何潔

【摘?? 要】圍繞檢測題“∠1和∠2是否相等”展開調(diào)查分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要從“看”“量”以及“論證”三個角度說明理由?；诖?，教師設(shè)計了比較精準(zhǔn)的教學(xué)過程，并通過后測獲得以下啟示與建議：學(xué)生習(xí)慣用“具體的數(shù)或數(shù)的運算”說理，不習(xí)慣用抽象的符號說理；對學(xué)生認(rèn)知水平的評價不僅要關(guān)注結(jié)果的正確性，也要關(guān)注過程表達的邏輯性；從調(diào)查入手，仔細(xì)分析學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)狀是實施精準(zhǔn)教學(xué)的前提。

【關(guān)鍵詞】說理；調(diào)查分析；推理意識

一、問題的提出

某區(qū)四年級上冊的質(zhì)量檢測卷中，出現(xiàn)了這樣一道題目（如圖1）。

本題不僅要求學(xué)生準(zhǔn)確判斷兩個角是否相等，還要求他們說明判斷的理由。這樣的題目，有多少學(xué)生能夠正確作出判斷？學(xué)生會從哪些角度入手說明理由？對于那些無法正確說明理由的學(xué)生，他們面臨的具體困難是什么？帶著這一系列問題，筆者開展了調(diào)查與分析，從而準(zhǔn)確把握學(xué)生說理的角度，為教師實施精準(zhǔn)教學(xué)提供參考。

二、分析與結(jié)果

筆者在所在學(xué)校四年級中，選取不同教師執(zhí)教的三個班級共130名學(xué)生展開測評。對回收的130份試卷進行深入分析后，得出以下結(jié)論。

（一）超過九成的學(xué)生判斷∠1和∠2相等

統(tǒng)計結(jié)果顯示，有119名學(xué)生認(rèn)為∠1和∠2相等，占總?cè)藬?shù)的91.54%。這表明在四年級學(xué)生中，有超過九成的學(xué)生能夠正確判斷這兩個角相等。而余下的11名學(xué)生（占總?cè)藬?shù)的8.46%）受各種因素影響，認(rèn)為∠1和∠2不相等。

（二）學(xué)生主要從“看”“量”以及“論證”這三個角度說明理由

學(xué)生會從哪些角度入手說明理由，會如何表達說理的過程，是評價中的一項重要內(nèi)容，也是實施精準(zhǔn)教學(xué)的前提。通過對130份試卷的分析，筆者發(fā)現(xiàn)：學(xué)生主要從“看”“量”以及“論證”這三個角度入手說明理由。

1.“看”的角度

“看”是指觀察題目給出的示意圖，通過目測，判斷∠1和∠2的大小關(guān)系。采用這種方法的學(xué)生共有18人，占總?cè)藬?shù)的13.85%。從“看”的角度說理可分成兩種情況。

一是借助“第三個量”判斷兩角相等。這里的“第三個量”指的是與∠1和∠2都相等的量。例如，有學(xué)生利用“看起來∠1和∠2都是90°的一半”這一觀察結(jié)果，得出∠1=∠2的結(jié)論。這里的“90°的一半”就是“第三個量”。部分學(xué)生為了進一步驗證“看”的結(jié)果的合理性，還運用算式計算出角的度數(shù)，從而證明兩角相等。具體來說，學(xué)生是先看出∠1和∠2都是45°，再通過算式90°÷2=45°來“有力”說明∠1和∠2兩角的確是相等的。

二是通過“移動重合”判斷兩角相等?！耙苿又睾稀笔侵笇ⅰ?或∠2進行移動，看它們是否重合，從而得出結(jié)論。例如，有學(xué)生寫著：“相等，因為把陰影部分向下移，∠1和∠2是重合的?！边€有學(xué)生的理由是：“因為它們（指∠1和∠2）可以重疊在一起?！边@部分學(xué)生是運用長方形紙片進行實際操作得出結(jié)論的，還是沒有操作通過想象得出結(jié)論的呢？訪談發(fā)現(xiàn)，這些學(xué)生是在頭腦中利用表象通過想象旋轉(zhuǎn)∠1或∠2使兩角重合，進而判斷兩角相等。

2.“量”的角度

“量”是指學(xué)生通過使用量角器測量出∠1和∠2的度數(shù)來判斷它們是否相等的結(jié)論。采用這種方法的學(xué)生僅有3名，占總?cè)藬?shù)的2.31%。其中兩名學(xué)生測量得到的結(jié)果是∠1與∠2相等，而另一名學(xué)生因為測量時的誤差，得到不相等的結(jié)果。

3.“論證”的角度

“論證”是指學(xué)生運用已知條件，有根有據(jù)地進行推理，從而得到∠1和∠2相等。采用這種方法的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的36.92%。說理過程主要有以下兩種形式。

第一種是利用“兩角之和相等”進行論證。這些學(xué)生先將∠1和∠2之間的角命名為∠3，并在圖上標(biāo)注出來（如圖2）。然后利用∠1與∠3、∠2與∠3“兩角之和”都是90°這一事實得出結(jié)論。即：因為∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2。雖然四年級學(xué)生尚未學(xué)過“等式的性質(zhì)”或“余角的性質(zhì)”，但仍有35名學(xué)生（占總?cè)藬?shù)的26.92%）采用“兩角之和”的思路來論證。

第二種是利用“兩角之差相等”進行論證。學(xué)生同樣先將∠1和∠2之間的角命名為∠3，在圖上標(biāo)注出來。然后利用∠1=90°-∠3、∠2=90°-∠3，得出∠1=∠2的結(jié)論。這種論證思路與“兩角之和”的論證思路類似，但更直接地運用了“等量的等量相等”這一原理，共有13名學(xué)生（占總?cè)藬?shù)的10.00%）采用這種思路。

（三）學(xué)生遇到的主要困難是“不知道度數(shù)”和“不知道怎么說明理由”

針對學(xué)生在解題過程中遇到的困難，筆者也展開了調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，在130名學(xué)生中，有70名學(xué)生表示未遇到困難或未書寫困難，另外60名學(xué)生則詳細(xì)描述了他們在解題過程中遇到的困難。其中，“不知道度數(shù)”和“不知道怎么說明理由”是學(xué)生遇到的主要困難。

1.不知道度數(shù)

“不知道度數(shù)”是指學(xué)生不知道∠1、∠2和∠3的度數(shù)，所以無法判斷兩角相等。學(xué)生的描述有：“不清楚∠1和∠2是多少度?！薄安恢馈?是多少度，所以不能確認(rèn)∠1到底等不等于∠2?！薄安恢佬D(zhuǎn)的度數(shù)，沒有確切的度數(shù)，不好算?！痹?0名詳細(xì)描述遇到的困難的學(xué)生中，有31名學(xué)生表達了這種“不知道度數(shù)”的困惑。這些學(xué)生認(rèn)為，判斷兩個角的大小首先要知道它們各是多少度。

2.不知道怎么說明理由

“不知道怎么說明理由”是指學(xué)生不知道怎么來表達∠1和∠2相等或不相等的理由。學(xué)生的描述有：“不知道怎樣詳細(xì)說明理由?！薄跋氲搅藚s寫不出來，不知道怎么表達?！薄皼]有辦法清楚直觀地寫出自己想要表達的觀點。”在60名詳細(xì)描述遇到的困難的學(xué)生中，有13名學(xué)生表達了諸如“不知道怎么說明理由”的困惑。事實上，四年級學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)經(jīng)歷中確實較少遇到這樣需要寫出說理過程的問題，所以他們不知道怎么說明理由也在情理之中。

三、教學(xué)實施

經(jīng)過上述深入細(xì)致的調(diào)查與分析，筆者已經(jīng)較為清晰地掌握了學(xué)生在判斷兩個角是否相等問題上的正確率。同時，也明確了學(xué)生會從哪些角度說理以及如何說理，知道了他們在解決這個問題時遇到的主要困難是什么?；谶@些信息，筆者設(shè)計了更加精準(zhǔn)的教學(xué)過程，以確保教學(xué)目標(biāo)的順利實現(xiàn)。

（一）教學(xué)過程

1.讓學(xué)生獨立思考并解決這個問題，為小組交流做準(zhǔn)備

（1）根據(jù)你的判斷，∠1和∠2相等嗎？

（2）你的理由是什么？

這個環(huán)節(jié)主要是讓學(xué)生對相關(guān)內(nèi)容進行回顧與梳理，重點準(zhǔn)備在小組交流中怎么說。

2.學(xué)生以四人小組為單位，分別在小組中說一說自己的結(jié)論與理由

根據(jù)前期調(diào)查，預(yù)計有超過三分之一的學(xué)生會采用“論證”的方法。本環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生通過交流了解不同的說理方式，學(xué)習(xí)如何運用已知的條件有根有據(jù)地講道理，即運用論證的方法說理。

3.要求學(xué)生做好在全班交流的準(zhǔn)備

（1）你們小組有沒有形成統(tǒng)一的結(jié)論？

（2）你們小組采用了哪幾種說理的方法？

（3）你們小組認(rèn)為哪一種說理的方法是比較可靠的，為什么？然后推薦一名同學(xué)為小組代表，向全班匯報。

從前面的調(diào)查分析中可知，學(xué)生主要采用“看”“量”以及“論證”的方法進行說理。所以在一個小組中，有可能會出現(xiàn)兩種或兩種以上的說理方法，因此，本環(huán)節(jié)要求學(xué)生對幾種說理方法進行初步比較，以便在全班交流，讓學(xué)生通過生生交流和師生交流提升說理的嚴(yán)密性。

4.全班交流

先由一名小組代表發(fā)言，匯報準(zhǔn)備的內(nèi)容，其他小組進行補充。然后在教師的引導(dǎo)下，歸納出“看”“量”與“論證”三種說理方法。接著，通過實物操作與課件動態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察長方形的旋轉(zhuǎn)過程，看到兩個長方形完全重合。最后，讓學(xué)生比較三種說理方法的可靠性，體會論證方法的嚴(yán)密性，從而得出以下結(jié)論。

（1）觀察∠1和∠2是否相等的確重要，但僅憑觀察得出的結(jié)論是不可靠的。即使先觀察到∠1和∠2都是直角的一半，再用算式算出∠1和∠2都等于45°，這樣的說理方法仍然不可靠。

（2）量的方法相對可靠，但存在誤差。不同的人或同一個人多次測量同一角度，可能會得到不同的結(jié)果。比如，可能一個人量出來都是45°，說∠1與∠2相等，而另一個人量出∠1與∠2相差1°，說兩角不相等。因此，僅憑量的結(jié)果判斷∠1與∠2是否相等也沒有那么可靠。

（3）運用已知條件有根有據(jù)地說理論證是最可靠的方法。題目要求判斷“∠1和∠2是否相等”，因此需先尋找∠1（或∠2）與已知條件之間的關(guān)系，再進行說理。已知長方形的角是直角（90°），∠1和∠2都比直角（90°）要小，且∠1（或∠2）與兩個角之間未標(biāo)注的角（學(xué)生將其命名為∠3）之和正好等于直角?；谶@一發(fā)現(xiàn)，學(xué)生可以得到：∠1+∠3=90°和∠2+∠3=90°。由于兩個等式中都有∠3，因而可以得出∠1=∠2的結(jié)論。另一種表達方式是：∠1=90°-∠3，∠2=90°-∠3，得出∠1=∠2?？傊?，無論使用“和相等”還是“差相等”的方式來說理論證，其思路都是類似的，都是基于已知條件和數(shù)學(xué)原理進行嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)的過程。

5.回顧與小結(jié)（略）

（二）后測的試題、結(jié)果與分析

上述教學(xué)過程是否真正促進了學(xué)生的發(fā)展？是否有效幫助更多學(xué)生掌握論證的方法？這樣教學(xué)后，學(xué)生是否學(xué)會了遷移應(yīng)用？為了驗證這些猜測，筆者對學(xué)生進行了后測。以下是后測試題、所得結(jié)果以及對結(jié)果的簡要分析。

1.后測試題

原來的后測試卷是在試卷中增加了以下三道題。

（1）下圖（如圖3）由直角三角形ABC旋轉(zhuǎn)而成。圖中∠4與∠5相等嗎？請說明理由。

（2）下圖（如圖4）由三角形ABC旋轉(zhuǎn)而成。圖中∠6與∠7相等嗎？請說明理由。

（3）下圖（如圖5）是一個長方形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)的示意圖。觀察它的旋轉(zhuǎn)過程，你發(fā)現(xiàn)了什么？寫一寫。

2.測試結(jié)果

共有130名學(xué)生參與后測，新增三題的測試情況如表1所示。

3.結(jié)果分析

從所得數(shù)據(jù)可以看出，經(jīng)過這樣的教學(xué)過程，學(xué)生采用論證方法說理的正確率從原來的36.92%提升至90%以上。特別是第（1）題和第（2）題，超過90%的學(xué)生成功遷移了解決問題的方法。此外，進一步對第（3）題進行分析，發(fā)現(xiàn)有超過70%的學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“不管在什么情況下（怎么旋轉(zhuǎn)），∠1和∠3的度數(shù)始終保持一致（因為∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°）”的規(guī)律。

四、研究啟示與建議

（一）學(xué)生習(xí)慣用“具體的數(shù)或數(shù)的運算”說理，不習(xí)慣用抽象的符號說理

通過上面的調(diào)查與分析可知，為了說明∠1=∠2，學(xué)生希望知道它們各是多少度，或者用算式計算出它們的具體度數(shù)來說明這兩個角相等，而不習(xí)慣用“等量的等量相等”這樣的原理以及抽象的符號說理。如圖6所示，學(xué)生在得出“∠1=90°-∠3，∠2=90°-∠3”后，并未立即意識到∠1=∠2，而是繼續(xù)計算兩角的具體度數(shù)，直至得出“40°=40°”的結(jié)論，才確認(rèn)兩角相等。這表明學(xué)生在沒有具體數(shù)值支撐的情況下，對結(jié)論的可靠性存在疑慮。只有當(dāng)他們通過測量或觀察得出具體度數(shù)，并通過計算驗證兩角度數(shù)相等后，才會對結(jié)論感到“安全”。

（二）對學(xué)生認(rèn)知水平的評價不僅要關(guān)注結(jié)果的正確性，也要關(guān)注過程表達的邏輯性

根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，雖然超過90%的學(xué)生能夠正確判斷∠1和∠2相等，但能夠清晰說明理由的學(xué)生比例卻不足60%。這意味著在認(rèn)知過程中有超過30%的學(xué)生存在說理障礙。若僅依據(jù)結(jié)果進行判斷，就無法全面了解這部分學(xué)生的真實認(rèn)知水平。例如，學(xué)生甲僅憑觀察就得出了∠1和∠2相等，而學(xué)生乙在觀察后還用量角器進行了測量，結(jié)果由于測量的誤差，得出了∠1和∠2不相等的結(jié)論。如果只看結(jié)果，容易誤認(rèn)為學(xué)生甲比學(xué)生乙的認(rèn)知水平高。而事實上，學(xué)生乙的認(rèn)知水平是高于學(xué)生甲的。因此，在評價學(xué)生的認(rèn)知水平時，必須同時關(guān)注結(jié)果的正確性和過程表達的邏輯性。

（三）從調(diào)查入手，仔細(xì)分析學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)狀是實施精準(zhǔn)教學(xué)的前提

上述調(diào)查與分析幫助教師了解了學(xué)生的真實起點和需求，使教師對學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)狀有了更為清晰的認(rèn)識，這為他們后續(xù)實施精準(zhǔn)教學(xué)提供了有力的支撐和依據(jù)。從后測結(jié)果可知，四年級學(xué)生已經(jīng)具備推理的能力。只要教師的引導(dǎo)方法得當(dāng)，學(xué)生就能夠達到“有根有據(jù)、有條有理”的說理水平。

致謝：衷心感謝朱樂平老師多次悉心的指導(dǎo)！

（浙江省杭州市臨平區(qū)天長世紀(jì)小學(xué)）