數(shù)學(xué)眼光視域下的數(shù)學(xué)解題

摘要：“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界”作為高中數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的主要內(nèi)容之一，具體表現(xiàn)為數(shù)學(xué)抽象和直觀想象.通過(guò)對(duì)高考試題中抽象函數(shù)內(nèi)容的分析，指導(dǎo)教師在解題教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思維能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)眼光；抽象函數(shù)；數(shù)學(xué)抽象；直觀想象

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）25-0033-04

收稿日期：2024-06-05

作者簡(jiǎn)介：王江（1998—），男，重慶人，碩士研究生，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

汪新凡（1966—），男，湖南省安化人，教授，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出數(shù)學(xué)教育要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.數(shù)學(xué)眼光，就是一種借助數(shù)學(xué)抽象和直觀想象對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)過(guò)程的觀察、思考和認(rèn)識(shí)的思維方式，可以更深入地理解事物的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)隱藏在表面之下的一般性規(guī)律和關(guān)聯(lián)，表達(dá)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的認(rèn)識(shí).由于抽象函數(shù)表象的抽象性，使得學(xué)生在面臨這一問(wèn)題時(shí)往往束手無(wú)策.而運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光來(lái)看待抽象函數(shù)問(wèn)題，可以產(chǎn)生不同的思維過(guò)程[1]，更利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和解題能力.

1典型案例解析

反思解法1著眼于抽象函數(shù)在特定函數(shù)值的特征，這個(gè)角度以抽象函數(shù)直觀的函數(shù)值信息對(duì)其進(jìn)行感知，并依托抽象函數(shù)這種本質(zhì)屬性分析其單調(diào)性和奇偶性，這種直觀想象有助于學(xué)生理解抽象函數(shù)，尋找正確的求解思路.

反思解法2的解題思路著眼于特殊值法，利用特殊函數(shù)的形式，從函數(shù)的一般性過(guò)渡到特殊性，尋找抽象函數(shù)的特殊模型，通過(guò)分析特殊函數(shù)討論原函數(shù)具有的相關(guān)性質(zhì).該解法要求學(xué)生能夠掌握常見(jiàn)初等函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，能夠通過(guò)一般結(jié)構(gòu)特征抽象出特殊函數(shù)的“形”，

我們知道，圖象既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱的函數(shù)，那么很容易聯(lián)想到最典型的是正余弦型的函數(shù)，故結(jié)合這兩種函數(shù)圖象的形狀，構(gòu)思f（x）的圖象以及對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)g（x）的圖象，求得對(duì)應(yīng)的結(jié)果.

反思解法1借助了函數(shù)圖象的對(duì)稱性，通過(guò)“形”的直觀來(lái)呈現(xiàn)抽象函數(shù)的各種屬性，依托“形”的直觀產(chǎn)生對(duì)抽象函數(shù)本質(zhì)屬性的感知，有助于學(xué)生理解抽象函數(shù)，優(yōu)化解題思路.

數(shù)學(xué)中的很多結(jié)論常常是“看”出來(lái)的，不是“證”出來(lái)的，這種“看”則依賴于數(shù)學(xué)眼光，一種后天形成的抽象素養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)，有助于學(xué)生養(yǎng)成善于結(jié)合圖形和空間想象思考數(shù)學(xué)問(wèn)題.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)的眼光，練就一雙“火眼金睛”，對(duì)優(yōu)化思維品質(zhì)、提高解題能力立竿見(jiàn)影[2].

2結(jié)束語(yǔ)

解題前立足題意，回顧知識(shí).對(duì)于抽象函數(shù)的解題，首要的著眼點(diǎn)是立足于理解題意.這一過(guò)程涵蓋了問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和表征，是成功解決問(wèn)題的關(guān)鍵.對(duì)抽象函數(shù)問(wèn)題的表征，學(xué)生需要在一個(gè)或多個(gè)知識(shí)點(diǎn)上進(jìn)行回顧和反思，探究這些知識(shí)點(diǎn)及其相互關(guān)聯(lián)，這要求學(xué)生具備充足的知識(shí)儲(chǔ)備和敏銳的數(shù)學(xué)眼光，能夠在捕捉到題目的關(guān)鍵信息后迅速抽象出相關(guān)的知識(shí)點(diǎn).例如題目涉及了哪些知識(shí)點(diǎn)？哪些隱含的知識(shí)點(diǎn)被考查？這些知識(shí)點(diǎn)之間有哪些聯(lián)系？學(xué)生需要對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行持續(xù)的思考和探索，深入理解才能洞察本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)從“抽象”到“形象”的轉(zhuǎn)化[3].

解題中滲透數(shù)學(xué)眼光的深度和廣度.在解題過(guò)程中，要從不同層次的視角思考問(wèn)題，并且對(duì)某一層次的角度深入挖掘，滲透數(shù)學(xué)眼光的深度和廣度.教師要引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)知識(shí)與解題思路，反思一開(kāi)始是如何探究問(wèn)題的，哪些地方需要注意，哪些環(huán)節(jié)能夠較好地完成，怎樣才能使解題過(guò)程更清晰、簡(jiǎn)潔，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)得到有效增強(qiáng).對(duì)于同一類問(wèn)題，要嘗試著從不同的視角去洞悉其本質(zhì)，可能會(huì)得出不同的啟示.

解題后注重反思，鞏固提升.數(shù)學(xué)作為一門抽象且邏輯性強(qiáng)的學(xué)科，通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生解題后的反思能力，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)眼光的拓展.在解決每個(gè)問(wèn)題后，鼓勵(lì)學(xué)生判斷自己對(duì)問(wèn)題的最初想法是否正確，反思解決問(wèn)題過(guò)程的完整步驟，并及時(shí)總結(jié)解決類似問(wèn)題的快速方法.通過(guò)不斷地反思，學(xué)生逐漸提高了解決問(wèn)題的能力，掌握了這些抽象函數(shù)的解題技巧.他們對(duì)這門學(xué)科不再感到恐懼，形成了數(shù)學(xué)眼光，學(xué)會(huì)了主動(dòng)分析，并逐漸找到了抽象函數(shù)的解題套路，最終提高了解決問(wèn)題的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］李昌官.直觀想象視角下的2019年高考數(shù)學(xué)試題研究[J].基礎(chǔ)教育課程，2019（16）：25-33.

[2] 楊會(huì)濤.不同的數(shù)學(xué)眼光會(huì)收獲不同的解題體驗(yàn)：以抽象函數(shù)問(wèn)題求解為例[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（04）：41-43，46.

[3] 羅奇.解題反思提升中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].桂林師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2022，36（06）：82-85，97.

［責(zé)任編輯：李璟］