摘 要：基于學(xué)生解決實際問題能力薄弱的特點，開發(fā)“綜合與實踐”課程，指導(dǎo)學(xué)生將“學(xué)”與“做”結(jié)合起來，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力. 選取折紙活動，聚焦折出正方形邊上的三等分點問題，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題和反思方法的過程，培養(yǎng)學(xué)生的知識綜合應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：綜合與實踐；數(shù)學(xué)活動；折三等分點；應(yīng)用能力

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）08-0037-06

引用格式：宋菲，易良斌. 對以“做”促“學(xué)”的綜合實踐課的探索與思考［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（8）：37-41，57.

在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生解決實際問題的能力遠低于解決數(shù)學(xué)問題的能力. 很大一部分原因是數(shù)學(xué)教學(xué)中解決的數(shù)學(xué)問題遠多于實際問題，使得學(xué)生解決實際問題的經(jīng)驗比較少. 同時，解決實際問題需要學(xué)生能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，調(diào)用已有的數(shù)學(xué)知識尋找解決問題的方法，這對學(xué)生的知識綜合應(yīng)用能力要求較高.

“綜合與實踐”課程的教學(xué)多以問題為引領(lǐng)，讓學(xué)生在實踐中綜合運用所學(xué)的知識解決問題，從而有效提高學(xué)生解決實際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

筆者曾設(shè)計“如何折出正方形邊上的三等分點”一課，以期豐富數(shù)學(xué)課程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生解決實際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、教學(xué)實踐

本節(jié)課是針對九年級學(xué)生開展的綜合與實踐拓展課.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，綜合與實踐領(lǐng)域的教學(xué)活動，以解決實際問題為重點，以真實問題為載體，適當(dāng)采取主題活動或者項目學(xué)習(xí)方式呈現(xiàn). 其中，項目學(xué)習(xí)教學(xué)以用數(shù)學(xué)方法解決實際問題為主，其目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決現(xiàn)實問題的關(guān)鍵要素，用數(shù)學(xué)的思維分析要素之間的關(guān)系并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)模型觀念，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的過程，培養(yǎng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

因此，綜合與實踐領(lǐng)域的教學(xué)活動要選取貼近學(xué)生生活的，且能用數(shù)學(xué)思維解決的，能用數(shù)學(xué)語言表達的真實問題. 下面筆者將圍繞以上要求，談?wù)勥@節(jié)課的教學(xué)設(shè)計.

1. 生活視角，選取問題背景

數(shù)學(xué)既來源于生活，又應(yīng)用于生活. 因此，教師需要發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問題，并且能根據(jù)學(xué)生的知識儲備和認知規(guī)律，創(chuàng)設(shè)可以研究的問題情境. 折紙是學(xué)生在小時候就接觸過的實踐活動. 同時，現(xiàn)代折紙學(xué)已經(jīng)將折紙應(yīng)用于工業(yè)、醫(yī)學(xué)、航天等方面. 例如，在航天領(lǐng)域，應(yīng)用折紙原理制作的太陽能電池陣列，既可以緊密壓縮存放在航天器內(nèi)，進入太空后又可以精確展開，這樣的設(shè)計縮小了太陽能電子板的體積. 所以創(chuàng)設(shè)與折紙有關(guān)的問題情境能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

折紙的本質(zhì)是折疊，即軸對稱. 在初中各版本的數(shù)學(xué)教材中多處出現(xiàn)了以折紙為背景的幾何問題，如浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊第117頁的作業(yè)題：如圖1，將矩形紙ABCD的四個角向內(nèi)折起，恰好拼成一個無縫隙、無重疊的四邊形EFGH．

（1）求證：四邊形EFGH是矩形.

（2）若EH = 3 cm，EF = 4 cm，求邊AD的長.

【教學(xué)說明】折紙活動起點低，容易讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣，折疊方法多樣，能讓學(xué)生在課堂上動腦、動手、動口，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

2. 數(shù)學(xué)眼光，聚焦核心問題

在折紙活動中，什么樣的問題能引發(fā)學(xué)生思考，并且能促進學(xué)生能力的提升呢？一次折疊中，最核心的折法有兩種. 一是將線段二等分（如圖2），二是將直角二等分（如圖3）. 實際上，通過一次折疊，可以二等分一條線段或二等分一個角. 另外，所給的圖形是正方形紙片，強化了折疊的條件. 也就是說，只要紙片上存在一條線段或一個角即可通過折疊實現(xiàn)二等分.

從研究幾何對象的角度來看，如果將折紙的結(jié)果歸類為線段問題、角度問題、圖形問題，那么就可以研究三等分、四等分、黃金分割、30°角、等邊三角形等問題. 具體歸類如下：三等分、四等分、八等分、黃金分割……；22.5°角，30°角，60°角……；矩形、等腰三角形、等邊三角形……

在教學(xué)中，可以通過師生對話的形式引出上述問題并進行歸類. 因為三等分問題是除了2n等分問題之外最簡單的問題，是學(xué)生能利用已學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識解決的問題，所以本節(jié)課聚焦的核心問題是如何折出三等分點.

【教學(xué)說明】折出三等分點的方法有很多，研究這個問題能發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力. 同時，研究中所學(xué)到的思想和方法能幫助學(xué)生解決其他問題. 在教學(xué)中，從學(xué)生的已有知識入手，回顧舊知，通過教師逐步引導(dǎo)聚焦三等分問題，充分調(diào)動學(xué)生的主動性，在發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的過程中，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位.

3. 幾何建模，探尋解題之道

問題：當(dāng)所給的紙片是正方形時，如何折出正方形邊上的三等分點呢？

師生活動：教師在課堂上給予學(xué)生充分思考的時間，并提供給學(xué)生交流的空間. 最后，在課堂上展示學(xué)生的交流成果.

方法1：將正方形紙片卷起來形成三層，并不斷地調(diào)整，得到邊上的三等分點，最后將紙展平. 折紙步驟如圖4所示.

【教學(xué)說明】方法1是大部分學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗所得的，也是最為常見的折法. 在教學(xué)中，教師肯定學(xué)生的折法是直觀的，并介紹這是幾何發(fā)展的第一階段——經(jīng)驗幾何階段. 部分學(xué)生會提出這種折法不夠準(zhǔn)確，于是為后續(xù)折法作鋪墊.

除了方法1，很多學(xué)生想不到其他折法. 此時，教師引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生思考三等分的數(shù)學(xué)意義及符號語言. 學(xué)生試著將問題轉(zhuǎn)化為：在正方形ABCD中，折出點M使得[AMAD=13]. 然而涉及線段的比例問題常?？梢月?lián)想平行線分線段成比例定理及相似三角形的性質(zhì)，將三等分轉(zhuǎn)化為二等分或者四等分，所以不難得到以下方法.

方法2：如圖5，連接AC，BM交于點H，此時△AMH ∽ △CBH. 要使得[AMAD=13]，即[AMBC=13]，則只需滿足[AHCH=13]. 所以只要折出對角線AC上的四等分點H就能解決問題.

[圖5][B][A][D][C] [M][H]

方法3：如圖6，MF∥DG，要使得[AMAD=13]，則只需滿足[AFAG=13]. 如圖7，連接AC，折出AC上的四等分點F，G，連接DG，過點F作DG的平行線，交AD于點M，此時M是邊AD的三等分點.

方法4：如圖8，連接AC，作MF∥DC，交AC于點F. 要使得[AMAD=13]，則需滿足[AFAC=13]. 連接BF并延長交AD于點E，此時△AEF ∽ △CBF. 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，不難得到E是邊AD的中點. 所以折法如下. 折出AD的中點E，連接AC，BE交于點F，將線段AB沿著過點F的直線對折，使得MF∥AB，直線交AD于點M，此時M是邊AD的三等分點.

【教學(xué)說明】方法2至方法4是利用相似三角形的性質(zhì)或平行線分線段成比例定理，將三等分問題轉(zhuǎn)化為已知的二等分問題來解決. 在問題解決的過程中，需要先將三等分問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言來表達，然后能聯(lián)想到利用相似三角形的性質(zhì)將線段之比進行轉(zhuǎn)化. 在此過程中滲透了數(shù)學(xué)建模的思想和化歸思想.

對于三等分問題，除了從比例的角度進行思考，還能從計算的角度著手解決. 此時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧常見的求線段長度的方法，將問題轉(zhuǎn)化為以前所做過的題目，得到以下方法.

方法5：如圖9，折出DC的中點E，連接BE，將△CBE沿BE折疊至△BC′E；然后將邊AB翻折至與邊BC′重合，此時折痕與AD的交點M是邊AB的三等分點.

需要證明M，C′，E三點共線. 可以設(shè)正方形的邊長為1. 如圖9，因為E是DC的中點，所以DE = CE =[12]. 設(shè)AM = x，則C′M = x，DM = 1 - x. 根據(jù)勾股定理，在Rt△DME中，有ME2 = MD2 + DE2，即[x+122=1-x2+]

[122]. 解得[x=13].

方法6：如圖10，折出DC的中點E，折疊使得點B與點E重合，此時AB的對應(yīng)邊A′E與邊AD的交點M是邊AD的三等分點.

設(shè)BF = EF = x，則FC = 1 - x. 在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理，得EF2 = FC2 + EC2，即[x2=1-x2+122]. 解得[x=58]. 再利用△CEF ∽ △DME，求得DM =[23]. 所以AM =[13].

【教學(xué)說明】在證明方法5和方法6時，需要用到正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)，覆蓋了幾何的核心知識，提高了學(xué)生的綜合解題能力. 同時，方法5和方法6相對于前三種折法更簡單，是對三等分折法的一種優(yōu)化. 因此，在這個過程中，不僅要潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生解決問題，而且要用優(yōu)化的方法解決問題.

4. 問題延伸，推廣數(shù)學(xué)模型

方法5是芳賀第二定理，方法6是芳賀第一定理.此時，教師引導(dǎo)學(xué)生對芳賀定理進行推廣，將點E是中點的條件推廣為任意點. 也就是說，在邊長為1的正方形ABCD中，當(dāng)點E在邊DC上運動時，思考：點M的位置會有什么樣的變化？如何表示這兩個變量之間的關(guān)系？

如圖11，設(shè)CE = x，AM = y，則DE = 1 - x，DM = 1 - y. 根據(jù)折疊的性質(zhì)，易得ME = x + y. 在Rt△DME中，有[DE2+DM2=ME2]，即[1-x2+1-y2=x+y2]. 化簡，得[y=1-x1+x]. 也可以用三角函數(shù)求解. 設(shè)∠ABM = α，∠CBE = β. 由折疊，得∠MBE = α + β = 45°. 則[tanα+β=tan45°]. 所以[tanα+tanβ1-tanαtanβ=][tan45°，] 即[x+y1-xy=1]，得[y=1-x1+x].

如圖12，設(shè)CE = x，BF = a，AM = y. 根據(jù)折疊的性質(zhì)，得EF = a. 在Rt△CEF中，[CF2+CE2=EF2]，即[1-a2+x2=a2]. 解得[a=x2+12]. 再根據(jù)△DME ∽ △CEF，得到[DECF=DMCE]，即[1-x1-a=1-yx]. 化簡，得[y=1-x1+x].

對芳賀定理進行模型推廣，我們能得到線段AM關(guān)于線段CE的函數(shù)關(guān)系式為[y=1-x1+x]. 但是為什么圖11和圖12得到的結(jié)果是一致的呢？

我們可以在圖12的基礎(chǔ)上連接BM，BE，得到圖13. 根據(jù)折疊，得∠FBE = ∠BEF，則∠MEB = ∠ABE. 又因為AB∥DC，所以∠ABE = ∠BEC. 過點B作BP⊥ME于點P，易證△CBE ≌ △PBE，△AMB ≌ △PMB. 得∠PBE = ∠CBE，∠ABM = ∠PBM. 則∠MBE = 45°. 所以圖11和圖12得到的結(jié)論相同，即芳賀第一定理與芳賀第二定理的本質(zhì)相通. 在教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生對芳賀定理中的一種進行推廣即可.

【教學(xué)價值】引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)線段AM的長度變化是由點E的運動所導(dǎo)致的，可以用關(guān)于線段CE的函數(shù)關(guān)系式來刻畫，從而將問題從特殊引到一般，從不變引向變化，拓展學(xué)生思維的深度. 這個過程是將幾何問題代數(shù)化，滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)建模思想. 學(xué)生從大致折出三等分點（方法1）到利用數(shù)學(xué)知識準(zhǔn)確折出三等分點（方法2至方法6），再到尋找折出線段等分點問題的一般方法（芳賀第一定理和芳賀第二定理的模型推廣），經(jīng)歷了經(jīng)驗幾何、古典幾何、解析幾何的過程，感受了幾何文化.

5. 數(shù)形結(jié)合，提升綜合能力

函數(shù)[y=1-x1+x]，即x + y + xy = 1. 這是一個輪換對稱式，具有對稱性，有一定的研究價值. 因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)有余力的學(xué)生借助圖象對函數(shù)[y=1-x1+x]的性質(zhì)進行探索.

按照一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的研究方法，確定研究思路，即運用描點法畫出函數(shù)的大致圖象，進而研究函數(shù)的性質(zhì).

圖14是函數(shù)[y=1-x1+x]的圖象. 發(fā)現(xiàn)該函數(shù)圖象也是雙曲線. 因此，思考函數(shù)[y=1-x1+x]是由什么樣的反比例函數(shù)通過怎樣的平移得到的.

因為[y=1-x1+x=2x+1-1]，所以[y=1-x1+x]是由反比例函數(shù)[y=2x]先向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度所得. 所以[y=1-x1+x]關(guān)于點[-1，-1]中心對稱，關(guān)于直線y = x或直線y = -x - 2軸對稱.

線段AM關(guān)于線段CE的函數(shù)具有軸對稱性的本質(zhì)是正方形的軸對稱性. 因此，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生觀察特殊點，根據(jù)正方形的軸對稱性猜測[y=1-x1+x]具有軸對稱性. 具體做法如下.

問題1：當(dāng)[y=13]時，x的值是多少？當(dāng)[x=13]時，y的值是多少？

當(dāng)[y=13]時，[x=12]，即E是DC的中點，折法如圖15所示，即芳賀第一定理. 如圖16，當(dāng)[x=13]時，[y=12]，即M是AD中點，點E是DC的三等分點，這是芳賀第三定理.

問題2：從[x=12，y=13]與[x=13，y=12]中，你能發(fā)現(xiàn)什么？

可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)[y=1-x1+x]具有對稱性. 將圖15和圖16簡化，并組合在一幅圖中（如圖17），發(fā)現(xiàn)線段AM關(guān)于線段CE的函數(shù)具有對稱性的本質(zhì)是正方形的軸對稱性.

【教學(xué)價值】運用函數(shù)的研究路徑對[y=1-x1+x]進行研究，從幾何過渡到代數(shù)，提升學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.同時，教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊點猜想函數(shù)的對稱性，滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想. 從圖形的角度說明函數(shù)的性質(zhì)，揭示其本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.

二、教學(xué)思考

“綜合與實踐”課程以活動為載體，讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題，會用數(shù)學(xué)的思維思考問題解決的思路，會用數(shù)學(xué)的語言表達問題解決的方法. 在這個過程中，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不是模仿記憶，而是有創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)知識，有效地培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1. 數(shù)學(xué)生活化，化被動為主動，凸顯學(xué)生主體

“綜合與實踐”課程要貼近學(xué)生的實際生活，且能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的價值，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 本節(jié)課以學(xué)生熟悉的折紙活動為載體，引導(dǎo)學(xué)生聚焦如何折出正方形邊上的三等分點. 學(xué)生通過動手操作、動腦思考，運用相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等數(shù)學(xué)知識探尋正方形邊上三等分點的折法，甚至還可以將方法推廣，折出任意等分點，從而感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為生活服務(wù)的理念. 在探究過程中，學(xué)生經(jīng)歷經(jīng)驗幾何（方法1），古典幾何（方法2至方法6）到解析幾何的過程，滲透了幾何文化，感受了數(shù)學(xué)的發(fā)展源于實際的需要，獲得自身成長和發(fā)展的力量. 在此過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式由被動接受轉(zhuǎn)化為主動探究，凸顯了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位.

2. 思維可視化，從具體到抽象，經(jīng)歷建模過程

通過折疊尋找正方形紙片邊上三等分點的問題時，首先要將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并表示成圖形語言和符號語言，在此過程中，發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀；其次，根據(jù)得到的結(jié)論[AMAD=13]，聯(lián)想平行線分線段成比例定理、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等數(shù)學(xué)知識，通過推理尋找解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力；最后，通過芳賀第一定理和芳賀第二定理找到線段AM關(guān)于線段CE的函數(shù)關(guān)系式，從而找到正方形邊上任意等分點的折疊方法，培養(yǎng)學(xué)生對問題遷移應(yīng)用的能力.

在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)的知識和方法解決問題，最后建立函數(shù)模型，尋求一般化方法. 每個步驟中，學(xué)生通過獨立思考、動手實踐、師生交流等不同的學(xué)習(xí)方式呈現(xiàn)了思維的發(fā)展過程，將思維可視化. 學(xué)生經(jīng)歷了由具體問題抽象到數(shù)學(xué)問題，由解決具體問題抽象到解決一般化問題的過程，實現(xiàn)了對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

3. 評價過程化，由單一到多樣，實現(xiàn)多元評價

折出正方形邊上的三等分點的方法有很多，本節(jié)課僅展示了其中一部分，每種方法的思維方式不同，可以根據(jù)方法優(yōu)劣進行不同層次的評價. 因此，本節(jié)課可以采用積分制對學(xué)生進行評價，具體流程如表1所示.

將評價過程化之后，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中就可以根據(jù)自身的能力選擇不同深度的學(xué)習(xí)，從而使得統(tǒng)一學(xué)習(xí)變成了個性化學(xué)習(xí)，滿足不同學(xué)生的不同需求. 同時，引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法解決問題，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

三、結(jié)束語

開發(fā)貼近學(xué)生生活，利于實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人目標(biāo)的“綜合與實踐”課程需要教師用心關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)問題，擅于挖掘教材中的數(shù)學(xué)問題. 當(dāng)教師擁有一雙發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的眼睛時，可以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界.

參考文獻：

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