禹長(zhǎng)龍 李雙星 李靜 王菊芳

摘 要：為了拓展非線性量子差分方程共振邊值問題的基本理論，研究了一類無窮區(qū)間上非線性量子差分方程共振邊值問題。首先，通過構(gòu)造合適的Banach空間，定義Fredholm算子，計(jì)算其核域和值域；其次，定義其他恰當(dāng)?shù)乃阕?，并運(yùn)用Mawhin重合度理論，建立該問題解的存在性定理；再次，運(yùn)用反證法獲得該問題解的唯一性結(jié)果；最后，給出一個(gè)例子說明主要結(jié)果的有效性。結(jié)果表明，在非線性項(xiàng)滿足一定增長(zhǎng)的條件下，非線性量子差分方程共振邊值問題至少存在一個(gè)解。研究結(jié)果豐富了量子差分方程的可解性理論，為量子差分方程在數(shù)學(xué)、物理等領(lǐng)域的應(yīng)用提供了理論參考。

關(guān)鍵詞：非線性泛函分析；量子差分方程；Mawhin重合度理論；無窮區(qū)間；共振

中圖分類號(hào)：O175.7? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ?文章編號(hào)：1008-1542（2024）02-0168-08

Solvability of resonance problems for nonlinear q-difference equations on infinite intervals

YU Changlong1，2，LI Shuangxing1，LI Jing2，WANG Jufang1

（1.School of Sciences， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China;2.Interdisciplinary Research Institute， School of Mathematics， Statistics and Mechanics，Beijing University of Technology， Beijing 100124， China）

Abstract：In order to develop the basic theory of resonance boundary value problems for nonlinear quantum difference equations， a class of nonlinear quantum difference equation boundary value problems at resonance on infinite intervals was studied. Firstly， by constructing a suitable Banach space， the Fredholm operator was defined， and its kernel and value domains were obtained. Secondly， by defining other appropriate operators， and using Mawhin′s coincidence degree theory， the existence theorem of solutions to this problem was established. Thirdly， the uniqueness of the solution was obtained by means of proof by contradiction. Finally， an example was given to illustrate the validity of the main results. The results show that under certain growth conditions of nonlinear terms， the boundary value problems for nonlinear quantum difference equation at resonance has at least one solution. The research results enrich the solvability theory of quantum difference equations， and provide important theoretical basis for the application of quantum difference equations in mathematics， physics and other fields.

Keywords：nonlinear functional analysis; quantum difference equation; Mawhin′s coincidence theory; infinite intervals; resonance

量子微積分即q-微積分，是一種無極限的微積分，最早可以追溯到19世紀(jì)末EULER提出的q-指數(shù)函數(shù)和GAUSS對(duì)q-二項(xiàng)式公式的研究。1908年，JACKSON [1]首次給出了q-微分與q-積分的基本形式。與此同時(shí)，量子差分方程應(yīng)運(yùn)而生，并被廣泛應(yīng)用于核能物理、量子力學(xué)、相對(duì)論等領(lǐng)域。研究表明，線性q-差分方程的應(yīng)用[2-5]有著自身的局限性，相對(duì)而言，非線性q-差分方程能夠更加準(zhǔn)確地描述自然界中的某些現(xiàn)象。近年來，有限區(qū)間上非線性q-差分方程可解性理論的研究已經(jīng)獲得了許多有趣且重要的成果[6-10]。眾所周知，無窮區(qū)間上的邊值問題起源于非線性橢圓方程徑向解的研究，在應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用背景。由于無窮區(qū)間邊值問題的特殊性以及q-差分方程研究的復(fù)雜性，無窮區(qū)間上q-差分方程邊值問題的研究結(jié)果較少[11-13]。

共振也叫諧振，是指2個(gè)振動(dòng)頻率相同的物體，當(dāng)其中一個(gè)發(fā)生振動(dòng)時(shí)，另一個(gè)被引起振動(dòng)的物理現(xiàn)象。在實(shí)際問題中，共振現(xiàn)象都可以歸結(jié)為微分方程動(dòng)力系統(tǒng)。微分方程共振邊值問題是微分方程領(lǐng)域的一個(gè)重要研究課題，涉及到物理、工程和應(yīng)用數(shù)學(xué)等領(lǐng)域，具體表現(xiàn)在機(jī)械振動(dòng)、電路、聲學(xué)、建筑結(jié)構(gòu)、飛機(jī)、汽車、系統(tǒng)控制等方面，其研究主要集中在解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性等方面[14-18]。隨著人們對(duì)微分方程共振邊值問題的不斷探索，量子差分方程共振問題受到廣泛關(guān)注。2022年，YU等[19]利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論首次研究了非線性q-差分方程共振邊值問題解的存在性。值得注意的是，關(guān)于非線性q-差分方程共振問題的研究尚處在起步階段，尤其是關(guān)于無窮區(qū)間上q-差分方程共振問題的研究還未見報(bào)道?；谏鲜鲅芯楷F(xiàn)狀，本文研究一類無窮區(qū)間上非線性q-差分方程共振邊值問題

D2qu（t）=f（t，u（t），Dqu（t））， 0≤t<+∞，u（0）=u（σ）， limt→+∞D(zhuǎn)qu（t）=0（1）

解的存在性，其中f：［0，+∞）×R2→R是連續(xù)的，q∈（0，1）且σ∈（0，+∞）。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[3] 對(duì)任意的0

定義2[3] 函數(shù)f在區(qū)間［0，b］上q-積分定義為Iqf（x）=∫x0f（t）dqt=∑∞n=0x（1-q）qnf（xqn），特別地，I0qf（t）=f（t），Inqf（t）=IqIn-1qf（t），n∈N。顯然，DqIqf（t）=f（t）。如果f在t=0處連續(xù)，則IqDqf（t）=f（t）-f（0）。

引理1[20] 設(shè)0

1）∫x0f（t）Dqg（t）dqt=［f（t）g（t）］t=xt=0-∫x0Dqf（t）g（qt）dqt；

2）（xDq∫x0f（x，t）dqt）（x）=∫x0xDqf（x，t）dqt+f（qx，x）。引理2[21] 設(shè)0

設(shè)X和Y是實(shí)Banach空間，L：dom L?X→Y是一個(gè)零指標(biāo)的Fredholm算子，P：X→X和Q：Y→Y為連續(xù)投影算子，且滿足Im P=Ker L，Ker Q=Im L，X=Ker L∩Ker P，Y=Im L?Im Q。L|dom L∩Ker P：dom L∩Ker P→Im L是可逆的，逆算子記作Kp。

引理3[22] 令M?X。若滿足以下條件：

1）M中的所有函數(shù)一致有界；

2）M中的所有函數(shù)在［0，+∞）的任意緊區(qū)間上等度連續(xù)；

3）M中所有的函數(shù)等度收斂，即?ε>0，?T=T（ε）>0，?t>T，f∈M有|f（t）-f（+∞）|<ε，則M在X中是相對(duì)緊的。

定義3[23] 設(shè)Ω是X的有界開子集，算子N：X→Y，且滿足dom L∩Ω≠?，如果QN（Ω）有界，且KP（I-Q）N：Ω→X是緊的，那么稱N在Ω上是L-緊的。

引理4（Mawhin重合度理論[23] ） 設(shè)L是零指標(biāo)的Fredholm算子，并且N在Ω上是L-緊的。假設(shè)下列條件成立：

1）?（x，λ）∈［（dom LKer L）∩?Ω］×（0，1），Lx≠λNx，

2）?x∈Ker L∩?Ω，Nx?Im L，

3）deg（QN|Ker L，Ω∩Ker L，0）≠0，其中Q：Y→Y為投影算子，Im L=Ker Q，則Lx=Nx在dom L∩Ω上至少有1個(gè)解。

本文假設(shè)條件如下：

（H0）函數(shù)f：［0，+∞）×R2→R滿足Carathéodory條件，即?（u，v）∈R2，f（·，u，v）是可測(cè)的；對(duì)于幾乎所有的t∈［0，+∞），f（t，·，·）是連續(xù)的；?r>0，?Φr（t），tΦr（t）∈L1q［0，+∞），Φr（t）>0，使得當(dāng)max{|u|，|v|}≤r時(shí)，?t∈［0，+∞），有|f（t，u，v）|≤Φr（t）。

（H1） 存在非負(fù)函數(shù)a（t），b（t），c（t）∈L1q［0，+∞），滿足∫+∞0sa（s）dqs<+∞， ∫+∞0sb（s）dqs<+∞， ∫+∞0sc（s）dqs<+∞，使得t∈［0，+∞），?（u，v）∈R2，有|f（t，u，v）|≤a（t）|u|+b（t）|v|+c（t）。

（H2）存在常數(shù)A>0，?t∈［0，+∞），如果|u（t）|>A，則下列不等式之一成立：

u（t）∫+∞0G（qs）f（s，u（s），Dqu（s））dqs>0，（2）

u（t）∫+∞0G（qs）f（s，u（s），Dqu（s））dqs<0，（3）

其中G（qs）=qs， 0≤qs≤σ，σ， σ

（H3）存在非負(fù)函數(shù)l（t），h（t）∈L1q［0，+∞）滿足∫+∞0sl（s）dqs<+∞， ∫+∞0sh（s）dqs<+∞，使得t∈［0，+∞），（u1，v1），（u2，v2）∈R2，有|f（t，u1，v1）-f（t，u2，v2）|≤l（t）|u1-u2|+h（t）|v1-v2|。

（H4）若f（t，u1，v1）-f（t，u2，v2）有零點(diǎn)，則存在η>0，使得ui，vi∈R，i=1，2，有inft∈［0，+∞）{t：f（t，u1，v1）-f（t，u2，v2）=0}≤η。

（H5）存在k1>0，k2≥0，使得t∈［0，η］，（u1，v1），（u2，v2）∈R2，有|f（t，u1，v1）-f（t，u2，v2）|≥k1|u1-u2|-k2|v1-v2|。

2 解的存在性和唯一性

定義空間X和Y：

X={u∈C1q［0，+∞），limt→+∞u（t）<+∞，limt→+∞D(zhuǎn)qu（t）<+∞}，Y=L1q［0，+∞）∩C［0，+∞），且空間的范數(shù)分別為‖u‖X=max{‖u‖∞，‖Dqu‖∞}和‖y‖Y=max{‖y‖∞，‖y‖Δ，‖y‖1}。其中‖·‖∞=supt∈［0，+∞）|·|，‖y‖Δ=∫+∞0|y（s）|dqs，‖y‖1=∫+∞0s|y（s）|dqs。易證（X，‖·‖X）和（Y，‖·‖Y）為Banach空間。

定義線性算子L：dom LX→Y和非線性算子N：X→Y為L(zhǎng)u（t）=D2qu（t）， Nu（t）=f（t，u（t）， Dqu（t）），t∈［0，+∞），其中dom L={u∈X∩C2q［0，+∞），u（0）=u（σ），limt→+∞D(zhuǎn)qu（t）=0}，則問題（1）等價(jià)于Lu=Nu。

引理5 定義線性連續(xù)算子P：X→X和Q：Y→Y，Pu（t）=u（0）， Qy（t）=ω（t）∫+∞0G（qs）y（s）dqs，t∈［0，+∞），則L是一個(gè)零指標(biāo)的Fredholm算子，其中ω∈Y，ω>0且∫+∞0G（qs）ω（s）dqs=1。

證明： 顯然Ker L=u∈X：u（t）=c∈R，t∈［0，+∞）。

首先，計(jì)算Im L。取y∈Im L，則存在u∈dom L，使得Lu=y。對(duì)方程兩邊從t到+∞進(jìn)行q-積分得Dqu（+∞）-Dqu（t）=∫+∞ty（τ）dqτ。

由邊值條件limt→+∞D(zhuǎn)qu（t）=0得Dqu（t）=-∫+∞ty（τ）dqτ。

對(duì)上式從0到t進(jìn)行q-積分得u（t）=u（0）-∫t0∫+∞τy（s）dqsdqτ。

根據(jù)引理2，有u（t）=u（0）-∫+∞0ty（s）dqs+∫t0（t-qs）y（s）dqs。

又由u（0）=u（σ）得∫+∞0G（qs）y（s）dqs=0。

因此，Im L{y∈Y：∫+∞0G（qs）y（s）dqs=0}。

若y∈Y且滿足∫+∞0G（qs）y（s）dqs=0，令u（t）=u（0）-∫t0∫+∞τy（s）dqsdqτ，易證u∈dom L，Lu=y，即y∈Im L。因此Im L={y∈Y：∫+∞0G（qs）y（s）dqs=0}。

其次，證明L是一個(gè)零指標(biāo)的Fredholm算子。

任取u∈X，顯然Im P=Ker L，P2u（t）=P（Pu（t））=Pu（0）=u（0）=Pu（t），因此X=Ker LKer P。另一方面，對(duì)y∈Y，由∫+∞0G（qs）ω（s）dqs=1，可得

Q2y（t）=Q（Qy（t））=ω（t）∫+∞0G（qs）Qy（s）dqs=ω（t）∫+∞0G（qs）ω（s）∫+∞0G（qτ）y（τ）dqτdqs=ω（t）∫+∞0G（qτ）y（τ）dqτ=Qy（t）。

即Q是一個(gè)冪等算子，故有Y=Im LIm Q，于是

dimKer L=dimIm Q=co dimIm L=1，這意味著L是一個(gè)零指標(biāo)的Fredholm算子。證畢。

引理6 定義線性算子KP：Im L→dom L∩Ker P，KPy（t）=-∫+∞0G（t，qs）y（s）dqs，則KP=（L|dom L∩Ker P）-1，其中G（t，qs）=[JB（{]qs， 0≤qs≤t，t， t

證明： 任取u∈dom L∩Ker P，由于u∈Ker P，則u（0）=0。

由引理1的1）和定義1得

KPLu（t）=-∫+∞0G（t，qs）D2qu（s）dqs=-（∫t0qsD2qu（s）dqs+∫+∞ttD2qu（s）dqs）=-qtDqu（t）+u（qt）-u（0）+tDqu（t）=（t-qt）u（t）-u（qt）t-qt+u（qt）-u（0）=u（t）-u（0）=u（t）。

對(duì)y∈Im L，由引理1的2）得

LKPy（t）=D2q（-∫+∞0G（t，qs）y（s）dqs）=DqDq（-（∫t0（qs）y（s）dqs+∫+∞tty（s）dqs））=Dq（-qty（t））-DqDq（∫+∞0ty（s）dqs-∫t0ty（s）dqs）=Dq（-qty（t））+Dq∫t0y（s）dqs+Dq（qty（t））=y（t）。

因此，KP是L|dom L∩Ker P的逆算子，即KP=（L|dom L∩Ker P）-1。證畢。

引理7 設(shè)條件（H0）成立，若Ω是X的有界開子集，且dom L∩Ω≠，則N在Ω上是L-緊的。

證明： 首先，證明QN（Ω有界。

令ΩX是一個(gè)有界開子集，對(duì)u∈Ω，r>0，使得‖u‖X≤r。由條件（H0）知，對(duì)于任意的u∈Ω，有‖QNu‖Y=max{‖QNu‖∞，‖QNu‖Δ，‖QNu‖1}≤‖Φr‖1·‖ω‖Y<+∞，因此，QN（Ω）是有界的。

其次，證明KP（I-Q）NΩ）是緊的。

1）任取u∈Ω，有|KP（I-Q）Nu（t）|≤∫+∞0G（t，qs）|f（s，u（s），Dqu（s））-ω（s）∫+∞0G（qτ）f（τ，u（τ），Dqu（τ））dqτ|dqs≤‖Φr‖1（1+‖ω‖1）<+∞，|DqKP（I-Q）Nu（t）|≤∫+∞t|f（s，u（s），Dqu（s））-ω（s）∫+∞0G（qτ）f（τ，u（τ），Dqu（τ））dqτ|dqs≤‖Φ‖Δ+‖ω‖Δ‖Φr‖1<+∞。

故KP（I-Q）N（[AKΩ-〗）是有界的。

2）對(duì)于任意的0

|KP（I-Q）Nu（t2）-KP（I-Q）Nu（t1）|≤∫+∞0|G（t2，qs）-G（t1，qs）|（Φr（s）+ω（s）‖Φr‖1）dqs→0，t1→t2，DqKP（I-Q）Nu（t2）-DqKP（I-Q）Nu（t1）|≤∫t2t1（Φr（s）+ω（s）‖Φr‖1）dqs→0，t1→t2，故KP（I-Q）N（Ω）是等度連續(xù)的。

3）事實(shí)上，

|KP（I-Q）Nu（t）-KP（I-Q）Nu（+∞）|≤∫+∞0|qs-G（t，qs）|（Φr（s）+ω（s）‖Φr‖1）dqs→0，t→+∞，|DqKP（I-Q）Nu（t）-DqKP（I-Q）Nu（+∞）|≤∫+∞t（Φr（s）+ω（s）‖Φr‖1）dqs→0，t→+∞，因此，KP（I-Q）N（Ω）是等度收斂的。

于是，N在Ω上是L-緊的。證畢。

為了方便計(jì)算，記Λ=‖a‖1+‖b‖Δ，Λ1=（η+k2k1）‖l‖Δ+‖l‖1+‖h‖Δ。

定理1 假設(shè)條件（H0）-（H2）成立，若Λ<1，則q-差分方程共振問題（1）至少存在1個(gè)解。

證明： 首先，令Ω1={u|u∈dom LKer L：Lu=λNu，λ∈（0，1）}，證明Ω1有界。

任取u∈Ω1，則Nu∈Im L，∫+∞0G（qs）f（s，u（s），Dqu（s））dqs=0。由（H2）知，存在t0∈［0，+∞），使得|u（t0）|≤A，因此，

|u（t）|≤|u（t0）|+|∫tt0Dqu（s）dqs|≤A+t‖Dqu‖∞。（4）

對(duì)于任意的u∈Ω1，有Lu=λNu，可得

u（t）=u（0）-λ∫+∞0G（t，qs）f（s，u（s），Dqu（s））dqs，（5）

Dqu（t）=-λ∫+∞tf（s，u（s），Dqu（s））dqs，（6）

由式（4）、式（6）和條件（H1）得

|Dqu（t）|≤∫+∞0|f（s，u（s），Dqu（s））|dqs≤∫+∞0（a（s）|u（s）|+b（s）|Dqu（s）|+c（s））dqs≤??∫+∞0{a（s）［A+s‖Dqu‖∞］+b（s）‖Dqu‖∞+c（s）}dqs≤Λ‖Dqu‖∞+A‖a‖Δ+‖c‖Δ，故有‖Dqu‖∞≤A‖a‖Δ+‖c‖Δ1-Λ：=Z1。

又由式（4）、式（5）和條件（H1）得

|u（t）≤|u（0）|+∫+∞0s|f（s，u（s），Dqu（s））|dqs≤A+∫+∞0s（a（s）|u（s）|+b（s）|Dqu（s）|+c（s））dqs≤‖a‖1‖u‖∞+‖b‖1‖Dqu‖∞+A+‖c‖1≤‖a‖1‖u‖∞+‖b‖1Z1+A+‖c‖1，因此‖u‖∞≤‖b‖1Z1+A+‖c‖11-‖a‖1：=Z2，所以，‖u‖X=max{Z1，Z2}，即Ω1有界。

其次，令Ω2={u∈Ker L，Nu∈Im L}，證明Ω2有界。

對(duì)于u∈Ω2，有u（t）≡c，c∈R和∫+∞0G（qs）f（s，c，0）=0。由（H2）知，|u（t）|≡|c|≤A。因此，Ω2有界。

再次，令Ω3={u∈Ker L，λJu+（1-λ）θQNu=0，λ∈［0，1］}，證明Ω3有界，其中J：Ker L→Im Q是線性同構(gòu)映射，J（c）=cω（t），c∈R，t∈［0，+∞）。如果式（2）成立，則θ=1；如果式（3）成立，則θ=-1。

任取u∈Ω3，則u（t）≡c且λc=-（1-λ）θ∫+∞0G（qs）f（s，c，0）dqs。如果λ=1，則c=0；如果λ=0，由（H2）知，|c|≤A；對(duì)于λ∈（0，1），有λc2=-（1-λ）θc∫+∞0G（qs）f（s，c，0）dqs，如果|c|>A，由條件（H2）得，λc2<0，矛盾。因此，Ω3是有界的。

最后，令Ω[AKΩ-]1∪[AKΩ-]2∪[AKΩ-]3∪{0}為X中的有界開集，由引理7知，N是L-緊的。由Ω1有界和Ω2有界得：

1）（u，λ）∈［（dom LKer L）∩Ω］×（0，1），Lu≠λNu；

2）u∈Ker L∩Ω，NuIm L。

定義H（u，λ）=λJu+（1-λ）θQNu，由Ω3有界知，對(duì)u∈Ker L∩Ω，有H（u，λ）≠0。由度的同倫不變性得deg（QN∣Ker L，Ω∩Ker L，0）=deg（θH（·，0），Ω∩Ker L，0）=deg（θH（·，1），Ω∩KerL，0）=deg（θI，Ω∩Ker L，0）≠0。于是，由引理4可得共振邊值問題（1）至少存在1個(gè)解。證畢。

定理2 設(shè)條件（H0）-（H5）成立，如果max{Λ，Λ1}<1，則q-差分方程共振問題（1）存在唯一解。

證明： 由定理1知邊值問題（1）至少存在1個(gè)解。假設(shè)u1，u2∈X是邊值問題（1）的2個(gè)解，則

u1（t）-u2（t）=u1（0）-u2（0）-∫+∞0G（t，qs）［f（s，u1（s），Dqu1（s））-f（t，u2（s），Dqu2（s））］dqs，（7）

∫+∞0G（qs）［f（s，u1（s），Dqu1（s））-f（s，u2（s），Dqu2（s））］dqs=0。（8）

由式（8）知，f（t，u1，Dqu1）-f（t，u2，Dqu2）有零點(diǎn)，故存在ζ∈［0，+∞），使得f（ζ，u1（ζ），Dqu1（ζ））-f（ζ，u2（ζ），Dqu2（ζ））=0。

由條件（H4）和（H5）得，

ζ≤η和|u1（ζ）-u2（ζ）|≤k2k1‖Dqu1-Dqu2‖∞，因此|u1（t）-u2（t）|≤（k2k1+η+t）‖Dqu1-Dqu2‖∞。（9）

由式（9）和條件（H3）得

|Dqu1（t）-Dqu2（t）|≤[WB]∫+∞0|f（s，u1（s），Dqu1（s））-f（s，u2（s），Dqu2（s））|dqs≤??????∫+∞0（l（s）|u1（s）-u2（s）|+h（s）|Dqu1（s）-Dqu2（s）|）dqs≤∫+∞0{l（s）［（k2k1+η+s）‖Dqu1-Dqu2‖∞］+h（s）‖Dqu1-Dqu2‖∞}dqs≤Λ1‖Dqu1-Dqu2‖∞，又因?yàn)棣?<1，所以‖Dqu1-Dqu2‖∞=0。

由式（7）、式（9）和條件（H3）得

|u1（t）-u2（t）|=|u1（0）-u2（0）|+∫+∞0G（t，qs）|f（s，u1（s），Dqu1（s））-f（t，u2（s），Dqu2（s））|dqs≤（k2k1+η）‖Dqu1-Dqu2‖∞+‖l‖1‖u1-u2‖∞+‖h‖1‖Dqu1-Dqu2‖∞=‖l‖1‖u1-u2‖∞，這意味著‖u1-u2‖∞=0，因此u1=u2，即共振邊值問題（1）有唯一解。證畢。

3 應(yīng)用舉例

考慮下面非線性q-差分方程共振問題

D2qu（t）=14E-qtq+14E-qtqu（t）+18E-qtqsin（Dqu（t））， 0≤t<+∞，u（0）=u（σ）， limt→+∞D(zhuǎn)qu（t）=0，（10）

其中，E-qtq是q-類指數(shù)函數(shù)，見參考文獻(xiàn)[3]。

這里f（t，u（t），Dqu（t））=14E-qtqu（t）+18E-qtqsin（Dqu（t）），令a（t）=14E-qtq，b（t）=18E-qtq，c（t）=14E-qtq。顯然，|f（t，u（t），Dqu（t）|≤a（t）|u（t）|+b（t）|Dqu（t）|+c（t）。

取A=1，對(duì)t∈［0，+∞），如果u（t）>A，則f（t，u（t），Dqu（t））>18E-qtq（2A+1），通過計(jì)算易得u（t）∫+∞0G（qs）f（s，u（s），Dqu（s））dqs>0；如果u（t）<-A，有f（t，u（t），Dqu（t））<18E-qtq（3-2A），則u（t）∫+∞0G（qs）f（s，u（s），Dqu（s））dqs<0。

故條件（H0）-（H2）成立。又‖a‖1=14，‖b‖Δ=18，所以Λ=38<1。因此，根據(jù)定理1可知，q-差分方程共振問題（10）至少有1個(gè)解。

4 結(jié) 語

本文運(yùn)用Mawhin重合度理論，研究了一類無窮區(qū)間上非線性量子差分方程共振邊值問題解的存在性和唯一性，所得結(jié)果在一定程度上填補(bǔ)了該領(lǐng)域研究的空白，豐富了量子差分方程的可解性理論，為量子差分方程在力學(xué)、量子理論、控制理論等方面的應(yīng)用提供了理論參考。

但是，本文僅考慮了q-差分方程共振邊值問題Lu=Nu中L是線性算子且σ∈（0，+∞）的情況，不具有一般性。因此，在未來的研究中，將對(duì)L是非線性算子或者σ=+∞的情況作進(jìn)一步探討，同時(shí)從研究的廣度上，計(jì)劃研究高階量子差分方程共振問題、分?jǐn)?shù)階量子差分方程共振問題以及量子差分耦合系統(tǒng)共振問題等的可解性理論，拓展量子差分方程共振問題的數(shù)值計(jì)算方法，進(jìn)一步探索量子差分方程共振問題的實(shí)際應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)/References：

［1］JACKSON F H. On q-functions and a certain difference operator[J]. Earth and Environmental Science Transactions of the Royal Society of Edinburgh， 1908， 46（2）： 253-281.

［2］ CARMICHAEL R D. The general theory of linear q-difference equations［J］. American Journal of Mathematics， 1912， 34（2）： 147-168.

［3］ KAC V， CHEUNG P. Quantum Calculus［M］. New York： Springer， 2002.

［4］ ABRAMOV S A， RYABENKO A A. Linearq-difference equations depending on a parameter［J］. Journal of Symbolic Computation， 2013， 49： 65-77.

［5］ BASHEER S F A， MARABEH M A A. Fuzzy Caputoq-fractional linear equations on the time scale Tq［J］. Chaos， Solitons & Fractals， 2023.DOI：10.1016/j.chaos.2023.114180.

［6］ YANG L. Existence of positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional q-difference equation［J］. Applied Mathematics， 2013， 4（10）： 1450-1454.

［7］ JIANG M， ZHONG S M. Existence of solutions for nonlinear fractional q-difference equations with Riemann-Liouville type q-derivatives［J］. Journal of Applied Mathematics and Computing， 2015， 47（1/2）： 429-459.

［8］ ZHAI C B， REN J. The unique solution for a fractional q-difference equation with three-point boundary conditions［J］. Indagationes Mathematicae， 2018， 29（3）： 948-961.

［9］ YU C L， LI J， WANG J F. Existence and uniqueness criteria for nonlinear quantum difference equations with p-Laplacian［J］. AIMs Mathematics， 2022， 7（6）： 10439-10453.

［10］LACHOURI A， SAMEI M E， ARDJOUNI A. Existence and stability analysis for a class of fractional pantograph q-difference equations with nonlocal boundary conditions［J］. Bound Value Problems， 2023（2）： 1-20.

［11］[ZK（]禹長(zhǎng)龍， 張博雅， 韓獲德. 無窮區(qū)間上二階三點(diǎn)q-差分方程邊值問題解的存在性［J］.河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)， 2019， 40（6）： 469-476.

YU Changlong， ZHANG Boya， HAN Huode. Existence of solutions to boundary value problems of second-order three-point q-difference equations on infinite intervals［J］. Journal of Hebei University of Science and Technology， 2019， 40（6）： 469-476.

［12］MA K K， LI X H， SUN S R. Boundary value problems of fractional q-difference equations on the half-line［J］. Bound Value Problems， 2019（46）： 1-16.

［13］BOUTIARA A， BENBACHIR M， KAABAR M K A， et al. Explicit iteration and unbounded solutions for fractional q-difference equations with boundary conditions on an infinite interval［J］. Journal of Inequalities and Applications， 2022（29）： 1-27.

［14］LIAN H R， PANG H H， GE W G. Solvability for second-order three-point boundary value problems at resonance on a half-line［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2008， 337（2）： 1171-1181.

［15］LIU Z B， LIU W B， ZHANG W. Solvability for fractional p-Laplacian differential equation with integral boundary conditions at resonance on infinite interval［J］. Mathematica Applicata， 2020， 33（1）： 12-24.

［16］IATIME K， GUEDDA L， DJEBAL S. System of fractional boundary value problems atresonance［J］. Fractional Calculus and Applied Analysis， 2023， 26（3）： 1359-1383.

［17］DJAFRI S， MOUSSAOUI T， OREGAN D. Existence of solutions for a nonlocal boundary value problem at resonance on the half-line［J］. Differential Equations and Dynamical Systems， 2023， 31（1）： 69-80.

［18］DOMOSHNITSKY A， SRIVASTAVA S N， PADHI S. Existence of solutions for a higher order Riemann-Liouville fractional differential equation by Mawhins coincidence degree theory［J］. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2023， 46（11）： 12018-12034.

［19］YU C L， LI S X， LI J， et al. Triple-positive solutions for a nonlinear singular fractional q-difference equation at resonance［J］. Fractal and Fractional， 2022， 6（11）：689.

［20］MA J C， YANG J.Existence of solutions for multi-point boundary value problem of fractional q-difference equation［J］. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations， 2011（92）： 1-10.

［21］[ZK（]韓獲德. 幾類量子差分方程局部非局部問題的可解性［D］. 石家莊：河北科技大學(xué)， 2020.

HAN Huode. Solvability of Some Classes of Quantum Difference Equations for Local Non-local Problems［D］. Shijiazhuang： Hebei University of Science and Technology， 2020.

［22］AGARWAL R P， OREGAN D. Infinite Interval Problems for Differential， Difference and Integral Equations［M］. Netherlands： Kluwer Academic Publisher，2001.

［23］MAWHIN J.Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems［M］.Providence： American Mathmeatical Society， 1979.

責(zé)任編輯：張士瑩

基金項(xiàng)目：國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（2022YFB3806000）；國(guó)家自然科學(xué)基金（12272011）；河北省自然科學(xué)基金（A2015208114）；河北省教育廳基金（QN2017063）

第一作者簡(jiǎn)介：禹長(zhǎng)龍（1978-），男，河北陽原人，副教授，博士研究生，主要從事微分方程邊值問題、量子差分方程邊值問題以及數(shù)值計(jì)算等方面的研究。E-mail：changlongyu@126.com禹長(zhǎng)龍，李雙星，李靜，等.無窮區(qū)間上非線性q-差分方程共振問題的可解性［J］.河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2024，45（2）：168-175.YU Changlong，LI Shuangxing，LI Jing，et al.Solvability of resonance problems for nonlinear q-difference equations on infinite intervals［J］.Journal of Hebei University of Science and Technology，2024，45（2）：168-175.