張瑋 高愛云 付主木 趙恩會(huì) 陳芊安

摘要：

針對(duì)無(wú)人駕駛汽車在橫坡彎道處因發(fā)生偏離期望軌跡甚至嚴(yán)重側(cè)滑而失去穩(wěn)定性的問題，提出質(zhì)心側(cè)偏角動(dòng)態(tài)自適應(yīng)控制策略。為應(yīng)對(duì)汽車垂直載荷發(fā)生變化而導(dǎo)致輪胎側(cè)偏剛度改變的情況，通過多組數(shù)據(jù)擬合得到載荷匹配圖，進(jìn)而設(shè)計(jì)基于模型預(yù)測(cè)算法的橫向軌跡跟蹤控制器，根據(jù)汽車入彎速度選擇預(yù)測(cè)時(shí)域并結(jié)合道路彎度選擇瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角，通過在線優(yōu)化生成最佳前輪轉(zhuǎn)角。最后搭建CarSim/Simulink聯(lián)合在線仿真系統(tǒng)和實(shí)車系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明：所提控制策略能夠保證汽車在橫坡傾角為7%左右及彎道路面下不會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的側(cè)滑，從而提高了無(wú)人駕駛汽車在橫坡彎道跟蹤任務(wù)中的跟蹤精度，使汽車具有良好的橫向穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：無(wú)人駕駛汽車；模型預(yù)測(cè)控制；質(zhì)心側(cè)偏角；橫坡彎道

中圖分類號(hào)：U461

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.06.002

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

A Lateral Slope Curve Tracking Control for Autonomous Vehicles

Considering Dynamic Adaptive Sideslip Angles

ZHANG Wei1? GAO Aiyun1? FU Zhumu2? ZHAO Enhui1? CHEN Qianan1

1.School of Vehicle and Traffic Engineering，Henan University of Science and Technology，Luoyang，

Henan，471003

2.College of Electronic Information Engineering，Henan University of Science and Technology，

Luoyang，Henan，471023

Abstract： To address the problems that the autonomous vehicle deviated from the expected trajectory at the lateral slope curve， and even losed stability owing to severe sideslipping， a dynamic adaptive control strategy for sideslip angle was proposed. To overcome the change of tire cornering stiffness caused by the changes of vertical loads of the vehicles， the load matching diagram was obtained by fitting multiple sets of data. Then， a lateral trajectory tracking controller was designed based on the model prediction control algorithm. In line with the entry speed of the vehicles into the turn， the prediction horizon was selected. Meanwhile， the transient-state and steady-state sideslip angle were selected in line with the road curve. Through online optimization， the optimal front wheel steering angle was generated. Finally， the CarSim/Simulink joint online simulation system and the real vehicles system were established for verification. The results demonstrate that the proposed control strategy may ensure that the vehicles will not have serious sideslip under the lateral slope inclination angle of around 7% and the curved road. In addition， the proposed control strategy improves the tracking accuracy of the autonomous vehicles in the lateral slope curve tracking task and makes the vehicles have good lateral stability.

Key words： autonomous vehicle; model prediction control; sideslip angle; lateral slope curve

收稿日期：20231118

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（62371182）

0? 引言

近年來(lái)，自動(dòng)駕駛汽車的出現(xiàn)為交通安全、交通擁堵和汽車出行提供了全新的解決方案，引發(fā)了廣泛的社會(huì)和工業(yè)關(guān)注。無(wú)人駕駛汽車控制技術(shù)取得了令人矚目的進(jìn)展，已經(jīng)成為自動(dòng)駕駛領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和發(fā)展領(lǐng)域［1］?，F(xiàn)有控制算法中，模型預(yù)測(cè)控制（model predictive control，MPC）因具有適應(yīng)性強(qiáng)、多約束處理方便等優(yōu)勢(shì)，并可提供高效、安全的解決方案而得到廣泛的應(yīng)用［2］。許多學(xué)者提出了基于自適應(yīng)MPC的軌跡跟蹤控制方法。梁忠超等［3］考慮汽車時(shí)變狀態(tài)量偏差帶來(lái)的影響，設(shè)計(jì)了一種動(dòng)態(tài)卡爾曼濾波器，該濾波器增益矩陣在每一個(gè)采樣時(shí)刻能自動(dòng)更新，以適應(yīng)無(wú)人駕駛車輛當(dāng)前的工作環(huán)境，從而補(bǔ)償車輛的非線性以及狀態(tài)測(cè)量噪聲帶來(lái)的影響。王銀等［4］提出一種根據(jù)車速變化而實(shí)時(shí)產(chǎn)生預(yù)測(cè)時(shí)域的自適應(yīng)控制器，并添加了側(cè)偏角約束，使汽車能夠在低附著路面下具有良好的跟蹤精度和穩(wěn)定性。ZHANG等［5］利用平方根容積卡爾曼濾波器（square root cubature Kalman filter，SCKF）實(shí)時(shí)估計(jì)側(cè)偏力，以此來(lái)修正輪胎轉(zhuǎn)彎時(shí)的側(cè)偏剛度。這些方法雖然都能夠使汽車在極端變化條件下具有較高的適應(yīng)性，但卻忽略了輪胎垂直載荷的變化，對(duì)橫坡彎道適應(yīng)性差。為獲取更準(zhǔn)確的彎道路段曲率和質(zhì)心側(cè)偏角，劉平等［6］采用三次貝塞爾曲線法對(duì)道路數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合獲取道路曲率，設(shè)計(jì)了考慮道路曲率的控制器，在不同曲率道路行駛時(shí)具有較小的橫向跟蹤誤差；GUO等［7］利用全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)（global positioning system， GPS）和慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（inertial navigation system， INS）的數(shù)據(jù)融合方式估計(jì)汽車質(zhì)心側(cè)偏角，提高了估計(jì)精度。但兩者在控制器中均采用定值預(yù)測(cè)時(shí)域，求解時(shí)間長(zhǎng)，實(shí)時(shí)性差。YANG等［8］使用側(cè)向垂直載荷比（predicted lateral load transfer ratio， PLTR）作為穩(wěn)定性閾值以避免汽車在彎道上發(fā)生側(cè)翻、滑移等現(xiàn)象；付林凱等［9］利用多種群遺傳算法優(yōu)化線性二次型調(diào)節(jié)器（linear quadratic regulator， LQR）參數(shù)，有效防止汽車發(fā)生側(cè)翻；JIA等［10］建立了基于后輪側(cè)偏角的穩(wěn)定平衡點(diǎn)條件，設(shè)計(jì)了非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制器以防止汽車出現(xiàn)較大的側(cè)偏角和后軸側(cè)滑，但載荷比無(wú)法反映地形的影響，限制了它在橫坡彎道的應(yīng)用。為解決汽車在極限工況下的速度匹配問題，蔡英鳳等［11］采用PID控制和MPC控制混合策略實(shí)現(xiàn)了不同車速下的跟蹤，保證了跟蹤精度和穩(wěn)定性，但沒有對(duì)縱向速度進(jìn)行控制，不能精準(zhǔn)計(jì)算汽車入彎速度，使其在彎道上的跟蹤能力下降。

計(jì)及質(zhì)心側(cè)偏角動(dòng)態(tài)自適應(yīng)的無(wú)人駕駛汽車橫坡彎道跟蹤控制——張? 瑋? 高愛云? 付主木等

中國(guó)機(jī)械工程 第35卷 第6期 2024年6月

上述方法大都應(yīng)用在地形簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)化道路上，無(wú)人駕駛汽車在橫坡彎道上實(shí)現(xiàn)安全而高效的行駛?cè)匀幻媾R跟蹤精度低和橫向穩(wěn)定性差的問題，因此本文提出一個(gè)可以解決汽車在橫坡彎道上行駛時(shí)輪胎側(cè)偏剛度不準(zhǔn)確的方法，進(jìn)而提高軌跡跟蹤精度。在保證軌跡跟蹤精度的同時(shí)，使提出的瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角動(dòng)態(tài)自適應(yīng)方法能夠應(yīng)用到MPC算法中，增加汽車的橫向穩(wěn)定性。最后通過仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)車實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文方法的可靠性。

1? 考慮道路側(cè)傾角和曲率的汽車動(dòng)力學(xué)模型

道路曲率和橫坡地形對(duì)汽車軌跡跟蹤精度和橫向穩(wěn)定性具有重大的影響，汽車在橫坡彎道行駛時(shí)，容易發(fā)生側(cè)滑甚至側(cè)翻，因此需要準(zhǔn)確地建立汽車側(cè)傾動(dòng)力學(xué)模型，忽略汽車在轉(zhuǎn)向時(shí)由彈性元器件側(cè)傾導(dǎo)致的質(zhì)心偏移、空氣動(dòng)力學(xué)的影響以及轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的影響。以前輪轉(zhuǎn)角作為輸入，綜合考慮橫擺、側(cè)滑和側(cè)傾約束，建立考慮道路傾角及曲率的汽車動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

圖1中，X、Y分別為大地坐標(biāo)系下的縱向位置和橫向位置；ed為質(zhì)心與其在道路中心線上的投影點(diǎn)之間的距離偏差，定義汽車在道路左側(cè)時(shí)距離偏差為正；αf、αr分別為前后輪側(cè)偏角；Lf、Lr分別為質(zhì)心到前后軸的距離；Fy為整車輪胎側(cè)偏力，F(xiàn)y=Fyfcos δf+Fyr；Fyf、Fyr分別為前后輪胎側(cè)偏力；δf為前輪轉(zhuǎn)角，將其作小角度假設(shè)；φ為橫擺角；β為質(zhì)心側(cè)偏角；θ為汽車航向角，θ=β+φ。在自然坐標(biāo)系中［12］，可得到

eφ=φ－θr

e·φ=φ·－θ·r（1）

式中，eφ為航向角偏差［13］；θr為當(dāng)前質(zhì)心投影點(diǎn)處的道路參考航向角。

P點(diǎn)（道路參考點(diǎn)）沿道路中心線的移動(dòng)速度s·可以表示為

s·=11－krefed（vxcos eφ－vysin eφ）（2）

式中，vx、vy分別為汽車質(zhì)心在汽車坐標(biāo)系下的縱向速度和橫向速度；kref為道路參考曲率。

則汽車跟蹤誤差方程可以表示為

e·φ=φ·－krefs·

e·d=vxsin eφ+vycos eφ（3）

對(duì)航向角偏差eφ作小角度假設(shè)，令1－krefed≈0，則式（3）可以簡(jiǎn)化為

e·φ=φ·－krefvx

e·d=vxeφ+vy（4）

汽車的側(cè)傾主要是由汽車懸架系統(tǒng)變形所產(chǎn)生的，將汽車的懸架系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)彈簧阻尼模型，則汽車側(cè)傾受力示意圖見圖2。

圖2中，g為重力加速度，Dt為輪距，為汽車側(cè)傾角且作小角度假設(shè)，t為道路側(cè)傾角。懸架系統(tǒng)所產(chǎn)生側(cè)傾力矩為

Mx=K+D·（5）

式中，K、D分別為汽車的側(cè)傾剛度系數(shù)和側(cè)傾阻尼系數(shù)。

將式（4）、式（5）引入動(dòng)力學(xué)方程可得

v·y=－ψvx+h¨+1mFy－g

ψ·=1Iz（LfFyf－LrFyr）

¨=1Ix［mh（v·y+ωr－h(huán)¨）+mgh－Mx］e·φ=φ·－krefvxe·d=vxeφ+vy（6）

式中，m為汽車質(zhì)量；Iz、Ix分別為汽車?yán)@z軸和x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；h為汽車質(zhì)心到地面的距離；定義ψ=θ·為航向角速度；ωr為橫擺角速度。

2? MPC控制器設(shè)計(jì)

2.1? 橫向預(yù)測(cè)模型

選取ζ=（vy，ψ，·，，ed，eφ）Τ為狀態(tài)變量，u1=δf為控制輸入量，u2=（t，kref）Τ為控制附加輸入量，根據(jù)式（1）～式（6），轉(zhuǎn)換為連續(xù)狀態(tài)空間方程的表達(dá)形式為

ζ·=Aζ+B1u1+B2u2

η=Cζ（7）

A=σ1σ4vxσ2σ4vx－vx－h(huán)DIxσ500σ2Izvxσ3Izvx0000hσ1Ixvxhσ2Ixvx－DIx－KIx0000100010000vx010000

B1=［－Cfσ4－LfCf/Iz－h(huán)Cf/Ix000］Τ

B2=hK/Ix0K/Iz00000000－vxΤ

σ1=Cf+Cr? σ2=LfCf－LrCr

σ3=L2fCf－L2rCr? σ4=（1/m+h2/Ix）

σ5=－Kh/Ix－g

式中，A為n×n的狀態(tài)矩陣，表示系統(tǒng)狀態(tài)量之間的關(guān)系；B1、B2為n×p的輸入矩陣，表示輸入對(duì)狀態(tài)變量的影響；C為m×n的輸出矩陣，表示系統(tǒng)的輸出與狀態(tài)變量之間的關(guān)系；n為系統(tǒng)狀態(tài)變量個(gè)數(shù)；m、p分別為輸出個(gè)數(shù)和輸入個(gè)數(shù)；η為系統(tǒng)的輸出變量；Cf、Cr分別為汽車前后軸一側(cè)輪胎的側(cè)偏剛度。

使用向前歐拉法將系統(tǒng)作離散化處理，式（7）可改寫為

ζ（k+1）=Atsζ+Bts1u1（k）+Bts2u2（k）

η（k）=Ctsζ（k）（8）

Ats=In+Ats? Bts1=B1ts? Bts2=B2ts

Cts=100000000001

式中，ts為離散化步長(zhǎng)；In為單位矩陣，n=6。

2.2? 汽車彎道安全行駛約束

2.2.1? 汽車側(cè)傾約束

當(dāng)汽車在橫向坡道上行駛時(shí)，一旦汽車的橫向加速度超過一定值，就會(huì)使汽車一側(cè)車輪的垂直載荷減小。隨著車身質(zhì)心高度的增加，汽車發(fā)生側(cè)傾的概率也會(huì)隨之增大。無(wú)人駕駛汽車側(cè)傾穩(wěn)定性控制主要是存在時(shí)變道路曲率和橫向坡度角時(shí)的汽車側(cè)傾趨勢(shì)預(yù)測(cè)。本文選用零力矩點(diǎn)（zero moment point， ZMP）理論［14］作為側(cè)傾穩(wěn)定性判斷的判據(jù)。

零力矩點(diǎn)是指在地面上的一個(gè)特定點(diǎn)，它的存在使得重力、慣性力以及地面對(duì)汽車的作用力FN的總和產(chǎn)生的側(cè)傾力矩等于零。在平路或者有一定傾斜角度的路面上行駛且沒有橫向加速度時(shí)，ZMP與重力作用線重合，但當(dāng)汽車有橫向加速度ay或者道路有一定的橫向坡度時(shí)，ZMP會(huì)發(fā)生橫向偏移，如果橫向傾角過大或者橫向加速度過大，ZMP可能會(huì)偏離輪距范圍，導(dǎo)致汽車失去平衡。汽車側(cè)傾受力圖見圖3。

汽車的側(cè)傾穩(wěn)定性分析主要關(guān)注零力矩點(diǎn)的橫向偏移yZMP。由相對(duì)于零力矩點(diǎn)的側(cè)傾力矩平衡可以得到

mgcos yZMP=（may+mgsin ）h－Ix¨（9）

ay=v·y+ψvx

通過對(duì)作小角度假設(shè)，由式（9）可以得到零力矩點(diǎn)的橫向偏移

yZMP=h+hg（v·y+ψvx）－Ixmg¨（10）

將零力矩點(diǎn)的橫向偏移yZMP相對(duì)于汽車輪距一半（Dt/2）進(jìn)行歸一化處理，得到

y-ZMP=2Dt［h+hg（v·y+ψvx）－Ixmg¨］（11）

將式（11）和式（8）結(jié)合，可以得到

y-ZMP=M1ζ·（k）+M2ζ（k）（12）

M1=［2hgDt0－2IxmgDt000］

M2=［02hvxgDt02hDt00］

對(duì)歸一化的側(cè)傾零力矩點(diǎn)進(jìn)行約束：

－y-ZMP.max≤y-ZMP≤y-ZMP.max（13）

2.2.2? 汽車滑移穩(wěn)定性約束

滑移穩(wěn)定性約束與橫向穩(wěn)定性判據(jù)相關(guān)，目前針對(duì)無(wú)人駕駛汽車的橫向穩(wěn)定性評(píng)價(jià)分析最常用的是相平面分析法。這是一種針對(duì)一階、二階線性或非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的圖形解法，能夠通過研究相軌跡來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡位置、穩(wěn)態(tài)精度以及條件參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響。相平面分析法在汽車動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，以汽車狀態(tài)參數(shù)為坐標(biāo)構(gòu)建相平面。由于汽車在橫坡彎道上行駛時(shí)，轉(zhuǎn)彎前和轉(zhuǎn)彎后的車速通過縱向控制器控制，速度變化范圍大，因此本文選擇航向角速度橫向速度相平面，如圖4所示。根據(jù)文獻(xiàn)［15］選擇滑移約束相平面中的航向角速度范圍為±10°/s，橫向速度范圍為±0.8 m/s，即可保證汽車橫向穩(wěn)定性。

當(dāng)側(cè)偏角較大時(shí)，汽車在橫坡上會(huì)發(fā)生滑移和失穩(wěn)，而后輪滑移會(huì)導(dǎo)致汽車在道路上發(fā)生側(cè)滑，危險(xiǎn)性大，因此在保證輪胎處于線性區(qū)域的同時(shí)，對(duì)側(cè)偏角進(jìn)行范圍限制：

－αt≤vy－Lrψvx≤αt（14）

其中，αt為輪胎側(cè)偏角的限值；ψ的限制范圍可由后輪的最大側(cè)偏力和式（6）聯(lián)立得到，即

|ψ+gvx|≤Crαt（1+LrLf）/（mvx）（15）

當(dāng)輪胎短暫處于非線性區(qū)域時(shí)，為了保證汽車橫向穩(wěn)定性和控制器有解，引入松弛因子λst（k），則式（14）和式（15）的狀態(tài)空間表達(dá)形式為

|Gst（k）ζ（k）|≤|Rst（k）+λst（k）|（16）

Gst（k）=1vx－Lrvx000001gvx000

Rst（k）=［αtCrαt（1+Lr/Lf）mvx］Τ

2.3? 目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)

將2.2節(jié)中含有側(cè)傾、滑移約束的無(wú)人駕駛汽車跟蹤問題轉(zhuǎn)化為二次型最優(yōu)控制目標(biāo)問題，可表示為

min J=∑Npk=1（Reφ（eφ（k））2+Red（ed（k））2）+

∑Npk=1（Rδf（δf（k）－δf（k－1））2）（17）

ζ（k+1）=Atsζ+Bts1u1（k）+Bts2u2（k）

－y-ZMP.max≤y-ZMP≤y-ZMP.max

|Gst（k）ζ（k）|≤|Rst（k）+λst（k）|（18）

式（17）中，Reφ、Red、Rδf分別為航向角誤差權(quán)重、橫向位置誤差權(quán)重、前輪轉(zhuǎn)角增量權(quán)重；式（18）中，第1式為離散化的汽車動(dòng)力學(xué)模型，第2式和第3式分別為汽車跟蹤過程中的側(cè)傾和滑移穩(wěn)定性約束。

將式（17）和式（18）使用二次規(guī)劃求解器轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)二次型，并結(jié)合所考慮的約束來(lái)求解在控制周期內(nèi)的目標(biāo)函數(shù)，控制器會(huì)產(chǎn)生一系列最優(yōu)δf的控制序列：

ΔU（k）=（Δu（k），Δu（k+1），Δu（k+Nc－1））Τ（19）

其中，Nc為控制時(shí)域。將ΔU（k）的第一項(xiàng)作為系統(tǒng)的實(shí)際控制輸入，即

u（k）=u（k－1）+Δu（k）（20）

式中，u（k）為k時(shí)刻的控制量。

2.4? 輪胎側(cè)偏剛度修正

當(dāng)汽車側(cè)偏角比較小時(shí)，輪胎側(cè)偏角和輪胎所受橫向力成線性關(guān)系，表示為

Fyf=Cfαf

Fyr=Crαr（21）

αf=－（δf－β－Lfψvx）αr=β－Lrψvx（22）

當(dāng)輪胎處于線性區(qū)域時(shí)，輪胎側(cè)偏力與側(cè)偏角才成線性關(guān)系。當(dāng)汽車在高速轉(zhuǎn)彎時(shí)，汽車前后軸的垂直載荷和左右側(cè)車輪的垂直載荷不再是常數(shù)，各車輪垂直載荷分別為

Fzf，l=m2（Lr+Lf）（Lrg－h(huán)ax）－m（Lrhay）Dt（Lr+Lf）

Fzf，r=m2（Lr+Lf）（Lrg－h(huán)ax）+m（Lrhay）Dt（Lr+Lf）

Fzr，l=m2（Lr+Lf）（Lfg+hax）－m（Lfhay）Dt（Lr+Lf）

Fzr，r=m2（Lr+Lf）（Lfg+hax）+m（Lfhay）Dt（Lr+Lf）（23）

式中，F(xiàn)zf、Fzr分別為前輪和后輪垂直載荷；F的下標(biāo)l、r分別表示左右車輪；ax為汽車縱向加速度。

當(dāng)汽車在橫坡行駛時(shí)，如果坡度過大，輪胎的垂直載荷會(huì)發(fā)生變化，而控制器認(rèn)為垂直載荷一直為定值，由此，勢(shì)必會(huì)造成計(jì)算偏差，因此本文采用遞推最小二乘法（recursive least square， RLS）和數(shù)據(jù)擬合的方法來(lái)修正輪胎的側(cè)偏剛度。RLS通過研究歷史數(shù)據(jù)窗口從而使得實(shí)際值與RLS估計(jì)值最小，其代價(jià)函數(shù)表示為

J=∑Hi=1λ（H－1）m（Ym（i）－αΤ（i）α^（i））2（24）

式中，α（i）為側(cè)偏角；Ym為估計(jì)的側(cè)偏力；λm為遺忘因子；H為窗口長(zhǎng)度。

首先采用RLS法來(lái)對(duì)輪胎的側(cè)偏剛度進(jìn)行估計(jì)：

Ym（k）=C^RLS，j（k）αΤj（k）

C^RLS，j（k）=C^RLS，j（k－1）+K（k）（Ym（k）－

αΤj（k）C^RLS，j（k－1））

K（k）=P（k－1）αj（k）（λm+αΤj（k）P（k－1）αj（k））－1

P（k）=λ－1m（P（k－1）－K（k）αΤj（k）P（k－1））（25）

式中，j=f，r；C^RLS，j為估計(jì)的側(cè)偏剛度；K（k）為遞推增益。

為了修正由于垂直載荷發(fā)生變化而帶來(lái)的誤差，利用多組數(shù)據(jù)擬合的方式對(duì)輪胎側(cè)偏剛度進(jìn)行修正，垂直載荷Fz從1961? N增大到15 690 N，忽略輪胎外傾，在仿真平臺(tái)上分別擬合8組車輪側(cè)偏角、側(cè)偏力和側(cè)偏剛度的數(shù)據(jù)，如圖5所示。

輪胎側(cè)偏力和側(cè)偏角可由仿真環(huán)境的傳感器測(cè)量獲得，之后用Fiala魔術(shù)輪胎公式進(jìn)行擬合：

Fy=Dsin｛Carctan［Bα－E（Bα－arctan（Bα））］｝（26）

式中，B、C、D、E為與垂直載荷相關(guān)的輪胎模型參數(shù)。

修正后的輪胎側(cè)偏特性表達(dá)式為

Fyf=C-fαfFyr=C-rαr（27）

C-f=Ctire，f+C^RLS，f2

C-r=Ctire，r+C^RLS，r2

式中，C-f、C-r分別為修正后的前后輪側(cè)偏剛度；Ctire為多組擬合出的輪胎側(cè)偏剛度，其值通過求取對(duì)應(yīng)曲線的斜率獲得。

為驗(yàn)證修正后的輪胎側(cè)偏剛度在軌跡跟蹤中的效果，在Simulink與CarSim聯(lián)合仿真平臺(tái)上搭建控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真。由于五次多項(xiàng)式自帶車況和道路信息［16］，能提供所需要的參考速度、參考加速度和參考道路曲率，故選擇該軌跡進(jìn)行驗(yàn)證，設(shè)置期望軌跡的橫向位置為10 m。

圖6為側(cè)偏剛度修正前后跟蹤五次多項(xiàng)式換道曲線，圖7為相對(duì)應(yīng)的橫向誤差曲線，從換道開始到換道結(jié)束，采用未修正的控制器橫向誤差變化程度大。利用平均絕對(duì)百分比誤差（mean absolute percentage error， MAPE）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，側(cè)偏剛度修正前的MAPE為11.86%，側(cè)偏剛度修正后的MAPE為4.63%，MAPE下降了7.23%，軌跡跟蹤精度提高了61%。

3? 質(zhì)心側(cè)偏角動(dòng)態(tài)自適應(yīng)控制策略

汽車在橫坡彎道行駛時(shí)，質(zhì)心側(cè)偏角會(huì)影響汽車跟蹤精度和橫向穩(wěn)定性。由于質(zhì)心側(cè)偏角會(huì)受到汽車進(jìn)入彎道速度的影響，故自適應(yīng)控制策略包括入彎速度確定，道路彎度確定和瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角動(dòng)態(tài)自適應(yīng)三部分。

3.1? 入彎速度確定

汽車通過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和制動(dòng)系統(tǒng)來(lái)控制汽車的入彎速度。為了不讓汽車加減速時(shí)超過最大的附著力和制動(dòng)力，將汽車簡(jiǎn)化為點(diǎn)質(zhì)模型，通過輪胎摩擦圓法求解極限加速度，可以表示為

a2x+a2y=（μg）2（28）

式中，μ為摩擦因數(shù)。

汽車在穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)彎時(shí)，橫向加速度可表示為

ay≈v2xkref=2v2xi2q（29）

式中，q為彎道圓弧的測(cè)量距離；i為曲率的斜率系數(shù)。

結(jié)合式（28）和式（29）得

ax=（μg）2－（2v2xi2q）2（30）

根據(jù)文獻(xiàn)［17］確定入彎速度，將式（30）化簡(jiǎn)并從彎道的起點(diǎn)到末端進(jìn)行積分，得到

vx（q～N+1）≈vx（q～N）+

（Δq～N（μg）2－（2（vx（q～N））2i2q～N）2）/vx（q～N）（31）

N=0，1，…，L/Δq～N

L=q～（kref=0）? Δq～N=q～N+1－q～N

式中，q～為彎道末端的弧長(zhǎng)；q～N為第N段彎道的弧長(zhǎng)。

得到vx后通過式（30）得到汽車沿彎道路徑的期望縱向加速度，再通過式（31）得到汽車進(jìn)入彎道的期望速度。

由于進(jìn)入彎道前后的速度不同，因此在控制器中應(yīng)使用不同的預(yù)測(cè)時(shí)域，當(dāng)車速較低時(shí)，采用小的預(yù)測(cè)時(shí)域，跟蹤效果好，車速較高時(shí)，選擇大的預(yù)測(cè)時(shí)域，以使汽車能夠預(yù)測(cè)遠(yuǎn)距離情況，增加汽車行駛的橫向穩(wěn)定性［18］。為了能夠適應(yīng)車速變化帶來(lái)不同的預(yù)測(cè)時(shí)域，本文的預(yù)測(cè)時(shí)域Np采用文獻(xiàn)［4］提出的控制律進(jìn)行選擇：

Np=

8??????????? vx<36 km/h

int（－0.000 042 866v3x+0.011 6v2x－

0.6944vx+20）36 km/h≤vx≤120 km/h

20vx>120 km/h（32）

3.2? 道路彎度確定

根據(jù)期望路徑的信息，在道路上每間隔Δ取一個(gè)采樣點(diǎn)，并在連續(xù)3個(gè)點(diǎn)之間進(jìn)行道路彎度的計(jì)算。如圖8所示，圖中起始點(diǎn)從O1點(diǎn)開始到O5點(diǎn)結(jié)束。先以O(shè)1為基點(diǎn)，計(jì)算O2與O3點(diǎn)之間的彎度Θ1，然后再以O(shè)2為基點(diǎn)計(jì)算O3和O4之間的彎度Θ2，以此循環(huán)，最后計(jì)算Θ3。彎度公式表示為［19］

Θi=|arctan（|Yi－Yi+1Xi－Xi+1|）－arctan（|Yi+1－Yi+2Xi+1－Xi+2|）|（33）

式中，Θi為第i段線到i+1段線的道路彎度；Xi、Yi分別為道路的縱向距離和橫向距離。

道路彎度曲線如圖9所示。

3.3? 瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角動(dòng)態(tài)自適應(yīng)控制

考慮到汽車的橫向穩(wěn)定性，汽車在直線行駛時(shí)，需要以較高的車速快速通過，允許一定范圍內(nèi)的振蕩；在彎道下，需要平緩地駛過，使汽車不發(fā)生較大的振蕩以提高乘坐舒適性。瞬態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角在瞬態(tài)時(shí)的振蕩大，而在穩(wěn)態(tài)時(shí)的跟蹤誤差?。幌喾捶€(wěn)態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角在瞬態(tài)時(shí)的振蕩小，而在穩(wěn)態(tài)時(shí)跟蹤誤差大［20］。

瞬態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角表示為

β=vyvx（34）

穩(wěn)態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角表示為

βss=αr，sat+Lrψvx（35）

αr，sat=arctan（3mgμC-rLfLf+Lr）

式中，βss為穩(wěn)態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角的最大值；αr，sat為輪胎線性臨界區(qū)處的后輪側(cè)偏角。

根據(jù)汽車行駛道路的情況，質(zhì)心側(cè)偏角的選擇如圖10所示。汽車行駛在直線道路時(shí)控制器使用瞬態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角，反之汽車行駛在彎道道路時(shí)控制器使用穩(wěn)態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角。

質(zhì)心側(cè)偏角動(dòng)態(tài)自適應(yīng)控制策略如圖11所示，圖中，Θref為參考道路彎曲度；Xr、Yr分別為參考道路的縱向位置和橫向位置。根據(jù)道路提供的信息，先確定入彎速度得到最佳的預(yù)測(cè)時(shí)域，再根據(jù)圖9的道路彎度值，如果Θref=0，則選擇用β的控制器，如果Θref≠0，則選用βss的控制器。預(yù)測(cè)時(shí)域和質(zhì)心側(cè)偏角確定后輸入到橫向控制器中，控制器使用的是由RLS和垂直載荷圖修正后的側(cè)偏剛度并實(shí)時(shí)更新，目標(biāo)函數(shù)和約束將轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)二次規(guī)劃求解問題，最后將求解出的最優(yōu)控制量δf作用于汽車系統(tǒng)完成實(shí)時(shí)控制。

4? 在線仿真與實(shí)車驗(yàn)證分析

4.1? 在線仿真驗(yàn)證分析

在CarSim/Simulink中搭建聯(lián)合仿真平臺(tái)，實(shí)驗(yàn)使用的是前驅(qū)E類汽車，汽車參數(shù)如表1所示。

仿真工況采用高速高附著長(zhǎng)工況和低速低附著短工況進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。出于安全考慮，高速采用軟件仿真，低速采用實(shí)車驗(yàn)證。高速路況部分，采用存在道路彎度和橫坡傾角的無(wú)障礙物路面進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，如圖12所示。在道路三處彎道處，橫坡傾角在7%左右，分別為7.6%、7.8%、8%。在CarSim中設(shè)置起始車速為15 m/s，45 m/s為最高限制車速。分別采用不考慮質(zhì)心側(cè)偏角動(dòng)態(tài)自適應(yīng)的普通MPC控制策略1和考慮質(zhì)心側(cè)偏角動(dòng)態(tài)自適應(yīng)的MPC控制策略2進(jìn)行軌跡跟蹤，采用橫向誤差、質(zhì)心側(cè)偏角、航向角、前輪轉(zhuǎn)角作為軌跡跟蹤精度的指標(biāo)，使用航向角速度和橫向速度組成約束范圍，作為汽車軌跡跟蹤橫向穩(wěn)定性的指標(biāo)，仿真結(jié)果如圖13和圖14所示。

圖13a表明：控制策略1下，橫向跟蹤誤差較大，誤差最大為0.6 m；而控制策略2的跟蹤誤差較小，誤差在0.5 m以內(nèi)。圖13b表明：控制策略

2能夠使汽車在轉(zhuǎn)彎時(shí)質(zhì)心側(cè)偏角控制在±1°以內(nèi)，控制策略1盡管在水平直線道路上表現(xiàn)良好，但是在彎道處質(zhì)心側(cè)偏角急劇變化并且伴隨著抖動(dòng)，甚至使得質(zhì)心側(cè)偏角達(dá)到將近±4°，使汽車在轉(zhuǎn)彎時(shí)發(fā)生失穩(wěn)。圖13c～圖13d表明：控制策略2使汽車在跟蹤軌跡時(shí)，航向角和前輪轉(zhuǎn)角分別控制在±8°和±40°范圍內(nèi)，而控制策略1由于沒有考慮動(dòng)態(tài)自適應(yīng)的質(zhì)心側(cè)偏角，在彎道處均超過±8°和±40°，在仿真畫面中顯示汽車已經(jīng)偏離車道中心線，汽車發(fā)生側(cè)滑。

圖14表明，在三種高速段內(nèi)，隨著車速的增大，橫向速度減小，航向角速度增大，但航向角速度和橫向速度均在滑移穩(wěn)定性約束內(nèi)（橫向速度在±0.8 m/s，航向角速度在±10°/s內(nèi)），證明控制策略2能夠使得汽車在高速環(huán)境下轉(zhuǎn)彎時(shí)具有良好的橫向穩(wěn)定性，且滑移穩(wěn)定性約束隨著車速的增大而增強(qiáng)，符合現(xiàn)實(shí)情況。

4.2? 實(shí)車驗(yàn)證分析

實(shí)車平臺(tái)采用的是基于Apollo平臺(tái)的開發(fā)套件，汽車型號(hào)為Apollo D-KIT Advanced Ne-s，該車搭載有16線束的激光雷達(dá)1臺(tái)、雙目前后攝像頭兩臺(tái)以及裝有GPS+IMU的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，該車通過搭載在Ubantu系統(tǒng)上的Apollo控制系統(tǒng)對(duì)汽車進(jìn)行控制。實(shí)車平臺(tái)如圖15所示，汽車參數(shù)如表2所示。

為驗(yàn)證所提策略在橫坡彎道環(huán)境下軌跡跟蹤精度和橫向穩(wěn)定性，考慮到該車軸距小，最高車速低，在汽車軌跡跟蹤測(cè)試中，雙移線使用頻率高，為此選擇低速低附著系數(shù)的雙移線工況進(jìn)行驗(yàn)證，如圖16所示。

汽車車速v設(shè)定為0 ～30 km/h，路面附著系數(shù)為0.5。評(píng)價(jià)指標(biāo)和仿真實(shí)驗(yàn)評(píng)價(jià)指標(biāo)一致，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖17和圖18所示。

圖17表明，在三種低速段內(nèi)，航向角速度和橫向速度均在滑移穩(wěn)定性約束內(nèi)（橫向速度在0.5 m/s內(nèi)，航向角速度在6°/s內(nèi)），減少了汽車在彎道上的滑移，保證了汽車的橫向穩(wěn)定性。

圖18表明，汽車行駛到三個(gè)彎道處時(shí)，控制策略2使得橫向誤差控制±0.3 m以內(nèi)，質(zhì)心側(cè)偏角控制在±2°以內(nèi)，橫擺角和前輪轉(zhuǎn)角分別控制在±8°和±60°以內(nèi)，4個(gè)指標(biāo)均小于控制策略1，說明：考慮質(zhì)心側(cè)偏角的動(dòng)態(tài)變化能夠保證汽車更精確、更穩(wěn)定地跟蹤目標(biāo)軌跡。

5? 結(jié)論

本文針對(duì)汽車在橫坡彎道行駛工況下容易偏離期望軌跡及橫向穩(wěn)定性差的問題，建立了考慮質(zhì)心側(cè)偏角動(dòng)態(tài)自適應(yīng)的模型預(yù)測(cè)控制算法。在橫向控制的基礎(chǔ)上，通過對(duì)驅(qū)動(dòng)、制動(dòng)系統(tǒng)控制，根據(jù)入彎速度來(lái)匹配最優(yōu)的預(yù)測(cè)時(shí)域，同時(shí)考慮了汽車的橫向穩(wěn)定性和側(cè)傾穩(wěn)定性，解決了傳統(tǒng)研究只考慮橫向控制而導(dǎo)致汽車在彎道處偏移跟蹤軌跡的問題。同時(shí)為了彌補(bǔ)由于定值的垂直載荷和傳統(tǒng)RLS估計(jì)造成的誤差，利用多組垂直載荷數(shù)據(jù)制定載荷匹配圖，利用平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）指標(biāo)來(lái)修正輪胎的側(cè)偏剛度。得出的結(jié)論如下：

（1）提出的輪胎側(cè)偏剛度修正方法將汽車在彎道處的橫向誤差控制在±0.1 m以內(nèi)，與未修正時(shí)的效果相比，修正后的軌跡跟蹤精度提高了61%。

（2）在聯(lián)合仿真和實(shí)車平臺(tái)上分別驗(yàn)證高速和低速工況，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明：本文設(shè)計(jì)的考慮質(zhì)心側(cè)偏角動(dòng)態(tài)自適應(yīng)的模型預(yù)測(cè)控制策略能夠降低汽車在彎道處的誤差，且滑移約束控制在約束范圍內(nèi)，汽車沒有在彎道處發(fā)生嚴(yán)重側(cè)滑，保證了汽車具有良好的橫向穩(wěn)定性。

下一步的研究可以在本文的基礎(chǔ)上優(yōu)化計(jì)算時(shí)間，提高效率；在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和仿真時(shí)，只考慮了道路曲率和汽車側(cè)傾帶來(lái)的橫向誤差，但在實(shí)際中，無(wú)人駕駛的感知和定位也會(huì)帶來(lái)誤差，下一步的研究可以考慮它對(duì)軌跡跟蹤精度和橫向穩(wěn)定性的影響。本文沒有研究車速、道路彎度和預(yù)測(cè)時(shí)域的具體關(guān)系，下一步擬通過研究速度規(guī)劃解決。

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（編輯? 王艷麗）

作者簡(jiǎn)介：

張? 瑋，男，1999年生，碩士研究生。研究方向?yàn)闊o(wú)人駕駛汽車、路徑規(guī)劃與跟蹤控制。E-mail：zhangwehkj@163.com。

高愛云（通信作者），女，1974年生，教授、博士。研究方向?yàn)榛旌蟿?dòng)力汽車能量管理與協(xié)調(diào)控制、智能車輛動(dòng)力學(xué)與控制。獲省部級(jí)二、三等獎(jiǎng)3項(xiàng)。發(fā)表論文60余篇。E-mail：gao_cloud@163.com。