【摘 要】數(shù)學(xué)體驗(yàn)是包含體覺、體察、體悟、體證四個(gè)緊密相連階段的一種學(xué)習(xí)方式。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以基于“體覺下的模型準(zhǔn)備—體察中的模型假設(shè)—體悟里的模型構(gòu)建—體證內(nèi)的模型驗(yàn)證—體驗(yàn)間的模型迭代”的數(shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)模式，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型活動(dòng)、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型活動(dòng)、實(shí)施綜合實(shí)踐活動(dòng)等策略，培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)，發(fā)展學(xué)生模型觀念，提升學(xué)生模型思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人目標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)體驗(yàn)；數(shù)學(xué)語(yǔ)言；建模；教學(xué)模式

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2024）27-0022-06

【作者簡(jiǎn)介】1.朱敏龍，南京市第二十九中學(xué)（南京，210029）初中部副校長(zhǎng)，高級(jí)教師；2.石小虎，南京市金陵匯文學(xué)校（南京，210036）教師，高級(jí)教師；3.何衛(wèi)群，南京市育英第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（南京，210044）教師，高級(jí)教師；4.田禹，南京市金陵匯文學(xué)校（南京，210036）教師，一級(jí)教師。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）在“核心素養(yǎng)內(nèi)涵”中提出，通過數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，可以簡(jiǎn)約、精確地描述自然現(xiàn)象、科學(xué)情境和日常生活中的數(shù)量關(guān)系與空間形式；能夠在現(xiàn)實(shí)生活與其AoU1nCOHuLvKxX8rLVnIvg==他學(xué)科中構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，表達(dá)和解決問題；形成數(shù)學(xué)的表達(dá)與交流能力，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)與實(shí)踐能力。在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的一種主要表現(xiàn)形式。學(xué)生通過經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的過程，初步感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的交流方式，能夠有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界與其他學(xué)科中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，并解釋表達(dá)的合理性；欣賞數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔與優(yōu)美，逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與交流的習(xí)慣，形成跨學(xué)科的應(yīng)用意識(shí)與實(shí)踐能力。

一、數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵和要義

（一）數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)模型是利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)和邏輯，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的特定對(duì)象、現(xiàn)象或過程進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化的描述，它是基于數(shù)學(xué)理論構(gòu)建的、能夠反映實(shí)際問題本質(zhì)特征和內(nèi)在規(guī)律的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。廣義上說，數(shù)學(xué)模型就是為解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題而建立的數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則、規(guī)律、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖形、圖標(biāo)、程序等。例如，路程等于速度乘以時(shí)間，是描述行程問題中數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型；圖形的周長(zhǎng)、面積計(jì)算公式，是描述圖形某一方面特性的數(shù)學(xué)模型。狹義地講，數(shù)學(xué)模型指那些反映了特定問題或具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如“雞兔同籠”“抽屜原理”“將軍飲馬”等典型的數(shù)學(xué)模型。

（二）數(shù)學(xué)模型的要義

數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)化描述和表達(dá)，它的要義主要有以下幾方面。

1.抽象與簡(jiǎn)化

數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象和簡(jiǎn)化。現(xiàn)實(shí)世界中的事物往往非常復(fù)雜，難以直接進(jìn)行研究和處理。利用數(shù)學(xué)模型，我們可以將復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，從而簡(jiǎn)化問題，使其更易于分析和解決。數(shù)學(xué)模型忽略了一些次要因素，保留了問題的主要特征和規(guī)律。抽象、簡(jiǎn)化的模型能夠使得現(xiàn)實(shí)問題更加易于處理和分析，同時(shí)也有助于揭示問題的本質(zhì)。

2.結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)

數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)，這種結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)通常由一系列的數(shù)學(xué)符號(hào)、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等組成，它們共同描述了現(xiàn)實(shí)世界的某個(gè)方面或某個(gè)過程。這些數(shù)學(xué)表達(dá)形式能夠精確地描述問題的結(jié)構(gòu)、關(guān)系和變化規(guī)律，讓學(xué)生可以通過數(shù)學(xué)方法求解現(xiàn)實(shí)問題。這些數(shù)學(xué)元素相互關(guān)聯(lián)、相互作用，形成了一個(gè)完整的體系。

3.預(yù)測(cè)與決策

利用數(shù)學(xué)模型，我們可以對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)象進(jìn)行定性和定量的分析，揭示其內(nèi)在規(guī)律和機(jī)制。大數(shù)據(jù)時(shí)代，數(shù)據(jù)觀念、數(shù)據(jù)分析變得越來越重要，逐漸形成了一種新的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。通過分析和計(jì)算由數(shù)學(xué)語(yǔ)言建構(gòu)的模型，可以預(yù)測(cè)未來的發(fā)展趨勢(shì)或結(jié)果，從而為決策提供科學(xué)依據(jù)。

4.通用性與推廣性

數(shù)學(xué)模型往往具有一定的通BUi4GArKfOqbP5+xBnO61A==用性和推廣性，即同一類問題可以使用相同的模型進(jìn)行描述和解決。這使得數(shù)學(xué)模型在各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，如物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等。

二、數(shù)學(xué)建模對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的意義

數(shù)學(xué)建模（以下簡(jiǎn)稱“建?！保┲咐脭?shù)學(xué)方法和工具，對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化和量化，建立數(shù)學(xué)模型，并通過求解模型來解決問題的一種科學(xué)方法。建模的意義在于鼓勵(lì)學(xué)生將他們的解決方案和思考過程，通過口頭陳述、寫作、圖表、圖像等形式進(jìn)行有效的交流和表達(dá)。在表達(dá)過程中，學(xué)生需要運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言來解釋他們的解決方案、推理過程和結(jié)論；需要使用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和符號(hào)清晰地描述他們的思考路徑，并提供合理的解釋和證明，從而能創(chuàng)新性地運(yùn)用到相關(guān)生活問題的解決中。

因此，通過建模，學(xué)生可以深入了解問題的本質(zhì)和規(guī)律，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和關(guān)系。同時(shí)，建模也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的重要途徑。

三、以建模為體驗(yàn)意義的數(shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)模式的框架

數(shù)學(xué)體驗(yàn)為建模提供了重要的方法基礎(chǔ)，學(xué)生在數(shù)學(xué)體驗(yàn)學(xué)習(xí)中，建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題，親身感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，能夠激發(fā)對(duì)建模的興趣和動(dòng)力。同時(shí)，將建模成果應(yīng)用于實(shí)際問題的解決過程中，通過實(shí)踐檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性和有效性，可以進(jìn)一步豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)。數(shù)學(xué)體驗(yàn)作為一種學(xué)習(xí)方式，包含體覺、體察、體悟、體證四個(gè)緊密相連的階段，具有身心合一、內(nèi)外并舉、知情并重、過程與結(jié)果相統(tǒng)一等特征。它順應(yīng)新時(shí)代課程改革的要求，可使學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力得到提升，有利于學(xué)生正向的情感態(tài)度與價(jià)值觀的形成，有助于實(shí)現(xiàn)由數(shù)學(xué)知識(shí)向數(shù)學(xué)素養(yǎng)的轉(zhuǎn)化。以建模為體驗(yàn)意義的數(shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)模式的基本框架如下：

（一）體覺下的模型準(zhǔn)備（項(xiàng)目與問題呈現(xiàn)）

體覺即啟動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，初步感覺。體覺下的模型準(zhǔn)備就是圍繞將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，明確建模目標(biāo)，啟動(dòng)、激發(fā)與新知識(shí)相關(guān)聯(lián)的原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，并收集相關(guān)數(shù)據(jù)，從而深入理解問題背景與系統(tǒng)特性，進(jìn)而形成初步的感覺和深入探究的欲望，為模型雛形建構(gòu)作準(zhǔn)備。在這一環(huán)節(jié)，教師可以根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生的生活情境，設(shè)計(jì)體驗(yàn)教學(xué)模式基本框架中的“困惑與沖突”問題，激發(fā)學(xué)生的探究熱情。

（二）體察中的模型假設(shè)（形成對(duì)項(xiàng)目與問題的理解）

體察即全面觀察，深入反思。體察中的模型假設(shè)就是基于現(xiàn)有知識(shí)和實(shí)際情況，發(fā)現(xiàn)和提出有價(jià)值的問題，并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和符號(hào)來描述問題的特征和要求，對(duì)系統(tǒng)行為做出合理簡(jiǎn)化和理想化假設(shè)，從而實(shí)現(xiàn)體驗(yàn)教學(xué)模式基本框架中的“直覺與聯(lián)想”。

（三）體悟里的模型構(gòu)建（形成初步方案）

體悟即抽象概括，意義建構(gòu)。體悟里的模型構(gòu)建就是選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，如方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)模型、優(yōu)化算法、圖論模型等，將假設(shè)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)。

（四）體證內(nèi)的模型驗(yàn)證（探索加工重構(gòu)）

體證即身臨其境，驗(yàn)證應(yīng)用。體證內(nèi)的模型驗(yàn)證就是運(yùn)用數(shù)值方法、解析方法或模擬技術(shù)求解模型，將模型應(yīng)用于實(shí)際問題。在這一環(huán)節(jié)，學(xué)生通過對(duì)比實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)、進(jìn)行定性分析或檢驗(yàn)等方式驗(yàn)證模型的有效性。

（五）體驗(yàn)間的模型迭代（完成項(xiàng)目研究）

體驗(yàn)即積累經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化經(jīng)驗(yàn)。體驗(yàn)間的模型迭代就是根據(jù)反饋調(diào)整模型參數(shù)或結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步迭代、改進(jìn)模型。

四、以“建?！睘轶w驗(yàn)意義的數(shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)的實(shí)施策略

以“建模”為體驗(yàn)意義的數(shù)學(xué)教學(xué)可通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型和實(shí)施綜合實(shí)踐活動(dòng)等策略來培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)、發(fā)展學(xué)生模型觀念、提升學(xué)生模型思想，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新意識(shí)等核心素養(yǎng)。

（一）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)模型意識(shí)

數(shù)學(xué)知識(shí)本身就是一種數(shù)學(xué)模型，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)本質(zhì)上就是一種構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)活動(dòng)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)知識(shí)的基本途徑之一。這種構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的活動(dòng)，實(shí)際上是建模的某個(gè)階段或某個(gè)環(huán)節(jié)，可以培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)。模型意識(shí)主要指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟，知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑；能夠認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中大量的問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，并能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的概念與方法進(jìn)行解釋。模型意識(shí)有助于增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，是形成模型觀念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

案例1：函數(shù)模型的構(gòu)建

1.體覺下的模型準(zhǔn)備

問題：某商店專銷某種品牌的計(jì)算器，進(jìn)價(jià)12元/只，售價(jià)20元/只。為了促銷，該商店決定凡是買10只以上的，每多買1只，售價(jià)就降低0.1元，但是最低價(jià)為16元/只。如果你是商家，你會(huì)有哪些思考？

2.體察中的模型假設(shè)

思考1：設(shè)賣出x只計(jì)算器，如果賣10只及10只以內(nèi)，按20元/只賣；如果賣10只以上，每多賣1只，售價(jià)就降低0.1元，也就是說多賣（x - 10）只，售價(jià)就降低0.1（x - 10）元/只。

思考2：最低價(jià)為16元/只，也就是說，降價(jià)后的售價(jià)不少于16元/只，即20 - 0.1（x - 10） ≥ 16，解得x ≤ 50，賣出的計(jì)算器數(shù)不能超過50只。

思考3：作為商家，何時(shí)賺錢最多？

3.體悟里的模型構(gòu)建

如何解決“何時(shí)賺錢最多”的問題呢？函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的有效數(shù)學(xué)模型，可以建立利潤(rùn)y和銷售只數(shù)x之間的函數(shù)，用函數(shù)圖象或性質(zhì)分析y的取值。

設(shè)總利潤(rùn)為y元，由“總利潤(rùn) = 單件利潤(rùn)×件數(shù)”得：當(dāng)0 ≤ x ≤ 10時(shí)，y = （20 - 12）x = 8x；當(dāng)10 ＜ x ≤ 50時(shí)，y = ［20 - 0.1（x - 10） - 12］x = -0.1x2 + 9x；當(dāng)x ＞ 50時(shí)y = （16 - 12）x = 4x。然后畫出分段函數(shù)示意圖，由函數(shù)圖象分析何時(shí)賺得錢最多。

將實(shí)際問題抽象化、數(shù)學(xué)化是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型活動(dòng)的核心步驟。在上述體驗(yàn)活動(dòng)“作為商家如何智慧定價(jià)”中，學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)變量語(yǔ)言建立函數(shù)模型，表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。建模活動(dòng)需要教師設(shè)置生活情境，讓學(xué)生在情境中思考如何建立數(shù)學(xué)模型解決問題，這樣的數(shù)學(xué)體驗(yàn)課堂設(shè)計(jì)有助于培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)。

（二）應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，發(fā)展模型觀念

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是數(shù)學(xué)體驗(yàn)中的一種完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，關(guān)注的是建立模型和應(yīng)用模型解決問題的過程。其中，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題的活動(dòng)過程，主要是指建構(gòu)數(shù)學(xué)模型解決應(yīng)用問題，重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生階段性的數(shù)學(xué)建模能力，使其在體驗(yàn)中逐漸發(fā)展模型觀念。模型觀念主要指對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問題有清晰的認(rèn)識(shí)，知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本路徑；初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，能夠從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。應(yīng)用數(shù)學(xué)模型活動(dòng)是在學(xué)生具有一定模型意識(shí)的基礎(chǔ)上發(fā)展其模型觀念。

案例2：如何挑選西瓜

1.體覺下的模型準(zhǔn)備

問題：夏天，我們到超市買西瓜，在大西瓜和小西瓜中選擇，哪一種最劃算？

2.體察中的模型假設(shè)

思考：“購(gòu)買西瓜”消費(fèi)問題面臨兩個(gè)選擇方案（可大可?。皠澦恪笔侵肝鞴瞎獠糠郑ü先浚┑膯蝺r(jià)小。這里會(huì)涉及西瓜大小即質(zhì)量的大小，在大小西瓜密度相同的前提下就是體積的大小，當(dāng)然還有非果肉部分（瓜皮）的厚度等量。

3.體悟里的模型構(gòu)建

（1）問題中包含的基本關(guān)系有：總價(jià)=單價(jià)×質(zhì)量、質(zhì)量=密度×體積、球體積公式V = [43]πR3等。

（2）具體數(shù)量代數(shù)化：假設(shè)當(dāng)日西瓜價(jià)格為a元/千克，大、小西瓜的密度ρ相同，大西瓜的半徑為R大，小西瓜的半徑為R小，大小西瓜的厚度一樣，則可以分別用代數(shù)式表示大小西瓜果肉部分（瓜瓤）的單價(jià)a大'、a小'：a大'= [a·ρ·V大ρ·V大瓤 ]= [a·V大V大瓤]、a小'= [a·ρ·V小ρ·V小瓤] = [a·V小V小瓤]。

（3）比較這兩者的大小能夠確定挑選哪種西瓜劃算。

4.體證內(nèi)的模型驗(yàn)證

（1）比較兩個(gè)分式大?。篴大'=[a·ρ·V大ρ·V大瓤 ]= [a·V大V大瓤 ]= [a·43π·R大343π（R大-d）3 ]=[a·R大3（R大-d）3 ]；同理，a小'= [a·R小3（R小-d）3 ]。

（2）根據(jù)分式結(jié)構(gòu)特征選擇比較的方法：作商法或作差法。

5.體驗(yàn)間的模型迭代

利用作商法比較分式[R大3（R大-d）3]和[R小3（R小-d）3]大小時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)比較果肉的單價(jià)就是在比較果肉體積占整個(gè)西瓜體積的比例，即果肉體積占整個(gè)西瓜體積的比例大，果肉單價(jià)就低，就劃算，因此在一定條件（當(dāng)日西瓜單價(jià)相同、瓜皮厚度相同、西瓜密度相同）下，購(gòu)買大西瓜劃算。

現(xiàn)實(shí)生活中也有類似情況。生活中很多帶皮或者有殼商品的劃算問題都適用這個(gè)模型，譬如在目前受國(guó)際形勢(shì)的影響，每?jī)蓚€(gè)星期國(guó)內(nèi)油價(jià)也在進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，那么等額加油與等量加油，哪種方式更劃算呢？在超市中購(gòu)買某種散裝的商品時(shí)，是等額還是等量劃算呢？這些問題都可以建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言解釋其中的某種關(guān)系，從而解決實(shí)際問題。

建模的體驗(yàn)意義重在模型建構(gòu)、模型應(yīng)用和模型遷移，在數(shù)學(xué)回歸于外部世界的過程中，學(xué)生體驗(yàn)?zāi)Ｐ偷钠者m性和發(fā)展性，體會(huì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，模型觀念得到發(fā)展。

（三）實(shí)施綜合實(shí)踐活動(dòng)，提升模型思想

綜合實(shí)踐活動(dòng)指以現(xiàn)實(shí)世界中實(shí)際問題為研究對(duì)象，綜合應(yīng)用學(xué)科知識(shí)（不局限于數(shù)學(xué)知識(shí)）解決實(shí)際問題的實(shí)踐活動(dòng)。它是數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的重要形式，是學(xué)生參與完整的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，是提升學(xué)生模型思想的重要途徑。模型思想即在數(shù)學(xué)中建立模型的思想。思想是人頭腦中智慧的凝聚，有助于我們形成對(duì)一個(gè)事件的認(rèn)識(shí)與想法，展現(xiàn)人類的智慧。初中階段的綜合實(shí)踐活動(dòng)，一般采用項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的方式，以問題解決為導(dǎo)向，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識(shí)和思想方法，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析、思考與表達(dá)、解決與闡述社會(huì)生活中的現(xiàn)實(shí)問題。

案例3：“門格海綿”模型的構(gòu)建

1.體覺下的模型準(zhǔn)備

播放一些圖片或動(dòng)畫：連綿起伏的山川、飄浮多變的云朵、深山巖石的斷裂面、錯(cuò)綜復(fù)雜的大腦皮層……

這些部分與整體以某種方式相似的形體，可以說就是數(shù)學(xué)中“分形”的要義，恰恰是這些“不規(guī)則的”“分散的”“支離破碎的”物體重新讓我們認(rèn)識(shí)了自然社會(huì)。它的特點(diǎn)簡(jiǎn)單點(diǎn)講就是：每一個(gè)大的結(jié)構(gòu)都可以分成幾個(gè)更小的相同的結(jié)構(gòu)（可以一直分下去），這也是分形的基本原理。

教師出示“門格海綿”模型，讓學(xué)生觀察它是如何構(gòu)建的（如圖1）。

2.體察中的模型假設(shè)

動(dòng)手體驗(yàn)：用土豆（紅薯或蘿卜也可）做一個(gè)正方體模型，再將每一個(gè)面平均分成9個(gè)正方形，這樣大正方體就被分成27個(gè)小正方體，把6個(gè)面的中間的正方體去掉，把最中心的正方體也去掉，留下20個(gè)正方體，以上操作我們稱為第1次操作（如圖2）。

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圖2 第1次操作

3.體悟里的模型構(gòu)建

嘗試“第2次操作”，即把每一個(gè)留下的小正方體都重復(fù)上面的操作，多次操作后就能得到“門格海綿”模型，但實(shí)際操作難以做到。因此，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生回憶謝爾賓斯基“地毯”的操作方法（調(diào)用各種知識(shí)形成初步方案），這種降維操作可以遷移到三維操作（如圖3）。

4.體證內(nèi)的模型驗(yàn)證

通過軟件迭代操作，VR裸眼3D穿越式探視等方式，學(xué)生感受、體驗(yàn)和抽象出多次操作后的結(jié)果。

5.體驗(yàn)間的模型迭代

親身體驗(yàn)“第2次操作”，理解多次操作的可行性，完成“門格海綿”模型的項(xiàng)目研究。

門格海綿是一個(gè)具有數(shù)學(xué)藝術(shù)的著名模型。其每一個(gè)面都是謝爾賓斯基“地毯”（謝爾賓斯基“地毯”和它本身的一部分完全相似，減掉一塊會(huì)破壞自相似性）。自相似原則和迭代生成原則是分形理論的重要原則。它表征分形在通常的幾何變換下具有不變性，即標(biāo)度無(wú)關(guān)性。標(biāo)準(zhǔn)的自相似分形是數(shù)學(xué)上的抽象，迭代生成無(wú)限精細(xì)的結(jié)構(gòu)，如科契雪花曲線、謝爾賓斯基地毯曲線等。分形理論是當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科。

綜合實(shí)踐活動(dòng)內(nèi)容源于雜亂無(wú)序的現(xiàn)實(shí)世界，學(xué)生需要從“原生態(tài)”的現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)問題。從數(shù)學(xué)建模的過程看，上述案例通過“給出情境—發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—建立模型”，讓學(xué)生經(jīng)歷了完整的數(shù)學(xué)建模過程。學(xué)生參與完整的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，是提升模型思想的重要途徑。

總之，數(shù)學(xué)建模就是讓學(xué)生親身體驗(yàn)從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)模型的提出、建立、分析、驗(yàn)證、應(yīng)用的過程。體驗(yàn)教學(xué)在初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中起著至關(guān)重要的作用，從初步培養(yǎng)模型意識(shí)，到逐漸發(fā)展模型觀念，進(jìn)而提升模型思想。因此，以建模為體驗(yàn)意義的數(shù)學(xué)體驗(yàn)教學(xué)模式能夠提升學(xué)生的建模能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，同時(shí)深入挖掘數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值與育人價(jià)值，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人方式的轉(zhuǎn)變。

【參考文獻(xiàn)】

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［2］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：4.

［3］王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2014：30.