對象，主要研究其形狀、大小、位置關系.在直觀裁剪長方形紙片的過程中，引導學生回顧研究三角形的基本思路是從它的要素著手，引領學生感受從一般到特殊的圖形研究路徑.

問題2：類比三角形的學習過程，我們可以怎樣研究等腰三角形？

追問1：回憶等腰三角形的概念，你能畫一個等腰三角形嗎？試在教材中找到等腰三角形中的邊、角的表示方式.

追問2：進一步理解等腰三角形的概念，你能用符號語言表示嗎？

追問3：再看等腰三角形的定義，主要研究的是什么？

師生活動：學生回憶三角形的研究過程，類比得出研究等腰三角形也要從它的要素（邊，角，重要線段）入手.接著，教師引導學生從等腰三角形的定義入手，用文字語言、圖形語言、符號語言對概念進行規(guī)范陳述，然后通過定義讓學生聚焦等腰三角形的要素之一——邊.

【設計意圖】獲得研究對象后，引導學生類比三角形的研究過程，規(guī)劃等腰三角形的研究方法，滲透類比思想，體現(xiàn)了數(shù)學學習的連貫性.

環(huán)節(jié)2：運用概念.

辨一辨：如圖6，在△ABC中，點D在邊AC上，AB=AC，AD=BD，則圖中有幾個等腰三角形？分別說出每個等腰三角形的腰、底邊和頂角.

圖6

【設計意圖】通過在等腰三角形中添加一條線段，讓學生對等腰三角形的定義進行辨析，考查學生是否認識等腰三角形，能否判斷等腰三角形.

算一算：若等腰三角形的兩邊分別為3和5，則它的周長是_______.

練習1：等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成15 和12 兩部分，求等腰三角形的底邊長.

師生活動：學生在學習單上完成“算一算”的解答，口述解答過程，并根據(jù)“算一算”積累的解題經(jīng)驗完成練習1.學生代表上臺講解解題過程.

【設計意圖】從“辨一辨”到“算一算”，體現(xiàn)了從定性到定量的研究路徑.“算一算”和練習1本質上是對等腰三角形定義中腰的位置的辨析，當腰的位置不確定時，需要分類討論.練習1 的解答還滲透了方程思想.

證一證：求證等腰三角形兩腰上的中線相等.

追問1：要證明一個命題是正確的，需要經(jīng)歷哪些步驟？

追問2：若將命題中的“中線”改為“高線”，結論還成立嗎？改為“角平分線”呢？

練習2：求證等腰三角形兩腰上的高線相等.

師生活動：師生一起回顧證明命題的步驟（畫圖—寫已知、求證—證明）.學生代表板演證明過程.然后教師對“證一證”的命題進行變式，讓學生在學習單上完成練習2 的證明，教師投屏展示學生的解答過程.

【設計意圖】對等腰三角形中與邊相關的問題進行推理證明，讓學生體會證明線段相等問題可以轉化為證明三角形全等來解決，體現(xiàn)了轉化思想.練習2 可以通過全等或面積法證明，讓學生感受可以從不同角度解決幾何問題.另外，角平分線的提出為研究等腰三角形的性質做了鋪墊.

環(huán)節(jié)3：探索性質.

問題3：通過“證一證”環(huán)節(jié)可以判斷圖7（BD和CE是等腰三角形ABC兩腰上的中線）和圖8（BD和CE是等腰三角形ABC兩腰上的高線）中的BD=CE.那么，在等腰三角形ABC的邊AC，AB上任意取點D，E，連接BD和CE（如圖9），是否都滿足BD=CE呢？

圖7

圖8

圖9

追問1：再次觀察圖7和圖8，它們有什么共性？

追問2：當點D，E取在什么位置時，BD=CE？

追問3：更一般地，如圖10，當點D，E在直線AC，AB上時，也有BD=CE嗎？

圖10

師生活動：學生在學習單上完成問題3 的探究，觀察發(fā)現(xiàn)在等腰三角形的兩腰上任意取點D，E時，不一定滿足BD=CE.由此猜想：當點D，E在特殊位置時才有結論BD=CE.接下來，教師提出系列追問，讓學生再次觀察、歸納得到保證對稱的條件是AE=AD或BE=CD.

【設計意圖】通過引導學生關注圖形的共性并用準確的語言進行描述，發(fā)展學生的幾何直觀和推理能力.

問題4：根據(jù)上面的觀察活動，能否歸納等腰三角形是什么圖形？它的對稱軸是什么？

追問1：如圖11，在等腰三角形ABC的邊AB，AC上取點E，D，使得AE=AD，連接DE，試問DE與BC有怎樣的位置關系？

圖11

追問2：利用等腰三角形的軸對稱性，可以發(fā)現(xiàn)等腰三角形中有許多相等的線段，那么是否有相等的角呢？

追問3：如圖12，把長方形卡紙沿對角線折疊，重合部分是什么圖形？

圖12

師生活動：學生總結等腰三角形是軸對稱圖形，具有軸對稱性.教師及時通過追問讓學生利用等腰三角形的性質解決問題并思考后續(xù)研究的方向.

【設計意圖】讓學生經(jīng)歷“觀察—發(fā)現(xiàn)—歸納”的過程得到等腰三角形的軸對稱性并運用新知解決問題，提升學生的推理能力和應用意識.同時，從單元整體的視角對等腰三角形部分接下來要學習的內容進行規(guī)劃和分析，培養(yǎng)學生主動建構知識框架的意識.

環(huán)節(jié)4：梳理總結.

教師與學生回顧本節(jié)課所學的主要內容，并提出以下問題.

（1）本節(jié)課我們主要研究的幾何對象是什么？

（2）我們是怎么想到要研究等腰三角形的？

（3）我們是怎樣來研究等腰三角形的？

（4）以后學習直角三角形或其他幾何圖形時可以怎樣研究？

師生活動：通過問題串引導學生回顧本節(jié)課的主要內容，總結涉及的思想方法，形成如圖13所示的知識框架.

圖13

四、反思：指向教師發(fā)展的單元起始課教學改進

課后，筆者與教研組教師進行了深入探討，發(fā)現(xiàn)在本節(jié)單元起始課的設計與實踐過程中，有以下幾個方面值得探索.

1.捕捉思維生成，促課堂深度

課堂中的“問”和“答”是師生對話的主要形式.教師的問題指向要明確，這會引導學生始終在數(shù)學思考中有發(fā)現(xiàn)和生成.教師要給予學生充分的思考和探究時間.對于學生的回答，教師都要給予回應，在活動體驗中逐漸滲透數(shù)學思想，必要時還可以借助信息技術手段豐富學生對幾何知識的感性認知.本節(jié)課中，還可以多提問有疑惑的學生，這樣更有利于引發(fā)學生的思維碰撞，使學生在交流中發(fā)現(xiàn)問題的本質，促進課堂教學的深度發(fā)展.

2.滲透整體觀念，促課堂廣度

問題解決的過程就是學生調用已有知識和經(jīng)驗解決新問題的過程，包括用更高的觀點看問題.反思提升的過程就是在知識和能力之間建立聯(lián)系的重要過程.本節(jié)課通過將一般三角形特殊化得到研究對象——等腰三角形，讓學生感受到研究對象的引入是自然而然的，體現(xiàn)了數(shù)學的整體性和連貫性.同時，教會學生研究幾何對象的一般方法.而研究過程模式化有利于學生學習遷移的發(fā)生，為后續(xù)學習直角三角形及其他幾何圖形提供路徑和方法.雖然研究對象在變，但研究方法是不變的，展現(xiàn)了課堂教學的廣度.

五、結束語

章建躍博士曾說，數(shù)學教師的基本任務是幫助學生把一個個具體知識理解到位并能用于解決問題.教師要不斷提高自己的教學基本技能，通過不斷學習和研究提高對教學內容的整體把握.而單元整體教學就是從單元整體角度讓學生學會發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，從而促進學生學會學習.