摘 要：通過對一道經典“母題”的深入思考，將題設及結論多方位、多視角地進行變式，把線段（比）、角、面積（比）等重要的幾何元素及路徑與最值等常見的幾何問題融會貫通，深刻體現(xiàn)了轉化與化歸思想，促進了深度學習及深度教學的發(fā)生，使學生觸類旁通，達到舉一反三、事半功倍的教學效果.

關鍵詞：一題多變；多題歸一；轉化與化歸；深度教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）08-0058-06

引用格式：段廣猛. 由一道經典“母題”引發(fā)的若干思考：談數學中無處不在的“轉化”［J］. 中國數學教育（初中版），2024（8）：58-62，64.

數學解題教學的本質是引導和幫助學生鞏固知識技能，激活探究興趣，培養(yǎng)思維品質，獲取活動經驗，習得數學思想，發(fā)現(xiàn)新的結論. 在解決一個問題后，應注重及時進行相應的拓展遷移和變式訓練. 本文在一道經典“母題”的基礎上進行多方位、多視角的深度思考，深入挖掘習題的功效，以達到“解一題、會一類、通一片”之效.

一、經典呈現(xiàn)

題目 如圖1，已知二次函數[y =-34x+1x-4]的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，P為該圖象在第一象限內的一點. 作PG⊥Ox于點G，交直線BC于點Q，求PQ的最大值.

二、變式拓展

這是一道經典的二次函數最值問題，可以采取設坐標法，建立二次函數模型來解決. 解題思路如下.

由題意，可知點[A-1，0]， [B4，0]， [C0，3]， 直線BC的解析式為y =[-34]x + 3，二次函數[y=-34x+1 ·]

[x-4]=[-34x2]+[94x]+ 3. 設點[Pt，-34t2+94t+3]，[Qt，-34t+3]，其中0 < t < 4，則PQ = yP - yQ =[-34]t2 +[94]t + 3 +[34]t - 3 = -[34]t2 + 3t =[-34t-22+3]. 故當t = 2時，PQ取得最大值，最大值為3.

以上解題思路體現(xiàn)了“主動設元，函數建?！钡姆椒? 雖然問題看似已經解決，但是對其的深入思考與探究才剛剛開始.

轉化在數學中無處不在. 筆者在這道“母題”的基礎上，提出一些對相關“子題”的思考，以體現(xiàn)這種轉化思想.

1. 關于面積轉化的思考

變式1：如圖2，已知二次函數[y =-34x+1x-4]的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，P為該圖象在第一象限內的一點，連接PB，PC，求△PBC面積的最大值.

面積與線段之間的相互轉化十分常見. 這里由“母題”中的線段最值問題自然聯(lián)想到面積最值問題. 關于面積轉化，給出如下三種常見的解題思路.

思路1（寬高法）：如圖3，作PG⊥Ox于點G，交BC于點Q，過點C作CH⊥PQ于點H，則S△PBC = S△PQC + S△PQB =[12PQ · CH+12PQ · BG=12PQ · CH+BG=12PQ ·][OG+BG=12PQ · OB=2PQ]. 設點[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4. 由原題可知，當t = 2時，S△PBC取得最大值，最大值為6.

思路2（割補法）：如圖4，設點[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4. 連接OP，則S△PBC = S四邊形OBPC - S△OBC = S△OBP + S△OCP - S△OBC = 2[-34t2+94t+3]+[32]t - 6 = -[32]t2 + 6t = -[32][t-22]+ 6. 故當t = 2時，S△PBC取得最大值，最大值為6.

思路3（平移法）：如圖5，過點P作BC的平行線l，當直線l與拋物線有且只有一個公共點P時，△PBC的面積最大. 可以設直線l的解析式為y = -[34]x + b. 將其與拋物線聯(lián)立，可得[-34]x2 + [94]x + 3 =[-34]x + b，即[-34]x2 + 3x + 3 - b = 0. 令[Δ]= 9 + 3[3-b]= 18 - 3b = 0，解得b = 6. 則有[-34]x2 + 3x - 3 = 0，即x2 - 4x + 4 = 0. 所以[x-22=0]. 解得x = 2. 此時點P的坐標為[2， 92]，然后求此時△PBC的面積即可. 以下略.

【評析】以上三種思路是處理面積最值問題的常見方法. 思路1與思路2都屬于割補策略. 思路1是將目標三角形沿著豎直線（或水平線）進行分割，將問題巧妙地遷移到“母題”上來，這也是有關面積的一個常見公式，即所謂的“寬高公式”；思路2是將目標三角形先補成一個四邊形，再將四邊形分割成另外兩個含“水平邊”（或“豎直邊”）的三角形面積之和. 思路3可以理解為一種動態(tài)策略，即將直線BC向上平移，直至其與拋物線有且僅有一個公共點，此時得到的△PBC的面積最大. 至于求得點P的坐標后如何求得△PBC的面積，既可以采取前兩種方法，也可以采取平移法等.

2. 關于距離轉化的思考

變式2：如圖6，已知二次函數[y =-34x+1x-4]的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，P為該圖象在第一象限內的一點，作PH⊥BC于點H，求PH的最大值.

[圖6][A][O][B][P][C][x][y] [H]

轉化可以是線段與角之間的相互轉化，也可以是線段與面積之間的相互轉化，還可以是線段之間的相互轉化. 總之，轉化在數學中無處不在. 關于變式2的轉化，給出如下兩種解題思路.

思路1（定角定比）：如圖7，作PG⊥Ox于點G，交BC于點Q. 易證cos∠1 = cos∠2 =[45]，即[PHPQ=45]. 故PH =[45]PQ. 設點[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4. 由原題可知，當t = 2時，PH取得最大值，最大值為[125].

思路2（面積轉化）：如圖8，連接PB，PC，則S△PBC =[12]BC·PH =[52]PH. 要使PH最大，只要使S△PBC最大，故變式1中的三種思路都可行. 以下略.

【評析】線段PH的長度可以看成點P到直線BC的距離，屬于平面直角坐標系中的“斜距離”，其常規(guī)處理方法是“化斜為直”策略. 思路1通過構造橫平、豎直輔助線，抓住不變角，利用比例式進行線段的轉化，即所謂的“定角定比”；思路2通過構造三角形，將距離最值問題轉化為面積最值問題（即變式1）進行求解.

在變式2的基礎上，可以進一步提出如下系列追問.

追問1：在圖7中，求線段HQ的最大值.

追問2：在圖7中，求△PHQ周長的最大值.

追問3：在圖7中，求△PHQ面積的最大值.

對于以上追問，只要抓住“定角定比”，均可將其轉化到“母題”上去（即線段PQ的最值問題）.

3. 關于比值轉化的思考

變式3：如圖9，已知二次函數[y =-34x+1x-4]的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，P為該圖象在第一象限內的一點，連接OP，交直線BC于點K，求[PKOK]的最大值.

對于幾何中的轉化，除了可以考慮線段、角、面積等元素之間的相互轉化外，還經常涉及線段比值的相互轉化. 關于變式3的比值轉化，給出如下兩種解題思路.

思路1（豎直轉化）：如圖10，作PG⊥Ox于點G，交BC于點Q. 易證△PQK ∽ △OCK，則[PKOK=PQOC=][PQ3]. 設點[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4. 由原題可知，當t = 2時，[PKOK]取得最大值，最大值為1.

思路2（水平轉化）：如圖11，過點P作x軸的平行線，交直線BC于點Q. 易證△PQK ∽ △OBK，則[PKOK=][PQOB=PQ4]. 設[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4，則[Qt2-3t，-34t2+94t+3]. 故PQ = xP - xQ = -t2 +4t = -[t-22+4]. 當t = 2時，PQ取得最大值，且最大值為4，從而得[PKOK]的最大值為1.

【評析】以上兩種思路均是通過構造橫平、豎直輔助線，利用“8”字型（或“A”字型）相似三角形轉化線段之間的比，達到“化斜為直”之效. 通常情況下，思路1中的豎直（線段）轉化比思路2中的水平（線段）轉化更簡便些，計算量更小些.

在此基礎上，可以提出如下追問.

追問1：如圖12，在原題的基礎上，連接AP，交直線BC于點K，求[PKAK]的最大值.

該追問的處理方式與變式3如出一轍，緊緊圍繞“化斜為直”策略解決問題. 如圖13，過點A，P作y軸的平行線，分別交直線BC于點E，Q，PQ交x軸于點G. 易證[PKAK=PQAE]. 注意AE是一個定值，從而將問題再次轉化到“母題”上來. 以下略.

若考慮到面積比與線段比之間的相互轉化，可以進一步提出如下追問.

追問2：如圖14，在原題的基礎上，連接AP，交直線BC于點K，再連接AC，PC，求[S△PCKS△ACK]的最大值.

4. 關于路徑與最值轉化的思考

變式4：如圖15，在原題的基礎上，過點P作直線BC的平行線，交x軸于點M. 隨著點P從點C出發(fā)沿著第一象限內的拋物線運動到點B，點M經過的路徑長為 .

這是一個路徑類的動點問題，關鍵的條件是平行，學生可以利用直尺動手操作，借助平移感知問題的合理性，從而發(fā)現(xiàn)動點M自起點B出發(fā)沿x軸先向右運動至最遠處，然后向左直至到達點B才停下來，故點M經過的路徑長等于線段BM的最大值的2倍. 只需要想辦法求出BM的最大值即可. 圖16給出了關于平行可以聯(lián)想的主要方向.

由此，對于變式4給出如下五種解題思路.

思路1（平移法）：由題意，可設直線PM的解析式為y =[-34]x + b. 顯然，當直線PM與拋物線有且只有一個公共點時，BM取得最大值. 將直線PM的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立，可得[-34]x2 +[94]x + 3 =[-34]x + b，即[-34]x2 +3x + 3 - b = 0. 令[Δ]= 9 + 3[3-b]= 0. 解得b = 6. 所以直線PM的解析式為y =[-34]x + 6. 令y = 0，可得[-34]x + 6 = 0. 解得x = 8. 故線段BM的最大值為8 - 4 = 4. 從而點M經過的路徑長為8.

思路2（函數建模）：同思路1，可設直線PM的解析式為y =[-34]x + b，點[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4. 將點P的坐標代入直線PM的解析式，得[-34]t2 +[94]t + 3 =[-34]t + b. 則b =[-34]t2 + 3t + 3. 故直線PM的解析式為y =[-34]x -[34]t2 + 3t + 3. 令y = 0，可得xM = -t2 + 4t + 4. 則BM = xM - xB = -t2 + 4t = -[t-22+4]. 當t = 2時，BM取得最大值，最大值為4. 從而點M經過的路徑長為8.

思路3（面積法）：如圖17，連接CM，PB，PC.易證S△MBC = S△PBC. 要使BM最大，只要使S△MBC最大，即S△PBC最大. 從而將問題轉化為變式1. 利用前述的三種思路均可求出此時點P的坐標，進而可以求出點M的坐標. 以下略.

思路4（斜直轉化）：如圖18，作BN⊥PM于點N，作PH⊥BC于點H. 易得sin∠BMN = sin∠OBC =[35]，即[BNBM=35]. 則BM =[53]BN. 易證四邊形PNBH是矩形，故BN = PH，得BM =[53]PH. 要使BM最大，只要使PH最大，將問題轉化為變式2，利用前述的幾種思路均可求出PH的最大值，從而可得BM的最大值，以下略.

思路5（構造平行四邊形）：如圖19，過點P作x軸的平行線，交直線BC于點Q. 易證四邊形BMPQ是平行四邊形，則BM = PQ. 要使BM最大，只需PQ最大. 利用變式3中的思路2，借助設坐標法，可求得PQ的最大值為4，故BM的最大值也為4. 從而點M經過的路徑長為8.

【評析】路徑與最值問題常?？梢韵嗷マD化. 在變式4中，先通過動手操作讓學生直觀感知，將動點M的路徑長問題轉化為線段BM的最大值問題. 然后借助平行聯(lián)想，提供了五種常見的思考方向，并且同前面的“母題”及變式產生聯(lián)系，再次演繹了轉化的力量. 上述思路彼此交織，相互印證，如前兩種思路都與平面直角坐標系中的解析思想有關，思路2與思路5都涉及“主動設元，函數建?！钡乃枷敕椒?，思路3的面積轉化與思路4的斜、直轉化也都有密切的聯(lián)系等. 在解決問題的過程中，通過反復琢磨、層層比較，學生提升了解題技能，發(fā)展了幾何直觀、推理能力等數學核心素養(yǎng).

三、幾點思考

1. 轉化與化歸思想

數學思想是數學的靈魂，是解決問題的“航標燈”. 轉化與化歸是一種基本的數學思想，其作用在于可以把問題不斷地進行相互轉化，如將復雜的問題簡單化，將不熟悉的問題熟悉化，將未知的問題已知化等. 著名數學家和教育家G.波利亞曾言，要不斷變換你的問題，必須一再變化它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到一些有用的東西為止. 可以說，轉化思想是一切數學思想方法的核心，是解決問題的通性通法.

本文通過對一道“母題”的深入思考，從四個方面不斷演變，提出了系列“子題”，而這些“子題”最終都可以轉化到“母題”上來或者相互轉化，進而使問題得以解決. 在這種轉化和深入思考的過程中，教師引導學生將待解決的問題歸結為已解決或比較容易解決的一類問題，然后拓展延伸、類比反思，從而提升其思維品質.

2. 一題多解與多題歸一

解題教學中，對同一數學問題的多角度審視可以引發(fā)不同的聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)不同的解題路徑，這樣既有利于問題的解決，又能使思維的起點和過程都具有高度的靈活性，從而發(fā)現(xiàn)解題的捷徑. 系統(tǒng)論指出，整體功能大于部分功能之和. 這啟示我們，在數學教學中，要將“一題多解”“一題多變”“多解歸一”“多題歸一”等方法組成一個相互聯(lián)系、相互作用的整體，從而加深學生對知識的鞏固與深化，提高學生解題技能及分析問題、解決問題的能力，增強學生思維的靈活性、變通性和創(chuàng)新性.

本文以一道經典“母題”為背景，通過對題設及結論的諸多變化，使之變?yōu)楦嘤袃r值的、有新意的問題，使更多的知識與方法得到應用，從而獲得“一題多練”“一題多得”的教學效果，激發(fā)學生思維的靈活性. 在每一個變式問題中提倡“一題多解”，鼓勵學生從多角度、多途徑尋求解決問題的方法，開拓解題思路，激活學生思維的發(fā)散性. 尤其是變式4，幾乎將初中階段關于平行的常見處理策略融于其中. 另外，上述四種變式對應的四個思考方向，最終都可以轉化到“母題”上來，這種“多題歸一”的訓練是培養(yǎng)學生聚合性思維的重要途徑. 有研究表明，任何一個創(chuàng)造的過程，都是發(fā)散性思維和聚合性思維的完美結合. 在教學中，教師可以將這些“型異質同”或“型近質同”的問題歸類分析，引領學生探尋其本質特征，方能使學生觸類旁通，達到舉一反三、事半功倍的教學效果，從而真正擺脫“題海泛舟”的苦惱.

3. 深度學習與深度教學

文獻［3］指出，深度學習是指在理解學習的基礎上，學習者能夠批判性地學習新的思想和事實，并將它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯(lián)系，并能夠將已有的知識遷移到新的情境中，作出決策和解決問題的學習. 學生的學離不開教師的教，深度教學與深度學習是相輔相成的. 教師的深度教學可以將學生的學習引向深入，學生的深度學習可以推動教師的教學向深度發(fā)展. 其核心問題是能否引起深入思考和深入探究. 能夠引起深入思考和深入探究的教學就是深度教學，進行了深入思考和深入探究的學習就是深度學習. 如何促進深度教學與深度學習的發(fā)生，值得一線教師思考與實踐.

本文通過對一道“母題”中基本圖形結構的深度研究，多方位、多視角的變式重組與拓展遷移，將線段（比）、角、面積（比）等常見幾何元素及路徑與最值等常見問題融會貫通，啟發(fā)學生在深入思考的過程中學會整合思路和深度挖掘，不斷逼近問題的本質，從而促進深度教學，引發(fā)深度學習，讓學生體悟具有普適性的數學思想和方法，進而形成一定的數學思維.

參考文獻：

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