【摘要】在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有重要的教育價(jià)值.文章首先闡述了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)意義，包括建立知識(shí)結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)技能和智慧、積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維等.在此基礎(chǔ)上，提出了三種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)范式：操作性實(shí)驗(yàn)、思考性實(shí)驗(yàn)和綜合性實(shí)驗(yàn)，并分別探討了它們?cè)诮虒W(xué)中的應(yīng)用和作用.操作性實(shí)驗(yàn)注重學(xué)生的親身實(shí)踐，思考性實(shí)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程的反思和探究，綜合性實(shí)驗(yàn)則著重培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用與創(chuàng)新能力，最后強(qiáng)調(diào)教師需要深入研究不同種類的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)及其教學(xué)法，確保實(shí)驗(yàn)的科學(xué)性和有效性，以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、構(gòu)建和創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；操作性實(shí)驗(yàn)；思考性實(shí)驗(yàn)；綜合性實(shí)驗(yàn)

【基金項(xiàng)目】本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度常規(guī)課題“基于新課程標(biāo)準(zhǔn)與“雙減”背景下的初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課組織與重構(gòu)的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：X293）的階段性研究成果.

實(shí)驗(yàn)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中極為重要的方法，它不僅展現(xiàn)了數(shù)學(xué)作為科目的教育意義，也彰顯了它在教育中的價(jià)值.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)點(diǎn)燃學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)的熱情，鼓勵(lì)他們積極投身于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中去，挖掘他們?cè)趯?shí)驗(yàn)中的創(chuàng)新潛能，并引導(dǎo)他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)、構(gòu)建和創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅是學(xué)生建立知識(shí)結(jié)構(gòu)、技能和智慧的基礎(chǔ)，也是積累數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的重要途徑.因此，教師需要深入研究不同種類的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)及其教學(xué)法，并不斷探索適應(yīng)不同實(shí)驗(yàn)類型的教學(xué)模式，從而確保學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更加科學(xué)和有效.而在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生開展操作性實(shí)驗(yàn)、思考性實(shí)驗(yàn)和綜合性實(shí)驗(yàn)這三種范式，能夠達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

一、操作性實(shí)驗(yàn)：引導(dǎo)“做中學(xué)”

操作性實(shí)驗(yàn)范式注重學(xué)生親身實(shí)踐，在動(dòng)手操作中學(xué)習(xí)、理解數(shù)學(xué)知識(shí).其不僅可以使學(xué)生在實(shí)踐中體會(huì)到數(shù)學(xué)的神奇之處，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，而通過(guò)操作實(shí)踐又可以使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有更加深刻的認(rèn)識(shí)與把握.

（一）模擬性實(shí)驗(yàn)：培養(yǎng)數(shù)學(xué)操作能力

模擬性實(shí)驗(yàn)是一種教學(xué)方法，其中學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有的成品或他人展示的步驟進(jìn)行模仿的實(shí)踐操作.在數(shù)學(xué)課程中，這種方法被頻繁使用.通過(guò)模擬性實(shí)驗(yàn)，學(xué)生需要全面且連貫地仿照和效仿實(shí)驗(yàn)過(guò)程，這有助于他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中的深入理解.

例如，在“軸對(duì)稱圖形”一課的教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生理解“軸對(duì)稱”和“對(duì)稱軸”的概念，還要引導(dǎo)他們繪制和創(chuàng)造軸對(duì)稱圖形.為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，教師在教學(xué)中可以采用模擬性實(shí)驗(yàn)的方法.教師首先可以向?qū)W生進(jìn)行演示：將一張紙對(duì)折后在其中一邊隨意畫出一個(gè)圖形，然后選擇適當(dāng)?shù)奈恢卯嫵鰧?duì)稱軸，并在對(duì)稱軸的另一側(cè)完成軸對(duì)稱圖形的繪制.然后，給學(xué)生展示一些軸對(duì)稱圖形，讓學(xué)生嘗試識(shí)別它們的對(duì)稱軸，或者讓他們用針在對(duì)折的紙上戳出一個(gè)漢字，然后將紙展開，觀察并創(chuàng)作出軸對(duì)稱圖形.這些有趣的模擬實(shí)驗(yàn)使學(xué)生能夠更深入地理解和掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和本質(zhì)特點(diǎn).在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，教師可鼓勵(lì)學(xué)生優(yōu)化實(shí)驗(yàn)的材料，探索更多的實(shí)驗(yàn)資源，以便這些材料和資源可以更好地支持他們的操作，幫助他們更精確地理解軸對(duì)稱圖形的概念.這種模擬性實(shí)驗(yàn)不僅加深了學(xué)生的理論知識(shí)，而且培養(yǎng)了他們?cè)跀?shù)學(xué)領(lǐng)域的實(shí)踐能力.

在數(shù)學(xué)的模擬性實(shí)驗(yàn)中，培養(yǎng)學(xué)生深入觀察的習(xí)慣至關(guān)重要.他們不只是要學(xué)會(huì)實(shí)驗(yàn)的核心步驟與關(guān)鍵點(diǎn)，還需要能夠敏感地捕捉實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的微小細(xì)節(jié).這些實(shí)驗(yàn)的成功與否則極大程度上依賴于學(xué)生的觀察能力和操作技巧.教師要鼓勵(lì)學(xué)生不斷追問(wèn)“為什么”，即探究每項(xiàng)操作背后的原理與目標(biāo).將思維推理、細(xì)致觀察和精確操作緊密相連是至關(guān)重要的，這樣的做法有助于培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和操作技巧，并最終促使模擬性實(shí)驗(yàn)的成功.這種全面的學(xué)習(xí)策略不僅可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，還能增強(qiáng)他們的實(shí)踐能力和解決問(wèn)題的能力.

（二）模型性實(shí)驗(yàn)：發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力

在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師的角色是激發(fā)學(xué)生去“實(shí)踐數(shù)學(xué)”“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”以及“應(yīng)用數(shù)學(xué)”.為此，教師要設(shè)計(jì)富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題和任務(wù)，激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)地投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中.數(shù)學(xué)模型性實(shí)驗(yàn)正是這一教育理念的具體應(yīng)用，它鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)親自動(dòng)手操作來(lái)自主建立和發(fā)展數(shù)學(xué)知識(shí).這種類型的實(shí)驗(yàn)重視學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型及其生成的過(guò)程.在開展模型性實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題、進(jìn)行批判性思考，并由此從被動(dòng)接受轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)構(gòu)建和創(chuàng)新知識(shí).

例如，在教學(xué)“勾股定理”一課時(shí)，教師可以讓學(xué)生準(zhǔn)備尺子、直角三角形紙板等實(shí)驗(yàn)工具，引導(dǎo)他們積極構(gòu)建和探索勾股定理的數(shù)學(xué)模型.首先，讓學(xué)生們對(duì)直角三角形邊長(zhǎng)之間的可能關(guān)系提出假設(shè).基于這些假設(shè)，指導(dǎo)他們通過(guò)多種實(shí)操活動(dòng)去驗(yàn)證自己的猜想，如運(yùn)用“趙爽弦圖”來(lái)證明或使用尺子實(shí)測(cè)三角形各邊的長(zhǎng)度.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生負(fù)責(zé)記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和過(guò)程，并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告.有的學(xué)生還通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索其他方法來(lái)進(jìn)一步了解勾股定理.

以上教學(xué)案例中，通過(guò)模型性實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)了學(xué)生從提出假設(shè)到驗(yàn)證猜想，再到撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告的完整學(xué)習(xí)過(guò)程.這種教學(xué)策略有效激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性.學(xué)生不僅通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐深刻理解了勾股定理，還通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索等手段拓寬了知識(shí)視野.在此過(guò)程中，學(xué)生的批判性思考、問(wèn)題解決和數(shù)學(xué)溝通能力均得到了提升.

二、思考性實(shí)驗(yàn)：引導(dǎo)“做中思”

思考性實(shí)驗(yàn)范式重視學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程的反思，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)去探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律.思考性實(shí)驗(yàn)可以發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力，推理能力以及創(chuàng)新精神.教師在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，要鼓勵(lì)學(xué)生自己提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)驗(yàn)的結(jié)果中抽象出數(shù)學(xué)規(guī)律，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及解決問(wèn)題的能力.

（一）理解性實(shí)驗(yàn)：激活數(shù)學(xué)認(rèn)知

初中數(shù)學(xué)教材中有很多的抽象概念，因此，利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)提升學(xué)生的認(rèn)知水平顯得尤為重要.理解性實(shí)驗(yàn)即通過(guò)具體的數(shù)學(xué)操作活動(dòng)，幫助學(xué)生深入理解和掌握知識(shí)點(diǎn)，尤其適用于學(xué)生在理解某些數(shù)學(xué)概念或原理時(shí)遇到困難的情況.這種實(shí)驗(yàn)方式讓學(xué)生直接體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，從而更深刻地把握其本質(zhì)屬性.經(jīng)驗(yàn)表明，理解性實(shí)驗(yàn)?zāi)苡行椭鷮W(xué)生準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)定義的廣度和定理的深度.從某種程度上說(shuō)，理解性實(shí)驗(yàn)就像是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“助推器”，為他們提供了有力的學(xué)習(xí)支持.

例如，在“概率”一課的教學(xué)中，讓學(xué)生理解“概率”這一抽象概念并非易事.概率涉及不確定性，如果學(xué)生沒(méi)有深入體驗(yàn)其本質(zhì)，就難以真正掌握.因此，在教學(xué)中可以設(shè)計(jì)這樣的實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生進(jìn)行理解：首先是5個(gè)黑球和5個(gè)白球混合后抽取，然后逐漸增加白球或黑球的數(shù)量，讓學(xué)生親自操作和記錄結(jié)果.這樣，學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，就能夠感受概率的變化，對(duì)抽到白球或黑球的概率有了更直觀和深刻的理解.

以上教學(xué)案例中，理解性實(shí)驗(yàn)有效地激活了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力，提升了他們對(duì)概率概念的理解和應(yīng)用能力.

（二）思維性實(shí)驗(yàn)：培養(yǎng)建構(gòu)思維

思維性實(shí)驗(yàn)是一種以思考探究為中心，能夠促使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)驗(yàn).這類實(shí)驗(yàn)超越了簡(jiǎn)單的思考，要求學(xué)生進(jìn)行持續(xù)而深刻的思維勞動(dòng)，并通常圍繞一個(gè)具體的項(xiàng)目來(lái)展開.作為促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的重要手段，思維性實(shí)驗(yàn)不僅加深了對(duì)數(shù)理關(guān)系的理解，還有助于學(xué)生構(gòu)建起完整系統(tǒng)的學(xué)術(shù)框架.

例如，在教學(xué)“相似三角形”一課時(shí)，有一些教師可能認(rèn)為在教學(xué)了“全等三角形”之后，只需簡(jiǎn)單闡述就讓學(xué)生掌握“相似三角形”的判斷定理，然而這種方法往往無(wú)法確保學(xué)生能夠深刻理解相似三角形的本質(zhì)特征和“相似性”的真正含義.因此，通過(guò)思維性實(shí)驗(yàn)可以幫助學(xué)生更深入地理解這一概念.在教學(xué)中，可以讓學(xué)生開展“測(cè)量旗桿高度”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，在這個(gè)過(guò)程中指導(dǎo)學(xué)生尋找并分析存在的相似三角形及其比例關(guān)系.教師鼓勵(lì)學(xué)生基于所繪形狀提出假設(shè)、進(jìn)行數(shù)學(xué)描述、執(zhí)行正式證明、做出總結(jié)歸納，并運(yùn)用創(chuàng)新的思考方式.

以上教學(xué)案例中，思維性實(shí)驗(yàn)不僅增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移和應(yīng)用能力，也培養(yǎng)了他們將理論轉(zhuǎn)化為實(shí)踐的技能.

三、綜合性實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)“做中探”

綜合性實(shí)驗(yàn)范式突出了學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程的綜合探究能力，并借助實(shí)驗(yàn)將已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通并加以運(yùn)用.綜合性實(shí)驗(yàn)?zāi)芘囵B(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用與創(chuàng)新能力，增強(qiáng)他們的解決實(shí)際問(wèn)題能力.教師對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程給予恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)與扶持，有利于學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的融合，有利于引導(dǎo)學(xué)生開展綜合性探索與研究，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維與實(shí)踐能力.

（一）階梯式實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)探究能力

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生通常會(huì)經(jīng)歷一個(gè)“猜想—驗(yàn)證—實(shí)驗(yàn)—結(jié)論”的逐步深入過(guò)程.這個(gè)過(guò)程并非一帆風(fēng)順，而是需要反復(fù)迭代和螺旋上升.換言之，學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一個(gè)持續(xù)迭代的過(guò)程，包含多個(gè)“實(shí)驗(yàn)—再實(shí)驗(yàn)—又實(shí)驗(yàn)”的循環(huán).這些實(shí)驗(yàn)并非簡(jiǎn)單的重復(fù)，而是呈現(xiàn)出階梯式的進(jìn)展.這種階梯式進(jìn)展象征著學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中不斷攀登，每一個(gè)實(shí)驗(yàn)都為后續(xù)實(shí)驗(yàn)奠定基礎(chǔ)，而后續(xù)實(shí)驗(yàn)則是對(duì)前一個(gè)實(shí)驗(yàn)的延續(xù)和提升.

例如，在教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”一課時(shí)，教師通常先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一系列直觀操作，如剪角、撕角、折角和拼角等，以增強(qiáng)其感性認(rèn)知.然而，這種基于直觀感受的認(rèn)知方式往往不能滿足學(xué)生追求嚴(yán)密推理和理性證明的需求.因此，在初步的操作性實(shí)驗(yàn)之后，教師需要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生開展思維性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).這類實(shí)驗(yàn)更注重學(xué)生的內(nèi)在思考，而非外在操作.學(xué)生需要運(yùn)用數(shù)學(xué)原理和方法，如“兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等”“兩直線平行、同位角相等”以及“等量代換”等，進(jìn)行邏輯推理和證明.相較于直觀操作，思維推理實(shí)驗(yàn)是一種更高層次的學(xué)習(xí)進(jìn)階，它不僅有助于深化學(xué)生對(duì)“三角形的內(nèi)角和”的理解，還能促進(jìn)其認(rèn)知從低階向高階發(fā)展.

以上教學(xué)案例中，通過(guò)這種階梯式的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)模式，學(xué)生不僅能夠逐步建立對(duì)“三角形的內(nèi)角和”的本質(zhì)認(rèn)知，還能逐步培養(yǎng)和發(fā)展其數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力.這種層次清晰、結(jié)構(gòu)分明的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ骄哂泻軓?qiáng)的可操作性，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要范式之一，不僅幫助學(xué)生逐步建立對(duì)知識(shí)點(diǎn)的深入理解，還培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力，為其未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

（二）混合式實(shí)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力

混合式實(shí)驗(yàn)活動(dòng)是一種創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，它將并列式和階梯式實(shí)驗(yàn)活動(dòng)巧妙結(jié)合，為學(xué)生提供了多樣化的學(xué)習(xí)體驗(yàn).在這種活動(dòng)中，教師鼓勵(lì)學(xué)生靈活運(yùn)用模擬法、模型法、對(duì)比法等多種實(shí)驗(yàn)策略，從而深入理解數(shù)學(xué)概念和原理，有效構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.這種方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和核心素養(yǎng)具有顯著作用.

例如，在教學(xué)“特殊的平行四邊形”一課時(shí)，教師在教學(xué)過(guò)程中可以指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)剪、折、疊等方式制作平行四邊形、菱形和正方形等紙片.首先，引導(dǎo)學(xué)生按照教師的指導(dǎo)輕松完成平行四邊形的制作.隨后，教師利用微視頻向?qū)W生展示長(zhǎng)方形對(duì)角線的性質(zhì)，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)連接長(zhǎng)方形各邊中點(diǎn)可以形成菱形.這一理論知識(shí)的學(xué)習(xí)為學(xué)生的實(shí)際操作提供了有力支持，他們紛紛嘗試通過(guò)折疊制作出菱形.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被充分激發(fā)，他們積極運(yùn)用折、剪、拼等多種方法，創(chuàng)造出各具特色的菱形.這種并列式實(shí)驗(yàn)活動(dòng)不僅培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力，還激發(fā)了他們的創(chuàng)新思維.在掌握了菱形的制作方法后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探索正方形的制作.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生根據(jù)已掌握的矩形性質(zhì)對(duì)菱形進(jìn)行改造，或者嘗試直接將任意四邊形轉(zhuǎn)變?yōu)檎叫?這些活動(dòng)不僅體現(xiàn)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，也展示了他們?cè)诨旌鲜綄?shí)驗(yàn)活動(dòng)中的成長(zhǎng).整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)既體現(xiàn)了并列式的多樣性，也展現(xiàn)了階梯式的連續(xù)性和發(fā)展性.

以上教學(xué)案例中，混合式實(shí)驗(yàn)活動(dòng)不僅豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，還確保了學(xué)生學(xué)習(xí)的連貫性和層次性，為學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提升奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).通過(guò)這種教學(xué)方法，學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力得到了有效提升，為未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

綜上所述，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要手段.它不僅為學(xué)生理解、構(gòu)建、探索和創(chuàng)新數(shù)學(xué)概念提供了必要的外部條件，還能為學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和認(rèn)知能力作內(nèi)在支撐.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅提升操作技巧和思考能力，也助力于學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展.教師的角色是關(guān)鍵的引導(dǎo)者，應(yīng)幫助學(xué)生從簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具應(yīng)用過(guò)渡到對(duì)深層次關(guān)系的透徹理解，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作獲得知識(shí)，并達(dá)到創(chuàng)新性和解放性的理解層次.

【參考文獻(xiàn)】

[1]徐文明.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)生：以“軸對(duì)稱”為例[J].學(xué)苑教育，2021（18）：77-78.

[2]苗培林.深度學(xué)習(xí)讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地生根[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（16）：63-64.

[3]王薇.運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)[J].數(shù)理天地（《初中版》），2022（11）：71-73.

[4]李亞瓊，寧連華.數(shù)學(xué)知識(shí)觀視角下學(xué)習(xí)進(jìn)階的再審視[J].課程·教材·教法，2023，43（7）：111-117.

[5]王海波.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在初中課堂教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2023（23）：38-40.