【摘要】分點(diǎn)式教學(xué)注重知識本質(zhì)的揭示和知識結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，旨在發(fā)應(yīng)用揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，發(fā)揮學(xué)生的最大原動力，凸顯知識的生長性.基于整體視角有效整合教學(xué)內(nèi)容，挖掘知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從整體上把握教學(xué)內(nèi)容，在提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣的過程中，將數(shù)學(xué)意識和思維方式等融入數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)過程中，有效落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】整體視角；初中數(shù)學(xué)；分點(diǎn)式教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出，人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育.不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng).分點(diǎn)式教學(xué)就是要讓學(xué)生成為課堂真正的主人，教師僅僅是學(xué)生自主發(fā)展的指導(dǎo)者和引領(lǐng)者，讓學(xué)生親自經(jīng)歷知識的形成過程.打通單元知識內(nèi)在聯(lián)系，在變中求新、變中求進(jìn)、變中突破，發(fā)揮學(xué)生的最大原動力.在課堂上，引導(dǎo)學(xué)生自主地參與教學(xué)過程，讓他們提出一些新問題、新看法，可以發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性思維，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題方法，提升學(xué)生解決問題與應(yīng)用知識的能力，有效落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng).本文以“矩形中的折疊問題”的專題課為例，分享一點(diǎn)分點(diǎn)式的教學(xué)積累與思考與大家共同探討.

1 教前分析

1.1 教學(xué)內(nèi)容分析

在初中數(shù)學(xué)中，矩形的折疊是我們常見的一種數(shù)學(xué)問題，也是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容.這類問題的解決是有規(guī)可循的，由于矩形的折疊只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀及大小，因而在矩形的折疊變換中，保持了許多圖形定量的不變性，如圖形中線段的長短不變，圖形中角的大小不變等.這些圖形定量的不變性，在初中幾何全等圖形問題的解決中，具有很重要的運(yùn)用價(jià)值. 矩形折疊問題中蘊(yùn)含著重要的軸對稱知識，因此，解決這類問題的關(guān)鍵是弄清折痕（即對稱軸）及其兩側(cè)的全等圖形，利用軸對稱的性質(zhì)進(jìn)行推理、計(jì)算.

1.2 學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）學(xué)生通過對矩形有關(guān)折疊問題的探究，理解圖形折疊的本質(zhì)和其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識和方法.

（2）學(xué)生通過對矩形折疊問題的變式練習(xí)，掌握矩形折疊問題中求角度和求線段長的方法，體驗(yàn)成功的快樂.

1.3 教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn) 探究矩形中有關(guān)折疊問題，體會研究矩形折疊問題的方法.

難點(diǎn) 自主探究解決折疊問題的方法，運(yùn)用方法解決折疊問題中求角度和求線段長的問題.

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

布置課前作業(yè) 用一張矩形紙片，制作一件手工折紙作品，如圖1、圖2.

教學(xué)說明 創(chuàng)設(shè)生動活潑、貼近生活的問題情境，讓學(xué)生主動參與，樂于探究，在不斷觀察、動手操作的過程中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)和好奇心.同時(shí)讓學(xué)生在親身動手體驗(yàn)中透過現(xiàn)象看本質(zhì)：折疊的實(shí)質(zhì)就是軸對稱變換.

2.2 師生互動，探究新知

（1）探究活動1

如圖3所示，四邊形ABCD是長方形，把△ACD沿AC折疊到△ACD′，AD′與BC交于點(diǎn)E.

問題1 圖中全等的圖形有哪些？

問題2 圖中相等的線段有哪些？相等的角有哪些？

問題3 圖中還有哪些特殊的三角形？

教學(xué)說明 學(xué)生初遇翻折問題，往往一片茫然，不知從何下手，究其原因是對由折疊產(chǎn)生的相等線段和相等角這個(gè)條件找得不好.另外，因?yàn)檎郫B而形成的圖形較抽象，需要一定的空間想象能力，而這方面能力是學(xué)生較欠缺的.通過活動的設(shè)計(jì)降低折疊的難度，教會學(xué)生解決折疊問題的方法.關(guān)注基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，給予他們鼓勵(lì)和信心.

（2）探究活動2

有一矩形紙片ABCD，按如圖4方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF.

問題1 圖中全等的圖形有哪些？

問題2 圖中相等的線段有哪些？相等的角有哪些？

問題3 圖中還有哪些特殊的三角形？特殊的四邊形？

教學(xué)說明 強(qiáng)調(diào)折疊得全等，全等得邊等、角等.找到相等的線段、角，全等三角形，等腰三角形，還有特殊的四邊形——菱形.抓住不變量，弄清折疊的本質(zhì)，折疊過程中的變量和不變量.

及時(shí)地幫助學(xué)生梳理知識和方法，掌握解題方法和技巧.學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界.

2.3 應(yīng)用新知，變式練習(xí)

有一矩形紙片ABCD，按如圖5方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF.

問題1 角度的計(jì)算

若∠EFD＝65°，求∠AED.

教學(xué)說明 學(xué)生利用前面探究矩形折疊問題的方法，全等得到相等的角，再利用矩形的對邊平行的性質(zhì)可以求出角的度數(shù).

問題2 線段的計(jì)算

若AD＝3，AB＝9，求BE的長.

教學(xué)說明：學(xué)生在矩形中求線段的長度，要把矩形中的折疊問題和勾股定理緊密結(jié)合，運(yùn)用方程思想來解決問題.

問題3 面積的計(jì)算

求：四邊形DEBF的面積.

教學(xué)說明 四邊形DEBF是特殊的四邊形菱形，求面積的方法不唯一，可用底×高，割補(bǔ)法，對角線乘積的一半等方法.

問題4 折痕的計(jì)算

求：EF的長．

教學(xué)說明 求EF的長方法不唯一，教師引導(dǎo)學(xué)生小組交流討論，可以總結(jié)得到以下方法：構(gòu)造直角三角形等積法、菱形的對角線等方法解決問題，通過多種方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性.

2.4 歸納總結(jié)，反思提升

此環(huán)節(jié)要留給學(xué)生足夠的時(shí)間來自主總結(jié)，使學(xué)生學(xué)會反思、初步學(xué)會自我評價(jià)學(xué)習(xí)效果，鼓勵(lì)學(xué)生大膽地談?wù)劚竟?jié)的收獲和體會. 生生之間相互補(bǔ)充，教師精準(zhǔn)點(diǎn)撥，促使學(xué)生的學(xué)法和思維都能螺旋式上升，人人都能獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感.

3 教學(xué)思考

3.1 依據(jù)課標(biāo)和教材編教學(xué)案是基于整體視角下的分點(diǎn)式教學(xué)的前提

數(shù)學(xué)知識是一個(gè)系統(tǒng)的整體，教師在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生了解知識的發(fā)生發(fā)展過程以及各知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，建構(gòu)研究問題的數(shù)學(xué)方法.教學(xué)時(shí)以學(xué)生的真實(shí)程度為基礎(chǔ)，根據(jù)課標(biāo)對教材進(jìn)行詳細(xì)的分析，將知識內(nèi)容進(jìn)行分解，設(shè)計(jì)合理的教學(xué)活動讓學(xué)生動手操作，得到猜想，進(jìn)行驗(yàn)證，讓學(xué)生能夠真正地體驗(yàn)到知識的形成過程.在“矩形中的折疊問題“的專題課中通過兩個(gè)探究活動，總結(jié)出此類問題的解題思路.首先，我們應(yīng)該從由折疊產(chǎn)生的軸對稱圖形和背景圖形的性質(zhì)入手，找出相等的線段、角，直角三角形等，這些是我們解決問題的基本條件；其次，根據(jù)這些基本條件，再結(jié)合我們在幾何中已有的知識經(jīng)驗(yàn)，挖掘常見的基本圖形，從而找到等腰三角形等特殊圖形，這些是解決問題的關(guān)鍵.

3.2 問題設(shè)計(jì)的合理性

要將所學(xué)的知識根據(jù)學(xué)情、難易度分解成若干個(gè)臺階，從低到高，易于學(xué)生理解和掌握，進(jìn)而達(dá)到讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展的目的，同時(shí)也達(dá)到減負(fù)增效的目的.這就要求教師深入研究課程標(biāo)準(zhǔn)，吃透教材，了解學(xué)生，根據(jù)每個(gè)章節(jié)的知識點(diǎn)依照概念的引入過程、定理（公式）的發(fā)現(xiàn)過程，定理（公式）的應(yīng)用過程，以及不同層次學(xué)生的教學(xué)目標(biāo)，采取由低級向高級、由簡單到復(fù)雜，由具體到抽象的循序漸進(jìn)的方式設(shè)計(jì)教學(xué)活動和問題，使各層次學(xué)生的學(xué)習(xí)在各自的“最近發(fā)展區(qū)”得到最充分的發(fā)展.

有效的教學(xué)活動是以學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.本節(jié)課學(xué)生利用前面探究矩形折疊問題的方法，解決矩形中角度計(jì)算、線段計(jì)算、面積計(jì)算、折痕計(jì)算等問題，一題多變，圖形不變，條件變，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力.弄清折疊的本質(zhì)，折疊過程中的變量和不變量.采取由低級向高級、由簡單到復(fù)雜，由具體到抽象的循序漸進(jìn)的方式設(shè)計(jì)教學(xué)活動和問題，讓所有程度的學(xué)生都能在他們自己的最近發(fā)展區(qū)中，獲得最大程度的進(jìn)步，掌握解題方法和技巧，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

讓學(xué)生根據(jù)自己的已有知識和經(jīng)驗(yàn)，用自己的思維方式，自由地、開放地去探究，去“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”有關(guān)數(shù)學(xué)知識的過程.教師要把探索的時(shí)間和空間留給學(xué)生，多給學(xué)生設(shè)置一些開放性的問題，多為學(xué)生開展一些探索性的活動，幫助學(xué)生建立學(xué)習(xí)信心，相信“不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動真正成為一個(gè)生動活潑的、主動的和富有個(gè)性的過程.新課程的理念強(qiáng)調(diào)要讓學(xué)生通過觀察、操作、提問、嘗試、討論、辯論等主體性活動，積極參與數(shù)學(xué)問題的生成，解決應(yīng)用過程，這對促進(jìn)學(xué)生的主動發(fā)展具有重要意義.

3.3 活動開展的充分性是基于整體視角下的分點(diǎn)式教學(xué)的核心

葉瀾教授提出：人類的教育活動起源于交往，教育是人類一種特殊的交往活動.分點(diǎn)式教學(xué)強(qiáng)調(diào)有活動，必須有展示.有展示，必須有評價(jià).就是“二評”：一評，小組評價(jià).每練完一個(gè)知識點(diǎn)的訓(xùn)練題組，讓學(xué)習(xí)小組進(jìn)行評價(jià)，出現(xiàn)的問題由“生幫生”解決；二評，教師評價(jià).在教學(xué)中，對所遇到的問題，進(jìn)行適時(shí)的評估，把握“閃光點(diǎn)”，給予激勵(lì)，從而激發(fā)其對數(shù)學(xué)的熱情.在互評過程中，學(xué)生之間可以互相借鑒，互相之間也可以懂得如何去認(rèn)識他人的優(yōu)點(diǎn)，也可以去傾聽他人的意見，還可以借鑒他人的經(jīng)驗(yàn)，彌補(bǔ)自己的不足.

教師的評估一般都是以激勵(lì)為主要方式，要擅長于尋找到學(xué)生身上的閃光點(diǎn)，要對學(xué)生的長項(xiàng)進(jìn)行適時(shí)的表揚(yáng)，即便學(xué)生錯(cuò)誤的回答，也不能輕易地否認(rèn)他們，而是要在激勵(lì)的同時(shí)，委婉地提出他們的不足，這樣才能避免影響到他們的信心和學(xué)習(xí)積極性.分點(diǎn)式的教學(xué)，以問題為中心，通過個(gè)人或團(tuán)體的方式，作為交流的載體，全方位地提高學(xué)生的問題求解技能.師生應(yīng)及時(shí)對所學(xué)知識與方法進(jìn)行歸納，從學(xué)生熟悉的知識點(diǎn)切入，循序漸進(jìn)，抓住課堂要點(diǎn)，及時(shí)調(diào)整教學(xué)過程，讓學(xué)生在活動中獲得經(jīng)驗(yàn)和方法，在活動中發(fā)展思維能力，在活動中優(yōu)化思維品質(zhì)，整個(gè)教學(xué)過程體現(xiàn)了學(xué)生的主體性地位.重視學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力和數(shù)學(xué)理解能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).

【基金項(xiàng)目：青海省“十四五”教育科學(xué)規(guī)劃2023年度重點(diǎn)課題“初中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)設(shè)計(jì)與分點(diǎn)式教學(xué)實(shí)踐融合的策略研究”（課題編號：23QJG02）的階段性研究成果】

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］章建躍.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何落實(shí)在課堂［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016（03）：66.