趙茜 洪勇

摘 要：利用權(quán)函數(shù)方法和實(shí)分析技巧，在lαp（N）和Lβp（0，+∞）中討論擬齊次核的半離散Hilbert型不等式的逆向形式，得到逆向不等式具有最佳常數(shù)因子時(shí)的最佳搭配參數(shù)的充分必要條件，最后給出所得結(jié)果的等價(jià)算子表示和若干特例。

關(guān)鍵詞：半離散Hilbert型逆向不等式；擬齊次核；最佳常數(shù)因子；最佳搭配參數(shù)；充分必要條件；算子表示

中圖分類號(hào)：O178

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

1908年Hilbert不等式［1］誕生以來(lái)，已經(jīng)取得了許多的研究成果并在算子理論中得到廣泛應(yīng)用［2-10］，文獻(xiàn)［11］首次探討了齊次核Hilbert型不等式的搭配參數(shù)問(wèn)題，得到最佳搭配參數(shù)的等價(jià)條件，之后討論最佳搭配參數(shù)的文獻(xiàn)不斷出現(xiàn)［12-18］，取得了豐碩成果，但針對(duì)逆向Hilbert型不等式，相關(guān)的研究還不多，本文將討論擬齊次核的半離散Hilbert型逆向不等式最佳搭配參數(shù)的充分必要條件。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)r≠0，α∈R，Ν={1，2，…}，記

是以K（n，x）為核的半離散Hilbert型逆向不等式，M稱為常數(shù)因子，而M0=sup{M}稱為式（1）的最佳常數(shù)因子。

為避免重復(fù)，本文中，記

型Hlder逆向不等式

當(dāng)且僅當(dāng)an=C1（常數(shù)）和f（x）=C2（常數(shù)）時(shí)，式（2）取等號(hào)。

當(dāng)且僅當(dāng)an=C1常數(shù)時(shí)，式（3）取等號(hào)。

又根據(jù)積分型Hlder逆向不等式和式（3），有

根據(jù)式（3）和式（4）取等號(hào)的條件，可知當(dāng)且僅當(dāng)an=C1和f（x）=C2時(shí)，式（2）取等號(hào)。

證明 根據(jù)擬齊次核K（n.x）的性質(zhì)，有

又因?yàn)镵（t，1）t－aq在（0，+∞）上遞減，故有

2最佳搭配參數(shù)的充分必要條件

其中，W0=|λ2|W1（－bp）=|λ1|W2（－aq）。

證明 （i）根據(jù)引理1及引理2，并p>0，q<0，有

故式（6）成立。

于是可知式（5）化為式（6），從而只需證明式（6）的常數(shù)因子最佳。

若式（6）的常數(shù)因子不是最佳的，則存在M0>0使

則有

于是

從而

于是式（5）可等價(jià)地寫(xiě)為

因?yàn)槭剑?）的常數(shù)因子是最佳的，故式（8）的常數(shù)因子也是最佳的，即式（8）的最佳常數(shù)因子是

因?yàn)槭剑?）的常數(shù)因子是最佳的，對(duì)比式（8）與式（9），有

從而W1（－b′p）<+∞，W2（－a′q）<+∞。 再根據(jù)前面充分性的證明，可知式（8）的最佳常數(shù)因子應(yīng)為

于是

根據(jù)逆向的Hlder不等式，有

3 不等式的算子表示

設(shè)K（n，x）≥0，定義級(jí)數(shù)算子T1與積分算子T2：

根據(jù)Hilbert型不等式的基本理論，式（1）等價(jià)于算子不等式

于是根據(jù)定理1，可得如下的等價(jià)定理：

級(jí)數(shù)算子T1和積分算子T2分別由式（12）和式（13）定義，W1（－bp）<+∞，W2（－aq）<+∞，存在常數(shù)σ>0使W2（－aq－σ）<+∞。

其中，W0=|λ2|W1（－bp）=|λ1|W2（－aq）。

則有

且

綜上并根據(jù)定理2，知推論1的結(jié)論成立。

推論3 設(shè)算子T1與T2分別為：

則有

參考文獻(xiàn)：

[1]HARDY G H， LETTLEWOOD J E， POLYA G. Inequalities ［M］. Cambridge： Cambridge University Press， 1934.

［2］ 洪勇. 關(guān)于零階齊次核的Hardy-Hilbert型不等式［J］. 浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版）， 2013， 40（1）： 15-18.

［3］ KRNIC M， CAO M Z， PECARIC J. On the best constant in Hilberts inequality ［J］. J. Math. Ineq. Appl.， 2005， 8（2）： 317-329.

［4］ 楊必成. 一個(gè)推廣的具有最佳常數(shù)因子的Hardy-Hilbert型積分不等式［J］. 數(shù)學(xué)年刊（A輯）， 2000， 21（4）： 401-408.

［5］ 洪勇， 孔蔭瑩. 含變量可轉(zhuǎn)移函數(shù)核的Hilbert型級(jí)數(shù)不等式［J］. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)（A輯）， 2014， 34（3）： 708-715.

［6］ 匡繼昌． 常用不等式［M］． 濟(jì)南： 山東科學(xué)技術(shù)出版社， 2004： 534-535．

［7］ 洪勇． 一類具有準(zhǔn)齊次核的涉及多個(gè)函數(shù)的Hilbert型積分不等式［J］． 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 2014， 57（5）： 833-840.

［8］ YANG B C. On a extension of Hilberts integral inequality with some parameters ［J］. The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2004， 1（1）： 1-8.

［9］ KUANG J C. On new extensions of Hilberts integral inequality ［J］. Journal Mathematical Analysis and Applications， 1999， 235： 608-614.

［10］高明哲. 關(guān)于Hardy-Riesz拓廣的Hilbert不等式的一個(gè)改進(jìn)［J］. 數(shù)學(xué)研究與評(píng)論， 1994， 14（2）： 255-259.

［11］洪勇， 溫雅敏. 齊次核的Hilbert型級(jí)數(shù)不等式取最佳常數(shù)因子的充要條件［J］. 數(shù)學(xué)年刊（A輯）， 2016， 37（3）： 329-336.

［12］洪勇， 吳春陽(yáng)， 陳強(qiáng). 一類非齊次核的最佳Hilbert型積分不等式的搭配參數(shù)條件［J］. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版）， 2021， 59（2）： 207-212.

［13］楊必成， 陳強(qiáng). 一類非齊次核逆向的Hardy型積分不等式成立的條件［J］. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版）， 2017， 55（4）： 804-808.

［14］HE B， HONG Y， LI Z. Conditions for the validity of a class of optimal Hilbert type multiple integral inequalities with non-homogeneous kernels ［J］. Journal of Inequalities and Applications， 2021， 64（1）： 1-12.

［15］HONG Y， LIAO J Q， YANG B C. A class of Hilbert-type multiple Integral inequalities with the kernel of generalized homogeneous function and applications ［J］. J. Inequal. Appl.， 2020， 140（1）： 1-13.

［16］HONG Y， HUANG Q L， CHEN Q. The parameter conditions for the existence of the Hilbert-type multiple integral inequality and its best constant factor ［J］. Annals of Functional Analysis， 2021， 12（1）： 1-15.

［17］LIAO J Q， HONG Y， YANG B C. Equivalent conditions of a Hilbert-type multiple integral inequality holding ［J/OL］. Journal of Function Space， 2020（2020-04-15）[2023-03-27]. https：//www.hindawi.com/journals/jfs/2020/3050952/. DOI：10.1155/2020/3050952.

［18］RASSIAS M T， YANG B C. Equivalent propertise of a Hilbert-type integral inequality with the best constant factor related the Hurwitz Zeta function ［J］. Ann Funct Anal， 2018， 9（2）： 282-295.

Conditions for the Optimal Matching Parameters of

Quasi-Homogeneous Kernel Semi-Discrete Hilbert-Type

Inverse Inequalities and Operator Representations

Abstract：

Using the weight functions method and real analysis techniques ， the inverse form of the Hilbert-type inequality is discussed in the lαp（N） and Lβp（0，+∞）， sufficient necessary condition are obtained for the optimal matching parameters of the inverse inequality when it has optimal constant factors， and finally the equivalent operator representations and special cases are given.

Key words：

semi-discrete Hilbert-type inverse inequality; quasi-homogeneous kernel; the best constant factor; the optimal matching parameters; sufficient and necessary conditions; operator expression