摘"要：以重合度為1～2之間的定軸漸開線直齒輪為研究對(duì)象，基于Archard磨損模型數(shù)值仿真齒面磨損的分布規(guī)律，研究齒輪中心距安裝誤差對(duì)齒輪嚙合過程的影響，揭示中心距安裝誤差對(duì)齒面磨損的影響機(jī)理。結(jié)果表明：在0.1%的中心距誤差下，中心距的增大會(huì)使齒輪的重合度下降，嚙合區(qū)域變小，嚙入點(diǎn)的位置遠(yuǎn)離齒根，從而減小齒面磨損。

關(guān)鍵詞：齒面磨損；特性分析；Archard磨損模型；中心距；安裝誤差

中圖分類號(hào)：TH117.1""文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A""文章編號(hào)：1671-5276（2024）02-0015-05

Analysis of Tooth Face Wear Characteristics under Center Distances Installation Error

SUN Bin， WANG Youren， GAO Jiahao

（College of Automation Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 211106，China）

Abstract：Taking fixed-axle involute spur gears with coincidence degree between 1～2 as the research objects， the distribution law of tooth surface wear was simulated numerically based on Archard wear model， the influence of gear center distance on gear meshing process was studied， and the influence mechanism of center distance on tooth surface wear was revealed. The results show that with 0.1% of the center distance error， the increase of the center distance will reduce the gear overlap， make the meshing area smaller and keep the rod position far away from the root， thus reducing the wear on the tooth surface.

Keywords：wear of tooth surface; characteristic analysis; Archard wear model; gear center distance; installation error

0"引言

作為機(jī)械傳動(dòng)方式中重要的基礎(chǔ)元件之一，齒輪具有傳動(dòng)效率高、傳動(dòng)比準(zhǔn)確、工作可靠等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車、船舶、工程機(jī)械等諸多領(lǐng)域。對(duì)于齒輪機(jī)構(gòu)來說，過度的齒面磨損會(huì)使齒輪齒廓發(fā)生變化，不但齒輪傳動(dòng)比的精確度和傳動(dòng)效率會(huì)受到影響，而且還可能會(huì)造成強(qiáng)烈的沖擊使齒輪斷裂、機(jī)構(gòu)損壞等。因此，有必要研究齒輪磨損的動(dòng)態(tài)過程，從而盡可能小地減少損失。潘冬等［1］利用Archard磨損模型，考慮了齒輪負(fù)載及轉(zhuǎn)速的影響，對(duì)齒輪磨損問題進(jìn)行了數(shù)值仿真。石萬凱等［2］研究了齒面表面粗糙度對(duì)齒面磨損的影響。張俊等［3］建立了準(zhǔn)靜態(tài)工況下的齒面磨損模型，并分析了負(fù)載和嚙合偏差對(duì)齒面磨損的影響。朱麗莎等［4］考慮了齒間動(dòng)態(tài)載荷分配對(duì)齒面磨損的影響。張建閣等［5］研究了一種潤滑油齒輪磨損分析模型。王曉筍等［6］研究了齒間動(dòng)態(tài)嚙合力下齒輪的動(dòng)態(tài)磨損特性。周江建等［7］研究了齒輪磨損對(duì)其振動(dòng)信號(hào)特征的影響。由此可見，大多數(shù)學(xué)者對(duì)于齒面磨損問題的研究均以“負(fù)載”、“轉(zhuǎn)速”為影響變量探究齒輪的磨損規(guī)律，對(duì)于齒輪副中心距對(duì)齒面磨損的影響卻少有提及。事實(shí)上，齒輪以不同中心距安裝時(shí)，會(huì)使齒輪副的接觸情況產(chǎn)生變化，從而對(duì)齒面磨損深度產(chǎn)生影響。

本文基于Archard磨損模型，利用數(shù)值分析的方法，研究了漸開線齒輪齒面磨損規(guī)律，分析了齒輪中心距對(duì)齒輪嚙合過程的影響，揭示了中心距對(duì)齒面磨損的影響機(jī)理。

1"齒輪嚙合過程

以重合度為1～2之間的定軸漸開線直齒輪為研究對(duì)象，設(shè)其模數(shù)為m，分度圓壓力角為α，主、從動(dòng)輪的齒數(shù)分別為z1、z2，嚙合過程如圖1所示。圖中O1、O2分別為主、從動(dòng)輪的基圓圓心；rb1、rb2分別為主、從動(dòng)輪的基圓半徑；ra1、ra2分別為主、從動(dòng)輪的齒頂圓半徑；pb為基圓齒距；設(shè)N1N2為兩齒輪基圓的公切線，N1、N2為切點(diǎn)，則N1N2為理論嚙合線；設(shè)B1為從動(dòng)輪齒頂圓與N1N2的交點(diǎn)，B2為主動(dòng)輪齒頂圓與N1N2的交點(diǎn)，則B1B2為實(shí)際嚙合線，其中B1為嚙入點(diǎn)，B2為嚙出點(diǎn)，B1C1、C2B2為雙齒嚙合區(qū)，C1C2為單齒嚙合區(qū)；設(shè)O1O2與N1N2的交點(diǎn)為P，則P為節(jié)點(diǎn)；線段O1O2的長度即為齒輪副的中心距A。

根據(jù)齒輪嚙合原理，齒輪副標(biāo)準(zhǔn)中心距A的計(jì)算公式為

A=（z1+z2）m2（1）

實(shí)際中心距與標(biāo)準(zhǔn)中心距之間的關(guān)系為

A′cosα′=Acosα（2）

式中：A′為實(shí)際中心距；α′為節(jié)點(diǎn)壓力角。

2""齒輪副磨損模型

2.1"齒面接觸應(yīng)力

采用集中質(zhì)量法建立主、從動(dòng)齒輪動(dòng)力學(xué)方程，設(shè)me為等效質(zhì)量；x為嚙合線上兩齒輪相對(duì)位移；e（t）為齒輪的綜合誤差；T為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；θ1和θ2分別為主、從動(dòng)齒輪的扭轉(zhuǎn)角位移；J1和 J2分別為主、從動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Mm表示時(shí)變嚙合剛度；M-m表示時(shí)變嚙合剛度的平均值。則典型的一對(duì)齒輪副扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型可以表示為［8］

mex··+cmx·+Mmf（x）=Trb2－mee··（t）

x=rb1θ1-rb2θ2-e（t）

me=J1J2J1r2b1+J2r2b2

cm=2ξM-mme（3）

式中：ξ為輪齒嚙合阻尼比；f（x）是與齒側(cè)間隙有關(guān)的非線性函數(shù)。

用Δn表示齒側(cè)間隙，則f（x）可以表示為

f（x）=x0x+Δn"xgt;0

－2Δn＜x≤0

x≤－2Δn（4）

輪齒間的動(dòng)態(tài)嚙合力Fn可以表示為

Fn=cmx·+Mmf（x）（5）

對(duì)于重合度為1～2之間的齒輪，由于齒輪不斷地處于單齒嚙合區(qū)和雙齒嚙合區(qū)的交替運(yùn)動(dòng)中，其單位齒寬載荷也隨嚙合點(diǎn)位置的不同而不同，因此需要進(jìn)行載荷分配。定義Δ為由磨損造成的兩齒輪間的幾何側(cè)隙，當(dāng)嚙合點(diǎn)的位置在圖1中的B1C1段時(shí)

|Δ|=|hw1（y）+hw2（y）－［hw1（y+pb）+hw2（y+pb）］| （6）

當(dāng)嚙合點(diǎn)的位置在圖1中的C2B2段時(shí)

|Δ|=|hw1（y）+hw2（y）－［hw1（y－pb）+hw2（y－pb）］| （7）

式中：hw1和hw2分別為主、從動(dòng)輪的磨損量；y為嚙合點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)的距離；pb為基圓齒距。

設(shè)齒輪齒寬為B，齒面單位法向載荷為W，則有：

當(dāng)Δ＜0時(shí)

W=M1（Fn+|Δ|M2）（M1+M2）Bcosα′（8）

當(dāng)Δgt;0時(shí)

W=M1（Fn－|Δ|M2）（M1+M2）Bcosα′（9）

式中M1和M2分別為參與嚙合的兩對(duì)齒輪的時(shí)變嚙合剛度。

設(shè)齒輪副等效彈性模量為Ez，接觸點(diǎn)等效曲率半徑為Rz，赫茲接觸半寬為b，平均接觸應(yīng)力為σ，它們的計(jì)算公式如下：

1Ez=1－δ21E1+1－δ22E2（10）

1Rz=1R1+1R2（11）

b=4WEzπRz（12）

σ=W2b（13）

式中：δ1、δ2分別為主、從動(dòng)輪材料的泊松比；E1、E2分別為主、從動(dòng)輪材料的彈性模量；R1=rb1tanαk、R2=rb2tanαk分別為主、從動(dòng)輪的曲率半徑；αk為嚙合點(diǎn)處的壓力角。

2.2"滑動(dòng)距離

齒輪回轉(zhuǎn)任意角度時(shí)，定義主、從動(dòng)輪齒面對(duì)應(yīng)嚙合點(diǎn)之間的相對(duì)距離稱為滑動(dòng)距離。在某一嚙合位置，設(shè)主動(dòng)輪切向速度為v1、滑動(dòng)距離為L1，從動(dòng)輪切向速度為v2、滑動(dòng)距離為L2，它們的計(jì)算方式為：

v1=ω1R1（14）

v2=ω2R2（15）

L1=2b1－v2/v1（16）

L2=2b1－v1/v2（17）

式中ω1、ω2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的角速度。

2.3"磨損系數(shù)

磨損系數(shù)的計(jì)算對(duì)于磨損模型的準(zhǔn)確度有著重要的影響。許多學(xué)者在研究磨損規(guī)律時(shí)，一般取經(jīng)驗(yàn)值作為磨損系數(shù)的值。JANAKIRAMAN V等［9］ 對(duì)嚙合過程中的載荷、速度、潤滑特性等因素對(duì)磨損系數(shù)的影響進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，利用回歸分析的方法得到了靜態(tài)磨損系數(shù)的計(jì)算公式

k0=3.981×1029EzF1.219LG－7.377S1.589（18）

式中：FL、G、S分別為與載荷、潤滑油壓力黏度系數(shù)和復(fù)合粗糙度有關(guān)的系數(shù)，它們的計(jì)算方式為：

FL=WEzRzG=y0EzS=RaRz（19）

式中：y0為潤滑油壓力黏度系數(shù)；Ra為齒面粗糙度方均根值。

考慮油膜厚度的影響，PRIEST M等［10］提出了一種近似的動(dòng)態(tài)磨損系數(shù)模型：

k=k02k0（4－λ）/70"λ＜0.50.5≤λ≤4λgt;4（20）

式中λ為膜厚比系數(shù)，其計(jì)算公式為

λ=hminRa21+Ra22（21）

式中：Ra1、Ra2分別為主、從動(dòng)輪的表面粗糙度；hmin為輪齒間最小油膜厚度［11］，計(jì)算公式為

hmin=1.6y0.60（vfvu）0.7E0.03zR0.43zW－0.13（22）

式中：vu=（v1+v2）/2為卷吸速度；vf為潤滑油的動(dòng)力黏度。

根據(jù)式（21）—式（22）得到膜厚比系數(shù)的范圍，然后由式（18）—式（19）計(jì)算出靜態(tài)磨損系數(shù)，將其代入式（20）中，即可得到較為合理的動(dòng)態(tài)磨損系數(shù)。

2.4"齒面磨損模型

目前應(yīng)用最廣泛的磨損計(jì)算公式是Archard磨損模型［12］，其表達(dá)式為

WL=KFH（23）

式中：W為磨損體積；L為滑動(dòng)距離；K為無量綱磨損系數(shù)；F為法向接觸力；H為材料硬度。

由于齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)過程中接觸點(diǎn)是不斷變化的，在實(shí)際的計(jì)算過程中往往需要將式（23）進(jìn)行離散化，經(jīng)過N次磨損循環(huán)后，嚙合點(diǎn)的線磨損量hw，N為

hw，N=hw，N－1+kN－1σN－1LN－1（24）

式中：kN－1為N－1次磨損循環(huán)時(shí)的動(dòng)態(tài)磨損系數(shù)；σN－1為N－1次磨損循環(huán)時(shí)的平均接觸應(yīng)力；LN－1為N－1次磨損循環(huán)時(shí)的滑動(dòng)距離。

輪齒經(jīng)過N次磨損循環(huán)后，曲率半徑將發(fā)生改變，其曲率半徑將變?yōu)?/p>

RN=RN－1－h(huán)w，N-1（25）

由式（24）可知，齒面磨損與齒面接觸條件息息相關(guān)。根據(jù)式（2）可知，中心距的改變會(huì)導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)壓力角發(fā)生變化，從而對(duì)齒輪嚙合過程產(chǎn)生影響，導(dǎo)致齒面接觸條件發(fā)生改變，最終影響齒面磨損量。

3"數(shù)值分析與討論

3.1"算例參數(shù)

以一對(duì)定軸漸開線直齒輪為例進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，齒輪副幾何參數(shù)如表1所示。

由前文所述，為得到齒輪的磨損量，需要計(jì)算輪齒間動(dòng)態(tài)嚙合力并進(jìn)行載荷分配，因此首先要根據(jù)文獻(xiàn)［13］計(jì)算考慮非均勻磨損的齒輪時(shí)變嚙合剛度，結(jié)果如圖2所示。

3.2"中心距誤差對(duì)齒面磨損的影響

1）中心距誤差對(duì)齒面接觸的影響

圖3—圖6展示了中心距對(duì)齒面接觸的影響。根據(jù)齒輪的嚙合原理，中心距誤差雖然不會(huì)對(duì)齒輪的傳動(dòng)比產(chǎn)生影響，但是對(duì)齒輪的重合度、節(jié)點(diǎn)位置、嚙入點(diǎn)位置和齒面平均接觸力均會(huì)產(chǎn)生影響。由圖3、圖5可以看出，齒輪對(duì)的中心距越小，齒輪對(duì)的重合度就越大，且嚙入點(diǎn)越靠近主動(dòng)輪齒根位置。從圖4中可以看出，當(dāng)齒輪對(duì)為非標(biāo)準(zhǔn)中心距安裝時(shí)，節(jié)點(diǎn)嚙合角將不再與分度圓壓力角相等。齒輪對(duì)的中心距越小，則節(jié)點(diǎn)處的嚙合角越小。從圖6中可以看出，隨著中心距的增大，齒面平均接觸力也跟著增大。這是由于隨著齒輪副中心距變大，齒輪節(jié)點(diǎn)處的嚙合角增大，從而齒輪所受的圓周力沿齒面法向的分量增加，最終導(dǎo)致了齒面平均接觸力的增大。

2）中心距誤差對(duì)齒面磨損的影響

對(duì)于表1中的齒輪，分別將中心距增大0.1%和減小0.1%，進(jìn)行1×106次磨損循環(huán)，以主動(dòng)輪為例，研究不同的中心距對(duì)齒面磨損的影響。

圖7—圖9展示了中心距對(duì)齒面磨損量的影響。根據(jù)前文的分析，隨著齒輪副中心距增大，齒輪重合度減小，嚙入點(diǎn)位置逐漸遠(yuǎn)離齒根。因此，從圖7中可以看出，隨著齒輪副中心距增大，主動(dòng)輪磨損的區(qū)域逐漸減小，開始磨損的位置漸漸遠(yuǎn)離齒根。由于齒輪副為非標(biāo)準(zhǔn)中心距安裝時(shí)，節(jié)點(diǎn)嚙合角不再等于分度圓壓力角，因此主動(dòng)輪磨損量的最小位置不再是分度圓處，而是在分度圓附近：若實(shí)際中心距小于標(biāo)準(zhǔn)中心距，則主動(dòng)輪磨損量最小位置在分度圓附近靠近主動(dòng)輪齒根的一邊；若實(shí)際中心距大于標(biāo)準(zhǔn)中心距，則主動(dòng)輪磨損量最小位置在分度圓附近靠近主動(dòng)輪齒頂?shù)囊贿叀?/p>

從圖8和圖9中可以看出，隨著齒輪副中心距增大，主動(dòng)輪磨損量的最大值和主動(dòng)輪齒面磨損量總和均有所減小。根據(jù)前文分析，齒輪副中心距增大會(huì)導(dǎo)致齒面平均接觸力有所增大，但在中心距誤差只有0.1%的情況下，其增量并不大。由于主動(dòng)輪磨損量的最大值出現(xiàn)在齒根附近，越靠近齒根主動(dòng)輪的磨損量越大，而中心距的增大會(huì)使嚙入點(diǎn)遠(yuǎn)離齒根并減小齒輪磨損區(qū)域。因此，隨著齒輪副中心距增大，主動(dòng)輪磨損量的最大值和主動(dòng)輪齒面磨損量總和均有所減小。

4"結(jié)語

本文以定軸漸開線直齒輪為研究對(duì)象，通過數(shù)值分析研究漸開線直齒輪的磨損分布規(guī)律，分析了中心距誤差對(duì)齒輪嚙合過程的影響，揭示了中心距誤差對(duì)齒面磨損的影響機(jī)理。結(jié)果表明：在0.1%的中心距誤差下，中心距的增大會(huì)使齒輪的重合度下降，嚙合區(qū)域變??；嚙入點(diǎn)的位置遠(yuǎn)離齒根，從而減小齒面磨損。

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收稿日期：20221013