徐婧婧

摘要：數(shù)學(xué)抽象是反映客觀現(xiàn)實(shí)事物的本質(zhì)與規(guī)律的基本方式，它對(duì)促進(jìn)學(xué)生理性思維與學(xué)科精神的發(fā)展具有重要意義.在數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)上培育抽象素養(yǎng)可有效拔高學(xué)生的思維，為發(fā)展核心素養(yǎng)夯實(shí)基礎(chǔ).文章中以“導(dǎo)數(shù)的定義”教學(xué)為例，分別從“創(chuàng)設(shè)情境，激趣啟思”“引入實(shí)例，初步探索”“新知建構(gòu)，深化理解”“練習(xí)訓(xùn)練，應(yīng)用定義”“歸納總結(jié)，鞏固提升”等方面展開(kāi)教學(xué)實(shí)踐與思考.

關(guān)鍵詞：抽象；素養(yǎng)；導(dǎo)數(shù)

抽象素養(yǎng)指學(xué)習(xí)者經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象過(guò)程而獲得的一種能力.此類(lèi)素養(yǎng)的發(fā)展一般以問(wèn)題情境為起點(diǎn)，學(xué)生通過(guò)對(duì)情境的分析，舍棄一些無(wú)關(guān)的內(nèi)容，提煉出數(shù)學(xué)屬性，并借助豐富的數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以表征[1].研究發(fā)現(xiàn)，

數(shù)學(xué)中的很多基礎(chǔ)知識(shí)都給抽象素養(yǎng)的培育與發(fā)展提供了肥沃的土壤，特別是

在“導(dǎo)數(shù)的定義”教學(xué)中關(guān)注抽象素養(yǎng)的培育，可有效挖掘?qū)W生的潛能，拔高思維，為發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)夯實(shí)基礎(chǔ).

1教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.1創(chuàng)設(shè)情境，激趣啟思

多媒體展示如下兩個(gè)情境：（1）《莊子天下篇》中載有“尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭.”（2）將一個(gè)圓，以圓心為起點(diǎn)分成無(wú)數(shù)個(gè)小扇形，形成的扇形數(shù)量越多則越接近小三角形的面積.

教師通過(guò)展示圖片，合理借助語(yǔ)言分析與設(shè)置，要求學(xué)生說(shuō)說(shuō)它們的共性特征.

設(shè)計(jì)意圖：這兩個(gè)情境意在讓學(xué)生通過(guò)對(duì)文字與圖形的感知，初步體會(huì)數(shù)學(xué)無(wú)限逼近的思想，也是抽象素養(yǎng)培育的一種基本方式，為導(dǎo)入新課奠定基礎(chǔ)，達(dá)到滲透數(shù)學(xué)文化、激趣啟思的目的.

1.2引入實(shí)例，初步探索

實(shí)例跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員和水面的距離h（單位：m）和起跳之后的時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系為h=－4.9t2+6.5t+10，那么t=2時(shí)的瞬時(shí)速度是多少？

問(wèn)題1請(qǐng)大家以小組合作學(xué)習(xí)的方式討論本題的解題方案.

生1：我們組經(jīng)討論后認(rèn)為可取t∈［2，2.1］的平均速度，估算問(wèn)題的結(jié)論.

師：如此估算出來(lái)結(jié)論的是否一定準(zhǔn)確？

生2：多取幾組就可以了，如分別取t∈［2，2.2］，t∈［2，2.3］，t∈［2，2.4］，t∈［2，2.5］……

師：想要獲得精準(zhǔn)的瞬時(shí)速度，就要合理縮小時(shí)間間隔，誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)怎樣調(diào)整時(shí)間間隔更合理有效？

生3：可以分別取t∈［2，2.1］，t∈［2，2.01］，t∈［2，2.001］……

生4：換個(gè)思路，還可取t∈［1.9，2］，t∈［1.99，2］，t∈［1.999，2］……

師：思路非常好，但這種方法略顯繁瑣，可否借助一個(gè)量來(lái)簡(jiǎn)化過(guò)程呢？比如我們將式子統(tǒng)一用v-表示，三個(gè)式子則可表示為v-=h（Δt+2）－h(huán)（2）Δt，關(guān)于Δt的取值，可怎樣描述？

生5：分別用0.1，0.01，0.001，0.0001或－0.1，－0.01，－0.001，－0.0001來(lái)表示，而后借助計(jì)算軟件獲得Δt在不同取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的值.

問(wèn)題2當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0，運(yùn)動(dòng)員的平均速度會(huì)呈現(xiàn)出怎樣的變化？

生6：在t=2的情況下，Δt無(wú)限趨近于0，v-無(wú)限趨近于－13.1.

師：很好！這里提到的v-無(wú)限趨近于－13.1就是t=2時(shí)的瞬時(shí)速度.一般而言，當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，物體位移的平均變化率會(huì)無(wú)限趨近某個(gè)常數(shù)，即h（Δt+t0）－h(huán)（t0）Δt趨近某個(gè)常數(shù)，我們稱(chēng)該常數(shù)是物體在t=t0的瞬時(shí)速度.

設(shè)計(jì)意圖：合作交流的模式，意在讓各個(gè)認(rèn)知水平層次的學(xué)生都能在這個(gè)問(wèn)題的探索中有所收獲；平均變化率、瞬時(shí)速度等的探索，意在夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ).同時(shí)，也為抽象素養(yǎng)的培育創(chuàng)造條件.

1.3新知建構(gòu)，深化理解

問(wèn)題3若以函數(shù)f（x）描述上述問(wèn)題中的函數(shù)，該怎樣描述f（x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率呢？

此問(wèn)促使學(xué)生成功提煉出導(dǎo)數(shù)的定義.（教師板書(shū)定義，此處略.）

問(wèn)題4類(lèi)比切線斜率的求解方法，該怎樣理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義？

生7：函數(shù)y=f（x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率為函數(shù)f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線斜率，那么y=f（x）在x=x0時(shí)的導(dǎo)數(shù)f′（x0）即為曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x））處的切線斜率.

由此，師生共同總結(jié)出導(dǎo)數(shù)的幾何意義：f（x0）為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線斜率，即處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物體在特定時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度.

問(wèn)題5與求切線斜率與瞬時(shí)速度的過(guò)程進(jìn)行類(lèi)比，求導(dǎo)數(shù)的基本步驟有哪些？

生8：主要需經(jīng)歷三個(gè)步驟.①探索函數(shù)的增量，即Δy=f（Δx+x0）－f（x0）；②分析平均變化率，即ΔyΔx=f（Δx+x0）－f（x0）Δx；③根據(jù)極限獲得導(dǎo)數(shù)，即f′（x0）=

limΔx→0

f（Δx+x0）－f（x0）Δx.

設(shè)計(jì)意圖：導(dǎo)數(shù)定義的提取、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與求導(dǎo)步驟的總結(jié)幫助學(xué)生成功構(gòu)建了新知，課堂在問(wèn)題的引導(dǎo)下漸入佳境.利用類(lèi)比思想的滲透，增強(qiáng)學(xué)生知識(shí)與學(xué)習(xí)方法的遷移能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展.

基于舊知識(shí)的類(lèi)比與創(chuàng)造，成為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培育與發(fā)展的一個(gè)重要方式.

1.4練習(xí)訓(xùn)練，應(yīng)用定義

練習(xí)1請(qǐng)用多種方法探索函數(shù)y=2x2+4x+5在x=0時(shí)的導(dǎo)數(shù)，并闡述此時(shí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

變式若f（x）=2x2+ax+5，已知f′（2）的值為4，求a的值.

練習(xí)2將原油進(jìn)行冷熱加工，可分別提煉出柴油、汽油與塑膠等產(chǎn)品.若在第xh，原油溫度（單位：℃）是f（x）=x2－7x+14（0≤x≤8），請(qǐng)分別計(jì)算x等于0，2，6時(shí)的導(dǎo)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)1及其變式的提出，意在引導(dǎo)學(xué)生借助新知分別從“數(shù)式”與“圖表取值”兩個(gè)維度來(lái)解決問(wèn)題，感知符號(hào)表征的優(yōu)勢(shì)，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的認(rèn)識(shí)；練習(xí)2從生活實(shí)際出發(fā)提出與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的問(wèn)題，一方面考查學(xué)生的應(yīng)變能力，另一方面發(fā)散學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生的抽象素養(yǎng)，為推進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展創(chuàng)造條件.

1.5歸納總結(jié)，鞏固提升

要求學(xué)生分別從本節(jié)課所學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、涉及到的數(shù)學(xué)基本思想方法以及探索數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn)等維度進(jìn)行歸納總結(jié)，特別也為進(jìn)一步培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)創(chuàng)造條件.

學(xué)生自主分析，總結(jié)如下.①知識(shí)：瞬時(shí)速率、瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)的定義等，課堂中掌握了求導(dǎo)的基本步驟，獲得了“求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)”的能力；②思想方法：數(shù)形結(jié)合、歸納、類(lèi)比、無(wú)限接近等數(shù)學(xué)思想方法；③學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)：想要探索一個(gè)未知的概念，可通過(guò)對(duì)不同實(shí)例的分析，探尋其共同特征與規(guī)律，用符號(hào)語(yǔ)言對(duì)其性質(zhì)關(guān)系進(jìn)行描述.

設(shè)計(jì)意圖：基于不同維度對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行提煉與總結(jié)，可進(jìn)一步梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，完善認(rèn)知，提升學(xué)力.同時(shí)，課堂總結(jié)也是發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一種方式，學(xué)生通過(guò)對(duì)零碎內(nèi)容的梳理與整合，可抽象出簡(jiǎn)潔的知識(shí)架構(gòu).

2思考與感悟

俗話(huà)說(shuō)：“授人以魚(yú)不如授人以漁.”數(shù)學(xué)課堂教學(xué)除知識(shí)的傳授外，還要注重學(xué)習(xí)方法、經(jīng)驗(yàn)與能力的培育.數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，不僅是促進(jìn)個(gè)體發(fā)展的重要因素，更是當(dāng)今社會(huì)對(duì)高層次人才的需要.新課標(biāo)背景下，單純的知識(shí)傳授與練習(xí)訓(xùn)練雖然能提高成績(jī)，但對(duì)于學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展意義不大.想要從真正意義上提升學(xué)力，培育適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的人才，就要帶領(lǐng)學(xué)生苦練“內(nèi)功”，在學(xué)習(xí)過(guò)程中積極思考與交流，不斷積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，讓思維經(jīng)歷由淺入深的抽象與概括過(guò)程[2].

總之，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培育并非一朝一夕就能完成的基本目標(biāo).作為教師，應(yīng)在充分了解學(xué)生現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知水平

與數(shù)學(xué)技能的基礎(chǔ)上合理設(shè)計(jì)教學(xué)方案，借助數(shù)學(xué)創(chuàng)新情境與應(yīng)用情境等的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的形成與發(fā)展過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中不斷提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展創(chuàng)造有利條件，也為全面提升數(shù)學(xué)品質(zhì)與優(yōu)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]王德軍.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培育的教學(xué)思考——以“導(dǎo)數(shù)的定義”教學(xué)為例[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（20）：14-16.

[2]林婷，張武生.把握概念教學(xué)本質(zhì)培育“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)——以“數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示”教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2020（4）：35-38.