【摘 要】數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展、遷移和推廣都需要經(jīng)歷嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶嚼?。在初中?shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)中，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)歷困惑、沖突或者矛盾，遇到困境，然后經(jīng)過操作、聯(lián)想、對(duì)比、抽象、推理、反思、否定和重構(gòu)等一系列探理過程，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)由淺層的經(jīng)驗(yàn)理解到深層的領(lǐng)悟覺知，在體驗(yàn)中發(fā)展數(shù)學(xué)的思維。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；探理；數(shù)學(xué)體驗(yàn)；教學(xué)模式

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2024）27-0017-05

【作者簡(jiǎn)介】1.張愛平，南京市金陵中學(xué)（南京，210005）副校長(zhǎng)，正高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師；2.萬(wàn)濤，南京大學(xué)附屬中學(xué)（南京，210008）教師，高級(jí)教師；3.吳濤，南京市紅山初級(jí)中學(xué)（南京，210000）教師，一級(jí)教師；4.陳吉，南京市第二十九中學(xué)（南京，210029）初中部教師，高級(jí)教師。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）指出，通過經(jīng)歷獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維過程，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)基本概念和法則的發(fā)生與發(fā)展，數(shù)學(xué)基本概念之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系……發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神。［1］

新課標(biāo)指出了數(shù)學(xué)思維過程對(duì)于培養(yǎng)一個(gè)人的思維的重要性，學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵是通過探理，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要載體，通過數(shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)，學(xué)生在操作中思考，在思考中探理，在探理中覺悟。這樣的體驗(yàn)教學(xué)能發(fā)展學(xué)生思維，對(duì)這樣的體驗(yàn)教學(xué)模式的探索是有意義、有價(jià)值的。

一、探理的內(nèi)涵和要義

1.探理的內(nèi)涵

《新華字典》中對(duì)“探”和“理”的解釋是“探”即尋求探索，“理”即道理、事物的規(guī)律?！疤嚼怼北硎緦で筇剿鞯览砗褪挛锏囊?guī)律。它是數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展、遷移和推廣的重要途徑。

2.探理的要義

探理主要是指從事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)一定的規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的思維過程。在初中數(shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)中，探理側(cè)重?cái)?shù)學(xué)的邏輯推理，指通過邏輯推理，得到數(shù)學(xué)命題或結(jié)論。邏輯推理主要表現(xiàn)為：掌握推理基本形式和規(guī)則，發(fā)現(xiàn)問題和提出命題，探索和表達(dá)論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達(dá)與交流。［2］邏輯推理主要包括兩種類型：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要為歸納和類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要為演繹。因此，探理的要義主要體現(xiàn)在演繹推理、歸納推理和類比推理三種方式。

二、探理對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)思維的意義

從其內(nèi)涵和要義出發(fā)，探理在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維方面具有重要意義。

首先，探理有助于學(xué)生運(yùn)算能力和推理能力的提升。傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生往往通過死記硬背來(lái)掌握數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理的步驟和法則，使得頗具思維含量的數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理變成機(jī)械的數(shù)字操作，這樣不利于學(xué)生運(yùn)算能力和推理能力的提升。而在體驗(yàn)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過操作體驗(yàn)、理解算理、逐步推理，在算理和算法之間，在探理和推理之間搭建橋梁，加深學(xué)生對(duì)運(yùn)算和推理的理解。

其次，探理有助于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在探理過程中，學(xué)生通過觀察、操作、分析、推理、歸納等活動(dòng)，經(jīng)歷知識(shí)生成的過程，體驗(yàn)獲得知識(shí)的喜悅，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

最后，探理有助于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神。學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維過程，能夠理解數(shù)學(xué)基本概念和法則的發(fā)生和發(fā)展，理解數(shù)學(xué)基本概念之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系，分析、解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程。這樣的“再發(fā)現(xiàn)”過程，有助于發(fā)展學(xué)生質(zhì)疑問難的批判性思維，有助于學(xué)生逐步養(yǎng)成重論據(jù)、重邏輯的思維習(xí)慣，使其初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神。

三、以“探理”為體驗(yàn)意義的數(shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)模式的框架

數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，思維的形成離不開探理。在數(shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)過程中，要讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生，探理是其中一個(gè)重要環(huán)節(jié)。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，我們探索出以“探理”為體驗(yàn)意義的數(shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)模式的框架：建構(gòu)符號(hào)表征意義—建構(gòu)經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)—形成思維加工—形成思維躍遷—實(shí)現(xiàn)問題解決。

四、以“探理”為體驗(yàn)意義的數(shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)模式的實(shí)施策略

在數(shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)模式中，教師應(yīng)通過創(chuàng)設(shè)有驅(qū)動(dòng)性的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知困惑，然后啟發(fā)學(xué)生對(duì)原有知識(shí)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)，從而激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián)操作體驗(yàn)，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理驗(yàn)證等，使其通過探理解決自己的困惑、矛盾和沖突，實(shí)現(xiàn)問題解決，并對(duì)整個(gè)探理過程進(jìn)行總結(jié)優(yōu)化反思。因此，教師啟發(fā)學(xué)生探理的實(shí)施策略為：創(chuàng)設(shè)問題情境—啟發(fā)點(diǎn)撥激活—組織引導(dǎo)探究—完善補(bǔ)充升華；學(xué)生自主探理的實(shí)施策略為：激活已有經(jīng)驗(yàn)—關(guān)聯(lián)操作體驗(yàn)—邏輯推理驗(yàn)證—總結(jié)優(yōu)化反思。

在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為：運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力。其中，運(yùn)算能力重在代數(shù)探理，推理能力重在幾何探理。運(yùn)算能力指學(xué)生能夠理解運(yùn)算的算理，并能尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算方法來(lái)解決問題。推理能力主要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，邏輯推理能力是幾何探理過程中必需的一種能力，培養(yǎng)學(xué)生幾何探理的過程就是在提升學(xué)生邏輯推理能力。

下面，筆者分別從代數(shù)推理和幾何推理的角度，通過案例具體闡釋以“探理”為體驗(yàn)意義的數(shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)模式的實(shí)施策略。

案例1：有無(wú)必勝方案

如圖1，現(xiàn)有A、B、C、D四個(gè)長(zhǎng)方體容器，A、B的底面積都為a2，高分別為a、b（a＞0，b＞0，a≠b），C、D的底面積都為b2，高分別為a、b。小明和小聰商定一種游戲規(guī)則：小明先從這四個(gè)容器中任取兩個(gè)，剩下的給小聰，盛水多者獲勝。請(qǐng)分析，無(wú)論a、b的大小關(guān)系，小明有無(wú)必勝的方案？若有，應(yīng)取哪兩個(gè)容器？若無(wú)，請(qǐng)說明理由。

【激活已有經(jīng)驗(yàn)】學(xué)生首先會(huì)思考有6種選擇，選擇容器A和B，A和C，A和D，B和C，B和D，C和D，要計(jì)算盛水量，學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)就是計(jì)算每個(gè)容器的體積，因此會(huì)想到長(zhǎng)方體的體積公式，從而激活學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。

【關(guān)聯(lián)操作體驗(yàn)】學(xué)生根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式，得到容器A的體積為a3，容器B的體積為a2b，容器C的體積為ab2，容器D的體積為b3，這四個(gè)容器的體積哪個(gè)最大，哪個(gè)最小呢？根據(jù)條件a＞0，b＞0，a≠b，但a和b誰(shuí)大誰(shuí)小卻不知道，因此無(wú)法判斷哪個(gè)容器盛水多。

學(xué)生也會(huì)通過計(jì)算所選的兩個(gè)容器的體積之和來(lái)進(jìn)行比較，容器A和B的體積為a3 + a2b = a2（a + b），容器A和C的體積為a3 + ab2 = a（a2 + b2），容器A和D的體積為a3 + b3，容器B和C的體積為a2b + ab2 = ab（a + b），容器B和D的體積為a2b + b3 = b（a2 + b2），容器C和D的體積為ab2 + b3 = b2（a + b），但仍然無(wú)法判斷哪個(gè)容器盛水多。在這里，學(xué)生的思維受阻，利用已有知識(shí)解決的方法行不通，遇到學(xué)習(xí)困境，渴望得到新的理解。

【邏輯推理驗(yàn)證】在教師的啟發(fā)點(diǎn)撥、組織引導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)過深層思考，發(fā)現(xiàn)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小可以用作差法來(lái)完成，然后對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行重構(gòu)，經(jīng)歷由淺層的經(jīng)驗(yàn)理解到深層的醒悟覺知的探理過程。

不妨設(shè)取A、B兩個(gè)容器的盛水量為AB（其他類似），可得：

①AB - CD = （a + b）2（a - b）

②AC - BD = （a2 + b2）（a - b）

③AD - BC = （a - b）2（a + b）

因?yàn)閍＞0，b＞0，a≠b，學(xué)生發(fā)現(xiàn)①中（a + b）2（a - b），②中（a2 + b2）（a - b），仍然無(wú)法判斷正負(fù)，但在③中（a - b）2（a + b），無(wú)論a和b誰(shuí)大誰(shuí)小，（a - b）2（a + b）恒大于0，所以必勝方案是選擇容器A和D。

【總結(jié)優(yōu)化反思】從這個(gè)代數(shù)推理的問題中可以看出，學(xué)生所具備的知識(shí)是求長(zhǎng)方體的體積，但是學(xué)生用公式表示出體積后，遇到學(xué)習(xí)困境：由于不知道a和b的大小，無(wú)法判斷哪個(gè)容器的體積大，哪個(gè)容器的體積小。學(xué)生嘗試把兩個(gè)容器的體積加起來(lái)觀察，發(fā)現(xiàn)還是不行，再次遇到困惑。這時(shí)教師適時(shí)啟發(fā)點(diǎn)撥，并組織引導(dǎo)探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小可以用作差法，從而引導(dǎo)學(xué)生去完善解決這個(gè)問題。學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐推理驗(yàn)證的探理過程，最終找到解決問題的方法，發(fā)展了其數(shù)學(xué)思維。

案例2：“圓周角”教學(xué)

“圓周角”是蘇科版初中數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第二章的內(nèi)容。在圓中，圓周角與弦、弧和圓心角之間存在很多關(guān)聯(lián)。很多教師都覺得“圓周角”這節(jié)課不好上，主要是因?yàn)闆]有弄明白圓周角從哪來(lái)，為什么要研究圓周角。要想上好這節(jié)課，教師必須想清楚兩個(gè)問題。

問題1：在學(xué)習(xí)圓周角的定義時(shí)，“頂點(diǎn)在圓上”容易理解，如何才能使得學(xué)生自主歸納出“兩邊都和圓相交”這一特征？

問題2：在學(xué)習(xí)圓周角的性質(zhì)時(shí)，學(xué)生怎樣才能想到圓周角與圓心角的關(guān)系？

因此，下面筆者嘗試借助圓周角體驗(yàn)儀（見圖2）來(lái)開展體驗(yàn)教學(xué)，幫助學(xué)生深刻理解圓周角的概念和性質(zhì)。

（1）發(fā)現(xiàn)圓周角

如圖3，∠BOC為圓心角，讓∠BAC的頂點(diǎn)A從圓心O出發(fā)，在直軌道上自由移動(dòng)，在移動(dòng)的過程中讓學(xué)生感受∠BAC的大小隨點(diǎn)A的位置變化而變化的規(guī)律：以點(diǎn)A從圓心O向上移動(dòng)為例，在移動(dòng)的過程中，點(diǎn)A離圓心O越遠(yuǎn)，∠BAC越小。

觀察這些角的特征，根據(jù)點(diǎn)A位置的“不相同”，學(xué)生不難把點(diǎn)A的位置分為三類：圓內(nèi)、圓上和圓外，進(jìn)而把這些角分為三類：頂點(diǎn)在圓內(nèi)的角、頂點(diǎn)在圓上的角和頂點(diǎn)在圓外的角。

學(xué)生對(duì)哪類角最感興趣？心理學(xué)研究表明，人對(duì)變化過程中的某些特殊狀態(tài)往往表現(xiàn)出特殊的興趣。頂點(diǎn)在圓上的角是特殊狀態(tài)，這必定是學(xué)生最感興趣的角。自然地，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“圓周角”。

（2）探索圓周角的性質(zhì)

問題：圓周角∠BAC的度數(shù)可能與什么有關(guān)？

【激活已有經(jīng)驗(yàn)】學(xué)生通過觀察和操作圓周角體驗(yàn)儀，發(fā)現(xiàn)與它所對(duì)的[BC]有關(guān)，學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)想到圓心角∠BOC的度數(shù)等于[BC]的度數(shù)，圓周角∠BAC的度數(shù)可能與圓心角∠BOC的度數(shù)有關(guān)，猜想∠BAC = [12]∠BOC。

【關(guān)聯(lián)操作體驗(yàn)】學(xué)生通過操作圓周角體驗(yàn)儀發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)A從圓心O出發(fā)，在直軌道上向上平移到圓上，此時(shí)∠BAC和∠BOC如圖4中的①。學(xué)生根據(jù)外角的性質(zhì)探理，得到∠BOC = ∠BAC + ∠B + ∠C，接著根據(jù)OA = OB = OC，得到∠BOC = 2∠BAC。

當(dāng)點(diǎn)A沿著圓周移動(dòng)，使得AB和OB重合時(shí)，如圖4中的②。根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠BOC = ∠BAC+∠C。由于OA = OC，因此∠BAC = ∠C，即∠BOC = 2∠BAC。

當(dāng)點(diǎn)A沿著圓周繼續(xù)移動(dòng)，當(dāng)圓心在圓周角∠BAC外部的情形時(shí)，如圖4中的③，此時(shí)，學(xué)生的思維受到阻礙，探理出現(xiàn)困難，學(xué)生遇到學(xué)習(xí)困境，不知道如何證明∠BOC = 2∠BAC。

【邏輯推理驗(yàn)證】學(xué)生通過操作圓周角體驗(yàn)儀發(fā)現(xiàn)：轉(zhuǎn)動(dòng)直軌道，使其和OA所在直線重合——即作直徑AD（如圖4③），學(xué)生經(jīng)過探理發(fā)現(xiàn)圖4③和其他兩圖有相似之處，可以把∠DOC和∠DOB看成外角，∠BOC=∠DOC-∠DOB=2∠DAC-2∠DAB=2（∠DAC-∠DAB）=2∠BAC，得以驗(yàn)證。

【總結(jié)優(yōu)化反思】學(xué)生在尋找∠BOC和∠BAC的關(guān)系時(shí)，會(huì)出現(xiàn)思維的局限，只會(huì)對(duì)圖4①進(jìn)行探理。圖4②和圖4③中，點(diǎn)A的位置不同，證明的方法也是不同的，需要全面看待問題。當(dāng)學(xué)生遇到圖4③的情形時(shí)，由于沒有連接直徑，很多學(xué)生想不到如何添加輔助線進(jìn)行探理，思維受到阻礙。該如何突破思維阻礙呢？這時(shí)借助圓周角體驗(yàn)儀的幫助，學(xué)生通過上述操作體驗(yàn)——轉(zhuǎn)動(dòng)直軌道，就能發(fā)現(xiàn)探理的突破口。學(xué)生通過體驗(yàn)，經(jīng)歷由淺層的經(jīng)驗(yàn)理解到深層的醒悟覺知的探理過程，發(fā)展了自身的思維。

數(shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)中教師要站得高、看得遠(yuǎn)、想得透，引導(dǎo)學(xué)生有疑、有思、有探、有悟、有得，對(duì)學(xué)生的探理給予支持和肯定，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)樹立信心。教師只有通過探理來(lái)發(fā)展學(xué)生的思維，學(xué)生才能獲得成就感和滿足感，才會(huì)將所學(xué)知識(shí)融入日常的學(xué)習(xí)和生活中，并對(duì)其進(jìn)行創(chuàng)新，促進(jìn)學(xué)習(xí)和生活走向深處，獲得更多的意義。

【參考文獻(xiàn)】

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：5.

［2］李昌官.邏輯推理素養(yǎng)及其培養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（1）：10-13，18.