王震

摘?要：本文利用作商法探究二項分布中的最值問題，給出“最可能成功次數(shù)”的定義，并得到最值問題的相關(guān)結(jié)論，最后結(jié)合高考模擬試題談?wù)劷Y(jié)論的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：二項分布；最值問題；最可能成功次數(shù)

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）15-0014-03

二項分布的最值問題，實質(zhì)上就是在求“最可能成功次數(shù)”.這是二項分布的一個重要概念，在2019年人教A版教科書《數(shù)學選擇性必修第三冊》中雖然沒有直接提到這一概念，但在81頁《探究與發(fā)現(xiàn)》欄目中，專門討論了二項分布的性質(zhì)，其所討論的問題就是在求最可能成功次數(shù).

1 二項分布

一般地，在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則

P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n.

此時稱隨機變量X服從二項分布[1]，記作X～B（n，p），并稱p為成功概率.

注?注意到Ckn（1-p）n-kpk，k=0，1，2，…，n，是二項式［（1-p）+px］n展開式中xk項的系數(shù)，因此稱其為二項分布.

2 二項分布的期望與方差

若X～B（n，p），則E（X）=np，D（X）=np（1-p）.

3 二項分布最值問題的一個結(jié)論當n，p固定時，P（X=k）=Ckn（1-p）n-kpk先隨k增大而增大，達到某一最大值后又逐漸下降.

由于0

P（X=k）P（X=k-1）=（n-k+1）pkp=1+（n+1）p-kkp，

因此

當k<（n+1）p時，P（X=k）>P（X=k-1）；

當k=（n+1）p時，P（X=k）=P（X=k-1）；

當k>（n+1）p時，P（X=k）

令m=［（n+1）p］（即m是（n+1）p的整數(shù)部分），由以上分析知，當k從0變到n時，P（X=k）先單調(diào)遞增，當k=m時達到最大值，然后單調(diào)遞減.但若（n+1）p=m，則此時P（X=k）=P（X=k-1）同時達到最大值.

使P（X=k）取最大值的項P（X=m）稱為P（X=k）的中心項，而m稱為最可能成功次數(shù).若（n+1）p是整數(shù)，也是最可能成功次數(shù).

4 結(jié)論的應(yīng)用

例1?如果某射手每次擊中目標的概率為0.8，每次射擊的結(jié)果相互獨立，那么他在10次射擊中，最有可能擊中目標幾次[2]？

解?設(shè)他在10次射擊中，擊中目標的次數(shù)為X，由于射擊中每次射擊的結(jié)果是相互獨立的，因此X～B（10，0.8）.于是恰好k次擊中目標的概率為

P（X=k）=Ck10×0.8k×0.210-k，k=0，1，2，…，10.

從而

P（X=k）P（X=k-1）=（10-k+1）×0.8k×0.2

=1+11×0.8-kk×0.2，k=0，1，2，…，10.

于是，當k<8.8時，P（X=k-1）8.8時，P（X=k-1）

由以上分析可知，他在10次射擊中，最有可能擊中目標8次.

例2?（2020年東北三省二模）N95型口罩是新型冠狀病毒的重要防護用品，它對空氣動力學直徑≥0.3 um的顆粒的過濾效率達到95%以上.某防護用品生產(chǎn)廠生產(chǎn)的N95型口罩對空氣動力學直徑≥0.3 um的顆粒的過濾效率服從正態(tài)分布N（0.97，9.025×10-5）.

（1）當質(zhì)檢員隨機抽檢10只口罩，測量出一只口罩對空氣動力學直徑≥0.3 um的顆粒的過濾效率為93.6%，他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備和工人工作情況.請你根據(jù)所學知識，判斷該質(zhì)檢員的要求是否有道理，并說明判斷的依據(jù).

（2）該廠將空氣動力學直徑≥0.3 um的顆粒的過濾效率達到95.1%以上的N95型口罩定義為“優(yōu)質(zhì)品”.

①求該企業(yè)生產(chǎn)的一只口罩為“優(yōu)質(zhì)品”的概率；

②該企業(yè)生產(chǎn)了1 000只這種N95型口罩，且每只口罩互相獨立，記X為這1 000只口罩中“優(yōu)質(zhì)品”的件數(shù)，當X為多少時可能性最大（即概率最大）？

解?（1）過程略.

（2）①不妨記：“N95口罩的過濾效果”為Y，則一只口罩為“優(yōu)質(zhì)品”的概率為

P（Y>0.951）=P（Y>0.97-2σ）

=1-［12-P（0.97-2σ

=0.977 2.

②依題意X～B（1 000，0.977 2），記n=1 000，p=0.977 2，P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，1 000）.

問題等價于求當k取何值時P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k取得最大值.

方法1?由

Cknpk（1-p）n-k≥Ck-1npk-1（1-p）n-k+1Cknpk（1-p）n-k≥Ck+1npk+1（1-p）n-k-1，

化簡得pk≥1-pn+1-k1-pn-k≥pk+1，即（n+1）p-1≤k≤（n+1）p，

從而1 001p-1≤k≤1 001p，解得k=978.

方法2?由于對0

P（X=k）P（X=k-1）=（n-k+1）pkp=1+（n+1）p-kkp，

因此

當k<（n+1）p時，P（X=k）>P（X=k-1）；

當k=（n+1）p時，P（X=k）=P（X=k-1）；

當k>（n+1）p時，P（X=k）

以上分析知，P（X=k）在（0，（n+1）p）單調(diào)遞增，在（（n+1）p，n）單調(diào)遞減.

代入數(shù)據(jù)得，（n+1）p=1 001×0.977 2=978.177 2，而k是正整數(shù)，所以P（X=978）>P（X=977）且P（X=979）

例3?設(shè)某種疾病的發(fā)病概率是0.01，問在500人的社區(qū)中進行普查，最有可能的發(fā)病人數(shù)是.

解?設(shè)發(fā)病人數(shù)為X，易知X～B（500，0.01）.

知n=500，p=0.01，（n+1）p=5.01，［（n+1）p］=5，

所以最有可能發(fā)病的人數(shù)為5.

例4?（2020年吉林梅河口五中模擬）在慶祝澳門回歸祖國20周年之際，澳門特別行政區(qū)為了解人們對回歸20年的幸福指數(shù)，隨機選擇了100位市民進行了調(diào)查，將他們的年齡（單位：歲）分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]，并繪制了如圖1所示的頻率分布直方圖.

（1）現(xiàn)從年齡在[20，30），[30，40），[40，50）范圍內(nèi)的人員中，按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機選取3人進行座談，用ξ表示年齡在[30，40）范圍內(nèi)的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望；

（2）若將樣本的頻率視作概率，記X表示用隨機抽樣的方法從該地區(qū)抽取20名市民進行調(diào)查，其中年齡在[30，50）范圍內(nèi)的人數(shù).當P（X=k）（k=0，1，2，…，20）最大時，求k的值.

圖1?例4題圖

解?（1）E（ξ）=3/4，過程略.

（2）由題意知，X服從二項分布，由頻率分布直方圖可知，年齡在[30，50）范圍內(nèi)的頻率為（0.010+0.025）×10=0.35，則X～B（20，0.35），P（X=k）=Ck20（0.35）k（0.65）20-k（k=0，1，2，…，20）.

設(shè)t=P（X=k）P（X=k-1）=Ck20（0.35）k（0.65）20-kCk-120（0.35）k-1（0.65）21-k=7（21-k）13k（k=0，1，2，…，20）.

若t＞1，則k＜7.35，P（X=k）>P（X=k-1）;

若t＜1，則k＞7.35，P（X=k）

所以k=7時，P（X=k）最大.

例5?某款自營生鮮平臺以及提供配送服務(wù)的生活類App主要提供的產(chǎn)品有蔬菜、豆制品、水果、肉禽蛋、水產(chǎn)海鮮、米面糧油、食品等.某機構(gòu)為調(diào)查顧客對該軟件的使用情況，在某地區(qū)隨機抽取了100人，調(diào)查結(jié)果整理如下：

年齡段20以下[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）70以上

使用人數(shù)510188420未使用人數(shù)002123630

（1）從被抽取的年齡在[40，60）的使用者中，隨機抽取2人進一步了解情況，求這2人年齡在[50，60）的概率；

（2）為鼓勵居民使用，該機構(gòu)擬對首次下載使用App的居民贈送1張5元的代金券.若某區(qū)預(yù)計有6 000人具有購物能力，試估計該機構(gòu)至少應(yīng)準備多少張代金券；

（3）記X表示用隨機抽樣的方法從該地區(qū)抽取20名市民進行調(diào)查，其中年齡在[20，40）的人數(shù).試求P（X=k）（k=0，1，2，…，20）的最大值.

解?（1）1/11，（2）2 820，過程略.

（3）由題意，X服從二項分布，且年齡在[20，40）內(nèi)的概率為10/100+20/100=0.3，所以X～B（20，0.3）.

所以P（X=k）=Ck20（0.3）k（0.7）20-k（k=0，1，2，…，20）.

設(shè)t=P（X=k）P（X=k-1）=Ck20（0.3）k（0.7）20-kCk-120（0.3）k-1（0.7）21-k=3（21-k）7k（k=0，1，2，…，20）.

若t>1，則k<6.3，P（X=k）>P（X=k-1）;

若t<1，則k>6.3，P（X=k）

所以k=6時，P（X=k）最大，最大值為P（X=6）=C620（0.3）6（0.7）14.

5 結(jié)束語

我們可以利用作商法或者組合數(shù)的單調(diào)性得到二項分布的最值問題的結(jié)論，即在“最可能成功次數(shù)”處取得最大值.“最可能成功次數(shù)”雖是高等數(shù)學的概念，但二項分布最值問題的這個性質(zhì)卻出現(xiàn)在教材中，這就要求我們一線教師要重視對教材的研究，要深度解讀教材.

參考文獻：

［1］李鴻昌.高考題的高數(shù)探源與初等解法[M].合肥：中國科學技術(shù)大學出版社，2022.

[2] 胡翠蓮，葉雪云.自主探究?水到渠成：二項分布模型構(gòu)建的數(shù)學設(shè)計[J].中學數(shù)學，2010（13）：22-23，29.

[3] 周冬梅，尹承利.計數(shù)原理與概率復(fù)習備考專題透視[J].中學數(shù)學雜志，2020（3）：46-51.

[4] 聶小涵.聚焦幾種常考的概率分布模型[J].高中數(shù)理化，2019（1）：6-7.

［責任編輯：李?璟］