理想氣體與液柱類問題的處理方法探究

摘 要：高中物理熱學板塊中有一類問題，是玻璃管內利用水銀柱封閉一部分或幾部分氣體，改變外部環(huán)境，判斷氣體體積變大還是變小，或者判斷水銀柱的液面升高還是降低.解決這類問題，如果方法不對，那會相當麻煩.本文將總結歸納解決這類問題的基本方法，并通過變式，尋找解決這類問題的共性.

關鍵詞：液柱；氣柱；理想氣體；假設歸謬法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）04-0130-03

高中物理中的熱學問題，與力學知識有很大的關聯(lián)，近幾年常常出現(xiàn)在高考計算題第一題的位置.很多學生力學問題解決起來得心應手，但是碰到熱學問題由于研究對象選擇不明確，或者方法不對，導致做起來比較吃力.下面以玻璃管中的水銀柱和理想氣體類問題為例，簡單歸納一下解決這類題目的基本方法.

1 單液柱、單氣柱問題

指玻璃管內有一段水銀柱，一段被封閉氣體.

例1 如圖1所示，玻璃管開口向下豎直放置，管內用水銀柱封閉一定質量的理想氣體.在玻璃管繞頂端緩慢轉到虛線所示位置的過程中，管內封閉氣體的體積怎么變？

分析 設大氣壓強為p0，水銀柱長度為h，水銀密度為ρ，則管內氣體的初始壓強p1＝p0-ρgh.當玻璃管繞頂端緩慢轉過θ角的過程中，封閉氣體的壓強p2＝p0-ρghcosθ，易知p2不斷增加. 由p1V1=p2V2得：V2=P1V1/P2，因此封閉氣體的體積是減小的.

變式1 如果玻璃管逆時針轉過90°、150°，氣體的體積怎么變？

分析 即使該玻璃管轉動角度更大一些，關系式p2＝p0-ρghcosθ依然成立. 轉過90°時，cos90°=0，p2＝p0，可求得封閉氣體體積減?。晦D過角度超過90°時，cosθ為負值，則封閉氣體壓強p2＝p0-ρghcosθ將大于大氣壓強，氣體體積依然減小. 因此解決例1的方法，可以推廣到玻璃管在豎直面內轉動180°的任何情況.

變式2 如果該玻璃管呈豎直狀并向上加速，那么管內封閉氣體的體積怎么變？

分析：由于封閉在管內的氣體質量一般不計，因此在試管加速、減速中，就要以水銀柱為研究對象. 水銀柱受到向下的重力、封閉氣體對它的壓力以及向上的大氣壓力. 初始狀態(tài)時系統(tǒng)靜止，易知：mg+p1S=p0S. 向上加速時，p0S-（mg+p1S）=ma，由于水銀柱的質量不變，大氣壓不變，故封閉氣體的壓強肯定要減小，由p1V1=p2V2得：封閉氣體體積增大.

變式3 如果該玻璃管及管內水銀一起向下做自由落體運動，那么穩(wěn)定后封閉氣體的體積如何變化？

分析 變式2玻璃管向上加速，我們得到的結論是封閉氣體體積增大；那么玻璃管做自由落體運動，也就是向下加速，我們可以反推出封閉氣體的體積減小.也可以這樣分析：當系統(tǒng)做自由落體運動時，無論是玻璃管還是水銀柱，向下的加速度都是g，水銀柱的重力將產生向下的加速度g，此時如果上、下兩部分氣體對水銀柱的壓力不相等，那么水銀柱的加速度將不等于g，與事實不符. 因此水銀柱上方被封閉氣體的壓強應該等于大氣壓p0，由p1V1=p0V2可得：V2減小.

例1及3個變式，讓學生體會解決這類問題要怎樣選擇研究對象.當系統(tǒng)有加速度時，就要先對水銀柱運用牛頓定律，得出其受力情況，轉換到氣體的壓強，然后再對封閉氣體運用氣體實驗定律解決問題.

2 單液柱、雙氣柱問題

指玻璃管內有一段水銀柱，兩段被封閉氣體.

例2 如圖2所示，粗細均勻、兩端封閉、豎直

放置的內壁光滑的玻璃管內有一段長為 h 的水銀柱，將管內氣體分為兩部分，它們的溫度相同.若使兩部分氣體同時升高相同的溫度，試判斷圖中l(wèi)1、l2和h分別怎么變化？

分析 盡管絕大多數物體都有熱脹冷縮的現(xiàn)象，但是如果有氣體存在，固體、液體的脹縮效應一般是忽略不計的，所以水銀柱的長度h不變.由分析可知：兩部分氣體的壓強、體積會相互影響，但是l1+l2的總長度不變；且下面空氣柱壓強大于上面空氣柱壓強，即p1＞p2. 由于題中只要求定性分析，無需定量計算，我們采用假設歸謬法.

以下面長度為l1的空氣柱為研究對象：設初始時它的壓強為p1，假設升高一定的溫度ΔT后它的體積不變，壓強增加ΔP1，則：P1/T1=P1+ΔP1/T1+ΔT=ΔP1/ΔT，得ΔP1=ΔT/T1P1；同理可得：ΔP2=ΔT/T2P2.

由于兩部分氣體的初始溫度相同，且升高相同的溫度，所以根據p1＞p2得Δp1＞Δp2，故水銀柱會向上移動，初始假設被推翻，同時問題也得到解決.

變式1 如圖3所示，水平放置的玻璃管內，一段長為 h 的水銀柱，將管內氣體分為a和b兩部分，它們的溫度相同.若使兩部分氣體同時升高相同的溫度，試判斷圖中兩部分氣柱的長度分別怎么變化？

分析 因為玻璃管水平放置，可知pa=pb.以a部分氣體為研究對象，假設升高一定的溫度ΔT后它的體積不變，由Pa/Ta=ΔPa/ΔT得：ΔPa=ΔT/TaPa，同理可得ΔPb=ΔT/TbPb，因為a、b兩部分氣體初始溫度相同，且升高相同的溫度，故Δpa=Δpb，因此水銀柱不移動，la和lb也都不變.

變式2 如果玻璃管水平放置，a端初始溫度為300 K，b端初始溫度為400 K，若使兩部分氣體同時升高相同的溫度，則圖中l(wèi)a和lb分別怎么變化？

分析 因為玻璃管水平放置，則pa=pb. 還是以a部分氣體為研究對象，假設升高一定的溫度ΔT后它的體積不變，由Pa/Ta=ΔPa/ΔT得：ΔPa=ΔT/TaPa，同理可得ΔPb=ΔT/TbPb，因為Ta＜Tb，所以Δpa＞Δpb，因此la變大，lb變小.

例2及2個變式，讓學生歸納出解決這一類題目的基本方法：假設歸謬法.

如果將直玻璃管換成U型管，題目看起來好像變了，但解決問題的方法還是差不多.

例3 如圖4所示，兩端封閉的U形玻璃管中裝有水銀，并在上端分別封有一定質量理想氣體A和B，溫度相同，現(xiàn)將管放在冰水混合物中使兩段氣體同時下降相同溫度，則A和B兩部分氣柱的體積將怎樣變化？

分析 題目雖然變了，但是屬于換湯不換藥，解題方法與例2類似. 因為A側液面低于B側液面，故pA＞pB.以A氣體為研究對象，假設降低溫度ΔT后它的體積不變，壓強減小ΔPA，則：：PA/TA = PA-ΔPA/TA-ΔT = ΔPA/ΔT，得ΔPA=ΔT/TAPA；同理可得：ΔPB=ΔT/TBPB，所以ΔpA＞ΔpB，A氣柱壓強減小的多，故A液面上升，A氣柱體積減小，B氣柱體積增加.

可見，單液柱、雙氣柱問題，我們采用假設法，假設體積不變，由氣體實驗定律得出兩部分氣柱壓強的變化量的大小關系，便可以進一步判斷氣柱的體積變化情況.

例2和例3有共同點：兩段氣柱加水銀柱的總長度不變，在此前提下，當溫度變化時，求兩段氣柱的體積變化情況. 采用的方法是假設體積不變，利用氣體實驗定律得到壓強的增加量Δp的表達式，利用兩部分氣體Δp大小關系去分析氣體體積是否變化. 下面這個問題看起來差不多，但分析起來卻要復雜得多.

例4 如圖5所示，內壁光滑、上端封閉的玻璃管，下端豎直插在水銀槽里，管內有長度分別為l1和l2的兩段理想氣體被一小段水銀柱分開，外界溫度不變，大氣壓為p0，將玻璃管慢慢地向上提起一小段距離時，管內氣柱l1和l2的長度將怎樣變化？

分析 設上端空氣柱壓強為p1，水銀的密度為ρ，水銀柱的長度為h，下端空氣柱壓強為p2，則p1+ρgh=p2，又因為玻璃管內外液面相平，因此p2=p0.當玻璃管向上提起一小段距離Δh時，假設l1和l2都不變，那試管內液面也將隨之升高Δh，如圖6所示. 這就會得出p1和p2都不變，那么p2+ρgΔh＞p0，試管內升高的液柱是不能平衡的，假設不成立. 那么有沒有可能試管內外液面相平，兩段氣柱的長度都變大一些，就像圖7一樣？

由于兩段氣柱的體積都增加了一些，導致它們的壓強分別減小為p1′、p2′，p1′+ρgh=p2′的關系可以滿足，但是p2′肯定不會和p0相等，那么試管內外液面相平也就不成立了. 綜上，我們可以得出結論：試管內的水銀液面應該稍稍比水銀槽中的液面高出一些，而兩段氣柱l1和l2都將變大一些［1］.

變式 若管內兩段氣柱l1=l2，那么在玻璃管稍稍向上提起一小段后，這兩段氣柱長度的增加量哪個更大一些？

分析 以氣柱l1為研究對象，由p1l1S=（p1-Δp）l1′S，則Δl1=l1′-l1=Δp/p1-Δpl1，因為上下兩段空氣柱的壓強差為定值，故它們在體積增大過程中，Δp也為定值，同理可得：Δl2=l2′-l2=Δp/p2-Δpl2，因為p1Δl2，即上面這段空氣柱長度增加更多一些.

3 結束語

熱學問題變化很多，在講解此類問題時，如果就題論題，會讓學生覺得無所適從.適當歸納，同類型問題以變式訓練呈現(xiàn)，會讓學生覺得思路清晰許多.

參考文獻：

［1］ 沈克琦.高中物理學②熱學[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2015.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡介：劉東新（1978-），男，江蘇省常州人，本科，中學高級教師，從事高中物理教學研究.