熊梅 張大林

摘??要：?在線性代數(shù)教學(xué)過程中，矩陣的逆及矩陣的特征值和特征向量是學(xué)生比較難以掌握的兩個重要知識點(diǎn)，本文借助MATLAB軟件，結(jié)合基本概念和求法解析，通過實驗項目的設(shè)計，在實驗教學(xué)過程中讓學(xué)生加深對逆矩陣及矩陣的特征值和特征向量的理解和掌握，并在實際學(xué)習(xí)過程中加以應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：?逆矩陣；特征值；實驗教學(xué)；MATLAB

MSC（2010）主題分類??15A99

中圖分類號：O151.2

Experimental?Teaching?Design?of?Linear?Algebra?Based?on?MATLAB

--?Take?the?Inverse?of?Matrix，?Eigenvalues?and?Eigenvectors?as?an?Example

Xiong?Mei??Zhang?Dalin

School?of?Mathematics?and?Statistics?of?Qiannan?Normal?University?for?Nationalities??GuizhouDuyun??558000

Abstract：In?the?process?of?linear?algebra?teaching，?the?inverse?of?matrix?and?the?eigenvalue?with?eigenvector?of?matrix?are?two?important?points.It?is?difficult?for?students?to?understand.?In?this?paper，?with?the?help?of?MATLAB?software，?combined?with?basic?concepts?and?solving?analysis，?through?the?design?of?experimental?projects，?let?students?to?deepen?their?understanding?and?mastery?of?the?inverse?matrix?and?its?eigenvalue?and?eigenvector?in?the?process?of?experimental?teaching.?And?apply?it?in?the?actual?learning?process.

Key?words：inverse?matrix;eigenvalue;experimental?teaching;MATLAB

MR（2010）Subject?Classificatio?15A99

Chinese?Library?Classificatio O151.2

1?概述

線性代數(shù)是高等院校計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、物理學(xué)、電子信息工程等理工類專業(yè)以及經(jīng)濟(jì)管理、市場營銷、財務(wù)管理等財經(jīng)類專業(yè)必修的一門重要的數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課.[1]?主要包括行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型等內(nèi)容。是學(xué)生學(xué)習(xí)諸多后續(xù)課程的重要理論基礎(chǔ)，對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力非常重要．在實際教學(xué)過程中，許多學(xué)生都認(rèn)為該課程比較抽象，計算量大，計算時容易出錯．尤其是逆矩陣和矩陣的特征值和特征向量概念的掌握和計算.?為此，我們將數(shù)學(xué)實驗引入線性代數(shù)教學(xué)中，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度，讓學(xué)生更深入地理解和鞏固線性代數(shù)的基本概念和原理．

2?逆矩陣的概念

定義1?對于n階矩陣A，如果有一個n階矩陣B，使AB=BA=E，?則稱矩陣A是可逆的，并稱矩陣B為A的逆矩陣，A的逆矩陣記為，即.[2]

記，設(shè)，，則由行列式的依行依列展開公式，有

故

從而，E，同理E，由逆矩陣的定義得，由此可得出求逆矩陣.

3??矩陣特征值及特征向量

定義2?設(shè)是階矩陣，如果數(shù)和維非零向量，使關(guān)系式成立，則稱數(shù)為矩陣的特征值，非零向量稱為的對應(yīng)于特征值的特征向量（可以是復(fù)數(shù)，的元素與的分量也可以是復(fù)數(shù)）.[2]

由得，即得個未知數(shù)個方程的齊次線形方程組.?其有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式.?方程是以為未知數(shù)的一元次方程，稱為矩陣的特征方程.?是的次多項式，記作，?稱為矩陣的特征多項式.?顯然，的特征值就是特征方程的解.?特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，其個數(shù)為方程的次數(shù)（重根按重數(shù)計算）.?因此，矩陣在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有個特征值.

4??實驗項目設(shè)計

4.1??MATLAB軟件的句子操作命令

（1）det（A）??????????%求方陣A的行列式

（2）rank（A）?????????%求矩陣A的秩

（3）trace（A）????????%求矩陣A的跡

（4）inv（A）??????????%求矩陣A的逆

（5）norm（A）????????%矩陣A的2-范數(shù)

（6）eig（A）???????????%計算矩陣A的特征值

（7）[V，?D]=eig（A）??????%計算矩陣A的特征向量及特征值，用特征值做對角元生成相應(yīng)階數(shù)的對角矩陣D，相應(yīng)的特征向量生成矩陣V，滿足AV=VD.[3]

4.2??實驗要求

（1）給出矩陣A，判斷矩陣A是否可逆；（2）利用公式，求；（3）利用矩陣的初等行變換求；（4）利用整數(shù)逆矩陣加密方法進(jìn)行加密解密練習(xí)；（5）求矩陣的特征值及特征向量。

4.3??實驗內(nèi)容

（1）給出矩陣。

判斷A是否可逆.[3]

在MATLAB中輸入命令

hls=det（A）???%求方陣的行列式

hls?=-33????%行列式不為0

由矩陣A的行列式不等于0可知，矩陣A可逆。

（2）利用公式，求。

在實際教學(xué)過程中，對于用定義來求逆矩陣，學(xué)生在計算時容易發(fā)生幾個方面的失誤：一是計算代數(shù)余子式是忘記乘，二是計算伴隨矩陣時沒有轉(zhuǎn)置，直接將替換矩陣A的元素后的新矩陣作為伴隨矩陣，三是對定于掌握不透，直接用來計算。通過實驗?zāi)軌驈?qiáng)化學(xué)生對計算步驟中每個細(xì)節(jié)的掌握，從而減少筆算的錯誤。實現(xiàn)代碼如下：

A=[1?-1?2?-1;?-1?1?3?-2;?2?3?1?0;-1?-2?0?1];

for?i=1：4;

for?j=1：4;

C=A;

C（：，?[i]）=[];?%刪除第i行

C（[j]，?：）=[];?%刪除第j列

A1（i，j）=（-1）^（i+j）*det（C）;

end

end

Astar=（A1）'

invA=Astar/det（A）

運(yùn)行得

Astar?=

-12.0000????9.0000???-3.0000????6.0000

9.0000???-4.0000???-6.0000????1.0000

-3.0000???-6.0000???-9.0000??-15.0000

6.0000????1.0000??-15.0000??-25.0000

invA?=

0.3636???-0.2727????0.0909???-0.1818

-0.2727????0.1212????0.1818???-0.0303

0.0909????0.1818????0.2727????0.4545

-0.1818???-0.0303????0.4545????0.7576

上述方法與直接應(yīng)用命名inv（A）所求結(jié)果一致。在MATLAB中直接輸入命令inv（A）得

ans?=

0.3636???-0.2727????0.0909???-0.1818

-0.2727????0.1212????0.1818???-0.0303

0.0909????0.1818????0.2727????0.4545

-0.1818???-0.0303????0.4545????0.7576

（3）用初等變換求。

初等行變換方法?利用計算逆矩陣.?先生成矩陣，再利用命令可得，求出.?同時可要求學(xué)生通過筆算步驟編程，求出并于前面的結(jié)果比較，加強(qiáng)學(xué)生對初等變換求逆矩陣計算的掌握。以下是兩種方式計算的結(jié)果：

A=[1?-1?2?-1;?-1?1?3?-2;?2?3?1?0;-1?-2?0?1];

E=[1?0?0?0;0?1?0?0;0?0?1?0;0?0?0?1];

AE=[A?E];

rref（AE）

ans?=

1.0000?????????0?????????0?????????0????0.3636???-0.2727????0.0909???-0.1818

0????1.0000?????????0?????????0???-0.2727????0.1212????0.1818???-0.0303

0?????????0????1.0000?????????0????0.0909????0.1818????0.2727????0.4545

0?????????0?????????0????1.0000???-0.1818???-0.0303????0.4545????0.7576

筆算步驟編碼：

A=[1?-1?2?-1;?-1?1?3?-2;?2?3?1?0;-1?-2?0?1];

E=[1?0?0?0;0?1?0?0;0?0?1?0;0?0?0?1];

AE=[A?E];

AE?=

1????-1?????2????-1?????1?????0?????0?????0

-1?????1?????3????-2?????0?????1?????0?????0

2?????3?????1?????0?????0?????0?????1?????0

-1????-2?????0?????1?????0?????0?????0?????1

AE（2，：）=AE（2，：）-AE（1，：）*（AE（2，1）/AE（1，1））;

AE（3，：）=AE（3，：）-AE（1，：）*（AE（3，1）/AE（1，1））;

AE（4，：）=AE（4，：）-AE（1，：）*（AE（4，1）/AE（1，1））;

AE（[2，4]，：）=AE（[4，2]，：）;

AE（3，：）=AE（3，：）-AE（2，：）*（AE（3，2）/AE（2，2））;

AE（4，：）=AE（4，：）-AE（3，：）*（AE（4，3）/AE（3，3））;

AE（3，：）=AE（3，：）-AE（4，：）*（AE（3，4）/AE（4，4））;

AE（1，：）=AE（1，：）-AE（4，：）*（AE（1，4）/AE（4，4））;

AE（2，：）=AE（2，：）-AE（3，：）*（AE（2，3）/AE（3，3））;

AE（1，：）=AE（1，：）-AE（3，：）*（AE（1，3）/AE（3，3））;

AE（1，：）=AE（1，：）-AE（2，：）*（AE（1，2）/AE（2，2））;

AE（2，：）=AE（2，：）/AE（2，2）;

AE（3，：）=AE（3，：）/AE（3，3）;

AE（4，：）=AE（4，：）/AE（4，4）

AE?=

1.0000????0?????????0?????????0????0.3636???-0.2727????0.0909???-0.1818

0????1.0000?????????0?????????0???-0.2727????0.1212????0.1818???-0.0303

0?????????0????1.0000?????????0????0.0909????0.1818????0.2727????0.4545

0?????????0?????????0????1.0000???-0.1818???-0.0303????0.4545????0.7576

與直接命令和初等變換命令的計算結(jié)果一致。在MATLAB中，若去除每一行的分號，則顯示每一步的結(jié)果。此代碼便于學(xué)生在筆算過程中判斷每一步的是否正確，從而強(qiáng)化了初等變換計算逆矩陣的理解和掌握。最后求得

（4）利用整數(shù)加密方法對信息鏈“QIANNAN?NORMAL?UNIVERSITY”做加密解密練習(xí)。

“加密鎖”及“解密鑰匙”的生成?從一個單位矩陣E出發(fā)，對該單位矩陣進(jìn)行多次的初等（r1）行變換和初等（r3）行變換（k取整數(shù)），將單位矩陣變?yōu)镼（加密鎖）。由單位矩陣初等變換可知，矩陣Q行列式等于1或-1.?再根據(jù)初等變換的性質(zhì)，矩陣Q逆矩陣（解密鑰匙）必是整數(shù)矩陣。

實驗過程：選用各個英文字母的ASCII碼代替英文字母，將信息鏈“QIANNAN?NORMAL?UNIVERSITY”用一組數(shù)字表示，空格也用其ASCII碼代替，存入一個向量

W=[81，73，65，78，78，65，78，32，78，79，82，77，65，76，32，85，78，73，86，69，82，83，73，84，89]

按列優(yōu)先的規(guī)則，將信息鏈排成一個5×5階矩陣，執(zhí)行命令

W=[81，73，65，78，78，65，78，32，78，79，82，77，65，76，32，85，78，73，86，69，82，83，73，84，89];

A=reshape（W，5，5）

A?=

81????65????82????85????82

73????78????77????78????83

65????32????65????73????73

78????78????76????86????84

78????79????32????69????89

對一個5×5階的單位矩陣E，?做若干次（r1）和（r3）行變換后化為整數(shù)矩陣

Q?=

360???120????30?????6?????1

416???139????35?????7?????1

453???151????38?????8?????1

348???116????29?????6?????1

300???100????25?????5?????1

因為det（Q）=1，所以Q可逆，且

inv（Q）?=

1.0000???-1.0000????1.0000???-2.0000????1.0000

-2.0000????3.0000???-4.0000????8.0000???-5.0000

-3.0000????0.0000????4.0000???-9.0000????8.0000

-4.0000????0.0000???-0.0000????5.0000???-1.0000

-5.0000????0.0000???-0.0000????0.0000????6.0000

顯然矩陣Q的逆矩陣為整數(shù)矩陣，選Q為加密鎖，inv（Q）為解密鑰匙，將此加密鎖加載到原信息鏈上就變成了加密信息鏈B.?下面的程序為加密過程。

W=[81，?73，?65，?78，?78，?65，?78，?32，?78，?79，?82，?77，?65，?76，?32，?85，?78，?73，?86，?69，?82，?83，?73，?84，?89];

A=reshape（W，?5，?5）;

Q=[360，120，30，6，1;416，139，35，7，1;453，151，38，8，1;348，116，29，6，1;300，100，25，5，1];

B=Q*A

得到加密信息鏈為

B?=

40416???????34267???????41198???????42735???????42263

46742???????39627???????47654???????49428???????48881

50888???????43142???????51883???????53814???????53214

39087???????33143???????39841???????41330???????40874

33693???????28569???????34337???????35624???????35234

解密過程為inv（Q）*B=inv（Q）*Q*A=E*A=A，即加密信息鏈B左乘將信息鏈B解鎖回到信息鏈A.?執(zhí)行命令inv（Q）*B即可得到原信息鏈.

inv（Q）*B

ans?=

81.0000???65.0000???82.0000???85.0000???82.0000

73.0000???78.0000???77.0000???78.0000???83.0000

65.0000???32.0000???65.0000???73.0000???73.0000

78.0000???78.0000???76.0000???86.0000???84.0000

78.0000???79.0000???32.0000???69.0000???89.0000

（5）給出矩陣A，求A的特征值及特征向量。

對于矩陣A的特征值及特征向量的概念，最主要是要掌握其定義，為什么成為特征值，具體的含義是什么？由前面的定義可知，也即是矩陣A作用于向量的效果和作用的效果一致，所以才乘為矩陣A特征值.下面通過實驗項目驗證特征值及特征向量的求法.

在MATLAB隨機(jī)生成矩陣A：

A=rand（4）?%??隨機(jī)生產(chǎn)4階方陣

A=

0.8147????0.6324????0.9575????0.9572

0.9058????0.0975????0.9649????0.4854

0.1270????0.2785????0.1576????0.8003

0.9134????0.5469????0.9706????0.1419

hls=det（A）?%求方陣的行列式

hls?=-0.0261?%行列式不為0

njz=inv（A）?%矩陣可逆，求逆矩陣

njz?=

-15.2997????3.0761???14.7235????9.6445

-0.2088???-1.8442????1.0366????1.8711

14.5694???-1.9337??-14.6497???-9.0413

-0.3690????0.5345????1.4378???-0.4008

E=njz*A?%驗證逆矩陣的正確性

E?=

1.0000????0.0000???-0.0000???-0.0000

-0.0000????1.0000????0.0000???-0.0000

0.0000????0.0000????1.0000????0.0000

-0.0000???-0.0000???-0.0000????1.0000

[tzxl，?tzz]=eig（A）?%求矩陣特征向量及特征值

tzxl?=

-0.6621???-0.7149????0.1745????0.1821

-0.4819???-0.0292???-0.6291???-0.9288

-0.2766????0.6972????0.5995????0.3178

-0.5029???-0.0438???-0.4630????0.0570

tzz?=

2.4021?????????0?????????0?????????0

0???-0.0346?????????0?????????0

0?????????0???-0.7158?????????0

0?????????0?????????0???-0.4400

驗證？命令如下：

A=[0.8147，0.6324，0.9575，0.9572;0.9058，0.0975，0.9649，0.4854;0.1270，0.2785，0.1576，0.8003;0.9134，0.5469，???0.9706，0.1419];

Lambda=2.4021;

X=[-0.6621，-0.4819，-0.2766，-0.5029]';

A*X

ans?=[-1.5904，-1.1577，-0.6644，-1.2081]'

Lambda*X

ans?=[-1.5904，-1.1576，-0.6644，-1.2080]'

考慮計算機(jī)精度問題，可知?成立.

結(jié)語

在線性代數(shù)教學(xué)過程中引入實驗項目的教學(xué)內(nèi)容，可以讓學(xué)生更好的理解所學(xué)的概念和計算的過程，并讓學(xué)生學(xué)會通過數(shù)學(xué)軟件解決計算量大的實際問題，補(bǔ)充了課堂教學(xué)所不能展開的演算過程和結(jié)果驗證，豐富了線性代數(shù)的教學(xué)活動，提高教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

• 劉蒙.?MATLAB?軟件在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2017，3.
• 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.?線性代數(shù)（第六版）[M].?高等教育出版社，?2017.
• 李繼成.?數(shù)學(xué)實驗（第二版）［M].?北京：?高等教育出版社，?2014.

基金項目：黔南州科技局?jǐn)?shù)學(xué)一流學(xué)科項目（2020XK03ST），黔南民族師范學(xué)院高層次人才專項（qnsyrc202204）

作者簡介：熊梅（1979—??），女，貴州安龍人，學(xué)士，高級實驗師，研究方向：數(shù)學(xué)實驗教學(xué)與管理。

*通訊作者：張大林（1981—??），男，貴州普定人，博士，副教授，研究方向：最優(yōu)化理論及應(yīng)用、普惠金融。