摘要：直線與圓錐曲線的綜合題一直是近幾年高考及模考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題，其內(nèi)容豐富，涵蓋了代數(shù)、幾何等模塊的眾多知識(shí)，還涉及許多解題技巧，能考查考生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；直線斜率；圓的切線

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）25-0017-04

收稿日期：2024-06-05

作者簡(jiǎn)介：賀鳳梅（1979—），女，湖北省隨州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

圓錐曲線的切線的斜率求解問(wèn)題逐漸成為高考及?？嫉某？碱}型，通常把直線、圓及圓錐曲線等知識(shí)融合在一起，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查，尤其是對(duì)函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想等的考查[1]，符合課程標(biāo)準(zhǔn)中“對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查要以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和方法為基礎(chǔ)”的要求.下面以2024屆T8聯(lián)考圓錐曲線解答題為例進(jìn)行分析與探究，以饗讀者.

1試題呈現(xiàn)

2總體分析

本題是2024屆高三第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試題（即T8聯(lián)考）第20題，是直線與圓錐曲線的綜合題.此題以橢圓為載體，第（1）問(wèn)是求橢圓方程，根據(jù)題目所給信息以及a，b，c之間的關(guān)系，列出等式即可求出，屬于基礎(chǔ)題.第（2）問(wèn)常規(guī)方法易求，設(shè)直線AC的斜截式方程，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形面積公式聯(lián)合求解即可.不過(guò)筆者通過(guò)計(jì)算與求解發(fā)現(xiàn)，除了參考答案中的常規(guī)解法外，還可以以AB為底邊，點(diǎn)C到AB的距離為高轉(zhuǎn)化求解.因?yàn)橹本€AC與圓相切，也可以借助切點(diǎn)寫出切線方程，再利用兩種轉(zhuǎn)化策略求解.另外，還可以將問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步拓展和推廣，得到一般結(jié)論.以下具體分析與探討，期待能對(duì)大家有所啟發(fā).

3試題解答

評(píng)注 此解法是以切點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出直線AC的方程，與橢圓方程聯(lián)立，處理方法與解法1異曲同工，讀者朋友們自行閱讀與領(lǐng)會(huì).

評(píng)注此解法是結(jié)合了解法3設(shè)直線AC的方法，面積的轉(zhuǎn)化和求解與解法2如出一轍.只要我們善于研究與探討，一定會(huì)發(fā)現(xiàn)各種解法之間的關(guān)聯(lián)性，從而拓寬解題思路，提升解題能力.

4拓展與推廣

以上的探討與解答只是對(duì)此道題的分析，如果就此止步，未免可惜.根據(jù)題目數(shù)據(jù)的設(shè)置，結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，圓的半徑是橢圓的短軸長(zhǎng)，由此猜想，△ABC面積是否與橢圓中的a，b，c以及直線AC的斜率k有內(nèi)在聯(lián)系呢？于是嘗試將問(wèn)題一般化，進(jìn)行推廣.

評(píng)注此法采用的是解法1的求解方法，得出了△ABC的面積與橢圓中的a，b，c以及直線AC的斜率k的關(guān)系.據(jù)此，試題就有了研究與應(yīng)用的價(jià)值，大家可以依托數(shù)據(jù)關(guān)系給出相關(guān)的變式題了，感興趣的同仁們不妨一試！

5試題鏈接

評(píng)注直線與圓錐曲線試題中涉及求直線斜率與方程的題在歷年高考與?？碱}中均有體現(xiàn)，需要引起大家的重視.

6結(jié)束語(yǔ)

直線與圓錐曲線的綜合題在高考與?？贾芯詨狠S題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定、弦長(zhǎng)問(wèn)題、面積問(wèn)題、定點(diǎn)定值問(wèn)題、最值問(wèn)題、直線的斜率問(wèn)題等.解答這部分試題，需要較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力和識(shí)別圖形的能力，常常需要快速準(zhǔn)確地進(jìn)行“數(shù)”與“形”的語(yǔ)言轉(zhuǎn)換與運(yùn)算，運(yùn)算過(guò)程中注重思維的嚴(yán)密性，以保證結(jié)果的完整性.突出考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，對(duì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求都很高[2].

參考文獻(xiàn)：［1］

劉雄杰.圓錐曲線的切線斜率研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（21）：46-47，53.

[2] 劉志浩.圓錐曲線問(wèn)題的幾何思考[J].課程教學(xué)研究，2013（11）：132.

［責(zé)任編輯：李璟］