? 新疆新源縣教育局教學(xué)研究中心 張秋菊

“三會(huì)”即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.那么,這些素養(yǎng)要求在課時(shí)教學(xué)中該如何具體落實(shí)呢?下面以“平方差公式”這節(jié)課為例,談?wù)劵凇比龝?huì)”的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與思考.

1 教學(xué)分析

本節(jié)課是人教版教材八年級(jí)上冊(cè)第十四章“整式的乘法與因式分解的”第二小節(jié)“乘法公式”第一課時(shí)的內(nèi)容.

1.1 從教學(xué)內(nèi)容上看

首先,這節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了冪的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)、多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上,自然過(guò)渡到對(duì)具有特殊形式的多項(xiàng)式的乘法的研究.從教材編排也可以看出,對(duì)具有特殊形式的多項(xiàng)式相乘,在多項(xiàng)式乘法的例題、練習(xí)與習(xí)題中都有滲透.例如,在多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的練習(xí)中,對(duì)(x+p)(x+q)這種含有相同字母且另一項(xiàng)為常數(shù)的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘也專門做了探究.

1.2 從學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累上看

學(xué)生在學(xué)習(xí)第一小節(jié)內(nèi)容時(shí),已經(jīng)積累了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),也就是說(shuō)對(duì)從特殊到一般這種研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程比較熟悉.每條性質(zhì)、法則都是經(jīng)歷“計(jì)算—觀察—猜想—驗(yàn)證—證明”得出的結(jié)論,而且都強(qiáng)調(diào)用多種方式表征法則,因此學(xué)生對(duì)于用圖形驗(yàn)證法則也并不陌生,這些都是本節(jié)課的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).

1.3 從后續(xù)學(xué)習(xí)的影響上看

“平方差公式”在后續(xù)的應(yīng)用非常廣泛,是第三小節(jié)學(xué)習(xí)因式分解,下一章分式的化簡(jiǎn),九年級(jí)一元二次方程、二次函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ).當(dāng)然本節(jié)課作為“乘法公式”的第一課時(shí),為后續(xù)完全平方公式和其他乘法公式的學(xué)習(xí)提供了研究思路和方法.

1.4 課標(biāo)要求及目標(biāo)確定

課標(biāo)明確指出:知道平方差公式的幾何背景,用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理.感受數(shù)式通性,建立符號(hào)意識(shí),將數(shù)學(xué)結(jié)論一般化,提升運(yùn)算能力.從教材來(lái)看,也為公式生成、推導(dǎo)、驗(yàn)證、表述、辨析、運(yùn)用,提拱了非常豐富的素材.

基于以上認(rèn)識(shí),將本節(jié)課目標(biāo)確定為:掌握平方差公式,能運(yùn)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算;經(jīng)歷公式的探究過(guò)程,用不同方法驗(yàn)證公式的合理性;體驗(yàn)特殊到一般、具體到抽象的研究過(guò)程,發(fā)展幾何直觀素養(yǎng),感受數(shù)形結(jié)合思想.

本節(jié)課的重點(diǎn)是公式的探究及應(yīng)用,難點(diǎn)是對(duì)公式結(jié)構(gòu)特征的理解和幾何驗(yàn)證.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

活動(dòng)一：情境引入.

引導(dǎo)學(xué)生回憶多項(xiàng)式乘法法則.

問(wèn)題1不改變二項(xiàng)式的結(jié)構(gòu),將因式中的項(xiàng)特殊化,會(huì)有哪些情況?請(qǐng)舉例說(shuō)明.

問(wèn)題2(一項(xiàng)相同一項(xiàng)相反,兩項(xiàng)都相同)這些特殊形式的二項(xiàng)式相乘,結(jié)果有規(guī)律可循嗎?

活動(dòng)二：探究平方差公式.

結(jié)合前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)規(guī)劃研究路徑.〔特例計(jì)算—觀察猜想(符號(hào)語(yǔ)言描述)—驗(yàn)證證明—得出結(jié)論(文字語(yǔ)言描述)—應(yīng)用結(jié)論.〕

問(wèn)題3請(qǐng)寫出1～2個(gè)具有上述形式的特例,并計(jì)算出結(jié)果.

問(wèn)題4通過(guò)觀察,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用符號(hào)語(yǔ)言表示出你的猜想嗎?

問(wèn)題5如何驗(yàn)證你猜想的正確性?

問(wèn)題6你能用文字語(yǔ)言描述這一結(jié)論嗎?

活動(dòng)三：辨析平方差公式.

問(wèn)題7對(duì)比多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘和平方差公式,你能說(shuō)說(shuō)它們的異同與聯(lián)系嗎?

問(wèn)題8說(shuō)一說(shuō)下列算式能否運(yùn)用平方差公式計(jì)算?

(1)(x2+3)(x2-3);

(2)(-7+2x)(2x+7);

(3)(3s-10t)(10s-3t);

(4)(-m+5)(-m-5);

(5)(m+n-p)(m+n-p);

(6)(m-n)(n-m).

問(wèn)題9寫一寫.在括號(hào)內(nèi)填上怎樣的代數(shù)式才能利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算?

(1)(2a+b)( )=______;

(2)(-a-b)( )=______.

活動(dòng)四：運(yùn)用平方差公式.

例1運(yùn)用平方差公式計(jì)算:

(1)(3x+2)(3x-2);

(2)(-x+2y)(-x-2y).

例2計(jì)算:

(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);

(2)102×98.

對(duì)于例2的第(2)小題,引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)思維過(guò)程.

活動(dòng)五：幾何驗(yàn)證.

你還有其他驗(yàn)證平方差公式的方法嗎?

在利用圖形驗(yàn)證的過(guò)程中,可以從左往右,也可以從右往左對(duì)公式特征進(jìn)行分析,這也是深化學(xué)生對(duì)公式理解的過(guò)程.同時(shí)由式到形,從抽象到具體,也是學(xué)生發(fā)展幾何直觀、感悟數(shù)形結(jié)合思想的過(guò)程.

活動(dòng)六：歸納創(chuàng)新.

通過(guò)本節(jié)課,你學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)?你是怎樣學(xué)習(xí)這些知識(shí)的?用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法?你對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)還有什么期待?

課堂歸納小結(jié)的四問(wèn),分別對(duì)應(yīng)課程標(biāo)準(zhǔn)中基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本思想方法等,通過(guò)梳理進(jìn)一步落實(shí)“四基”“四能”.另外,通過(guò)結(jié)構(gòu)化的圖式,將隱形的探究過(guò)程顯性化,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)將研究平方差公式的過(guò)程遷移到下一課時(shí)“完全平方公式”的學(xué)習(xí)中,甚至更多公式的探究中,或者是公式深層次的探究中,這也是本節(jié)課數(shù)學(xué)教育的價(jià)值所在.

3 教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

3.1 關(guān)于教學(xué)設(shè)計(jì)——“三會(huì)”落實(shí)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)

教學(xué)設(shè)計(jì)的首要問(wèn)題是為什么而教?為知識(shí)而教與為素養(yǎng)而教是新舊教學(xué)理念的根本分水嶺.同時(shí)我們也知道,在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),知識(shí)是載體,素養(yǎng)是目標(biāo),活動(dòng)是橋梁.

以本節(jié)課為例,這些活動(dòng)安排主要體現(xiàn)了以下幾點(diǎn):

(1)重視公式的獲得過(guò)程.本節(jié)課根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況,將教學(xué)起點(diǎn)確定為將一般的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘,項(xiàng)的逐步特殊化是否能得到結(jié)論的特殊化?由此引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題.從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部出發(fā),讓學(xué)生經(jīng)歷歸納概括事物本質(zhì)的過(guò)程,使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法認(rèn)識(shí)問(wèn)題,用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,這也是落實(shí)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的重要途徑.

(2)重視公式的生成過(guò)程.以探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般路徑為引導(dǎo),通過(guò)舉例、計(jì)算、觀察、歸納、猜想、代數(shù)推理、幾何驗(yàn)證等環(huán)節(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想、證明結(jié)論,其實(shí)這就是用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,是落實(shí)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的過(guò)程.

(3)重視公式的辨析及應(yīng)用過(guò)程.例如用公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算,即構(gòu)建平方差公式模型解決問(wèn)題,并通過(guò)分析式子的結(jié)構(gòu)特征、從數(shù)據(jù)中挖掘信息等,還有公式的文字、符號(hào)、圖形語(yǔ)言的描述,這些其實(shí)都是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界,提升了學(xué)生的模型觀念和數(shù)據(jù)觀念.

3.2 關(guān)于教學(xué)理解——整體關(guān)聯(lián)、主動(dòng)建構(gòu)

(1)從知識(shí)層面來(lái)說(shuō),關(guān)注知識(shí)整體結(jié)構(gòu),從多項(xiàng)式乘法中來(lái),到多項(xiàng)式乘法中去.將平方差公式放到整式乘法的學(xué)習(xí)體系中來(lái)看,無(wú)非就是把某些特殊形式的多項(xiàng)式相乘寫成公式的形式,以后遇到相同形式的多項(xiàng)式相乘,就可以直接利用公式.因此,知識(shí)的獲得過(guò)程是從多項(xiàng)式的乘法中來(lái).而學(xué)生學(xué)習(xí)完公式后可將其納入多項(xiàng)式的乘法,找出它們之間關(guān)聯(lián),其目的是讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)其特殊性,并弄清研究?jī)r(jià)值,建立起新知與舊知的聯(lián)系,順利將本節(jié)知識(shí)納入到原有知識(shí)結(jié)構(gòu)之中,加深學(xué)生對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)化的理解,讓知識(shí)自然生長(zhǎng).

(2)關(guān)于學(xué)法層面,從以往經(jīng)驗(yàn)積累來(lái),到未來(lái)探究運(yùn)用中去.本節(jié)課在情境引入部分沒(méi)有直接給學(xué)生提供探究資料,在探究環(huán)節(jié)沒(méi)有分步做引導(dǎo),而是以情境、問(wèn)題、任務(wù)、小項(xiàng)目的方式間接呈現(xiàn)探究?jī)?nèi)容,推進(jìn)學(xué)習(xí)過(guò)程,這樣倒逼學(xué)生必須主動(dòng)去建構(gòu)、去經(jīng)歷、去參與、去探究、去完成.通過(guò)歸納小結(jié)的梳理,再次明確公式探究路徑,為后續(xù)探究提供思路.

3.3 關(guān)于教學(xué)活動(dòng),從淺層次學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí)

以幾何圖形驗(yàn)證這一環(huán)節(jié)為例,教材用圖形給出平方差公式的兩種表述形式,提出了一個(gè)思考問(wèn)題:你能根據(jù)圖形中的面積說(shuō)明平方差公式嗎?如果教師在這一環(huán)節(jié)僅將該圖形展示給學(xué)生,對(duì)“怎么驗(yàn)證?為什么這樣驗(yàn)證?你是怎么想到這樣驗(yàn)證的?”等避而不談,這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)只是一種淺層次學(xué)習(xí),只是增加了直觀感受,對(duì)提升思維能力及感受數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)越性并沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的推動(dòng).因此,落實(shí)素養(yǎng)為目標(biāo)的教學(xué),要求我們必須引領(lǐng)學(xué)生從淺層次學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí).Z