吳雨霞 董曉麗 邱毅

2022年數學新高考Ⅰ卷第12題是關于原函數與導函數的“奇偶性”“對稱性”的關系，以及函數圖象變換和函數周期性的問題.題目綜合性強，難度大.在人教版高中數學新教材中都能看到本題的影子.例如，人教A版高中數學新教材必修第一冊第87頁“拓廣探索”第13題及第214頁“拓廣探索”第19題.人教A版高中數學新教材選擇性必修第二冊第5章第3節(jié)的節(jié)引言說明利用導數能更精確地研究函數的性質.教材中用導數研究函數的單調性，而奇偶性.對稱性與周期性也是函數的重要內容，但教材中對于如何用導數研究函數的奇偶性和周期性并未提及.本文中對原函數與導函數的“奇偶性”“對稱性”的關系及函數的周期性的相關結論統(tǒng)一進行證明，期望在教學過程中，教師能充分利用及深度挖掘教材中的題目，培養(yǎng)學生的直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng).

1試題呈現

（2022年數學新高考Ⅰ卷第12題）已知函數f（x）及其導函數f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）.若f32－2x，g（2+x）均為偶函數，則（）.

A.f（0）=0

B.g－12=0

C.f（－1）=f（4）

D.g（－1）=g（2）

2教材探源

題1（人教A版高中數學必修一第87頁第13題）我們知道，函數y=f（x）的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f（x）為奇函數，有同學發(fā)現可以將其推廣為：函數y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f（x+a）－b為奇函數.

（1）求函數f（x）=x3－3x2圖象的對稱中心；

（2）類比上述推廣結論，寫出“函數y=f（x）的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f（x）為偶函數”的一個推廣結論.

題2（人教A版高中數學必修一第214頁第19題）容易知道，正弦函數y=sinx是奇函數，正弦曲線關于原點對稱，即原點是正弦曲線的對稱中心.除原點外，正弦曲線還有其他對稱中心嗎？如果有，那么對稱中心的坐標是什么？另外，正弦曲線是軸對稱圖形嗎？如果是，那么對稱軸的方程是什么？你能用已經學過的正弦函數性質解釋上述現象嗎？對余弦函數和正切函數，討論上述同樣的問題.

題1將奇函數圖象關于原點對稱的結論進行推廣，即奇函數是函數圖象中心對稱的一種特殊函數，并要求學生類比奇函數的推廣結論寫出偶函數的推廣結論，旨在培養(yǎng)學生的直觀想象與邏輯推理核心素養(yǎng).題2探究正弦函數圖象的對稱軸、對稱中心，而正弦函數是典型的周期函數，因此正弦函數的圖象是探索函數圖象對稱性與周期性的良好載體.在學習導函數之后可以發(fā)現正弦函數的導函數是余弦函數，從而說明可以從導數的角度研究函數圖象的對稱性.

3問題剖析

對于上述高考題，由圖象變換可知，g（x）與f（x）的圖象分別關于直線x=2與直線x=32對稱，從選項中可以猜到需要探究g（x）與f（x）的周期性.由于g（x）為f（x）的導函數，因此需要尋找導函數與原函數對稱性之間的關系.根據導函數的學習，學生可能有一個猜想：奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數.在實際的教學過程中，學生往往在猜想后，有的教師說結論是正確的，但并未證明，有的教師是不知如何證明.以下我們從奇函數與偶函數的導函數對稱性質出發(fā)，給出原函數與導函數對稱關系的統(tǒng)一證明.

結論1：若f（x）為可導的偶函數，則f′（x）為奇函數.

證明：因為f（x）為偶函數，所以f（x）=f（－x），等式兩邊同時對x求導，得f′（x）=－f′（－x）.令g（x）=f′（x），則g（x）=－g（－x），所以f′（x）為奇函數.

結論2：若f（x）為可導的奇函數，則f′（x）為偶函數.

證明：因為f（x）為奇函數，所以f（x）+f（－x）=0，等式兩邊同時對x求導，得f′（x）－f′（－x）=0.令g（x）=f′（x），則g（x）=g（－x），所以f′（x）為偶函數.

偶函數的圖象關于y軸對稱，奇函數的圖象關于原點（0，0）對稱，而可導偶函數的導函數是奇函數，可導奇函數的導函數是偶函數.因此作出以下推廣猜想：若可導函數的圖象是軸對稱圖形，則其導函數的圖象是中心對稱圖形；若可導函數的圖象是中心對稱圖形，則其導函數的圖象是軸對稱圖形.以下為證明.

結論1推廣：若f（x）為圖象關于直線x=a對稱的可導函數，則f′（x）的圖象關于點（a，0）對稱.

證明：因為f（x）的圖象關于直線x=a對稱，所以f（x）=f（2a－x），等式兩邊同時對x求導，得f′（x）=－f′（2a－x）.令g（x）=f′（x），則g（x）=－g（2a－x），即g（x）+g（2a－x）=0，所以f′（x）的圖象關于點（a，0）對稱.

結論2推廣：若f（x）為圖象關于點（a，0）對稱的可導函數，則f′（x）的圖象關于直線x=a對稱.

證明：因為f（x）的圖象關于點（a，0）對稱，所以f（x）+f（2a－x）=0，等式兩邊同時對x求導，可得f′（x）－f′（2a－x）=0.令g（x）=f′（x），則g（x）－g（2a－x）=0，即g（x）=g（2a－x），所以f′（x）的圖象關于直線x=a對稱.

結論3：若函數f（x）的圖象關于點A（a，c），B（b，c）對稱，則2|a－b|為f（x）的一個周期.

證明：因為f（x）的圖象關于點A（a，c）對稱，所以f（x）+f（2a－x）=2c.將x用2b－x替換，得f（2a－2b+x）+f（2b－x）=2c.因為f（x）的圖象關于點B（b，c）對稱，所以f（2b－x）+f（x）=2c.

所以f（2a－2b+x）=f（x）.故2|a－b|為f（x）的一個周期.

結論4：若函數f（x）的圖象關于直線x=a，x=b對稱，則2|a－b|為f（x）的一個周期.

證明：因為f（x）的圖象關于直線x=a對稱，所以f（2a－x）=f（x）.將x用2b－x替換，得f（2a－2b+x）=f（2b－x）.又因為f（x）的圖象關于直線x=b對稱，所以f（2b－x）=f（x）.

所以f（2a－2b+x）=f（x）.故2|a－b|為f（x）的一個周期.

結論5：若函數f（x）的圖象關于點A（a，c）及直線x=b對稱，則4|a－b|為f（x）的一個周期.

證明：因為f（x）關于點A（a，c）對稱，所以有[JP5]f（2a－x）+f（x）=2c.用2b－x替換x，得f（2a－2b+x）+f（2b－x）=2c.又

因為f（x）的圖象關于直線x=b對稱，所以f（2b－x）=f（x）.

所以，可得f（2a－2b+x）+f（x）=2c.

令①式中的x為2a－2b+x，得

f（4a－4b+x）+f（2a－2b+x）=2c.

因此，可得f（4a－4b+x）=f（x），所以4|a－b|為f（x）的一個周期.

結論1的逆命題：若g（x）為定義域D上可積的奇函數，則存在一個原函數f（x）為偶函數.

證明：因為g（x）為定義域D上可積的奇函數，所以g（x）+g（－x）=0，等式兩邊同時對x積分，得[JP5][XC積分符號.tif，JZ]g（x）dx+[XC積分符號.tif，JZ]g（－x）dx=[XC積分符號.tif，JZ]g（x）dx－[XC積分符號.tif，JZ]g（－x）d（－x）=0.設g（x）=f′（x），則f（x）+C1=f（－x）+C2.當C1=C2時，f（x）為偶函數.

結論1推廣的逆命題：g（x）為定義域D上關于點（a，0）對稱的可積函數，則存在一個原函數f（x）其圖象關于直線x=a對稱.

證明：因為函數g（x）的圖象關于點（a，0）中心對稱，所以g（x）+g（2a－x）=0，等式兩邊同時對x積分得，[XC積分符號.tif，JZ]g（x）dx+[XC積分符號.tif，JZ]g（2a－x）dx=[XC積分符號.tif，JZ]g（x）dx－[XC積分符號.tif，JZ]g（2a－x）d（2a－x）=0.令g（x）=f′（x），則f（x）+C1=f（2a－x）+C2.當C1=C2時，f（x）=f（2a－x），所以f（x）的圖象關于直線x=a對稱.

同理，還可對結論2的逆命題及結論2推廣的逆命題進行證明.根據本文還可猜想：周期函數的導函數是周期函數；若導函數是周期函數，則其原函數也是周期函數.

4問題破解

對于上述高考題，利用函數圖象變換可知，f（x）的圖象關于直線x=32對稱，g（x）的圖象關于直線x=2對稱.因為g（x）是f（x）的導函數，所以f（x）的圖象關于點（2，0）對稱，根據結論5可知，f（x）是周期為2的周期函數.根據結論1推廣可知，g（x）的圖象關于點32，0對稱，又因為g（x）的圖象關于直線x=2對稱，根據結論5可知，g（x）是周期為2的周期函數.

5教學啟示

本題在知識點方面考查函數圖象的變換，原函數與導函數的對稱關系及函數的周期性，具有一定難度.在學生能力上，則指向邏輯推理及直觀想象核心素養(yǎng)的考查.其中，邏輯推理的考查體現在通過具體實例去類比，猜想原函數與導函數之間的對稱關系.直觀想象主要體現在根據函數圖象關于點對稱及軸對稱得到函數的周期.在教學過程中可將教材中“拓廣探索”部分的習題利用起來，例如，將它們變成一道思考題，讓學生先猜想結論，再嘗試證明，從而培養(yǎng)學生邏輯推理等數學核心素養(yǎng).