汪珊珊
線性規(guī)劃問題是高考的必考內(nèi)容和熱點之一,主要考查在線性約束條件下的函數(shù)最值問題以及應(yīng)用線性規(guī)劃的方法解決一些實際問題;內(nèi)容涉及到了所有題型,其中選擇題和填空題的分值占6~8分,解答題中分值高達(dá)10~15分,其重要性可見一斑.所以,無論是在平時的學(xué)習(xí)還是高考備考中,我們都應(yīng)該注重學(xué)習(xí)和掌握線性規(guī)劃知識,強(qiáng)化解題訓(xùn)練,熟知常見題型及解題方法,這樣才能在考場上應(yīng)對自如地獲取高分,不斷提升自身的數(shù)學(xué)綜合能力.現(xiàn)將線性規(guī)劃常見的題型及解題的思路與方法歸納如下.
1以數(shù)形結(jié)合思想為指導(dǎo),解決函數(shù)問題
例1(2022年高考浙江卷)若x,y滿足約束條件x-2≥0,2x+y-7≤0,x-y-2≤0,
則z=3x+4y的最大值是().
A.20
B.18
C.13
D.6
解析:畫出不等式組對應(yīng)的可行域,如圖1所示.
當(dāng)動直線3x+4y-z=0過點A時,z有最大值.
由x=2,2x+y-7=0,可得x=2,y=3,
則A(2,3).
故當(dāng)x=2,y=3時,
zmax=3×2+4×3=18.
故選:B.
思路與方法:本題運用數(shù)形結(jié)合思想,采用了圖解法求最值,先在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域,然后平行移動直線z=3x+4y即可求出最大值.
例2(2022年重慶市仿真試題)變量x,y滿足約束條件x+2y≥3,7x+10y≥17,x≥0,y≥0,求z=3x+5y的最小值.
解析:畫出約束條件表示的點(x,y)的可行域,如圖2所示的陰影部分(包括邊界直線).作直線l:3x+5y=0,把直線l向右上方平行移至l1的位置時,直線經(jīng)過可行域上的點M,此時,l1:3x+5y-z=0的縱截距最小,則z=3x+5y取得最小值.由方程組x+2y=3,7x+10y=17,解得M(1,1).故當(dāng)x=1,y=1時,z的最小值為8.
思路與方法:本題根據(jù)已知的約束條件先在直角坐標(biāo)平面上作圖(畫出可行域和直線),然后把直線l向右上方平行移到l1,再通過解方程組得到點M的坐標(biāo),最后求出最小值.
2轉(zhuǎn)化不規(guī)則圖形,利用公式求面積
例3(2023年安徽省蕪湖市第二次診斷試題)已知不等式組2x+y-6≥0,x+y-3≤0,y≤2.求該不等式組表示的平面區(qū)域的面積.
解析:根據(jù)所給的不等式組作出可行域,如圖3所示.由圖3可知,△ABC的面積即為所求.易得
S梯形OMBC=12×(2+3)×2=5,S梯形OMAC=12×(1+3)×2=4.
所以S△ABC=S梯形OMBC-S梯形OMAC=5-4=1.
思路與方法:本題中的可行域是三角形,而這個不規(guī)則的三角形面積很難直接求解,于是將它看作梯形OMBC的一部分,利用梯形OMBC與梯形OMAC的面積之差即可得到△ABC的面積.這是把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來解決的思路.
例4(2022年安徽師大附中模擬題)如果a≥0,b≥0,且當(dāng)x≥0,y≥0,x+y≤1時,恒有ax+by≤1,求以a,b為坐標(biāo)的點P(a,b)所構(gòu)成的平面區(qū)域的面積.
解析:設(shè)z=ax+by,根據(jù)題意可知,想要ax+by≤1恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)z=ax+by的最大值小于或等于1,z的最大值只能在平面區(qū)域內(nèi)的A(1,0),O,B(0,1)三點處取得,因此只需要A,O,B三點的坐標(biāo)都滿足不等式ax+by≤1,即0≤a≤1,0≤b≤1時,則點P(a,b)構(gòu)成的平面區(qū)域是邊長為1的正方形,故面積是1.
思路與方法:本題中由于存在字母系數(shù),很多學(xué)生都感到一時無從下手,這時就需要運用轉(zhuǎn)化的思想,把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的正方形面積問題來解決.
3建立對應(yīng)關(guān)系式,求參數(shù)的取值或范圍
例5(2022年浙江杭州二中測試題)若實數(shù)x,y滿足不等式組x+3y-3≥0,2x-y-3≤0,x-my+1≥0,且x+y的最大值為9,則實數(shù)m的值為().
A.-2
B.-1
C.1
D.2
解析:因為直線x-my+1=0過定點(-1,0),根據(jù)x+y=z取最大值及另外兩個線性不等式大致作出可行域(如圖4所示),則平移直線x+y=0可知,z應(yīng)在點A處取最大值9.
由x+y=9,2x-y=3,解得x=4,y=5.
又因為點A(4,5)在直線x-my+1=0上,所以m=1.
故選:C.
思路與方法:本題屬于線性問題中含有參數(shù),要求參數(shù)的取值問題.首先確定可行域,然后結(jié)合題意尋找符合條件的最優(yōu)解,建立相對應(yīng)的關(guān)系式(方程組)即可獲解.
4用線性規(guī)劃解決實際問題
例6(2022年安徽省蕪湖市一中檢測卷)某百貨公司倉庫A存有貨物12t,倉庫B存有貨物8t,現(xiàn)按7t,8t和5t把貨物分別調(diào)運給甲、乙、丙三個商場.從倉庫A運貨物到商場甲、乙、丙,運費分別為8元/t、6元/t、9元/t;從倉庫B運貨物到商場甲、乙、丙,運費分別為3元/t、4元/t、5元/t.問應(yīng)如何安排調(diào)運方案,才能使得從兩個倉庫運貨物到三個商場的總運費最少?
解析:(1)模型建立.設(shè)倉庫A運給甲、乙商場的貨物分別為xt,yt,則由表1可知倉庫A運給丙商場的貨物分別(12-x-y)t,從而倉庫B運給甲、乙、丙商場的貨物分別為(7-x)t,(8-y)t,(x+y-7)t,于是總運費為
z=8x+6y+9(12x-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x+y-7)
=x-2y+126.
所以得到的數(shù)學(xué)模型為:求z=x-2y+126在約束條件12-x-y≥0,7-x≥0,8-y≥0,x+y-7≥0,x≥0,y≥0,即x+y≤12,0≤x≤7,0≤y≤8,x+y≥7下的最小值.
(2)模型求解.作出上述不等式組表示的平面區(qū)域,即可行域,如圖5所示.
作出直線l:x-2y=0,把直線l平行移動,顯然當(dāng)直線l移動到過點A(0,8)時,在可行域內(nèi)z=x-2y+126取得最小值zmin=0-2×8+126=110,則x=0,y=8時,總運費最少.
(3)模型應(yīng)用.安排的調(diào)運方案如下:
倉庫A運給甲、乙、丙商場的貨物分別為0t,8t,4t,倉庫B運給甲、乙、丙商場的貨物分別為7t,0t,1t,此時,可使得從兩個倉庫運貨物到三個商場的總運費最少.
思路與方法:本題屬于實際問題中給定一項任務(wù),問怎樣統(tǒng)籌安排,使完成這項任務(wù)耗費的人力、物力資源量最小的問題.解答這類問題的主要思路是運用轉(zhuǎn)化思想,通過設(shè)元,寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù),將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的線性規(guī)劃問題來解決.
例7(2022年天津市大港區(qū)模擬試題)某公司計劃今年內(nèi)同時出售電子琴和洗衣機(jī),由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大,有多少就能銷售多少,因此該公司要根據(jù)實際情況(如資金、勞動力等)確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量,以使得總利潤達(dá)到最大.已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制因素的是資金和勞動力,通過調(diào)查,得到這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表2.
(如圖6中陰影部分內(nèi)的整點).令z=0,作直線l:6x+8y=0,當(dāng)平行移動直線l過可行域內(nèi)的點A時,z=6x+8y能夠取得最大值.由方程組30x+20y=300,5x+10y=110,得x=4,y=9.
將A(4,9)代入z=6x+8y,得
zmax=6×4+8×9=96.
所以當(dāng)月供應(yīng)量為電子琴4架、洗衣機(jī)9臺時,公司可獲得最大利潤是96百元.
思路與方法:本題是給定一定的人力、物力資源,問怎樣運用這些資源,使完成的任務(wù)量最大,收到的效益或利潤最大.解答這類問題時,首先要認(rèn)真審題,明確約束條件中有無等號,未知數(shù)是否有限制等;其次是寫出線性約束條件及目標(biāo)函數(shù),然后作出可行域,在可行域內(nèi)求出最優(yōu)解;最后將求解出來的結(jié)論反饋到具體的實例中,設(shè)計出最佳方案.
綜上所述,線性規(guī)劃問題在實際生產(chǎn)和生活中應(yīng)用十分廣泛,解決線性規(guī)劃問題的基本方法是圖解法,它是數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想以及函數(shù)思想與方法的具體體現(xiàn).靈活運用線性規(guī)劃知識,可將一些抽象的、不熟悉的、難度較大的問題化為具體的、熟悉的、較簡單的問題來解決;學(xué)會并掌握這些解題思路與方法,能夠幫助我們快速、準(zhǔn)確地找到解決問題的突破口,有助于不斷提高數(shù)學(xué)綜合解題能力.