劉東旭　晁倍倍　王穎　劉延革

【摘 要】文章圍繞“發(fā)展學(xué)生量感”的素養(yǎng)目標(biāo)，運(yùn)用北京小學(xué)數(shù)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)開(kāi)發(fā)的“單元教學(xué)路徑”（第二版本），對(duì)“角的度量”單元進(jìn)行了整體設(shè)計(jì)。本單元的設(shè)計(jì)重點(diǎn)體現(xiàn)課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，一方面體現(xiàn)聚焦度量本質(zhì)的一致性（度量對(duì)象、度量單位、度量方法）；另一方面體現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知的階段性，即學(xué)生在長(zhǎng)度度量和面積度量的基礎(chǔ)上，在角的度量中初步形成度量的知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而為體積度量的自主遷移學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng) 單元教學(xué) 度量結(jié)構(gòu)

在圖形長(zhǎng)度、周長(zhǎng)與面積的學(xué)習(xí)中，學(xué)生兩次經(jīng)歷“辨別度量屬性、確立度量單位、使用工具測(cè)量或公式計(jì)算、得到度量結(jié)果（解決問(wèn)題）”的認(rèn)知過(guò)程?！敖堑亩攘俊眴卧獙W(xué)習(xí)是學(xué)生在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深化對(duì)度量要素（對(duì)象、單位、工具與結(jié)果）的理解，感受知識(shí)之間的一致性，完善度量的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并能自主遷移到體積等度量?jī)?nèi)容的學(xué)習(xí)中。文章基于北京小學(xué)數(shù)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)開(kāi)發(fā)單元整體設(shè)計(jì)框架 ，對(duì)“角的度量”單元設(shè)計(jì)的重要環(huán)節(jié)與教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行闡述。

一、單元具體概念及主題

（一）教材分析

“角的度量”單元內(nèi)容包括角的度量、角的分類(lèi)與畫(huà)角，對(duì)比人教版、北師大版和北京版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，我們發(fā)現(xiàn)：

1.在比較中明確度量對(duì)象

度量刻畫(huà)的是事物屬性的“大小”，教學(xué)時(shí)需要設(shè)計(jì)活動(dòng)幫助學(xué)生體會(huì)事物可以被測(cè)的屬性。人教版數(shù)學(xué)教材中創(chuàng)設(shè)了兩個(gè)角的大小比較情境，相較于其他兩個(gè)版本，我們認(rèn)為學(xué)生會(huì)在“比較”中更加關(guān)注“比哪里”，更能突出度量對(duì)象的屬性。

2.在交流中統(tǒng)一度量單位

度量單位的產(chǎn)生和發(fā)展經(jīng)歷從多元到統(tǒng)一、由粗略到精細(xì)的過(guò)程，北師大版數(shù)學(xué)教材引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“非標(biāo)準(zhǔn)單位—標(biāo)準(zhǔn)單位—細(xì)化單位—統(tǒng)一單位”的過(guò)程。學(xué)生經(jīng)歷“角的度量單位是小角”的探索過(guò)程，然后創(chuàng)造或選擇合適的度量單位來(lái)進(jìn)行量化，通過(guò)對(duì)比和交流最終統(tǒng)一度量單位，更加有助于感悟“度量單位”產(chǎn)生的意義。用非標(biāo)準(zhǔn)單位測(cè)量不僅能夠讓學(xué)生體會(huì)單位或標(biāo)準(zhǔn)的作用，感受統(tǒng)一單位的必要性，還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性和遷移能力。

3.在動(dòng)態(tài)中理解量角器的構(gòu)造原理

量角器是度量單位的集合，理解其構(gòu)造原理是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。我們借鑒北師大版數(shù)學(xué)教材中的活動(dòng)，將10°和30°作為標(biāo)準(zhǔn)小角，學(xué)生通過(guò)數(shù)一數(shù)、估一估、畫(huà)一畫(huà)和剪一剪，經(jīng)歷由“一個(gè)單位”的標(biāo)準(zhǔn)延伸至“幾個(gè)單位”的累加，感受到量角的一般方法是統(tǒng)一小角的不斷累積。因此，我們創(chuàng)設(shè)用“單位”量角不方便的情境，引導(dǎo)學(xué)生遷移用直尺測(cè)量長(zhǎng)度的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而在創(chuàng)造量角器的過(guò)程中理解其構(gòu)造原理。

4.在應(yīng)用中體會(huì)工具的價(jià)值

三個(gè)版本的教材都呈現(xiàn)了豐富的量角和畫(huà)角活動(dòng)，但缺乏接近生活的現(xiàn)實(shí)情境。教學(xué)中，我們認(rèn)為要注重將量角、畫(huà)角與生活實(shí)際相結(jié)合，同時(shí)提供多元的量角工具，深化學(xué)生對(duì)工具價(jià)值的感悟。此外，新課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)“估測(cè)”對(duì)發(fā)展量感的價(jià)值，教學(xué)中需關(guān)注“估”與“測(cè)”的有機(jī)融合。

（二）單元具體概念及學(xué)習(xí)主題

基于上述分析，結(jié)合“圖形與幾何”領(lǐng)域的核心概念，我們歸納了四個(gè)“單元具體概念”，并將本單元學(xué)習(xí)主題定位為“形成度量結(jié)構(gòu) 發(fā)展學(xué)生量感和應(yīng)用意識(shí)”。

具體概念一：角的度量是對(duì)角的兩條邊張開(kāi)大小的刻畫(huà)。

具體概念二：量角的一般方法是統(tǒng)一小角的不斷累積；將多個(gè)小角組合在一起產(chǎn)生了量角器，使得測(cè)量更加方便。

具體概念三：根據(jù)實(shí)際情況選取量角和畫(huà)角的方法和工具。

具體概念四：在上述活動(dòng)中，豐富學(xué)生的度量經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的量感和應(yīng)用意識(shí)。

二、學(xué)情調(diào)研及單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

在上述分析的基礎(chǔ)上，我們對(duì)北京某校52名四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行調(diào)研。

（一）學(xué)情調(diào)研

1.調(diào)研題目及調(diào)研目的

（1）請(qǐng)你量一量下面這個(gè)角有多大。

①你打算量哪里？請(qǐng)先在圖中標(biāo)出來(lái)。

②你選擇的工具是_____，測(cè)量的結(jié)果是_____。

目的：了解學(xué)生是否明確量哪里以及是否清楚用什么量角。

（2）請(qǐng)你用量角器畫(huà)一個(gè)35°的角，說(shuō)一說(shuō)你是怎么畫(huà)的。

目的：了解學(xué)生是否能遷移量角經(jīng)驗(yàn)，用量角器畫(huà)角。

2.調(diào)研結(jié)果

（1）學(xué)生對(duì)“量哪里”存在認(rèn)知偏差。

明確度量對(duì)象是學(xué)習(xí)度量的前提，調(diào)研結(jié)果發(fā)現(xiàn)：46.7%的學(xué)生量邊的長(zhǎng)度，53.3%的學(xué)生量開(kāi)口的位置。由此可見(jiàn)，近一半的學(xué)生不知道量角要“量哪里”。為了更準(zhǔn)確地了解情況，我們對(duì)量邊的21名學(xué)生進(jìn)行追蹤調(diào)研（如圖1），發(fā)現(xiàn)有11名學(xué)生關(guān)注角的開(kāi)口大?。ㄒ?jiàn)表1）。因此，我們認(rèn)為在比較活動(dòng)中，學(xué)生會(huì)更加清楚角的大小指哪里。

（2）學(xué)生對(duì)“用什么量”缺少直接經(jīng)驗(yàn)。

對(duì)度量工具的選擇，77.8%的學(xué)生用直尺，6.8%的學(xué)生用三角尺。結(jié)合訪談，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)為“三角尺上有角”，他們意識(shí)到要用同屬性的物體測(cè)量，但并不清楚具體的量角工具。15.5%的學(xué)生選擇量角器，其中1名學(xué)生能準(zhǔn)確測(cè)量，但并不清楚為什么要這么量。因此，教學(xué)中需要讓學(xué)生經(jīng)歷量角器產(chǎn)生的過(guò)程，加深對(duì)度量工具的認(rèn)識(shí)。

（3）學(xué)生對(duì)“為什么要這么量”認(rèn)識(shí)不到位。

通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在使用量角器時(shí)，主要出現(xiàn)了以下錯(cuò)誤：一是將角的頂點(diǎn)與量角器的一端重合；二是用量角器曲邊上的“刻度線”表示角的張口大小，緣于測(cè)量長(zhǎng)度的經(jīng)驗(yàn)所帶來(lái)的負(fù)遷移。在以往教學(xué)中我們同樣發(fā)現(xiàn)學(xué)生機(jī)械套用“二合一看”的步驟，當(dāng)測(cè)量?jī)A斜擺放的角時(shí)正確率低，讀數(shù)時(shí)混淆量角器兩圈的刻度等。因此，理解“為什么要這么量”，即理解量角器的構(gòu)造原理是關(guān)鍵。

（4）部分學(xué)生不能溝通畫(huà)角與量角間的聯(lián)系。

表2結(jié)果表明：42%的學(xué)生可以遷移量角的經(jīng)驗(yàn)來(lái)畫(huà)角，47%的學(xué)生由于對(duì)量角器認(rèn)識(shí)不徹底而遷移出錯(cuò)。因此，量角的教學(xué)著力點(diǎn)需進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)度量核心要素的認(rèn)識(shí)，畫(huà)角過(guò)程中需要打通與量角的聯(lián)系，找到方法之間的本質(zhì)聯(lián)系。

（二）單元學(xué)習(xí)目標(biāo)及結(jié)果表現(xiàn)

在單元具體概念的指導(dǎo)下和學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)分析的基礎(chǔ)上，本單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)結(jié)果表現(xiàn)具體見(jiàn)表3。在結(jié)果表現(xiàn)中，第1～7條對(duì)應(yīng)知能目標(biāo)，第8～9條對(duì)應(yīng)理解目標(biāo)，第10～11條對(duì)應(yīng)情感目標(biāo)，第12條對(duì)應(yīng)遷移目標(biāo)。

三、關(guān)鍵問(wèn)題及學(xué)習(xí)任務(wù)

基于“角的度量”單元具體概念和學(xué)情調(diào)研結(jié)果，緊緊圍繞“發(fā)展學(xué)生量感”的素養(yǎng)目標(biāo)，我們形成了本單元學(xué)生需要思考的關(guān)鍵問(wèn)題，設(shè)計(jì)了本單元的學(xué)習(xí)任務(wù)序列。（如圖2）

上述關(guān)鍵問(wèn)題1指向具體概念1，4，通過(guò)對(duì)比兩個(gè)角的大小，幫助學(xué)生明確角的度量是對(duì)角的兩條邊張開(kāi)大小的刻畫(huà)。關(guān)鍵問(wèn)題2指向具體概念2，3，4，通過(guò)自主探究測(cè)量角的大小的方法，形成關(guān)于度量單位和度量方法的理解；通過(guò)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)單位的細(xì)分，產(chǎn)生統(tǒng)一單位和工具的需求。關(guān)鍵問(wèn)題3指向具體概念2，3，4，經(jīng)歷用三角尺、量角器等不同工具畫(huà)角的過(guò)程，體會(huì)量角器畫(huà)角的簡(jiǎn)潔，積累度量的方法和經(jīng)驗(yàn)。在此基礎(chǔ)上，提出關(guān)鍵問(wèn)題4，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步思考度量的核心要素，能遷移這些經(jīng)驗(yàn)和方法測(cè)量其他物體，發(fā)展學(xué)生的量感。圍繞著單元關(guān)鍵問(wèn)題，形成學(xué)習(xí)任務(wù)序列，共有11項(xiàng)任務(wù)，規(guī)劃為四個(gè)課時(shí)，其中最后一課時(shí)的任務(wù)是在原有課時(shí)上增加的。通過(guò)這些系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)任務(wù)，引領(lǐng)學(xué)生逐步增強(qiáng)探究意識(shí)，構(gòu)建度量知識(shí)脈絡(luò)，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維。

四、學(xué)習(xí)任務(wù)具體說(shuō)明

在表4學(xué)習(xí)任務(wù)中，任務(wù)1，2通過(guò)比較和初步測(cè)量，幫助學(xué)生明確度量對(duì)象并確定用同屬性物體測(cè)量角；任務(wù)3給學(xué)生提供了豐富的學(xué)具，在不斷累積單位中產(chǎn)生統(tǒng)一單位的需求；任務(wù)5通過(guò)用1°小角來(lái)測(cè)量角的大小，感受到用單位量角的麻煩以及工具產(chǎn)生的必要性；任務(wù)11引領(lǐng)學(xué)生梳理度量相關(guān)的知識(shí)，除圖形與幾何領(lǐng)域外，還包括溫度、質(zhì)量、時(shí)間等度量，整體思考度量活動(dòng)的內(nèi)在一致性，深化對(duì)度量本質(zhì)的理解。

五、單元學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

單元學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)實(shí)施不是一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)事件，而是教—學(xué)—評(píng)一體的有序?qū)嵺`過(guò)程，在實(shí)施過(guò)程中要貫徹“以評(píng)促改”的理念。為評(píng)價(jià)學(xué)生能否遷移研究角的度量的經(jīng)驗(yàn)和方法，自主研究新的關(guān)于度量的問(wèn)題，我們?cè)O(shè)計(jì)了這樣的評(píng)估任務(wù)（如圖3），并制定了相應(yīng)的評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)（見(jiàn)表5）。

生活中很多物體都可以測(cè)量，圖中是王老師晨跑的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，請(qǐng)你選擇圖中的一個(gè)事物，從度量的角度進(jìn)行研究

六、單元教學(xué)反思

基于大概念統(tǒng)領(lǐng)，圍繞著“發(fā)展學(xué)生的量感”的素養(yǎng)目標(biāo)，本單元的設(shè)計(jì)從理解度量本質(zhì)入手，致力于貫通度量學(xué)習(xí)的一致性，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的自主遷移。通過(guò)本單元的實(shí)踐與反思，我們對(duì)量感的培養(yǎng)策略有了更深入的認(rèn)識(shí)，主要體現(xiàn)在：

第一，開(kāi)展以“比較”為中心的數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生經(jīng)歷從直接比較到間接比較再到運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)單位比較的過(guò)程，充分發(fā)展對(duì)“數(shù)量”的感知；第二，強(qiáng)化“度量單位”的產(chǎn)生與意義，學(xué)生結(jié)合具體情境識(shí)別度量對(duì)象的屬性，并“創(chuàng)造”或選擇合適的度量單位來(lái)進(jìn)行量化；第三，關(guān)注度量工具的結(jié)構(gòu)與價(jià)值，在建構(gòu)量角器的過(guò)程中理解原理，體會(huì)測(cè)量的本質(zhì)；第四，通過(guò)“估測(cè)”促進(jìn)對(duì)量的感知，創(chuàng)設(shè)生活情境，給予學(xué)生開(kāi)展估測(cè)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，加強(qiáng)對(duì)量的深度體驗(yàn)。此外，本單元的設(shè)計(jì)因?yàn)橹R(shí)本身的特點(diǎn)，比如度量單位只有1°，不需要借助公式推理轉(zhuǎn)化等，缺乏對(duì)量感培養(yǎng)更完整和細(xì)致的研究?？傊扛械呐囵B(yǎng)越來(lái)越被研究者們重視，其真正落地生根還需要在實(shí)踐中不斷反思和總結(jié)。

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注：本文系北京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃一般課題“運(yùn)用大觀念發(fā)展兒童數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的實(shí)踐探索”（課題編號(hào)：CDDB2020140）研究成果。