基于算理算法一致性的 “除數(shù)是兩位數(shù)的除法” 單元整體教學(xué)重構(gòu)*

□周 琪 沈彩虹 周小芳

一、問(wèn)題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng) “2022 年版課標(biāo)” ）倡導(dǎo)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化整合的理念［1］。以整數(shù)除法為例，現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材中， “除數(shù)是兩位數(shù)的除法” 是小學(xué)階段整數(shù)除法最后學(xué)習(xí)的內(nèi)容。在此之前，教材已系統(tǒng)地編排了與整數(shù)除法相關(guān)的大部分知識(shí)和技能，包括除法的意義、用乘法口訣求商、除法運(yùn)算（口算與筆算）、豎式的書(shū)寫(xiě)格式、余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系等。在此基礎(chǔ)上編排 “除數(shù)是兩位數(shù)的除法” 的學(xué)習(xí)內(nèi)容，既承接了多位數(shù)乘兩位數(shù)、除數(shù)是一位數(shù)的除法的學(xué)習(xí)，又為后續(xù)小數(shù)除法的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。進(jìn)一步梳理、分析教材編排可以發(fā)現(xiàn)，貫通三個(gè)年級(jí)的整數(shù)除法學(xué)習(xí)存在共性：一方面，情境和意義是一致的，均為基于平均分的 “計(jì)數(shù)單位” 細(xì)分；另一方面，乘法與除法的關(guān)系也是一致的，即除法是乘法的逆運(yùn)算，也就是做除法想乘法。這表明整數(shù)除法在算理和算法上都具有一致性。因此，將這一階段的除法進(jìn)行整體化教學(xué)，有助于學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并幫助學(xué)生理解整數(shù)除法的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以實(shí)現(xiàn)整數(shù)除法運(yùn)算的一致性。

然而，現(xiàn)行教材在 “除數(shù)是兩位數(shù)的除法” 單元教學(xué)目標(biāo)的制訂上存在以下問(wèn)題：一是重法輕理，強(qiáng)調(diào)計(jì)算的方法，過(guò)于注重繁雜的技能，從而忽略了計(jì)算的 “道理” ；二是理不入法，缺少方法的統(tǒng)領(lǐng)，學(xué)習(xí)步子較小，用多個(gè)課時(shí)訓(xùn)練計(jì)算技巧，卻未凸顯除法運(yùn)算的一致性；三是與原有知識(shí)的關(guān)聯(lián)性不足，未能讓整數(shù)除法的算理和算法系統(tǒng)化，缺乏一致性［2］。因此，有必要重新構(gòu)建整體的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，突出算理，總結(jié)算法，由算理統(tǒng)領(lǐng)算法，運(yùn)用類(lèi)比遷移的思想方法，突出知識(shí)和結(jié)構(gòu)上的整體性和一致性［3］。

在2022年版課標(biāo)發(fā)布但新教材尚未出版的過(guò)渡階段，教師如何準(zhǔn)確把握 “除數(shù)是兩位數(shù)的除法” 這一單元的內(nèi)容，幫助學(xué)生理解算理、鞏固算法，實(shí)現(xiàn)理法的貫通，并感悟整數(shù)除法運(yùn)算的一致性，為后續(xù)小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，是落實(shí)2022年版課標(biāo)的課程理念的關(guān)鍵。本研究將基于 “數(shù)的運(yùn)算的一致性” ，嘗試對(duì)該單元的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)進(jìn)行整合與優(yōu)化。

二、重構(gòu)：?jiǎn)卧w教學(xué)再設(shè)計(jì)

（一）單元教學(xué)目標(biāo)重構(gòu)

在原有單元教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，抓住 “計(jì)數(shù)單位” 這一核心要素，提煉除法的本質(zhì)就是 “計(jì)數(shù)單位的細(xì)分” 這一 “理” ，并利用乘除法關(guān)系，提煉 “做除法想乘法” 這一 “法” ，嘗試用算理統(tǒng)領(lǐng)算法，據(jù)此對(duì)單元教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行調(diào)整，具體如表1所示。

表1 單元教學(xué)目標(biāo)的調(diào)整

重構(gòu)后的單元教學(xué)目標(biāo)，其主要變化體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是關(guān)于口算與筆算的算法，新目標(biāo)突出乘法口訣的作用，即統(tǒng)一了 “法” ；二是在理解算理、探究算法并有效關(guān)聯(lián)舊知的過(guò)程中，新目標(biāo)強(qiáng)調(diào)除法運(yùn)算是將計(jì)數(shù)單位逐步細(xì)分的過(guò)程，以此感受除法運(yùn)算的內(nèi)在一致性，即凸顯了 “理” 。由此，在算理算法的自主探究與溝通中，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識(shí)?？梢?jiàn)，重構(gòu)后的單元教學(xué)目標(biāo)更加精練地強(qiáng)調(diào)了算理算法的一致性，突出了算理在教學(xué)中的重要性。

（二）單元教學(xué)課時(shí)重構(gòu)

根據(jù)調(diào)整后的單元教學(xué)目標(biāo)，將整個(gè)單元重構(gòu)為 “口算除法” “初識(shí)算理” “鞏固算理，形成算法” “總結(jié)算法” “優(yōu)化算法” 和 “實(shí)現(xiàn)貫通” 6個(gè)課時(shí)，每課時(shí)的主要內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)如圖1所示。

圖1 單元教學(xué)重構(gòu)框架及課時(shí)目標(biāo)

此單元教學(xué)課時(shí)的重構(gòu)將算理算法的一致性貫穿始終，強(qiáng)調(diào)除法的算理為 “計(jì)數(shù)單位細(xì)分” ，算法為 “做除法想乘法” ，并基于 “先講算理，后識(shí)算法，理法貫通，承前啟后” 的原則，開(kāi)展階梯式教學(xué)，最終實(shí)現(xiàn)算理算法的一致性。

（三）各課時(shí)關(guān)鍵任務(wù)設(shè)計(jì)

本次單元教學(xué)重構(gòu)旨在幫助學(xué)生先理解除法的本質(zhì)是 “計(jì)數(shù)單位細(xì)分” ，再優(yōu)化除法運(yùn)算的方法，最后貫通理法，感受整數(shù)除法運(yùn)算的一致性。各課時(shí)的關(guān)鍵任務(wù)如表2所示。

表2 “除數(shù)是兩位數(shù)的除法” 單元各課時(shí)關(guān)鍵任務(wù)

表3 實(shí)驗(yàn)班、對(duì)照班后測(cè)計(jì)算習(xí)題的正確率

從各課時(shí)的關(guān)鍵任務(wù)來(lái)看，試商等技巧并非筆算教學(xué)的重點(diǎn)，幫助學(xué)生理解試商的 “道理” 才是解決筆算難點(diǎn)的 “通法” 。因此，本次單元教學(xué)的重構(gòu)將重點(diǎn)放在理解算理上，讓學(xué)生在理解算理的同時(shí)掌握算法，從而打通算理和算法之間的壁壘，實(shí)現(xiàn)整數(shù)除法算理算法的一致性。在安排課時(shí)時(shí)，也盡可能地把時(shí)間用于教學(xué)解決一般問(wèn)題的 “通法” ，引導(dǎo)學(xué)生理解除法的本質(zhì)，為整數(shù)除法的貫通和小數(shù)除法的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

三、效果：實(shí)現(xiàn)算理算法統(tǒng)整

實(shí)施單元教學(xué)重構(gòu)后，利用后測(cè)試卷，從算理和算法兩個(gè)方面檢驗(yàn)學(xué)生的掌握情況。

從后測(cè)數(shù)據(jù)可知，在僅進(jìn)行了6 課時(shí)的學(xué)習(xí)，且未進(jìn)行大量練習(xí)和技巧訓(xùn)練的情況下，實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班在除數(shù)是兩位數(shù)的除法的算法掌握上并未出現(xiàn)顯著差異。在一些特殊的 “障礙點(diǎn)” 上，如商的書(shū)寫(xiě)位置、筆算除法的豎式以及商中間或末尾有0的情況，也未出現(xiàn)顯著差異。然而，對(duì)于商末尾有0的除法的習(xí)題，實(shí)驗(yàn)班在尚未進(jìn)行例題講解的情況下，其正確率依然略高于對(duì)照班。這充分說(shuō)明，用算理統(tǒng)領(lǐng)算法是可行的。另外，對(duì)于算法在除數(shù)是三位數(shù)的除法和小數(shù)除法上的遷移，實(shí)驗(yàn)班的表現(xiàn)也明顯優(yōu)于對(duì)照班?？梢?jiàn)，算理的理解對(duì)算法遷移有積極的促進(jìn)作用。

通過(guò)單元教學(xué)重構(gòu)，學(xué)生不僅在算法掌握程度上有所提升，對(duì)算理的理解和運(yùn)用水平也有顯著提高。對(duì)后測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)一步分析可知，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生對(duì)除法豎式是記錄 “計(jì)數(shù)單位細(xì)分” 過(guò)程的理解較為深刻。超過(guò)65%的學(xué)生能夠用橫式表示豎式中每一步計(jì)算的道理（如圖2），并能表示出每一步細(xì)分的 “計(jì)數(shù)單位” 。在小數(shù)除法中，約43.48%的學(xué)生能夠運(yùn)用計(jì)數(shù)單位的細(xì)分來(lái)解釋小數(shù)除法的運(yùn)算過(guò)程（如圖3）。這表明掌握除法的本質(zhì)，有助于貫通整數(shù)除法和小數(shù)除法。

圖2 學(xué)生S1的正確作答

圖3 學(xué)生S2的正確作答

綜上所述，重構(gòu)后的學(xué)習(xí)路徑在教學(xué)的過(guò)程中不斷地進(jìn)行改善和優(yōu)化，引導(dǎo)學(xué)生厘清整數(shù)除法的脈絡(luò)，形成完整的、具有邏輯性的除法知識(shí)結(jié)構(gòu)。學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)，不僅理解了 “計(jì)數(shù)單位細(xì)分” 的含義，體會(huì)到整數(shù)除法算理的一致性，還掌握了除法運(yùn)算的方法，感受到整數(shù)除法算理算法的一致性。